Matematica Finanziaria, primo parziale (operazioni semplici, operazioni composte, grandezze finanziarie fondamentali, capitalizzazione dell'interesse..)

X X

1 2

t t

1 2

Si tratta di un modello statico e rudimentale che consiste nello scambio di due importi monetari

disponibili in epoche diverse: fra l’importo monetario X , disponibile nell’epoca t , e l’importo

1 1

monetario X , disponibile nell’epoca t .

2 2

Alla base delle realizzazione di tali tipi di scambi vi è il concetto di interesse (I), senza il quale, chi

dispone di denaro, difficilmente ne rinuncerebbe in favore di altri.

Ne conviene che la quantità di denaro, per definizione > 0, data dalla differenza fra X e X è

2 1

l’interesse. I = X - X > 0

1 2

Esso rappresenta:

- sia il costo che paga chi riceve X per disporne un arco di tempo pari alla durata dell’operazione

1

finanziaria;

- sia la ricompensa che riceve chi cede X per rinunciarvi per la durata dell’operazione

1

finanziaria. t t

La durata dell’operazione finanziaria è data da - :

2 1

X X

1 2 t

durata = 2

0 t

(oggi) 2

X X

1 2 t t

durata = -

2 1

t t

1 2

Da questa prima formalizzazione emerge il concetto di equivalenza finanziaria che si pone prima

super partes, ovvero indipendentemente da quale controparte rappresenta, e poi si declina in

opportune operazioni finanziarie tra le controparti. Nelle operazioni finanziarie, in base al segno

delle quantità monetarie, si conviene indicare con il segno “+” gli introiti e con il segno “-“ gli

esborsi. Si chiamano operazioni di finanziamento o prestito quelli in cui il + precede il -, mentre

operazioni di investimento quando il - precede il +. Va da sé che, essendo presente il concetto di

equivalenza finanziaria, il cash flow (flusso di cassa) sarà simmetrico poiché se due parti si

accordano per un certo scambio, per una di queste l’operazione sarà di finanziamento mentre per

l’altra di investimento.

In relazione alle quantità conosciute e a quelle da determinare, le operazioni finanziarie vengono

classificate in:

- operazioni di capitalizzazione, nel caso in cui è nota la quantità X (capitale investito), mentre

1

t

X (montante) è da determinare al tempo ;

2 2

X X ?

1 2

t t

1 2

- operazioni di attualizzazione, nel caso in cui è nota la quantità di X (valore nominale),

2

mentre occorre determinare X (valore scontato).

1

X ? X

1 2

t t

1 2

In entrambi i tipi di operazioni, tra le due parti, vi è la stessa equità finanziaria, ciò che differisce è

la domanda.

In relazione al numero di epoche in cui avvengono gli scambi e all’epoca iniziale, le operazioni si

possono distinguere in:

- operazioni semplici, scambi monetari in due epoche;

- operazioni composte, scambi monetari in più epoche.

Inoltre si dividono in:

- operazioni spot, l’operazione ha inizio nel momento in cui viene decisa;

- operazioni forward, l’operazione inizia in un momento successivo a quando viene decisa.

Esempi. Semplice - Forward

-100 300

oggi 1 2

Composta - Spot

-100 70 75

oggi 1 2

I titoli obbligazionari

I titoli obbligazionari sono operazioni finanziarie con flussi di cassa certi al momento della loro

emissione. In un titolo obbligazionario l’emittente è tenuto, a fronte di un pagamento immediato, a

corrispondere al possessore un predeterminato flusso di cassa futuro. In altri termini si tratta di un

pezzo di carta che garantisce un certo cash flow dopo un periodo con “certezza”.

Va precisato che, in tal contesto, non prendiamo in considerazione il rischio di default dell’emittente

(fallimento).

I titoli obbligazionari vengono emessi dallo Stato per finanziarie il loro debito, e possono essere:

- titoli a cedola nulla (TCN) o, comunemente chiamati, Zero Coupon Bond (ZCB). Tali titoli,

come i BOT italiani, hanno normalmente una scadenza di 3 mesi, 6 mesi o 1 anno e sono

operazioni finanziarie semplici.

Esempio. - 4,7 5

0 6 mesi

Il titolo sopra schematizzato è un BOT semestrale, dunque un operazione finanziaria semplice

che restituisce un valore tondo.

- titoli con cedola, o Coupon Bond, ovvero i BTP, con scadenze usuali di 3 - 5 - 10 - 15 e 30 anni

e cedole semestrali. Tali titoli sono operazioni finanziarie composte e vengono solitamente

emessi, nel mercato primario, sotto la pari, ovvero ad un P inferiore al valore di mercato.

Tuttavia tale immissione può anche essere sopra alla pari o alla pari a seconda delle decisioni

di design (maggiore prezzo ma anche maggiori cedole oppure minor prezzo ma anche minori

cedole).

Esempi. - 98 1 1 101 sotto la pari

0 0,5 … 3 anni

-100 1,4 1,4 101,4 alla pari

0 0,5 1 3 anni

-103 2 2 102 sopra la pari

0 0,5 … 3 anni

Esiste anche un mercato secondario per cedere il titolo prima della sua scadenza e, il valore che

si otterrà, dipenderà dall’andamento dei tassi.

Ne deriva che i titoli obbligazionari sono privi di rischio se mantenuti fino alla loro naturale

scadenza mentre, se vengono venduti prima sul mercato secondario, presentano un rischio.

