Matematica Finanziaria - Riassunti ed Esercizi

Intensità di interesse

tasso / Δ tempo

Intensità istantanea di interesse

interesse = lim (tasso / Δ tempo)

M = S₀e^it; 104,5 = 97,8 * e^365/365

104,5 = 97,8 * 0,065

δ = log (1 + i)

M + S₁ – I = N – S

tasso di interesse = J = I / S_M

tasso di sconto = d = h = I / SM

intensità di sconto = m

tasso sconto / Δt

Coppie di vettori ed è un'operazione in cui v_i è sempre il cambio segno negli importi che in ogni uguale compo si chiamar v shape e così si sconta o chiamar si sconto da v shape.

Postulato di impazienza

Se t < t₁ → S < M

M / S = S / S + I / S → J(t₀, t₁)

M / M = S / M + I / M

^{(S / M)} - ^{I / M} = m(t₀, t₁)

spostare montante

Fluire ai sconto

V(t₀, t₁) = >

Titoli di credito

Titoli e cedola nulla (BOT – TCZ) = scadenze a breve termine (3-6-12) (2_i)

t₀ → t₁

• P
• P + zzzzz per l’acquisto del titolo
• Valore a rimborso
• Valore nominale

TCF

lungo scadenza = BTP cedole semestrale

• P I I C + I
• Cedole a sconti in modo costante

Tasso Cedolare = i_C = TAN / N^° cedole

(10 cose)

I = C.j_C = C(1 + j)

I = C^{(1+j)^-t}

TTV

Cedole Variabile al tempo peso convergiamo I₁ / I₂

e così via

t + Δt

0 W(t)

W(t, Δt)

→ I = W(t, Δt) - W(t)

J = W(t, Δt) - W(t) / W(t)

W(t) = funzione valore - legge di equivalenza finanziaria degli interessi semplici

M = S(1 + i . t)

Legge Lineare

I = S . i . t

Interesse Costante

W(t, i) = S(1 + i . t)

e^{o . t} = fattore montante

1/e^{o . t} = fattore di sconto = 1/(1+i)^t

e^o = (1+i)

Legge Esponenziale = legge degli interessi composti

M = S(1 + i)ⁿ

i > i₀ ⇒10.000 = 10.000 (1+i)³

10.600 / 10.000 = (1+i)^1/3

= [10.600 / 10.000]^1/3 = 1,04 - 1 = i

Legge degli interessi semplici (lineare)

M = S(1+ i . t) (i₂)

10.600 = 10.000 (1 + i . 6) = 10.600 / 10.000 = 1

10000^1/6 = i₂

Tassi Equivalenti (tassi che nello stesso tempo producono gli stessi interessi)

Legge Lineare

i₂ = 9 . i₉ ⇒ i₉ = i / 9

Legge Esponenziale

i = (1+i_i)^1/i - 1, i_i = (1+i)¹ - 1

δ_i = δ / i

Valore Complessivo = Valutazione di tutti gli importi al tempo finale

ES: 1 = 350, 3MVI: 4 + 1/2 → legge esponenziale

600 sem.: i₂ = 5,8%

1 semestre

VC = 350 (1 + 0,058)⁴ + 600 (1 + 0,058)^1/2 + x

x = 350 . 1,058⁴ . 600 (1,058)^1/2

Legge Lineare

= Interesse Costante

Legge Esponenziale

= Intensità di Interesse Costante (tasso di interesse costante)

Se t > 1 Montante Esponenziale (ME) > Montante Lineare (ML)

Se 0 < t < 1 ME < ML

In un mercato perfetto non ci sono possibilità di arbitraggio.

Gli arbitraggi portano in equilibrio il mercato.

Arbitraggio = operazione finanziaria che si manifesta per pochissimo tempo.

Struttura dei tassi non più piatta (solo) ma "complessa", quindi abbiamo il tasso per ogni scadenza.

Se t2 > t1 → i(0;t2) > i(0;t1)

Teorema di Decrescente rispetto alla Scadenza.

Sia t2 < t1, se siamo in un Mercato Perfetto

V(0;t1) > V(0;t2)

Portafoglio = combinazione lineare di titoli

nulla investita nel titolo T1

Teorema di Linearità del Prezzo (1)

Mercato Perfetto = Prezzo di una combinazione lineare e la combinazione lineare dei prezzi

T. 2 P (2)

P_T1 = V(0;S1) ⋅ X1 (teorema di indifferenza)

P_T2 = V(0;S2) ⋅ X2

→ P = ∑_h=1^m V(0;Sh) ⋅ Xh

Struttura tassi a termine

[i_t(0,1;2)]

Trovare V:

• V(0;1;2) = ^V(0;2)⁄_V(0;1)
• V(0;1;2) = (1+i(0;1;2))^t

Trovare i → [V(.;1)]^−t₋₁

S = 800.000

R₃ = R_L = 800.000 - 200.000 (1,09)^-1

Portafoglio = D = 71 V = 120 milioni

DR = 1 + 0,004983562 0,004983562

0,01 - (1 + 0,004983762)^-20 0,004983562

CF TAN 1,91: ic k_ta = 9,95

I = 0,95^1/1000,95_t

0   0,5   1   1,5 = 18 mesi

↓

97   0,95   0,95   95 + 100

V(0;0,5)?

