Formulario Matematica finanziaria

5) REGIME AD INTERESSI ANTICIPATI

1 1

→

- Fattore di capitalizzazione: f(t) = f(t) e definita per t ∈ [0;T); con T =

(1− d∗t)

- Fattore di sconto: g(t) = 1- d*t

- I = D = Ct * d * t

- Ct = (1−∗)

- Co = Ct * (1 – d*t)

Attualizzazione Fattore di Sc Capitalizzazione Fattore di M

1

Semplice Sc. razionale (1+i * t) I. semplici

(1 + ∗ )

Composta (1+i) Sc. composto (1+i) I. composti

-t t

1

Anticipata (1 – d * t) Sc. commerciale I. anticipati

(1 − d ∗ t)

()

Tasso unitario Tasso non unitario

i = i(t) =

1− 1−()

Tasso unitario ()

Tasso non unitario

d = d(t) =

1+ 1+()

6) TASSO ANNUO NOMINALE CONVERTIBILE K VOLTE ALL’ANNO

Definizione : tasso effettivo che permette di trovare i K

i = J /K

K K

N.B: Da J si può ottenere solo i . Se serve un tasso semestrale (i ) bisogna prima

k k 2

calcolare il tasso effettivo semestrale e successivamente fare l’equivalenza tra tassi

→(1+i

(tramite la formula della capitalizzazione composta ) = (1+i ) ).

K Q

k q

- Tasso Annuo Nominale e Tasso Annuo Effettivo Globale (oppure ISC)

7) TASSI EQUIVALENTI

Definizione : due tassi si dicono equivalenti se a parità di altre condizioni (durata e

capitale investito) portano allo stesso montante.

- Per diversi regimi di capitalizzazione:

C (1 +i * t) = C (1+i ) dove i ≤ i

t

s c c s

(1+) −1

Indice cap. semplice: i =

s

Indice cap. composta: i = + ∗ ) - 1

√(1

c

- Per diversa scala temporale:

• regime ad interessi semplici

→

C (1+i *K) = C (1+i *Q) i * K = i * Q

k q k q

• regime ad interessi composti

→

C (1+i ) = C (1+i ) (1+i ) = (1+i )

K Q K Q

k q k q

iq = √(1 + ) - 1

8) INTENSITÀ ISTANTANEA DI INTERESSE

′() →

- In capitalizzazione semplice: = l’intensità è decrescente.

() (1+i∗t)

′() →

- In capitalizzazione composta: = ln (1 + i) l’intensità è costante.

()

′() →

- In capitalizzazione I. anticipati: = l’intensità è crescente.

() (1−d∗t)

Proprietà di scindibilità: una legge finanziaria si dice scindibile se il M del Co impiegato

da 0 a t non varia se viene impiegato al tempo 0 e t ed immediatamente reimpiegato

2 1

da t a t , alle stesse condizioni. Una legge finanziaria è scindibile solo se l’intensità

1 2

istantanea di interesse è COSTANTE.

FORMULARIO MATEMATICA FINANZIARIA:

OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE

1) RENDITE

Attualizzazione = R (1+i) +R (1+i) + R (1+i)

-1 -2 -n

1 2 n −

1−(1+)

- V.A. di una rendita posticipata: R * a ¬ = R * [ ]

−

1−(1+)

- V.A. di una rendita anticipata: R * ̈ ¬ = R(1+i)* [ ]

Capitalizzazione = R +R (1+i)+R (1+i) (n-1)

1 2 n

(1+) −1

- M. di una rendita posticipata: R * ¬ = R* [ ]

→

(1+i) ragione (V)

−1

→ →

Se V>1 , Se V<1 (1+i)

-1

−1

(1+) −1

- M. di una rendita anticipata: R * ̈ ¬ = R(1+i)* [ ]

Posticipata Anticipata

− −

1−(1+) 1−(1+)

Valore attuale R [ ] R(1+i)[ ]

(1+) (1+)

−1 −1

Montante R [ ] R(1+i)[ ]

¬ = a ¬ * (1+i) n

2) RENDITA DIFFERITA DI P PERIODI −

1−(1+)

- V.A. di una rendita posticipata: R*[ ] * (1+i) –(p-1)

−

1−(1+)

- V.A. di una rendita anticipata: R(1+i)*[ ] * (1+i)

-p

3) RENDITA PERPETUA

- V.A. di una rendita posticipata:

(1+)

- V.A. di una rendita anticipata:

4) FORMULE INVERSE

Conoscendo il V.A. ed il tasso di interesse, la R. si calcola:

1

(alfa)

- R posticipata: V.A. * ∝ ¬ = = . ∗ −

¬ 1−(1+)

1

∝̈

- R anticipata: V.A. * n¬ (alfa anticipato) = = V.A. * (1 + ) =

−

̈

¬ 1−(1+) (1+)

Conoscendo M ed il tasso di interesse, la R si calcola:

1

- R posticipata: M * 6¬ (sigma) = = M *

(1+)

¬ −1

1

6̈¬

- R anticipata: M * (sigma anticipato) = = M * (1+i)

(1+)

̈ ¬ −1

Metodo della bisezione = per calcolare i

Fasi:

+

1. 2 + +

2. Se g( ) > 0 allora i = ;

B

2 2

+ +

Se g( ) < 0 allora i = ;

A

2 2

3. Si continua a stringere l’intervallo intorno ad i.

4. Stato ricerca obbiettivo con Excell

5) FONDO DI COSTITUZIONE

Ft = Montante delle rate versate fino all’epoca t.