Grandezze finanziarie fondamentali

Le grandezze fondamentali della matematica finanziaria vengono calcolate su modelli di

equivalenze, dunque senza entrare nelle specifiche operazioni (+ / - ).

X X

1 2 I = X - X

2 1

t t

1 2 t t

Se si considerano equivalenti X disponibile in e X disponibile in , allora sussistono anche le

1 1 2 2

seguenti condizioni:

X X

1 2 X - X

X X X _ X 2 1

1 1 2 1

I = = X

X X 1

1 1

t t

1 2

misura l’interesse indipendentemente dalle quantità monetaria, tasso di interesse.

X X

1 2

X X

2 2 X - X

X _ X 2 1

2 1

I = = X

X X 2

2 2

t t

1 2

misura il tasso di sconto per unità di valore nominale. t t

X - X è l’interesse (o lo sconto) tra e

2 1 2 1

X - X è il tasso d’interesse (nominale) indipendentemente dal capitale che

2 1

X investo, ma non è puro rispetto alla durata

1

X - X è l’intensità d’interesse (tasso di interesse annuo). Non indica solo il

2 1

t t tasso ma da una misura pura anche in riferimento alla durata

( - ) X

2 1 1 dell’operazione (interesse di 1€ nell’unità di tempo) t - t

X - X è il tasso di sconto per unità di valore nominale per la durata

2 1 2 1

X 2

X - X è l'intensità di sconto (tasso di sconto annuo), ovvero lo sconto per

2 1

t t unità di valore nominale nell’unità di tempo

( - ) X

2 1 2

X è il Fattore di montante, ovvero il montante di 1€ per unità di

2

X capitale

1

X è il Fattore di sconto, ovvero lo sconto di 1€ per unità di valore

1

X nominale

2

Funzioni e regimi di capitalizzazione e di sconto

Per poter adottare un modello più flessibile, al fine di considerare, simultaneamente, operazioni di

epoche qualsiasi, occorre utilizzare particolari funzioni che descrivono l’evoluzione del fattore di

montante in relazione alla durata dell’operazione.

X 2 ƒ

F. di montante = => (t)

——

X 1

ƒ

dove (t) è detta funzione fattore di montante e descrive l’evoluzione del montante di 1€ in

funzione della durata t.

Analogamente: X 1 φ

——

F. di sconto = => (t)

X 2

φ

dove (t) è detta funzione fattore di sconto e indica l’evoluzione dello sconto per operazione di

durata qualsiasi (t).

Queste due funzioni ci permettono di portare avanti/indietro somme di denaro nel tempo in maniera

congrua. t t

C C*ƒ( - 1)

t t

1 2

Il fatto che t sia variabile ci permette di determinare l’evoluzione del montante per qualsiasi durata

dell’operazione.

Un regime finanziario è una funzione, o più precisamente una classe di funzioni (framework), che

descrive la legge di formazione del montante, regime di capitalizzazione, o del valore scontato,

regime di sconto, in funzione di parametri temporali (durata dell’operazione) e di parametri

contrattuali che ci permettono di dare un framework, ovvero un’ambiente su cui fare un modello.

Quando viene fissato il valore numerico dei parametri contrattuali il regime diventa legge.

La legge di capitalizzazione è una funzione crescente, ƒ(t), che descrive l’evoluzione del M di 1€

in funzione della durata. Ne consegue che maggiore è t maggiore sarà il montante e, in particolare,

deve valere ƒ(0) = 1. ƒ(t)

1 φ(t)

La legge di sconto è una funzione decrescente, , che descrive l’andamento del valore attuale in

funzione della durata. In questo caso maggiore è t minore sarà il valore attuale e, in particolare,

φ

deve valere 0 < (t) ≤ 1, poiché φ(t ) < φ(t ).

1 2

1 φ(t)

Data una certa ƒ(t) l’unica funzione di sconto consistente, ovvero adatta a portare avanti e indietro

nel tempo quantità monetarie, è la legge di sconto coniugata:

1

φ(t) = => funzione di sconto coniugata

ƒ(t)

Regime lineare

Il regime di capitalizzazione lineare è descritto dal framework:

ƒ t,

(t) = 1 + α * α > 0

Esso rappresenta un fascio di rette e si parla di framework poiché dipende dalla variabile t e dal

parametro α. Quest’ultimo deve essere > 0 poiché, se così non fosse, non sarebbe una funzione di

fattore di montante (crescente), in quanto α rappresenta il coefficiente angolare del fascio di

funzioni. α

1 La proprietà di tale regime è che l’interesse è proporzionale alla durata dell’operazione

finanziaria. Di fatto: (I)

( X ) (X )

2 1

ƒ t

(t) - 1 = α * α = i => numero

ƒ(t) - 1

α = => tasso di interesse annuo

1*t

Dunque se due parti stabiliscono di effettuare scambi monetari in un regime di capitalizzazione

lineare stanno concordando che le operazioni producano un interesse proporzionale alla loro durata

(scelgono un framework).

In conclusione, quindi, fissare il parametro α, significa fissare il tasso di interesse annuo (intensità).

Il regime di sconto coniugato è detto regime di sconto razionale e fa uso della legge di

capitalizzazione semplice: 1

φ(t) = , α > 0

t

1 + α *

Regime esponenziale

Nel regime di capitalizzazione esponenziale (composto) la funzione fattore di montante è:

t

ƒ (t) = (1 + α) , α > 0

dove α > 0 poiché la base dell’esponente richiede un dom