Matematica Finanziaria, primo parziale (operazioni semplici, operazioni composte, grandezze finanziarie fondamentali, capitalizzazione dell'interesse..)

Regimi finanziari

Operazioni semplici e operazioni complesse

La matematica finanziaria si occupa di regolare scambi di quantità monetarie disponibili in epoche diverse. Essa è nata da problemi di natura pratica e poi si è evoluta a livello teorico. Dal punto di vista economico, alla base di ciò, vi è l’esigenza di differire nel tempo il consumo, dunque, è presente uno stretto legame con i concetti di risparmio e di finanziamento. In parole povere, si tratta di valutare lo spostamento “in avanti” o “indietro” nel tempo di quantità monetarie per rispettare specifiche regole.

Modelli di operazioni finanziarie

Primo modello elementare di matematica finanziaria è quello di operazione finanziaria semplice:

X₁ t₁ X₂ t₂

Si tratta di un modello statico e rudimentale che consiste nello scambio di due importi monetari disponibili in epoche diverse: fra l’importo monetario X₁, disponibile nell’epoca t₁, e l’importo monetario X₂, disponibile nell’epoca t₂.

Alla base delle realizzazioni di tali tipi di scambi vi è il concetto di interesse (I), senza il quale, chi dispone di denaro, difficilmente ne rinuncerebbe in favore di altri. Ne conviene che la quantità di denaro, per definizione > 0, data dalla differenza fra X₂ e X₁ è l’interesse.

I = X₂ - X₁ > 0

Esso rappresenta:

• Sia il costo che paga chi riceve X₁ per disporne un arco di tempo pari alla durata dell’operazione finanziaria;
• Sia la ricompensa che riceve chi cede X₁ per rinunciarvi per la durata dell’operazione finanziaria.

La durata dell’operazione finanziaria è data da t₂ - t₁:

X₁ t₁ X₂ t₂ durata = t₂ - t₁

Equivalenza finanziaria

Da questa prima formalizzazione emerge il concetto di equivalenza finanziaria che si pone prima super partes, ovvero indipendentemente da quale controparte rappresenta, e poi si declina in opportune operazioni finanziarie tra le controparti.

Nelle operazioni finanziarie, in base al segno delle quantità monetarie, si conviene indicare con il segno “+” gli introiti e con il segno “-“ gli esborsi. Si chiamano operazioni di finanziamento o prestito quelli in cui il "+" precede il "-", mentre operazioni di investimento quando il "-" precede il "+". Va da sé che, essendo presente il concetto di equivalenza finanziaria, il cash flow (flusso di cassa) sarà simmetrico poiché se due parti si accordano per un certo scambio, per una di queste l’operazione sarà di finanziamento mentre per l’altra di investimento.

Classificazione delle operazioni finanziarie

In relazione alle quantità conosciute e a quelle da determinare, le operazioni finanziarie vengono classificate in:

• Operazioni di capitalizzazione, nel caso in cui è nota la quantità X₁ (capitale investito), mentre X₂ (montante) è da determinare al tempo t₂;
• Operazioni di attualizzazione, nel caso in cui è nota la quantità di X₂ (valore nominale), mentre occorre determinare X₁ (valore scontato).

In entrambi i tipi di operazioni, tra le due parti, vi è la stessa equità finanziaria, ciò che differisce è la domanda.

In relazione al numero di epoche in cui avvengono gli scambi e all’epoca iniziale, le operazioni si possono distinguere in:

• Operazioni semplici, scambi monetari in due epoche;
• Operazioni composte, scambi monetari in più epoche.

Inoltre si dividono in:

• Operazioni spot, l’operazione ha inizio nel momento in cui viene decisa;
• Operazioni forward, l’operazione inizia in un momento successivo a quando viene decisa.

Esempi:

• Semplice - Forward: -100 300 oggi 1 2
• Composta - Spot: -100 70 75 oggi 1 2

I titoli obbligazionari

I titoli obbligazionari sono operazioni finanziarie con flussi di cassa certi al momento della loro emissione. In un titolo obbligazionario l’emittente è tenuto, a fronte di un pagamento immediato, a corrispondere al possessore un predeterminato flusso di cassa futuro. In altri termini si tratta di un pezzo di carta che garantisce un certo cash flow dopo un periodo con “certezza”. Va precisato che, in tal contesto, non prendiamo in considerazione il rischio di default dell’emittente (fallimento).

I titoli obbligazionari vengono emessi dallo Stato per finanziare il loro debito, e possono essere:

• Titoli a cedola nulla (TCN) o, comunemente chiamati, Zero Coupon Bond (ZCB). Tali titoli, come i BOT italiani, hanno normalmente una scadenza di 3 mesi, 6 mesi o 1 anno e sono operazioni finanziarie semplici.

Esempio: -4,7 50 6 mesi

Il titolo sopra schematizzato è un BOT semestrale, dunque un’operazione finanziaria semplice che restituisce un valore tondo.

