Matematica finanziaria

APPENDICE MATEMATICA

Elementi di matematica finanziaria

1. Il regime dell’interesse semplice

L’interesse è il frutto reso dall’investimento del capitale. Nel corso dell’esposizione si farà rife-

rimento a due regimi o tipologie di calcolo dell’interesse:

• il regime dell’interesse semplice;

• il regime dell’interesse composto.

Il primo si ha quando l’interesse è proporzionale al capitale e al tempo:

I = Kit

con

K = capitale investito; i = tasso d’interesse annuo; t = durata investimento

Quindi, si ha: M = K + I = K + Kit = K(1 + it)

K M

Fattore di montante = (1 + it)

Figura 1

Il termine (1 + it) è il fattore di montante e M il montante.

¥

montante = capitale investito fattore di montante

Esempio

Dati: K = 100; t = 1 anno; i% = 10% annuo; fattore di montante = (1 + 0,10) = 1,10;

montante = 100[1 + 0,10(1)] = 110

Il regime dell’interesse semplice è in genere utilizzato per operazioni finanziarie di breve durata (non

oltre l’anno o i 18 mesi). Le ipotesi sottostanti il regime sono due:

• il frutto è corrisposto una sola volta alla scadenza dell’operazione finanziaria;

• l’interesse che matura prima della scadenza non capitalizza (non diventa capitale), e poiché dà frut-

to solo il capitale, l’interesse è sterile e non genera altro interesse.

Il regime non è favorevole al creditore che, durante la vita del prestito, non incassa e non capitaliz-

za l’interesse. E infatti:

• il mancato incasso rende impossibile il consumo o il reinvestimento dell’interesse;

• la mancata capitalizzazione non compensa il creditore dell’indisponibilità materiale dell’interes-

se maturato.

Per le ragioni illustrate, il regime dell’interesse semplice è applicato a operazioni di breve termine.

Se l’unità di tempo è inferiore all’anno (mesi o giorni), il tasso annuale è moltiplicato per il rap-

porto tra l’unità di misura temporale e l’anno espresso in mesi o giorni. Per effetto della variazio-

ne, l’equazione del montante diviene:

È ˘

ÊË ˆ¯

m

= + =

M K i m

1 con numero mesi

Í ˙

Î ˚

12

È ˘

Ê ˆ

g

= + =

M K i g

1 con numero giorni

Í ˙

Ë ¯

Î ˚

360

Esempio

Dati: K = 100; durata = 3 mesi; t = 3/12; i% = 10% annuo

È ˘

Ê ˆ

3

= + =

fattore di montante 1 0

, 10 1

, 025

Í ˙

Ë ¯

Î ˚

12

È ˘

ÊË ˆ¯

3

= + =

100 1 0

, 10 102

, 5

montante Í ˙

Î ˚

12

Dati: K = 100 ; durata = 90 giorni; t = 90/360; i % = 10% annuo

È ˘

Ê ˆ

90

= + =

fattore di montante 1 0

, 10 1

, 025

Í ˙

Ë ¯

Î ˚

360

È ˘

Ê ˆ

90

= + =

montante 100 1 0

, 10 102

, 5

Í ˙

Ë ¯

Î ˚

360

2. Il regime dell’interesse semplice. Formule per la risoluzione

di problemi inversi

Ci si è soffermati a illustrare il caso in cui, noti il capitale (K), il tempo (t) e il tasso (i) del-

l’operazione finanziaria, si doveva determinare l’incognita, l’importo del montante (M).

Nella pratica, i parametri noti e l’incognita possono essere diversi. Nel seguito si studia-

no alcuni casi.

2.1 Se l’incognita è il capitale da investire K

Noti il montante M, il tasso i e la scadenza n, è possibile ottenere il valore di K o capitale da

investire. K è il valore attuale o valore alla data t = 0 del capitale a scadenza M.

M = K(1 + it)

da cui: M

=

K ( )

+

1 it

Come si può notare l’incognita K è il valore del montante riportato alla data iniziale dell’ope-

razione finanziaria. K è il valore, alla data corrente (t = 0), di M disponibile alla data t = 1.

1

In sintesi, K è il valore attuale di M e è il fattore di sconto o di attualizzazione.

( )

+

1 it

1 = fattori di sconto o di attualizzazione

( )

+

1 it

Più in generale si può definire il valore attuale come segue:

Il valore attuale K è il prodotto del capitale M disponibile al tempo t per il fattore di

sconto 1 / (1 + it).

In termini semplici, si tratta di “riportare indietro”, dal tempo t > 0 al tempo t = 0, il capitale

M scontandolo al tasso i. Ovviamente il valore attuale K è minore di M.

K M

Fattore di sconto = 1/(1 + it)

Figura 2

Esempio 1

Dati: M = 108; i% = 10%; t = 1 anno; fattore di sconto = ;

[ ]

( )

+

1 0 10 1

,

K = valore attuale di M = ? z z.

Il capitale da investire, al tasso del 10%, per avere dopo un anno un montante di 108 è 98,18

z

In modo analogo, si può affermare che il valore attuale (t = 0) di 108 disponibili tra un anno, al tas-

z.

so dell’10%, è 98,18 108

=

,

98 18 ( )

+

1 0

, 10

E infatti si ha: 108 = 98,18(1 + 0,10)

Esempio

Dati: M = 106; i% = 8% ; t = 6 mesi; K = ?

Il capitale necessario, per avere dopo 6 mesi un montante di 106 usufruendo del tasso dell’8%, è

101,92: 106

=

,

101 92 È ˘

Ê ˆ

6

+ ,

1 0 08

Í ˙

Ë ¯

Î ˚

12

E infatti si ha: È ˘

ÊË ˆ¯

6

= +

106 101

, 92 1 0

, 08

Í ˙

Î ˚

12

2.2 Se l’incognita è il tempo di durata dell’investimento t

Noti il montante M, il capitale da investire K e il tasso d’interesse i, è possibile calcolare il tem-

po di durata t dell’operazione finanziaria:

M = K(1 + it)

(M – K) = Kit

posto I = interesse = (M – K), si ottiene I = Kit

I

=

t ( )

Ki

Esempio

Dati: M = 110; K = 95; I = 15; i = 12% ; t = ?

È ˘

15

=

1

, 32 ( )

Í ˙

Î ˚

95 0

, 12

Se si investe il capitale di 95 al tasso del 12% e si desidera ottenere un montante di 105, l’opera-

zione finanziaria deve durare 1 anno, 3 mesi e giorni:

25

t = 1,32

¥

0,32 360 = 115,20 cioè 3 mesi e 25 giorni

2.3 Se l’incognita è il tasso d’interesse

Noti il montante M, il capitale iniziale K, il tempo di durata t dell’investimento, il tasso d’in-

teresse i è stimato con la seguente formula:

M = K(1 + it)

(M – K) = Kit

posto I = interesse = (M – K), si ottiene I = Kit

I

=

i ( )

Kt

Esempio

Dati: M = 110; K = 95; I = 15; t = 1 anno, 3 mesi e 25 giorni; i = ?

Si vuole conoscere il tasso annuo che consente, a un investimento iniziale di 95, di avere un montante

di 110 d