Matematica finanziaria - Appunti

LEASING

Quando un’azienda necessita di un bene strumentale, lo acquista o lo prende in leasing.

…

+ + +

+

: valore di mercato del bene

: durata del contratto

: tasso di interesse

: canone di leasing

: maxicanone iniziale

: capacità di riscatto a scadenza ()

Il contratto di leasing può prevedere un maxicanone iniziale da pagare in , e/o una facoltà di riscatto

0

dipende dall’usura del bene ed

0 < < 1.

da pagare in . Inoltre,

+

Nel caso in cui:

1. Maxicanone

2. costante

3. Facoltà di riscatto −1 −2 − −

− = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + ) + (1 + )

⏟

− −1 −

− (1 + ) = + (1 + ) + ⋯ + (1 + )

−

(1

1 − + )

− ]

[1 − (1 + ) = + −

(1

1 − + )

− ]

[1 − (1 + ) = [ + ]

Segue che: − ]

[1 − (1 + )

= −

(1

1 − + )

+

Nel caso in cui:

1. Maxicanone

2. costante

3. NO facoltà di riscatto

= −

(1

1 − + )

+

Nel caso in cui:

1. NO maxicanone

2. costante

3. Facoltà di riscatto − ]

[1 − (1 + )

= −

(1

1 − + )

11

Nel caso in cui:

1. NO maxicanone

2. costante

3. NO facoltà di riscatto

= −

(1

1 − + )

Nel caso in cui:

1. Maxicanone

2. NO costante

3. Facoltà di riscatto − ]

[1 − (1 + )

= −1 −

(1 (1

+ … + ) + ⋯ + … + )

Nel caso in cui:

1. Maxicanone

2. NO costante

3. NO facoltà di riscatto

= −1 −

(1 (1

+ … + ) + ⋯ + … + )

Nel caso in cui:

1. NO maxicanone

2. NO costante

3. Facoltà di riscatto − ]

[1 − (1 + )

= −1 −

(1 (1

… + ) + ⋯ + … + )

Nel caso in cui:

1. NO maxicanone

2. NO costante

3. NO facoltà di riscatto

= −1 −

(1 (1

… + ) + ⋯ + … + )

12

OPZIONE FINANZIARIA - titolo che conferisce il DIRITTO di:

- acquistare (call) o

- vendere (put) un bene ad un prezzo prestabilito entro (o in corrispondenza di) una prefissata

scadenza temporale. : data di stipula

- SOLO ad una determinata scadenza (opzione europea) esercitabile in + : data di scadenza

- ENTRO una determinata scadenza (opzione americana) esercitabile tra e +

+

il contratto d’opzione può essere di varia natura: titolo azionario, valuta estera, materia

Il bene sottostante

prima ecc…

Il bene deve però essere scambiato in un mercato ufficiale e le quotazioni devono essere accessibili al

pubblico. in quanto il loro valore dipende (deriva) dall’andamento delle

Le opzioni fanno parte dei titoli derivati,

quotazioni del bene sottostante.

L’opzione conferisce al suo possessore il diritto ma non l’obbligo

- - di acquistare o vendere il bene

sottostante. Il possessore dell’opzione decide se esercitare o meno il suo diritto.

I soggetti del contratto d’opzione sono holder e writer.

L’holder acquista l’opzione finanziaria dal writer, pagando un prezzo chiamato premio.

L’holder (acquistando l’opzione e pagando il premio) acquisisce il diritto ad acquistare o vendere il bene

sottostante dal writer.

vendendo l’opzione all’holder incassa il premio ed assume l’obbligo di sottostare

Il writer alle decisioni

dell’holder.

• Se l’holder acquista un’opzione l’holder

call dal writer, stesso ha il diritto di acquistare il bene

sottostante (al prezzo prestabilito) dal writer che è obbligato a venderlo.

• Se l’holder acquista un’opzione l’holder

put dal writer, stesso ha il diritto di vendere il bene

sottostante (al prezzo prestabilito) al writer che è obbligato ad acquistarlo.

L’holder il diritto ad esercitare l’opzione.

ha comprato dal writer

ha venduto all’holder il diritto ad esercitare l’opzione.

Il writer

l’holder è il costo dell’opzione) che è incassato dal

In sostiene un costo (il premio writer.

Il prezzo prestabilito, indicato nel contratto, al quale l’holder acquista o vende il bene sottostante si chiama

prezzo d’esercizio o striking price.

