Matematica Finanziaria - Teoria

CONFRONTO TRA LE LEGGI USUALI

Immaginato su durate di 1 anno.

Tasso in interesse e tasso di interesse composto coincidono.

Il tasso di sconto numericamente è uguale al tasso di interesse/ 1 + tasso di interesse.

Il secondo grafico è il reciproco del primo.

• Valori coincidenti se il titolo scade tra un anno.
• Valore più alto (2 anni) -> interessi semplici;
• Valore più alto (3 mesi) -> sconto commerciale.

Contra"i con clausola di capitalizzazionedegli interessi.

Clausola di capitalizzazione degli interessi

La via di mezzo tra interessi composti e semplici è nei contratti con clausola dicapitalizzazione degli interessi.

Lo usiamo per durate qualsiasi, non solo intere. Accettiamo, così facendo, unreinvestimento istantaneo degli interessi.

Adottata per contratti con durata non prefissata o con possibilità di risoluzione delcontratto. Tipico nei c/c. ANATOCISMO = usura.

Quando arriva l'estratto conto, gli

Interessi all'interno vengono aggiunti al saldo del contocorrente, quindi reinvestiti o capitalizzati.

Capitalizzazione degli interessi

Si fissa un periodo di riferimento (anno, semestre, trimestre, ecc);

All'interno di ciascun periodo si calcolano interessi semplici relativamente al tempo trascorso.

Nel periodo successivo, il capitale in relazione al quale sono calcolati gli interessi (semplici) include anche gli interessi maturati in precedenza (gli interessi sono "capitalizzati").

Fattore di montante: con capitalizzazione degli interessi

Periodo di riferimento: anno

• Durata dell'operazione: t = n + p, con n numero intero di anni e p frazione d'anno (es: t= 2,5 -> n = 2, p = 0,5).
• Fattore di montante a interessi composti con convenzione lineare: f(n + p ) = (1+i)^n x(1+ ip);
• Approssimato con il fattore di montante a interessi composti con convenzione esponenziale f(t) = (1 + i)^t.

Con pendenza che cambia ogni anno ->

poiché cambia la base, li unisco con un trattolineare perché tempo < 1 anno. Appena gli interessi si formano, sono reinvestiti tramite un processo istantaneo. Concetto difficile da vedere realizzato in pratica, ma si realizza veramente nella pratica e abbiamo la facoltà di aprire e chiudere contratti a piacimento, dato che conviene a entrambe le parti. Quasi tutti i contratti ammettono la capitalizzazione degli interessi, e possiamo decidere a piacimento quando recedere dal contratto. Imparare maggiormente il confronto come interpretazione, pochi esercizi. Le spese vengono date come flussi, quindi non vengono aggiunte al capitale. Tassi equivalenti Applicazioni dove modificare il tasso —> usare il tempo in unità di misura specifica. Tassi equivalenti: Confronto tra operazioni relative a intervalli temporali diversi —> i relativi tassi d’interesse non sono necessariamente confrontabili. Per fare valutazioni coerenti —> trasformare il

tasso.Obiettivo: rendere confrontabili i tassi trasformandoli in tassi relativi alla stessa unità temporale (es: anno).

Legge di riferimento: esponenziale f(t) = (1 + i)^t.

• Operazione di durata un anno.
• Tempo in anni —> t = 1.
• Calcolo in montante in corrispondenza di t.
• Calcolo un parametro che esprima il tasso annuale;
• Funzione valore V(1) = 1 + i.

Tempo in semestri:

• Operazione t’ = 2 ( 2 semestri);
• Tasso semestrale: i(1/2) —> vengono indicati in modi molto diversi.
• Funzione valore = V’(2) = (1 + i(1/2))^2.
• Io ho cambiato solo il tasso annuale, non il valore (numericamente devono assumere lo stesso valore)
• Condizione di equivalenza V(1) = V’(2) = 1 + i = (1 + i(1/2))^2.
• Tasso annuale equivalente al tasso semestrale.

