Matematica finanziaria - Riassunto esame

La funzione valore in un contratto a termine

La differenza tra contratti a pronti e contratti a termine consiste nel differire la data di valutazione con la data di stipula. Infatti si ipotizza che il periodo di scambio abbia inizio in un istante T successivo a t (istante di stipula), secondo lo schema tipico delle operazioni a termine v(t;T;s) cont ⊆ T ⊆ s che sta ad indicare il valore in T, pattuito in t di una lira esigibile in s.

Nessun importo monetario viene incassato/versato dai contraenti in data t, nella quale avviene la stipula del contratto; la parte che si impegna ad assumere la posizione di creditore, verserà l’importo v all’istante T, per ricevere, dalla controparte, l’importo unitario a scadenza s.

Regole per la significatività finanziaria

Anche v(t;T;s) dovrà soddisfare le regole che garantiscono la significatività finanziaria:

• v(t;T;s) > 0 t ⊆ T ⊆ s Non arbitraggio
• v(t;s;s) = 1 t ⊆ s spontanea condizione di scadenza
• v(t;T;s’) > v(t;T;s’’) con t ⊆ T ⊆ s’ < s’’
• Teorema di decrescenza rispetto alla scadenza v(t;T’;s) < v(t;T’’;s) con t ⊆ T’ < T’’ ⊆ s Valore crescente rispetto all’istante
• Il costo di un’operazione finanziaria, che consiste nel differire le date, deve essere positivo.

Almeno dal punto di vista formale, un contratto a pronti è ottenibile come caso particolare nella logica dei contratti a termine, richiedendo che l’istante T di inizio dell’orizzonte di scambio coincida con l’istante t di stipula.

Ipotesi caratteristiche del mercato

• Non frizionalità: non ci sono costi di transazione né gravami fiscali, i titoli sono infinitamente divisibili (non ci sono cioè limitazioni sulle quantità minime massime di titoli trattati), sono consentite le vendite allo scoperto (è possibile vendere cioè titoli che non si possiedono) e non c’è rischio d’insolvenza (no default risk).
• Competitività: gli agenti del mercato sono massimizzatori di profitto nel senso della “non sazietà” e price taker, cioè non possono influenzare i prezzi dei titoli.
• Assenza di arbitraggi: consideriamo una operazione finanziaria x/t di importi x = {x0, x1…xn} non t = {t, t1…tn} tutti nulli, esigibili sullo scadenziario essendo ⊆...⊆ t1 l’istante corrente, con t ⊆ t1 m. Diremo che x/t è un arbitraggio non rischioso se il flusso x non contiene pagamenti di segno opposto. Trattasi quindi di una transazione in cui si incassa almeno una volta con la certezza di non pagare mai. Assumeremo che sul mercato sia rispettato il principio di non arbitraggio, cioè che sia sistematicamente esclusa la possibilità di effettuare arbitraggi. Con questa richiesta, viene imposta al mercato una fondamentale proprietà di consistenza in base alla quale è preclusa la possibilità di.