- Se t = k: F = R * s k¬

K

- Se t = k + f :

• convenzione lineare : Ft = R * s k¬ * (1+i*f) C.L. > C.E.

• convenzione esponenziale : Ft = R * s k¬ * (1+i) f

FORMULARIO MATEMATICA FINANZIARIA:

AMMORTAMENTI

1) AMMORTAMENTO ITALIANO =1

∑

- Condizione di chiusura elementare: =

→

- La quota capitale (C ) è costante Debito/n. di anni = 100.000/4= 25.000

i

- Quota interessi: tasso di interesse * debito residuo (sempre)

- Rata: Quota interessi + quota capitale

- Debito residuo: debito residuo k-1 – quota capitale

- Debito estinto: debito estinto k-1 + quota capitale

K (tempo) Quota Quota Rata (R ) Debito Debito

i

interessi (I ) capitale (C ) residuo (D) estinto (E)

i i

0 / / / 100.000 0

1 12.000 25.000 37.000 75.000 25.000

2 9.000 25.000 34.000 50.000 50.000

3 6.000 25.000 31.000 25.000 75.000

4 3.000 25.000 28.000 0 100.000

PROPRIETA’: La rata e la quota interessi decrescono in progressione aritmetica di

ragione – iC.

2) AMMORTAMENTO FRANCESE

=1

∑

- Condizione di chiusura finanziaria: =

(1+)

→

- La rata (R) è costante S * ∝ ¬

- Quota interessi: tasso di interesse * debito residuo (sempre)

- Quota capitale: Rata – Quota interesse

- Debito residuo: debito residuo k-1 – quota capitale

- Debito estinto: debito estinto k-1 + quota capitale

K (tempo) Quota Quota Rata (R ) Debito Debito

i

interessi (I ) capitale (C ) residuo (D) estinto (E)

i i

0 / / / 100.000,00 0

1 12.000,00 20.923,44 32.923,44 79.076,00 20.923,44

2 9.489,19 23.434,26 32.923,44 55.642,30 44.357,70

3 6.677,08 26.246,37 32.923,44 29.395,93 70.604,07

4 3.527,51 29.353,93 32.923,44 0 100.000,00

→

PROPRIETA’: La quota capitale cresce in proporzione geometrica di ragione (1+i)

C = C (1+i) e dunque C = C (1+i).

k-1

k 1 k+1 k

3) AMMORTAMENTO AMERICANO – a due tassi

- La quota interessi è periodica e costante

- Il capitale totale da versare (S) viene restituito globalmente alla scadenza

- Ci sono due tassi:

• i= tasso di remunerazione del prestito, usato per calcolare I (es: 12%);

i

• i’= tasso di accumulazione, su un fondo a parte, per avere i soldi necessari alla

scadenza, S’ (es: 10%).

- Il versamento sul fondo è costante e si calcola: Q = S * 6¬’

- Esborso totale: quota interessi (I ) + versamenti sul fondo (Q)

i

- Ammontare disponibile sul fondo (F ): Q *s ¬’

k

K Quota Debito Debito Versamento Esborso Ammontare

interessi residuo estinto sul fondo (Q) totale fondo (F)

0 / 100.000 0 / / /

1 12.000 100.000 0 21.547 33.547 21.547,00

2 12.000 100.000 0 21.547 33.547 54.248,87

3 12.000 100.000 0 21.547 33.547 71.320,84

4 12.000 0 100.000 21.547 33.547 100.000,00

PROPRIETA’: se i = i’

Nell’ ammortamento americano I = S * i e Q = S * 6 ¬

→

Q + I = S * 6 ¬ + S * i = S(6 ¬ + i) = S * ∝ ¬ Rata nell’ammortamento francese

6 ¬ + i = = ∝ ¬

−

1−(1+)

USUFRUTTO VS NUDA PROPRIETA’

Usufrutto (U): V.A. delle quote di interesse ancora da pagare

Nuda proprietà (P): V.A. delle quote capitale ancora da pagare

Debito residuo (D): Usufrutto + nuda proprietà

Esempio dell’ammortamento francese, calcolare U e P all’epoca 2:

6.677,08 3.527,51

U = V.A. epoca 3 + V.A. epoca 4 = + = 5.961,68 + 2.812,11= 8.773,79

2 2

(1+12%)

(1+12%)

26.246,37 29.395,93

P = V.A. epoca 3 + V.A. epoca 4 = + = 23434,26+23434,26=46.868,52

2 2

(1+12%)

(1+12%)

32.923,44 32.923,44

D = + = + = 55.642,31

2 2 2

(1+12%) (1+12%) (1+12%)

(1+12%)