In generale:

1. Tasso annuale : i (trimestre, semestre, mensili, annuali);
2. Tasso periodale i(1/k) (k periodi dell’anno);
3. Condizioni di equivalenza : ( 1 + i )

1. (1 + i(1/k))^k → <sup>(1 + i(1/k))^k</sup>

2. i = (1+ i(1/k)^k - 1; → i = (1+ i(1/k)^k - 1;

3. i(1/k) = (1 + i)^1/k - 1. → i(1/k) = (1 + i)^1/k - 1.

4. Per un periodo di t anni = t x k periodi: (1 + i)^t = (1+i(1/k)^txk. → Per un periodo di t anni = t x k periodi: (1 + i)^t = (1+i(1/k)^txk.

5. Il primo è un tasso trimestrale, il secondo è un tasso semestrale. → Il primo è un tasso trimestrale, il secondo è un tasso semestrale.

6. È più redditizia la prima operazione. → È più redditizia la prima operazione.

7. Invece, con la legge lineare: → Invece, con la legge lineare:

8. Trasformare i tassi è immediato: → Trasformare i tassi è immediato:

9. • Se abbiamo un tasso annuale -> dividiamo. → <ul><li>Se abbiamo un tasso annuale -> dividiamo.</li>

10. • Se abbiamo un tasso periodale -> moltiplichiamo → <li>Se abbiamo un tasso periodale -> moltiplichiamo</li></ul>

11. Equivalenza 1 + i x t = 1 + i(1/k) x t x k → Equivalenza 1 + i x t = 1 + i(1/k) x t x k

12. Tasso annuale equivalente al tasso periodale: i = i(1/k) x k; → Tasso annuale equivalente al tasso periodale: i = i(1/k) x k;

13. Tasso periodale equivalente al tasso annuale: i(1/k) = i/k. → Tasso periodale equivalente al tasso annuale: i(1/k) = i/k.

14. Tasso annuale nominale, tasso annuale operativo tasso annuale nominale (TAN) → Tasso annuale nominale, tasso annuale operativo tasso annuale nominale (TAN)

15. Il è un tasso che viene calcolato con operazioni i cui pagamenti sono su base frazionata nell'anno, operazioni di prestito; → Il è un tasso che viene calcolato con operazioni i cui pagamenti sono su base frazionata nell'anno, operazioni di prestito;

16. • Quote periodiche + tasso d'interesse periodico; → <ul><li>Quote periodiche + tasso d'interesse periodico;</li>

17. • Ci comunicano un tasso annuale; → <li>Ci comunicano un tasso annuale;</li>

18. • Bisogna accettare anche la capitalizzazione sui → <li>Bisogna accettare anche la capitalizzazione sui</li></ul>

1. finanziamenti se accettiamo quella sugliinvestimenti;
2. • TAE:I = (1+i(1/k)^k - 1 = tasso annuale effettivo, legato al tasso periodale di regolaesponenziale.
3. • TAN:I(k) = k x i(1/k) -1 = tasso annuale nominale, su base nominale —> sto trascurandola capitalizzazione degli interessi, k volte il tasso periodale. Modo semplificato ditradurre il TAE.
4. • L’unico tasso perdonabile è il tasso periodale.Dovremo capire quale tasso bisogna usare dal’etichetta.
5. Tasso reale e tasso in valuta esteraNon tante valutazione, più nozione —> valutazione del tasso reale.
6. Tassi d’interesse reale o deflazionatoParametro che ci consente di calcolare gli interessi riconosciuti nel contratto, peròdipende dal tasso inflazionistico che c’è in quel momento.
7. In periodi con tassi di inflazione alti, si fa un a valutazione con tasso di interesse reale percapire se sia meglio investire o meno.
8. Non conosciamo il potere di acquisto che ci

sarà tra un anno. L'INSTAT. L'inflazione viene misurata tramiteSi hanno come riferimento panieri di beni acquistati da gruppo di persone, misuravariazione paniere nell'anno e definisce l'indice dei prezzi.Indice dei prezzi t - indice dei prezzi t-1 = valore dell'inflazione.p(t) = indice dei prezzi -> tasso d'inflazione nell'anno r = p(1)/p(0) -1/1:Potere di acquisto di 1 euro a fine anno: 1/(1+r);Potere di acquisto di X euro a fine anno X/(1+r).Su base nominale X = C x (1+i), con i tasso di interesse nominale.Rispetto al potere di acquisto : X/(1+r) = C x (1+i)/1 + r = C x (1 + i(reale))Ottengo una valutazione dell'investimento. (1 + i(reale), una volta che conosco il tasso diinflazione posso sapere il tasso di interesse reale.Fattore di montante reale 1 + i(reale) = (1 + i)/(1 + r);Tasso di interesse reale i(reale) = (1 + i)/(1+r) - 1/1 = (i - r)/(1 + r).Tasso int. e tasso inflazione/ 1 + tasso di

