Matematica finanziaria

Calcolo del valore attuale

K MFattore di sconto = 1/(1 + it)Figura 2Esempio 1Dati: M = 108; i% = 10%; t = 1 anno; fattore di sconto = ;[ ]( )+1 0 10 1,K = valore attuale di M = ? z z.Il capitale da investire, al tasso del 10%, per avere dopo un anno un montante di 108 è 98,18zIn modo analogo, si può affermare che il valore attuale (t = 0) di 108 disponibili tra un anno, al tas-z.so dell’10%, è 98,18 108=,98 18 ( )+1 0, 10E infatti si ha: 108 = 98,18(1 + 0,10)EsempioDati: M = 106; i% = 8% ; t = 6 mesi; K = ?Il capitale necessario, per avere dopo 6 mesi un montante di 106 usufruendo del tasso dell’8%, è101,92: 106=,101 92 È ˘Ê ˆ6+ ,1 0 08Í ˙Ë ¯Î ˚12E infatti si ha: È ˘ÊË ˆ¯6= +106 101, 92 1 0, 08Í ˙Î ˚122.2 Se l’incognita è il tempo di durata dell’investimento tNoti il montante M, il capitale da investire K e il tasso d’interesse i, è possibile calcolare

Il tem-po di durata t dell'operazione finanziaria: M = K(1 + it)(M - K) = Kit posto I = interesse = (M - K), si ottiene I = KitI=t ( )Ki Esempio Dati: M = 110; K = 95; I = 15; i = 12% ; t = ? È ˘15=1, 32 ( )Í ˙Î ˚95 0, 12 Se si investe il capitale di 95 al tasso del 12% e si desidera ottenere un montante di 105, l'opera-zione finanziaria deve durare 1 anno, 3 mesi e giorni:25t = 1,32¥0,32 360 = 115,20 cioè 3 mesi e 25 giorni 2.3 Se l'incognita è il tasso d'interesse Noti il montante M, il capitale iniziale K, il tempo di durata t dell'investimento, il tasso d'interesse i è stimato con la seguente formula: M = K(1 + it)(M - K) = Kit posto I = interesse = (M - K), si ottiene I = KitI=i ( )Kt Esempio Dati: M = 110; K = 95; I = 15; t = 1 anno, 3 mesi e 25 giorni; i = ? Si vuole conoscere il tasso annuo che consente, a un investimento iniziale di 95, di avere un montante di 110 dopo 1 anno, tre

mesi e 25 giorni. È ˘15=0, 12 ( )( )Í ˙Î ˚95 1, 323.

Regime dell’interesse composto

Il regime dell’interesse composto si caratterizza per la capitalizzazione periodica degli interessi che genera ulteriori interessi. La differenza rispetto al regime dell’interesse semplice che non consente capitalizzazione è dunque chiara.

z,Si investe per due anni il capitale di 100 al tasso annuo dell’8%; gli interessi sono cor-z:risposti e reinvestiti alla fine di ciascun anno. Dopo un anno il montante è 108M(1) = K(1 + i)108 = 100(1 + 0,08)

Il montante è reinvestito, per un anno, al tasso dell’8%: 2M(2) = M(1)(1 + i) = K(1 + i)(1 + i) = K(1 + i) 2116,64 = 108(1 + 0,08) = 100(1 + 0,08)(1 + 0,08) = 100(1 + 0,08)

Regime dell’interesse semplice

t = 0 t = 1 t = 2

K M

Fattore di montante = [1 + i(2)]

Figura 3 Regime dell’interesse composto

t = 0 t = 1 t = 2

K M(1) = K(1 + i) 2M = M(1) (1 + i) = K(1 + i)

Figura 4

La tabella riassume,

alle varie date, il processo di formazione del montante con capitalizzazione composta.

Date	t = 0	t = 1	t = 2	t = 21
Investimento	–100M(1)	–108
Reinvestimento	–108M(2)	116,64
Totale	–100	116,64

Il montante finale può essere scomposto in capitale, interesse e interesse su interesse. Se si sviluppa il quadrato dell'equazione del montante si ottiene il risultato cercato:

2M = K(1 + i)

2M = K(1 + 2i + i²)

2M = K + 2Ki + Ki²

116,64 = 100 + 2(100)(0,08) + 100(0,08)

116,64 = 100 + 16 + 0,64

montante = capitale + interesse + interesse su interesse

Se la capitalizzazione è annuale e il numero degli anni è intero, l'equazione del montante è data da:

nM = K(1 + i)

con n = numero anni interi

Se il numero di anni non è intero, per esempio 2,40 (due anni, 4 mesi e 24 giorni), l'equazione diventa:

n + f

M = K(1 + i)ⁿ(1 + i)^f

con f = frazione di anno

2,40

120,29 = 100(1 + 0,08)

La somma finale è definita montante con formula

esponenziale.Si può utilizzare l'equazione del montante con formula lineare, anche se di preferenza si fa ricorso alla formula precedente: nM = K(1 + i) (1 + if )

2120,37 = 100(1 + 0,08) [1 + 0,08(0,40)]

Si noti che: n+f nK(1 + i) < K(1 + i) (1 + if)

120,29 < 120,37

Se il periodo di capitalizzazione è inferiore all'anno (capitalizzazione frazionata) e il tasso è annuo, si converte il tasso annuo (i) in periodale (1/m) e si moltiplica la durata per m o numero di capitalizzazioni all'anno. Si dice che il tasso i è convertibile m volte l'anno.

