Formulario di Analisi Matematica 2, 2° Parziale

2° parziale: integrali curvilinei

Informazioni generali in R²

Analisi

Fisica

w = M(x,y)dx + N(x,y)dy

F = [M(x,y), N(x,y)]

w è chiusa

F è irrotazionale

w è esatta

F è conservativo

Primitiva

Potenziale

Svolgimento esercizi in R²

1. Determinare il dominio
2. Dire se ci sono b.c.
3. Vedere se w è chiusa:
   • ∂M/∂y = ∂N/∂x
4. Se w è chiusa → w è esatta
   • A è stellato
   • (Non ci sono "buchi")
5. Se anche una delle due condizioni, w potrebbe essere esatta.
6. w:A->R differenziabile in A:
   • ∂U/∂x = M(x,y) e ∂U/∂y = N(x,y)

Per esempio, uso la formula per integrare: N(x,y) = M(x,y) dx + p(y) e scrivo il risultato. Uso la derivata: ∂U/∂y = 0. Trovo la costante p(y) e scrivo il risultato.

Costruisco il dominio - integrali curvilinei

1^a specie

∫_Cf(P(t))dP(t) = ∫_a^b f(γ(t))/γ'(t)||γ'(t)dt

2^a specie

∫_CF=∫F(P(t)), γ'(t)dt

Informazioni generali in R²

Analisi

Fisica

ω=M(x,y)dx+N(x,y)dy

F=(M(x,y), N(x,y))

ω è chiusa

F è irrotazionale

ω è esatta

F è conservativo

Primitiva

Potenziale

Svolgimento esercizi in R²

1. Determinare il dominio
2. Dire se hanno sono C¹
3. Vedere se ω è chiusa:
   • ∂N/∂y = ∂N/∂x
4. Se ω è chiusa → ω è esatta
   • A è stellato (non ci sono buchi)
5. Se anche una delle due condizioni, ω potrebbe essere esatta.
6. US-A-BR differenziabile in A:
   • ∂U/∂x = H(x,u) e ∂U/∂y = N(x,u)

Per esempio, uso il simbolo per integrare: N(x,u) = H(x,y) dx + y(x) e scrivo il risultato. Uso il simbolo per derivare: ∂U/∂y = 0. Trovo la costante y(y) e scrivo il risultato.

Costruisco il dominio, […]

Informazioni generali in R³

Analisi

ω = F₁dx + F₂dy + F₃dz

Fisica

F = (F₁, F₂, F₃)

Svolgimento esercizi in R³

1. Determinare il dominio
2. Dire se ω e F sono C¹
3. Vedere se ω è chiusa:
   • ∂F₁/∂y = ∂F₂/∂x
   • ∂F₁/∂z = ∂F₃/∂x
   • ∂F₂/∂z = ∂F₃/∂y
4. Se ω è chiusa e A è semplicato → ω è esatta
5. (R) F₁, F₂, F₃ differenziabile in A:

∂U/∂x = F₁  (1)    ∂U/∂y = F₂  (2)    ∂U/∂z = F₃  (3)

Per esempio, uso (1) per integrare: ∇(x,u,z) = ∫F₁dx + Ψ(y,z) e scrivo il risultato (×). Uso (2) per derivare: ∂U/∂y = * (×) = (2). Integro la costante Ψ(y,z) = ∫∂Ψ/∂y (y,z)dy + Ψ(z)  (××). Uso (3) per derivare: ∂U/∂z = * (×) = (3). Trovo la costante Ψ(z) e scrivo il risultato.

6. Controllo il dominio.

Calcolare l'integrale curvilineo o il lavoro

Se ω è esatta

R₁=(x₁,x₂,x₃)    R₂=(y₁,y₂,y₃)

∫ω = ∫_C(∇F)ds = ∇(R₂) - ∇(R₁)

Se ω non è esatta:

∫ω = ∫_CF₁dx + F₂dy + F₃= ∫[F₁(γ₁)(t) + F₂(γ₂)(t) + F₃(φ(t))  γ₁(t)]dt

Sostituisco il parametro della curva{ se la curva è di genere regolare =∫ | γ'(t) | = 0 }

Integrazione multipla

Integrali doppi

∫∫_D f(x,y) dxdy

1. Scrivo se è R-integrabile (PEECO) o compatto
2. A seconda del dominio, scelgo la via più giusta:
   • Rettangolo
   • Dominio normale
   • Cambiamento di coordinate

Formule di riduzione sui rettangoli

D=[a,b]x[c,d]

