Matematica finanziaria - Appunti ed esercizi

T

→ P < VN se t<T

t

→ τ =T−t (vita residua)

NOTA: → scadenza: quando si rimborsa il valore facciale, è fissa; → vita residua: misura

quanto manca alla scadenza, diminuisce col passare del tempo

Proprietà

Rendimento da compravendita

Al tempo s ≥ 0 acquisto uno ZCB sul mercato (primario) e intendo rivenderlo in t > s:

Flussi: −P in s e P in t che ha il rendimento composto

s t

Rendimento semplice da compravendita

Esempio

Dopo 3 mesi dall’emissione acquisto al prezzo 975 uno ZCB di valore nominale 1000 e

scadenza 1 anno. Dopo altri 3 mesi dall’acquisto rivendiamo lo ZCB al prezzo 983.

Calcola il rendimento da compravendita.

Pongo: s=0.25, t=0.5, Ps=975, Pt=983, VN=1000, T=1:

Sensibilità degli ZCB

Obbligazioni con Cedola fissa

Caratterizzata da:

→ data di emissione (t=0)

→ prezzo di emissione P pagato oggi dal sottoscrittore all’emittente

0

→ scadenza T>0

→ valore facciale VN ≠ P che al tempo T viene rimborsato dall’emittente al portatore

0

→ cedola C di importo fisso che viene pagata ad intervalli regolari di tempo; al tempo T si

paga l’ultima cedola assieme al valore facciale

→ Scarto di emissione: VN−P

0

P < VN → CB emesso sotto la pari,

0

VN − P > 0 premio (disaggio) di emissione

0

P = VN → CB emesso alla pari,

0

P > VN → CB emesso sopra la pari,

0

−(VN − P ) > 0 saggio di emissione

0

valore facciale VN multiplo di ammontare minimo,

cedole versate (e.g.) ogni 6 mesi se T è la scadenza all’emissione in unità di misura

⇒

anni, il titolo paga complessivamente N=2 T cedole

Titoli di Stato CB

BTP: obbligazioni a cedola fissa con scadenze 3, 5, 10, 15, 30 anni

valore facciale multiplo di 1000 euro

negoziati al Mercato Telematico delle Obbligazioni e dei Titoli di Stato gestito da Borsa

Italiana

convenzione tempi Act/Act

numerosità di scadenze assai ampio BTP in vita rappresentano circa il 70% di tutti i Titoli

⇒

di Stato in un periodo fissato

Esempio I)

Rappresentare l’operazione finanziaria (da parte dell’acquirente): BTP di maturità 3 anni,

appena emesso alla pari, di valore facciale 105 Euro e tasso cedolare 4%

Esempio II)

Rappresentare l’operazione finanziaria (da parte dell’acquirente): BTP di maturità 5 anni,

appena emesso sotto la pari, con premio di emissione 2000 Euro, valore facciale 105 Euro

e tasso cedolare 6%

Rendimenti: i Titoli con cedole

Vi sono diverse modalità di definizione e di calcolo dei tassi di rendimento di

un’obbligazione che stacca cedole:

→ Tasso di interesse semplice o composto;

→ Tasso di rendimento immediato (valutazione ex-ante).

→ Tasso di rendimento effettivo a scadenza o TRES (valutazione ex-post);

Problema: A che tasso di rendimento si riesce a reinvestire le cedole incassate durante la

vita del coupon bond

Tasso di rendimento effettivo a scadenza o TRES

TRES di uno ZCB

Si calcola il tasso implicito dell’operazione.

Nota: Il problema principale è il tasso di rendimento a cui riesco a reinvestire le cedole

incassate durante la vita del coupon bond.

