Formulario di Analisi Matematica 2, 2° Parziale

Formulari di Analisi Matematica 2

2^o PARZIALE

INTEGRALI CURVILINEI

• INFORMAZIONI GENERALI IN R²

ANALISI

w = M(x,y)dx + N(x,y)dy

w ^è CHIUSA

w ^è ESATTA

PRIMITIVA

FISICA

F = (F_x(x,y), F_y(x,y))

F ^è IRROTAZIONALE

F ^è CONSERVATIVO

POTENZIALE

• SOLVIMENTO ESERCIZI IN R²

1. DETERMINARE IL DOMINIO,
2. DIRE SE IN CU_R²,
3. VEDERE SE w ^è CHIUSA:

  _∂N/_∂y = _∂M/_∂x

4. SE,

w ^è CHIUSA ↔ w ^è ESATTA

A ^è STELLATO

(NON CI SONO BUCHI)

SE MANCA UNA DELLE DUE CONDIZIONI, w POTREBBE ESSERE ESATTA.

5. H¹: A↔^R DIFFERENZIABILE IN A:

  _∂U/_∂x = M(x,y) e _∂U/_∂y = N(x,y)

  (1)      (2)

PER ESEMPIO, USO (2) INTEGRO:

  N(x,u) = ∫ M(x,y) dx + ψ(y)   e SCRIVO IL RISULTATO

USO (2) DERIVO:

  _∂U/_∂y &= (2)

TROVO LA COSTANTE ψ(y) e SCRIVO IL RISULTATO

6. COSTRUCO IL DOM_lino

INFORMAZIONI GENERALI IN R³

ANALISIw = F₁dx + F₂dy + F₃dz

FISICAF = (F₁, F₂, F₃)

SVOLGIMENTO ESERCIZI IN R³

1. DETERMINARE IL DOMINIO
2. DIRE SE W E F SONO C^∞
3. VEDERE SE W È CHIUSA:

   ∂F₁/_∂y = ∂F₂/_∂x   ∂F₁/_∂z = ∂F₃/_∂x   ∂F₂/_∂z = ∂F₃/_∂y

4. SE W È CHIUSA ⇒ W È ESATTA A È STELLATO
5. (x,y,z) IN A-DIFFERENZIABILE IN A:

   ∂V/∂x = F₁     ∂V/∂y = F₂    ∂V/∂z = F₃

   1      2      3

   PER ESEMPIO, USO 1. INTEGRO

   V(x,y,z) = ∫ F₁dx + ψ(y,z)   E SEGNO IL RISULTATO

   USO 2. DERIVO:

   ∂V/∂y = ∂/∂y + ψ'    ↑2

   INTEGRO LA COSTANTE ψ(y,z) = ∫ ∂ψ/∂y (y,z)dy + Ψ(z)

   USO 3. DERIVO:

   ∂V/∂z = ∂/∂z + ψ'    ↑3

   TROVO LA COSTANTE Ψ(z) E SEGNO IL RISULTATO

6. CONTROLLO IL DOMINIO

CALCOLARE L'INTEGRALE CURVILINEO O IL LAVORO

• SE W È ESATTA R_P = (x₁, x₂, x₃) R_A = (y₁, y₂, y₃)
• ∫_A^P W = ∫_A^P (∇T_jds = V(R₂) − V(R₁)

  se la curva è gener. regolare

  ∫_A^P W = ∫ F₁(γ(t))γ'_x(t) + F₂(γ(t))γ'_y(t) + F₃(ρ(t))z'_x(t) dt

• SOSTITUISCO PARAMETRI DELLA CURVA

• Volumi

  Vol(E) = ∭_E 1 dx dy dz

  A seconda del dominio, utilizzo le varie coordinate.

  Nel caso di un solido di rotazione, posso utilizzare anche il teorema di Guldino:

  • Vol(E) = α ∬ x dx dy attorno y
  • Vol(E) = α ∬ y dy dz attorno x

  α = angolo di rotazione

• Integrazione per sezioni

  Quando non si hanno dei valori fissi si utilizza l’integrazione per sezioni.

  ∭_E ρ(x, y, z) dx dy dz = ∫_z1^z₂ dz ∬_A(z) ρ(x, y, z) dx dy

  (x, y) ∈ A(z)

  Uso le coordinate opportune

  Per il calcolo del volume: ∭_E 1 dx dy dz = ∫_z1^z₂ dz ∬_A(z) 1 dx dy

• Integrali tripli impropri

  1. Scrivo se è un integrale improprio
  2. Calcolo l’integrale come descritto sopra.

Equazioni Differenziali

1. Provo l'unicità, cioè vedo se vale il teorema di Cauchy-Peano
2. Classifico la tipologia di equazione differenziale

• I° Ordine - A Variabili Separabili

  y' = f(x,y)

  f(x,y) = A(x) · B(y) → y' = A(x) · B(y)

  1. B(y₀) = 0 y = α soluzione dell'equazione
  2. dy / dx = A(x) B(y)

  dy / B(y) = A(x) dx

  ∫ dy / B(y) = ∫ A(x) dx + c

  G(y) = F(x) + c Integrale Generale

• I° Ordine - Omogenea di Manfredi

  y' = φ(x,y)

  φ(kx,ky) = φ(x,y)

  Opero una sostituzione:

  z = y / x → y = z · x

  y' = z' · x + z

  Quindi, x + z = φ(x,y) → a variabili separabili

• I° Ordine - Lineari

  y' = a(x) · y + b(x)

  ∫ a(x) dx ∫ -a(x) dx

  y(x) = e ∫ [ ∫ b(x) e ] dx + k e ]

  Integrale Generale

• I° Ordine - Di Bernoulli

  y' = a(x) · y + b(x) yⁿ n ≠ 0,1