∫∫_D f(x,y)dxdy=∫_a^b dx ∫_c^d f(x,y)dy =∫_c^ddy ∫_a^b f(x,y)dx

Formule di riduzione su domini normali

E₁ = {(x,y) ∈ℝ: a≤x≤b α(x)≤y≤β(x)} normale rispetto a x

∫∫_E1 f(x,y)dxdy=∫_a^bdx ∫_α(x)^β(x) f(x,y)dy

E₂ = {(x,y)∈ℝ: c≤y≤d γ(y)≤x≤σ(y)} normale rispetto a y

∫∫_E2 f(x,y)dxdy=∫_c^ddy ∫_γ(y)^σ(y) f(x,y)dx

Coordinate polari

Si utilizzano quando il dominio è formato da cerchi o parte di cerchi.

{ x=x₀+ρcosθ y=y₀+βsinθ |s|=ρ}

Scrivo le limitazioni di ρ e θ.

Coordinate ellittiche

Si utilizzano quando il dominio è formato da ellissi o parte di ellissi.

{ x=aρcosθ y=bρsinθ |s|=a.b.ρ }

Scrivo le limitazioni di ρ e θ sostituendo le coordinate ellittiche.

Cambiamento di coordinate

Quando il dominio non rientra nelle categorie sopra citate, opero un cambiamento di coordinate:

x = h(u,v) y = g(u,v)

Scrivo le mutazioni di MN.

Calcolo lo Jacobiano: J = | gu gv | | hu hv | ≠ 0

In ASI avrà:

∬_E f(x,y) dxdy = ∬_A f(h(u,v), g(u,v)) |J| dudv

Integrali doppi impropri

1. Scrivo se è un integrale improprio
2. Calcolo l'integrale come descritto sopra

Integrali tripli

∭_E f(x,y,z) dxdydz

1. Scrivo se è R-integrabile (R&E E compatto)
2. A seconda del dominio scelgo la via più giusta:
   • Dominio normale
   • Cambiamento di coordinate

Dominio normale

E = { (x,y,z) ∈ R³ | (x,y) ∈ D α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)} normale rispetto a xy

∭_E f(x,y,z) dxdydz = ∬_D ∫_α(x,y)^β(x,y) f(x,y,z) dz dxdy

Lo svolgo con metodi degli integrali doppi

Coordinate cilindriche

Si utilizzano quando il dominio su xy forma cerchi o parte di essi.

x = ρ cosθ y = ρ sinθ z = z |J| = ρ

Scrivo le limitazioni di ρ, φ, z.

Coordinate cilindriche ellittiche

Si utilizzano quando il dominio su xy forma ellissi o parte di essi.

x = aρ cosθ y = bρ sinθ z = z |J| = a·b·ρ

Scrivo le limitazioni di θ, φ, z (cosφ e senφ).

Coordinate sferiche

Si utilizzano quando il dominio è formato da sfere o parte di esse.

x = ρ sinφ cosθ y = ρ sinφ sinθ z = ρ cosφ |J| = ρ² sinφ

Scrivo le limitazioni di φ, θ, ρ. Tutta la sfera:

0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ φ ≤ π 0 ≤ ρ ≤ R

Emisfero superiore:

0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ φ ≤ π/2 0 ≤ ρ ≤ R

Primo ottante:

0 ≤ θ ≤ π/2 0 ≤ φ ≤ π/2 0 ≤ ρ ≤ R

Cambiamento di coordinate

x = h(u,v,w) y = g(u,v,w) z = t(u,v,w)

Scrivo le limitazioni di u,v,w

Calcolo Jacobiano: |J| = ∂x/∂u ∂y/∂u ∂z/∂u : ∂x/∂v ∂y/∂v ∂z/∂v : ∂x/∂w ∂y/∂w ∂z/∂w ≠ 0

Si avrà:

∬_E f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫_A f(h(u,v,w),g(u,v,w),t(u,v,w))|J| dudvdw

Volume

Vol(E)=∬_E 1 drdydz

A seconda del dominio, utilizzo le varie coordinate. Nel caso di un solido di rotazione, posso utilizzare anche il teorema di Guldino:

Vol(E)= α∬_D x dxdy attorno y oppure Vol(E)= α∬_D yxdy attorno x α = angolo di rotazione

Integrazione per sezioni

Quando non si hanno dei valori fissi si utilizza l’integrazione per sezioni.