V(0;0,5) = ⁹⁹/₁₀₀ = 0,99

V(0;1) = ^97,5/₁₀₀ = 0,975

V(0;1,5) = ⁹⁷/₁₀₀ = 0,942379

i(0;0,5) = 0,99^-1 -1 = 0,02030 = 2,030 %

i(0;1) = 0,975^-1 -1 = 0,02564 = 2,564 %

i(0;1,5) = 0,942379^-1 -1 = 0,06138 = 6,138 %

i(0;0,5) = 2,030 %

V(0,5;1) = ^0,975/_0,99 = 0,984848

i(0,5;1) = 0,984848^-1 -1 = 3,1007 %

i(0;1,5) = 0,968654^-1 -1 = 7,04235 %

Potenze

t = 1

100^t

P_t=1 = R [1 + 0,96654 ] = 196,65

Esame 2017/11/19

S = 400000

I = 70000

ni composto

(t = 3,1)

t = ?

tire= 2 li semplice

M = S (1+i)^t

470000 = 400000 (1+0,031)

470000 / 400000 = (1+0,031)^t

lg (470000 / 400000) = t lg (1,031)

t = 5,2824

Scelta migliore perché impiega meno tempo e rimborsa

(*) t = 3,1, 1

(ni= è più composto)

t = (470000 / 400000) - 1 / 0,031 = t = 5,64516

(* 470000 / 400000 = 1,5164516)

T¹⁶ = (1+0,175)

(* = (1+S)^1/t)

0,008997

-99 α 2,2 α 102,2

0 1 2 3 4

(*?) con α = 0

W(t = 1,5) → M e V

V₁ = (1+i)^-2

-99 + 2,2 (1+i)² + 102,2 (1+i)^-4

-99 + 2,2 V + 102,2 V²

102,2V² + 2,2V - 99 = 0

V₂ = -2,2 ± √(2,2² - 4⋅102,2⋅99) / 2 (102,2)

0,9735∧15 = (1+i)^-2

(0,9735∧15)^-1/2 = i → 0,01351148

1,3511689

W (t = 1,5) = 0

M = -99 (1+0,01351148)^1,5

V = 1,01,0132

= -101,0132

a = ? → -99 (1,01351148)^1,5 + e (1,01351148)^0,5

101,0132 = 0,993047

(1,01351148)^3,5

Esame 20170216

S = 100000

i = 0,02

• 1) Prestito-rattuito
• 2 e 3)
• 4) 100000

m | R_hk | C_k | I_kh | D_hk

0 | 0 | 0 | 0 | 100000

1 | 2200 | 0 | 2200 | 110000

2 | 51802,02 | 19602,02 | 2200 | 60397,98

3 | 51802,02 | 50594,98 | 707,96 | 9803,92

4 | | 100000 | 9803,92 | 196,08 | 0

TCF | trimestre

c = 100

t = 5 anni

i_c = i*

^(1+0,05)⁄_2/12 - 1 = 0,0122722

M = 100 ⁄ (1 + 0,05)² = -100,81648

V = 100,81648

I = 1

i* = ⁄₄

^(1,01)⁄₄ - 1 = 0,010604

= 1,06

He colgione il concluente in quanto cost si evra un TIR piu basso

PIV c = 100 ⁺₂

Prox cedra fra l'anno = 2

t = 10

p = 100

i(0;1) = ?

i(0;1) = ?

i(0;2) = ?

i(0;3) = ?

i(0;3) = ?

i(0;2) = ?

0 | 1

-100 | 2

-94,9 | 100

-91,8 | 100

0,98099

i(0;0) = ? 0,98099 = [⁄(1+i(0;1))]

0,98039 = [⁄(1 + i(0;1))] -1 = 0,02000

= 2,000

V(0;2) = ⁄^9,49⁄₁₀₀0,949

V(0;3) = ⁄^9,18⁄₁₀₀0,918

V(0;1;2) = 0,9499 = 0,946798 ➜ i(0;1,2) = 0,96798 -1 = 3,30791

0,980547

0,963 ➜ i(0;1;2) = 0,96733 ➜ i(0;1;3) = 0,996 ➜ i(0;1;2) = 0,96 -1 = 3,37697