Lezioni, Matematica finanziaria

Lezione 1

Investimento e disponibilità futura

Quanto si è disposti oggi ad investire (pagare) per ottenere una disponibilità futura?

t₀ — rinuncio alla somma di denaro C
t — incasso il montante
M > C altrimenti è inutile effettuare l'investimento

Ricevere oggi per una rinuncia futura

Quanto ricevere oggi a fronte della rinuncia di una disponibilità futura?

t₀ — incasso A
t — rinuncio N

Interesse e fattore di montante

Interesse — I = M - C
Fattore di montante — f(t) = M(t) / C

Esercizio

Dato che investo 50 € in BOT oggi, quanto incasso tra 3 mesi?

-50€ — 0
+50 * 1.02 — 51€
0.25M(t) = F(t) * C

Lezione 1 (ripetizione)

Quanto si è disposti oggi ad investire (pagare) per ottenere una disponibilità futura?

Al tempo "0" rinuncio alla somma di denaro C
Al tempo "t" incasso il montante
M > C altrimenti è inutile effettuare l'investimento

Ricevere oggi per una rinuncia futura (ripetizione)

Quanto ricevere oggi a fronte della rinuncia ad una disponibilità futura?

Tempo "0": incasso A
Tempo "t": rinuncio a N

Interesse e fattore di montante (ripetizione)

Interesse -> I = M - C
Fattore di montante -> f(t) = M(t) / C

Esercizio (ripetizione)

Dato che investo 50 € in BOT oggi, quanto incasso tra 3 mesi?
M(t) = f(t) · C

Sconto e fattore di sconto

SCONTOSCONTO = N - A
Fattore di sconto, ci dice quanto si incassa subito a fronte di una rinuncia al tempo t^{φ(t) = _A/N}

Fattore di montante

F(t) funzione crescente del tempo

Fattore di sconto

φ(t) funzione decrescente del tempo

• Semplice: 1 + i . t
• Composto: (1 + i)^t
• Continuo: e^-d.t

Sconto

• ¹/_{1 + i . t}
• ¹/_{(1 + i)^t}
• Continuo: e^-d.t

Fattori coniugati

→ F(t) · φ(t) = 1

Operazione finanziaria

Scambio di importi monetari nel tempo
Viene definita tramite uno scadenziario

a₀ a₁ a₂ a₃ a_n
O t₁ t₂ t₃ t_n

Valore dell'operazione finanziaria

Oggi: calcolo il Val attuale dell'operazione
In t_m: Val finale o montante
In t_s: Val in t_s dell'operazione

Esempio

+10€ +20€ +30€
0 -1m 3m 6m
t 1m 3m 6m
d(t) 0.9 0.8 0.5

Quanto vale l'operazione?
Sommo il Val. att delle singole componenti.
10 · 0.9 = 9€
-9€ + 10€
0 1m
20 · 0.8 = 16€
-16€ + 20€
0 3m
30 · 0.5 = 15€
-15€ + 30€
0 6m
Valore dell'operazione (9 + 16 + 15) € = 40 €

Esercizio

Stabilire se conviene attivare la seguente operazione finanziaria.

Prezzi BOT

• Durata 6m Prezzo 0,95
• Durata 12m Prezzo 0,90

Valore dell'operazione se investissi in BOT →
0,95 × 50€ = 47,5€
0,90 × 50€ = 45€

Mi conviene investirne 90€.

Qual è l'importo tra 12 mesi affinché l'operazione sia equa?
90 = 50 × 0,95 + 90 × 0,90
x = 90 - (50 × 0,95) / 0,90 = 47,21

Lezione 2

Valore attuale dell'operazione finanziaria

Qual è il Val attuale dell'operazione finanziaria che si intende attuare?

-C _+H(t)
H(t) = C . F(t)
+A _-N
A(t) = N . f(t)

Esempio

Qual è il valore oggi di 100€ incassabili tra 3 mesi?

φ(3m) = 0,98
-X ₊₁₀₀
X = 100€ . 0,98 = 98€

Esercizio

Determinare il Val attuale dell'operazione che ci paga 30€ tra 6 mesi, 60€ tra 12 mesi e 50€ tra 24 mesi, sapendo che φ(6M) = 0,90, φ(12M) = 0,8, φ(24) = 0,7

+30€ _{+60€ +50€}
30 . 0,90 = 27 €
-27€ _-30€
60€ . 0,8 = 48 €
-48€ _+60€
50€ . 0,7 = 35 €
-35€ _+50€
VAL ATTUALE = (27+48+35)€ = 110€

Valore Attuale Netto (VAN)

VAN = a₀ + ∑ a_s φ(t_s)

Se VAN > 0 attivare operaz. finanz.
Se VAN < 0 non
Se VAN = 0 è indifferente

Esercizio

Determinare il VAN sapendo che sono disponibili anche le seguenti opportunità:

• -105€ | 0 --- 6M --- 12M | +90€ +40€
• φ(6N) = 80/90 = 0,89
• -80€ | 0 --- 6M | +90€
• -60€ | 0 --- 12M | +80€
• φ(12N) = 60/80 = 0,75