∬_E ρ(x,y,z) dxdydz = ∞_z2^z₁ ∫_A(z) ρ(x,y,z) dxdy (x,y)∈A(z)

Uso le coordinate opportune per il calcolo del volume:

∬_E 1 dxdyz = ∞_z2^z₁ ∫_A(z)1 dxdy

Integrali tripli impropri

1. Scrivo se è un integrale improprio
2. Calcolo l’integrale come descritto sopra

Formule di Gauss-Green

DC R² regolare e ∂D curva generalmente regolare chiusa

1. ∬_D ∂f/∂y (x,y) dxdy = -∮_∂D f(x,y)dx
2. ∬_D ∂f/∂x (x,y) dxdy = ∮_∂D f(x,y)dy

Applicazione delle formule di Gauss-Green allo studio delle forme differenziali lineari

ω = M(x,y)dx + N(x,y)dy → F = C(M(x,y), N(x,y))

1. ∮_∂D ω = ∬_D (∂N/∂x - ∂M/∂y) dxdy

M(x,y)dx + N(x,y)dy

Se: ∫_ω = ∬_D (∂N/∂x - ∂M/∂y)  dxdy = 0 → ω è esatta

1. ω ∈ C¹(A) ω chiusa in A → ω esatta a semplicemente connesso.
2. Dominio non semplicemente connesso. Se ∫_ω ≠ 0 non è esatta
3. Considero una curva che circonda il buco. Se ∫_ω = 0 esatta

Applicazione delle formule di Gauss-Green al calcolo delle aree

DC R² regolare

Area (D) = ∬_D dxdy

Area (D) = -∮_∂D ydx

Area (D) = ∮_∂D xdy

Se la curva è in soluzione polare:

Area (O) = 1/2∫_θ1^θ₂ g(θ)² dθ

Superfici

Parametrizzazione di superfici regolari

Superficie in equazione cartesiana

Esplcito una variabile

z = f(x, y)

x = u

y = u

z = f(u, v)

{x(u, v) = {x(u, v) (u, v) ∈ Dr ∈ R}

ψ(u, v) = {x(u, v), z = f(u, v)}

(u, v) ∈ D > ∃u × r = (−f_u, −f_v, 1)

Se r varia in un cerchio parametrizzo in coordinate polari

Superficie di rotazione

y: [a, b] = IR²

y(t) = (x(c), z(c))

x = x(c) cosө

y = (c) sinө

z = z(c)

ψ (ө, c) = (x(c) cosө, x(c) sinө, z(c))

(t, ө) ∈ [a, b] x [0, 2π]

y_t = (x'²(c) cosө, x'(c) sinө, z'(c))

y_ө = (−x(c) sinө, x(c) cosө, 0)

y_t × y_ө = (x(c)'² cosө, x(c) cosө, x'(c) z'(c) sinө, x(c) x'(c))

‖yt × yө‖ = |x(c)| √[x'²(t) + z'²(c)] = 0 → x(c) = 0

Area di una superficie

1. Disegno se possibile la superficie
2. Parametrizzo la superficie
3. Calcolo l'area

Area = ∬_D ‖y_u × y_v‖ du dv

Non dipende dalla parametrizzazione

Nel caso di superficie di rotazione:

y(t)=C(x(t),y(t)) y'(t)=(x'(t), y'(t))

‖Ψ_t × Ψ_θ‖=|x(t)| √x'(t)²+y'(t)²=|x(t)| ‖y'(t)‖

Area Σ=2π ∫_a^b |x(t)| ‖y'(t)‖ dt

Integrali superficiali

1. Parametrozzo la superficie
2. Calcolo l'integrale:∫_Σ f(x,y,z) dσ = ∫∫_D f(φ(u,v)) ‖Ψ×Ψ‖ dudv

Flusso di un campo attraverso una superficie

1. Disegno se possibile e parametrozzo la superficie
2. Calcolo: φ(u,v) = C(...) Ψ=... Ψ=... Ψ×Ψ=...
3. Guardo se è ben orientata:... a seconda del testo dato
4. Calcolo il flusso:Φ_Σ(F)=∫_Σ dσ = ∫∫_D dudv

Verificare il teorema di Stokes

1. Rotore: ∇ = (∂_x ∂_y ∂_z) → ∇×F F=(F₁,F₂,F₃)
2. Parametrozzo la superficie
3. Calcolo:∫_Σ dσ = ∫∫_D (φ(u,v)), Ψ×Ψ dudv

Circolazione

Parametrozzo il bordo orientandolo ∂Σ⁺=φ(∂Dⁿ⁻¹)