OPZIONE CALL

Componenti:

prezzo d’esercizio (striking price);

:

[, ]

: intervallo temporale dove 0 è il momento della stipula del contratto e la scadenza;

;

: un generico istante compreso tra 0 e

prezzo di mercato del bene sottostante all’epoca

;

:

premio pagato dall’holder per l’acquisto dell’opzione.

: al writer

Funzionamento di un’opzione call:

• l’holder acquista l’opzione dal

= 0

in writer pagando il premio;

• all’epoca l’holder

, 0 < < ,

con può decidere di:

tenere per sé l’opzione

-

- rivenderla sul mercato ad un altro operatore

esercitare l’opzione (solo nel caso di opzione americana);

-

• l’holder può esercitare l’opzione oppure non esercitarla e lasciare

=

alla scadenza del contratto,

che scada. 13

,

Alla scadenza del contratto, cioè in il prezzo del bene sul mercato (indicato con ) può essere:

• in questo caso l’holder l’opzione.

≤ , abbandona

Risulta più conveniente acquistare il bene sul mercato in quanto il prezzo di mercato è inferiore al

L’holder non esercitando l’opzione ci ha rimesso il premio pagato ().

prezzo di esercizio.

Esempio:

= 80 (prezzo di mercato)

= 90

=5

Per l’holder NON risulta conveniente esercitare l’opzione. L’holder non esercita l’opzione e subisce

di 5 pari al costo dell’opzione ().

una perdita non si considera il costo dell’opzione;

GL (guadagno lordo) = 0 si considera anche il costo dell’opzione.

−5

GN (guadagno netto) =

• in questo caso l’holder ha convenienza ad esercitare l’opzione.

> ,

pertanto, l’acquisto sul mercato sarebbe

Il prezzo di mercato è maggiore del prezzo di esercizio,

l’opzione l’holder −

più oneroso. Esercitando ha realizza un guadagno lordo pari a (la differenza

tra prezzo di mercato al quale avrebbe dovuto pagare il bene sul mercato e il prezzo di esercizio

effettivamente sostenuto).

Esempio:

= 100 (prezzo di mercato)

= 75

=5

Per l’holder risulta conveniente esercitare l’opzione. L’holder esercitando l’opzione realizza un:

= − = 100 − 75 = 25

GL (guadagno lordo)

= − − = 100 − 75 − 5 = 20

GN (guadagno netto) (payoff) dell’holder

La funzione di guadagno netto si può rappresentare nel modo seguente:

− ≤

= {

( ) − − >

l’holder

≤ −.

Se NON esercita e la sua perdita è pari a

l’holder

> − − .

Se esercita e il suo guadagno netto è pari a

che la perdita dell’holder

Appare evidente non può

Holder

andare oltre il livello mentre il suo guadagno può

essere potenzialmente illimitato.

Più aumenta il prezzo di mercato, maggiore è il

guadagno dell’holder.

+ Se:

• l’holder

≤ NON esercita e subisce la perdita

−;

pari a

− • l’holder esercita l’opzione ma il

(

< < + )

miglior prezzo d’acquisto del bene non compensa

sostenuto per acquistare l’opzione;

il costo

• allora il guadagno dell’holder

(

> + ) è

− − > 0.

positivo. Infatti,

14

Esempio:

= 90

=5

L’holder (

> + ), > 95.

ha un guadagno netto se se

ha lo stesso andamento di quella dell’holder

La funzione guadagno (payoff) del writer ma con segno

opposto.

La perdita dell’holder e il guadagno dell’holder

è pari al guadagno del writer, è pari alla perdita del writer.

Le due posizioni sono speculari, se uno ci perde, l’altro ci guadagna. perdita massima dell’holder

, .

Il guadagno massimo del writer è quindi pari a allo stesso modo la è

La perdita massima del writer è, invece, potenzialmente illimitata (così come è potenzialmente illimitato il

guadagno dell’holder).

Più aumenta il prezzo di mercato, maggiore è la Writer

perdita del writer, in quanto il writer avrebbe potuto

vendere il bene sottostante direttamente sul mercato al

prezzo di mercato; invece, è contrattualmente obbligato

a vendere l’opzione all’holder al prezzo di esercizio.

La perdita del writer va intesa nel senso di mancata

opportunità di guadagno sul mercato.

Il guadagno dell’holder va inteso come risparmio di

spesa che avrebbe dovuto sostenere acquistando il bene +

direttamente sul mercato.

La funzione guadagno netto del writer si può rappresentare nel modo seguente:

≤

= {

( ) −( − − ) >

dell’holder

Possiamo quindi rappresentare