Valutazione Ex-Post

Consideriamo un’obbligazione che stacca cedole. Essa viene comprata in t ad un prezzo

0

che indichiamo con P(t ;T), essa viene venduta al tempo t ad un prezzo che sommato al

0

valore delle cedole staccate nel periodo di detenzione del titolo, con l’aggiunta del

rendimento generato dalle cedole se reinvestite, è uguale a V . Allora il Tasso Ex Poste

fin

dato da:

Ex Post Esempio

BTP comprato a 900 euro e venduto dopo un anno e 5 mesi a 980 euro, tasso (annuo)

cedolare 6%, nominale VN=1000, cedola semestrale posticipata. Le cedole sono

accreditate in un fondo comune di investimento che rende un tasso annuo di reinvestimento

(capitalizzazione continua) del 3% per il primo anno e del 5%per il periodo successivo

Rateo di interesse

scambio i CB in un mercato secondario dopo l’emissione:

quotazione Pt, il flusso di cedole implica che:

Rateo di interesse: Esempio

CB paga cedole semestrali : importo C=40 al 15 gennaio e 15 luglio di ogni anno, fino alla

scadenza. Calcoliamo il rateo di interesse al 23/4/2015: l’ultima cedola staccata il 15/1/2015

e la successiva 15/7/2015: calcolo nella convenzione Act/Act

Prezzo secco e prezzo tel-quel

Esempio:

Una obbligazione paga cedole semestrali al 1/3 e 1/9 di ogni anno, con valore nominale

1000 Euro, tasso cedolare 5%annuo. Il prezzo secco è 970 Euro al 27/4/2015. Calcola

rateo di interesse e prezzo tel-quel con la convenzione Act/Act

Analisi Ex-Ante, TIR e TRTP

→ Quando termina l’investimento?

→ A che prezzo riuscirò a vendere il titolo?

→ Che tassi potrei guadagnare sui flussi intermedi ?

Esempio:

Un’obbligazione paga cedole annuali, con valore nominale 100 Euro, tasso cedolare 5%

annuo. Il prezzo d'acquisto è 110 Euro a tre anni dalla scadenza. Calcola rateo d’interesse

e prezzo tel-quel con la convenzione Act/Act

Tassazione, TRI lordo e TRI netto

Le cedole vengono pagate al netto delle imposte.In Italia la tassazione sui titoli di stato è al

12,5% ma è al 26% sui corporate bonds chiamiamo la proporzione α

Esercizio:

Consideriamo un BTP con scadenza 1/03/2024 ; tasso cedolare 4% ; cedole semestrali;

valore nominale 100 euro; prezzo secco in data 4/04/2022 pari a 99 euro. La tassazione è

quella convenzionale dei titoli di stato Convenzione ACTUAL/ACTUAL

Tasso Interno di Rendimento (TIR)

Definizione: Dati f ,f , . . . ,f i flussi di cassa futuri generati da un titolo obbligazionario ai

1 2 n

tempi t , t , . . . ,t e sia P(t,T) il suo costo di acquisto oggi, il TIR è il tasso y che rende la

1 2 n

somma dei valori attuali (calcolati secondo il regime continuo) dei flussi di cassa futuri

generati dal titolo esattamente uguale al valore di mercato P(t,T) del titolo, i.e

Flussi: i flussi di cassa sono: cedole ; vendita del titolo ; reinvestimenti ; etc.

Operazione finanziaria: il TIR tiene in conto tutta l’operazione

ZCB: nel caso degli zero coupons, il conto del TIR è più facile.

forma implicita il TIR è ottenuto in maniera implicita cioè il tasso che verifica l'equazione.

soluzione numerica il TIR richiede regolarmente di risolvere un metodo numerico

TIR di un titolo obbligazionario

Relazione TIR/Ex-Post

Nel caso in cui si reinvestano tutte le cedole e quindi ci si riduca ad un solo flusso finale.

Allora il TIR coincide con la valutazione Ex-Post

Proprietà del TIR

Richiami di Matematica Generale:

Unicità: la funzione F(q) è crescente in q e per q=0 è negativa.

Se la soluzione esiste allora è unica.

Esistenza: la funzione F(q) va a ∞ quando q va a ∞ quindi per continuità la soluzione esiste.

Attenzione: Questo funziona perché tutti i flussi sono positivi escluso il pagamento iniziale.