Calcolo

∫_∂Σ⁺ F₁dx + F₂dy + F₃dz↓ prendo dalla parametrizzazione del bordo

Verifico:∫_Σ ⟨∇×F, n⟩ds = ∫_∂Σ⁺ ⟨F|T⟩ds

Teorema della divergenza

Consiste nel calcolare il flusso uscente/entrante da un campo:

∫_∂T ⟨F, n⟩ds = ∭_T ⟨∇·F⟩dxdydz

N.B. Flusso entrante

Superfici notevoli

• Sfera: x² + y² + z² = R
• Paraboloide: z = x² + y²
• Cilindro: x² + y² = 1
• Semicono: z = √(x² + y²)

Equazioni differenziali

1. Provo l'unicità, cioè vedo se vale il teorema di Cauchy-Peano
2. Classifico la tipologia di equazione differenziale

I^o ordine - A variabili separabili

y' = f(x, y)

f(x, y) = A(x) · B(y) → y' = A(x) · B(y)

1. B(c_y) = 0   y = a   B(c_a) = 0   Soluzione dell'equazione
2. dy / dx = A(x) · B(y)
3. dy / B(y) = A(x) dx → ∫dy / B(y) = ∫A(x) dx + c

G(c_y) = F(x) + c   Integrale generale

I^o ordine - Omogenea di Manfredi

y' = f(x, y)

f(kx, ky) = ϕ(x, y)

Opero una sostituzione:

z = y / x   y = z · x   y' = z' · x + z

Quindi,

z' x + z = f(x, y)

A variabili separabili

I^o ordine - Lineari

y' = a(x) y + b(x)

u(x) = e^{∫a(x) dx}

y(x) = e^{-∫a(x) dx}[∫f(b(x) e^{∫a(x) dx} dx + k)]

Integrale generale

I^o ordine - di Bernoulli

y' = a(x) y + b(x) yⁿ   n ≠ 0, 1

Se n > 0   y ≠ 0   Soluzione dell'equazione

y¹/yⁿ=a(x)y^n+m+b(x)

Opero una sostituzione: z=y^-m

z¹=-(m-n)y^-m-1y¹=> z¹ = y¹/yⁿ → lineare

II^o ordine - Manca la variabile y

F(x,y₁,y¹)=0

Opero una sostituzione: z=y¹

z¹=y¹¹

Quindi:

F(x,z,z¹)=0 → eq. del I^o ordine

• II^o ordine - Manca la variabile x

F(y,y₁,y¹)=0

Opero una sostituzione: z(u)=z=y

z¹=z¹=y¹

Quindi:

F(z₃,z¹,z²¹)=0 → eq. del I^o ordine

• II^o ordine - Lineari

a_o(x)y+ a₁(x)y¹ + a₂(x)y² = β(x)

Integrale generale = integrale generale dell'equazione omogenea associata + integrale particolare

1) Integrale generale dell'equazione omogenea associata:

a₀(x)y'' + a₁(x)y' + a₂(x)y = 0

a₀(x)y'' + a₁(x)y' + a₂(x)y = 0

a₀(x)λ² + a₁(x)λ + a₂(x) = 0

Δ = [(a₀)₁Δ] - 4(a₀)₂Δ

Δ > 0

Δ > 0 λ = ^{-a₁ ± √Δ}

Δ > 0

Δ = 0 λ = ^-a₁

Δ > 0 Δ > 0

Δ > 0 Δ > 0

λ ₀y₁ = e^λx

y₂ = e^λx

y₃ = e^ax

y₃ = e^ibλ = a + ib

y₁ = e^ax

y₂ = e^a⋅x cosbx

y₃ = e^a⋅x sinbx

2) Integrale particolare:

Per calcolarlo posso utilizzare due metodi:

- Metodo della variazione delle costanti arbitrarie:

y_o(x) = k₁(x) y₁(x) + k₂(x) y₂(x)

[ k₁'(x) y₁(x) + k₂'(x) y₂(x) ] = 0

[ k₂'(x) y₁(x) + k₂'(x) y₂(x) ] = ^f(x) _a0(x)

ω(x) = | ^{y₁(x)   y₂(x)} | ≠ 0

------------| _{y1(x)   y2(x)} |

Calcolo k₁(x) e k₂(x) con Cramer.

Integro k₁(x) e k₂(x) per trovare k₁(x) e k₂(x).

Scrivo y_o(x).

- Metodo di somiglianza

a₀y'' + a₁y' + a₂y = f(x)

f(x) = e^βx {a cosx + b sinx}