mnÈ ˘ÊË ÊÌi= +M K 1Í ˙Î ˚mi% = 8%; m = 2 = frequenza semestrale; n = 3 ¥2 3È ˘ÊË ÊÌ 0, 08= +126, 53 100 1Í ˚˙Î 2Se m = 4 = frequenza trimestrale1 2,40 anni diventa 2 anni, 4 mesi e 24 giorni nel modo che segue:2,40 cioè 2 anni¥0,40 12 = 4,80 cioè 4 mesi¥0,80 30 = 24 giornisi ha: ¥4

3È ˘ÊË ˆ0, 08= +126, 82 100 1Í ˙¯Î ˚

Il tasso annuo convertibile è un tasso nominale e non effettivo. Il tasso effettivo annuo) che si ha con la capitalizzazione frazionata è maggiore.(ieffettivoSi consideri il seguente esempio in cui si confrontano i montanti e i relativi tassi di due inve-stimenti con differente frazionamento.

Esempio1° caso: m = 1 o capitalizzazione annuale 3125,97 = 100(1 + 0,08)È ˘Ê ˆ,125 97= - =Á ˜Í ˙3i % %1 100 8Ë ¯effettivo Î ˚100i = ieffettivo

2° caso: m = 2 o capitalizzazione frazionata 2*3È ˘ÊË ˆ0, 08= +126, 53 100 1Í ˙¯Î ˚2È ˘Ê ˆ126, 53= =-Á ˜Í ˙3% 1 100 8, 16 %i Ë ¯effettivo Î ˚100i < i effettivo

In generale, il tasso effettivo è dato dall’equazione che segue:Ê ˆM= -Á ˜ti % 1Ë ¯effettivo

KSe si conosce il tasso nominale e la frequenza m, il tasso effettivo è ottenuto dall'uguaglianza:
mtÈ ˘ÊË Êˆ( ) i+ = +t1 i 1Í ˙effettivo Ê˚mtÈ ˘ÊË Êˆi= + -i 1 1Í ˙effettivo Ê˚m ¥2 3È ˘ÊË Êˆ( ) 0 08,+ = +31 i 1Í ˙effettivo Ê˚22 – 10,0816 = (1 + 0,04)% = 8,16%i effettivo4. Il regime dell'interesse composto. Formule per la risoluzione di problemi inversiCome per il regime dell'interesse semplice, si illustrano casi in cui l'incognita è diversa in funzione dei parametri noti.4.1 Se l'incognita è il capitale da investire, KNoti i valori del montante M, del tasso i e del tempo t, è possibile ottenere il valore di K o capitale da investire. K esprime il valore attuale, o valore al tempo t = 0, del capitale a scadenza M. Come nel caso del regime dell'interesse semplice, si deve

“riportare” alla data corrente il valore di un capitale disponibile in una data futura t > 0. Si deve, quindi, attualizzare il capitale M utilizzando il fattore di sconto (1 + i) .

M -( )= = + tK 1M i( )+ t1 it = 0 t = 1 t = 2

K = M(1)/(1 + i) M(1) = M/(1 + i) M–2

Fattore di sconto = (1 + i)

Figura 5 z,

Un semplice esempio può essere d’aiuto. Il capitale disponibile tra due anni (M) è 108,64 il tasso di attualizzazione è l’8%, il valore attuale in regime di capitalizzazione composta (K) z.è 100

Date t = 0 t = 1 t = 2

1 2

M 118,64

M(1) = 108=118,64/(1+0,08)

K 100=108/(1+0,08)

L’esempio che segue espone un caso in cui si ha un numero di anni non intero.

Esempio

Dati: M = 130; t = 3 anni e 5 mesi; i %= 8%; K = valore attuale di M = ?

–3,416799,94 = 130(1 + 0,08)z, z.

Il valore attuale di 130 tra 3 anni e cinque mesi, al tasso dell’8%, è 99,92 In modo equivalente si può dire che, per avere 130 tra 3 anni e 5 mesi,

Si deve investire in t = 0, al tasso dell'8%, un capitale di 99,944.2. Se l'incognita è la durata t dell'investimento, noti il montante M, il capitale da investire K e il tasso d'interesse i, è possibile calcolare il tempo di durata t dell'operazione finanziaria.

tM = K(1 + i)

M(t) = K(1 + ti)

M(t) = K + ti

Mln(K) = t + iln(1 + i)

Esempio:

Dati: M = 130; K = 99,94; i = 8%; t = ?

130ln(99,94) = t + iln(1 + 0,08)

Si noti che lo 0,4169 di anno corrisponde a 5 mesi: 0,4169 * 12 = 5,00

In sintesi, se si investe il capitale di 99,94 al tasso dell'8% e si vuole ottenere un montante di 130, l'operazione finanziaria deve durare 3 anni e 5 mesi circa.

4.3 Se l'incognita è il tasso d'interesse, i

Dati i valori del capitale K, del montante M e del tempo t, è possibile stimare il tasso i:

i = (M/K)^(1/t) - 1

Ê ˆ ÊË ˆ¯M MÍ ˙t= - = -Á ˜Í ˙i % 1 100 1 100tË ¯ Î ˚Î ˚K K2 La dimostrazione è la seguent