Senno l'unicità del TIR non è garantita

Metodi di calcolo del TIR : Bisezione

Metodi di calcolo del TIR : Newton

Esempi: Newton: detto anche metodo delle tangenti

Algoritmo di Newton

Formula di Achard-Makeham

Confronti

Osservazione: Le leggi finanziarie standard che abbiamo visto prevedono tassi di interesse

costanti. Tuttavia, nella pratica le condizioni di un prestito, di un investimento sono

determinate dal mercato

Tassi di mercato

Acquistiamo BOT: è naturale che BOT con scadenze diverse garantiscano tassi d’interesse

diversi : la funzione (T sia la maturità)

T→m(T)

vari non solo col tempo, ma anche in maniera aleatoria, ossia in conseguenza dei

movimenti del mercato.

Necessario studiare leggi finanziarie più generali che descrivano l’interazione con il

mercato.

Lo studio avviene in termini di tassi di interesse, quantità più facilmente confrontabili rispetto

ad un confronto tra flussi o titoli

Fissiamo il regime di interesse semplice e il regime continuo:

Generalizzazione:

Tassi spot variano con la maturità

Tassi forward per le operazioni a termine

→ Esempio:L’impresa compra un aereo ma lo finanzierà con un ammortamento quando

l’aereo sarà costruito quindi non ora.

Tassi (spot e forward) variano col tempo

Struttura per scadenza dei tassi

Nota : prima era i costante per qualsiasi scadenza T: m(T) =1+iT

Struttura per scadenza dei tassi semplici spot → T→i(T)

Tassi Euribor (EURo Inter Bank Offered Rate)

Mercato dei prestiti interbancari: mercato dei prestiti a breve scadenza attraverso cui istituti

bancari scambiano la loro liquidità introdotti nel 1999

EURIBOR → giornalmente determinati mediante calcolo del tasso medio a cui avvengono

prestiti su varie scadenze tra importanti istituti di credito in Europa

European Banking Federation, determina le banche di riferimento - circa 50

agenzia Thomson-Reuters, effettua le operazioni di calcolo e la comunicazione dei tassi

→ 15 scadenze diverse : 1,2,3, settimane e tutti i 12 mesi

→ i tassi Euribor sono tassi semplici (scadenze brevi)

→ importi arbitrari (mercati liquidi)

→ convenzione Act/360

Tassi Libor (London Inter Bank Offered Rate) → analoga per Dollari e Sterline (e altre

divise)

British Bankers Association, determina le banche di riferimento su piazza Londra - circa 50

Tassi Euribor - Libor

Sono i tassi di interesse sottostanti la maggioranza dei prodotti derivati su tasso, come

futures, swaps, opzioni

Sono i tassi a cui vengono indicizzati i mutui a tasso variabile (in generale)

Sono entrambi influenzati largamente dai tassi base fissati dalla banca Centrale

Tassi Banca Centrale

tassi base fissati da BCE (aria Euro):

→ tasso REFI (Refinancing Operations Rate) : tasso a cui la BCE presta denaro alle

banche dell’area Euro su brevi scadenze (il tasso, costo base del denaro)

→ tasso marginale (Marginal Lending Facility Rate): tasso a cui la BCE concede prestiti

overnight (maggiore di REFI)

→ tasso di deposito (Deposit Facility Rate): usato per i depositi (in genere overnight) presso

BCE (minore di REFI)

Tassi forward

Contratti di prestito a termine o forward per motivi di copertura o speculativi:

oggi stabilisco le condizioni ma il primo scambio di denaro avviene ad una data futura:

→ t=0 data odierna

→ scadenza S>0 in cui il debitore riceve la somma C

→ scadenza T>S in cui il debitore restituisce il montante M>C

m(S,T) = montante alla scadenza T pattuito oggi per ogni euro investito in S

Se S=0 il contratto diventa spot e M(0,T) = m(T)

Esempio:

Tassi forward impliciti nei tassi spot

Arbitraggio: Si chiama op