Lezioni, Matematica finanziaria

Lezione 1

Quanto si è disposti oggi ad investire (pagare) per ottenere una disponibilità futura?

• t
• 0 — rinuncio alla somma di denaro C
• t — incasso il montante

M > C altrimenti è inutile effettuare l'investimento

Quanto ricevere oggi a fronte della rinuncia di una disponibilità futura?

• t
• 0 — incasso A
• t — rinuncio N

Interesse — I = M - C

Fattore di montante — f(t) = M(t) / C

Esercizio

Dato che investo 50 € in BOT oggi, quanto incasso tra 3 mesi?

• -50€ — 0
• +50 * 1.02 — 51€
• 0.25

M(t) = F(t) * C

Lezione 1

Quanto si è disposti oggi ad investire (pagare) per ottenere una disponibilità futura?

• Al tempo "0" rinuncio alla somma di denaro C
• Al tempo "t" incasso il montante

M > C altrimenti è inutile effettuare l'investimento

Quanto ricevere oggi a fronte della rinuncia ad una disponibilità futura?

• Tempo "0": incasso A
• Tempo "t": rinuncio a N

Interesse -> I = M - C

Fattore di montante -> f(t) = M(t) / C

Esercizio

Dato che investo 50 € in BOT oggi, quanto incasso tra 3 mesi?

M(t) = f(t) · C

SCONTO

SCONTO = N - A

FATTORE DI SCONTO, CI DICE QUANTO SI INCASSA SUBITO A FRONTE DI UNA RINUNCIA AL TEMPO t

^{φ(t) = _A/N}

FATTORE MONTANTE

F(t)

FUNZIONE CRESCENTE DEL TEMPO

FATTORE DI SCONTO

φ(t)

FUNZIONE DECRESCENTE DEL TEMPO

• SEMPLICE: 1 + i . t
• COMPOSTO: (1 + i)^t
• CONTINUO: e^-d.t
• SCONTO: ¹/_{1 + i . t}
• SCONTO: ¹/_{(1 + i)^t}
• CONTINUO: e^-d.t

SONO FATTORI CONIUGATI → F(t) · φ(t) = 1

Operazione finanziaria

• Scambio di importi monetari nel tempo
• Viene definita tramite uno scadenziario

a₀ a₁ a₂ a₃ a_n

O t₁ t₂ t₃ t_n

Quanto vale l'operazione finanziaria?

• Oggi: calcolo il Val attuale dell'operaz.
• In t_m: " Val finale o Montante
• In t_s: " Val in t_s dell'operazione

Esempio:

+10€ +20€ +30€

0 -1m 3m 6m

t 1m 3m 6m

d(t) 0.9 0.8 0.5

Quanto vale l'operaz?

Sommo il Val. att delle singole componenti.

10 · 0.9 = 9€

-9€ + 10€

0 1m

20 · 0.8 = 16€

-16€ + 20€

0 3m

30 · 0.5 = 15€

-15€ + 30€

0 6m

Valore dell'operazione (9 + 16 + 15 ) € = 40 €

Esercizio

Stabilire se conviene attivare la seguente operazione finanziaria.

Prezzi BOT

• Durata 6m
• Prezzo 0,95

• Durata 12m
• Prezzo 0,90

Valore dell'operazione se investissi in BOT →

• 0,95 × 50€ = 47,5€
• 0,90 × 50€ = 45€

Mi conviene investirne 90€.

Qual è l'importo tra 12 mesi affinché l'operazione sia equa?

• 90 = 50 × 0,95 + 90 × 0,90
• x = 90 - (50 × 0,95) / 0,90 = 47,21

LEZIONE 2 2-10-13

QUAL'È IL VAL ATTUALE DELL'OPERAZIONE FINANZIARIA CHE SI INTENDE ATTUARE?

-C _+H(t)

H(t) = C . F(t)

+A _-N

A(t) = N . f(t)

ESEMPIO: QUAL'È IL VALORE OGGI DI 100€ INCASSABILI TRA 3 MESI?

φ(3m)= 0,98

-X ₊₁₀₀

X = 100€ . 0,98 = 98€

ESERCIZIO: DETERMINARE IL VAL ATTUALE DELL'OPERAZIONE CHE CI PAGA 30€ TRA 6 MESI, 60€ TRA 12 MESI E 50€ TRA 24 MESI, SAPENDO CHE φ(6M) = 0,90, φ(12M) = 0,8, φ(24) = 0,7

+30€ _{+60€ +50€}

30 . 0,90 = 27 €

-27€ _-30€

60€ . 0,8 = 48 €

-48€ _+60€

50€ . 0,7 = 35 €

-35€ _+50€

VAL ATTUALE = (27+48+35)€ = 110€

Valore Attuale Netto

VAN = a₀ + ∑ a_s φ(t_s)

• Se VAN > 0 attivare operaz. finanz.
• Se VAN < 0 non // // //
• Se VAN = 0 è indifferente

Esercizio

Determinare il VAN sapendo che sono disponibili anche le seguenti opportunità:

• -105€ | 0 --- 6M --- 12M | +90€ +40€

φ(6N) = 80/90 = 0,89

• -80€ | 0 --- 6M | +90€
• -60€ | 0 --- 12M | +80€

φ(12N) = 60/80 = 0,75

VAN = -105 + (90 x 0