• Titoli con cedola, o Coupon Bond, ovvero i BTP, con scadenze usuali di 3 - 5 - 10 - 15 e 30 anni e cedole semestrali. Tali titoli sono operazioni finanziarie composte e vengono solitamente emessi nel mercato primario sotto la pari, ovvero ad un P inferiore al valore di mercato. Tuttavia tale immissione può anche essere sopra alla pari o alla pari a seconda delle decisioni di design (maggiore prezzo ma anche maggiori cedole oppure minor prezzo ma anche minori cedole).

Esempi:

• 98 1 1 101 sotto la pari 0 0,5 … 3 anni
• -100 1,4 1,4 101,4 alla pari 0 0,5 1 3 anni
• -103 2 2 102 sopra la pari 0 0,5 … 3 anni

Esiste anche un mercato secondario per cedere il titolo prima della sua scadenza e, il valore che si otterrà, dipenderà dall’andamento dei tassi. Ne deriva che i titoli obbligazionari sono privi di rischio se mantenuti fino alla loro naturale scadenza mentre, se vengono venduti prima sul mercato secondario, presentano un rischio.

Grandezze finanziarie fondamentali

Le grandezze fondamentali della matematica finanziaria vengono calcolate su modelli di equivalenze, dunque senza entrare nelle specifiche operazioni (+ / - ).

X₁ t₁ X₂ t₂ I = X₂ - X₁

Se si considerano equivalenti X₁ disponibile in t₁ e X₂ disponibile in t₂, allora sussistono anche le seguenti condizioni:

• I = (X₂ - X₁) / X₁ misura l’interesse indipendentemente dalle quantità monetarie, tasso di interesse.
• I = (X₂ - X₁) / X₂ misura il tasso di sconto per unità di valore nominale.

X₂ - X₁ è l’interesse (o lo sconto) tra t₂ e t₁

X₂ - X₁ è il tasso d’interesse (nominale) indipendentemente dal capitale che investo, ma non è puro rispetto alla durata X₁ - X₂ è l’intensità d’interesse (tasso di interesse annuo). Non indica solo il tasso ma dà una misura pura anche in riferimento alla durata (t₂ - t₁) X₁ dell’operazione (interesse di 1€ nell’unità di tempo)

X₂ - X₁ è il tasso di sconto per unità di valore nominale per la durata X₂ - X₁ è l'intensità di sconto (tasso di sconto annuo), ovvero lo sconto per unità di valore nominale nell’unità di tempo (t₂ - t₁) X₂

X₂ è il Fattore di montante, ovvero il montante di 1€ per unità di capitale X₁ è il Fattore di sconto, ovvero lo sconto di 1€ per unità di valore nominale

Funzioni e regimi di capitalizzazione e di sconto

Per poter adottare un modello più flessibile, al fine di considerare, simultaneamente, operazioni di epoche qualsiasi, occorre utilizzare particolari funzioni che descrivono l’evoluzione del fattore di montante in relazione alla durata dell’operazione.

X₂ / X₁ ⇒ ϕ(t)

dove ϕ(t) è detta funzione fattore di montante e descrive l’evoluzione del montante di 1€ in funzione della durata t. Analogamente:

X₁ / X₂ ⇒ φ(t)

dove φ(t) è detta funzione fattore di sconto e indica l’evoluzione dello sconto per operazione di durata qualsiasi (t). Queste due funzioni ci permettono di portare avanti/indietro somme di denaro nel tempo in maniera congrua.

C / C* = ϕ(t₂ - t₁)

Il fatto che t sia variabile ci permette di determinare l’evoluzione del montante per qualsiasi durata dell’operazione. Un regime finanziario è una funzione, o più precisamente una classe di funzioni (framework), che descrive la legge di formazione del montante, regime di capitalizzazione, o del valore scontato, regime di sconto, in funzione di parametri temporali (durata dell’operazione) e di parametri contrattuali che ci permettono di dare un framework, ovvero un ambiente su cui fare un modello.

Quando viene fissato il valore numerico dei parametri contrattuali il regime diventa legge. La legge di capitalizzazione è una funzione crescente, ϕ(t), che descrive l’evoluzione del M di 1€ in funzione della durata. Ne consegue che maggiore è t maggiore sarà il montante e, in particolare, deve valere ϕ(0) = 1.

La legge di sconto è una funzione decrescente, φ(t), che descrive l’andamento del valore attuale in funzione della durata. In questo caso maggiore è t minore sarà il valore attuale e, in particolare, deve valere 0 < φ(t) ≤ 1, poiché φ(t₁) < φ(t₂).

Data una certa ϕ(t) l’unica funzione di sconto consistente, ovvero adatta a portare avanti e indietro nel tempo quantità monetarie, è la legge di sconto coniugata:

φ(t) = 1 / ϕ(t) ⇒ funzione di sconto coniugata

Regime lineare

Il regime di capitalizzazione lineare è descritto dal...