inflazione. All'inizio dell'anno i può essere garantito, mentre i(reale) non è noto, dobbiamo aspettare fine anno. L'operazione in valuta -> ragionamento simile, cambia il parametro di riferimento -> tasso di cambio in valuta estera. Intensità istantanea(d'interesse) Concetto ma pochi calcoli. Dobbiamo pensare ad un investimento il cui valore viene descritta tramite a una funzione V(t) e non una legge finanziaria. Perché vediamo questo rapporto: possiamo decidere di incassare il valore oppure di continuare a depositarlo. Nel secondo caso, dobbiamo osservare quanto conviene depositarlo. Idea di redditività: misurarla con un tasso, lo calcoliamo in modo approssimativo tramite la legge degli interessi semplici. Ci chiediamo quale tasso equivalente di interesse semplice (legge lineare) corrisponda al montante di proseguimento tra t e t + h. La prima annotazione la usiamo per indicare un tasso nominale = tasso periodale x numeri

di questa legge finanziaria. Una possibile strategia è quella di calcolare l'intensità media di interesse in diversi periodi dell'anno e confrontarla con il tasso di sconto commerciale. In questo modo possiamo valutare la redditività dell'investimento. Per calcolare l'intensità media di interesse, dobbiamo considerare l'intervallo di tempo in cui avviene l'investimento. Possiamo rendere l'ampiezza di questo intervallo piccola a piacere, avvicinandola a zero. In questo caso, calcoliamo il limite dell'ampiezza dell'intervallo che tende a zero. Se la funzione V è derivabile, possiamo ottenere la derivata per calcolare l'intensità istantanea. Questa è la notazione standard per indicare l'intensità istantanea: δ(t). L'intensità istantanea ci fornisce un "terzo modo" equivalente per descrivere le leggi finanziarie. Possiamo considerare un investimento con un valore iniziale di 1 euro, quindi V(0) = f(0). Conosciamo il valore dell'investimento, ma non conosciamo la legge finanziaria che lo sorregge. Quindi dobbiamo seguire un procedimento per scoprire questa legge finanziaria.

di tale legge:

• Faccio un approssimazione lineare;
• Riduco l'ampiezza dell'Intervallo e ottengo una valutazione istantanea;
• Così facendo, riesco ad esprimere la redditività dell'operazione su base istantanea tramite una misura che si chiama intensità istantanea d'interesse.

Se conosciamo la funzione valore, possiamo anche calcolare qual è la funzione algebrica dell'intensità istantanea d'interesse: per ottenere l'intensità istantanea d'interesse dovrei fare l'operazione dell'immagine sopra.

Dalla definizione si può risalire all'espressione del fattore di montante.

L'intensità istantanea d'interesse è un modo per esprimere un fattore di montante —> numero di Nepero elevato all'integrale dell'intensità istantanea d'interesse nell'intervallo che dobbiamo considerare.

Legge lineare:

• Esprime

l'interesse per valore accumulato;

• Intensità istantanea d'interesse decresce.

Sconto commerciale:

• Valore che aumenta in termini di fattore di montante;

Regime esponenziale:

• L'intensità istantanea rimane costante, quindi assume sempre lo stesso valore:
• È costante perché nella legge degli interessi composti ogni anno guadagniamo un ammontare di interessi che è proporzionale al valore di inizio anno.
• Costanza in termini percentuali di guadagno, quindi di tasso di interesse.

Opzioni:

• Strumenti finanziari che sono contratti che offrono la possibilità di proteggere un investimento contro riduzione di rendimenti;
• Hanno un costo;
• Tale costo viene calcolato come valore attuale del pagamento che potranno far