Matematica Finanziaria - Appunti

LE OPERAZIONI FINANZIARIE

Scambio di capitali monetari tra soggetti diversi, in istanti diversi, in un arco di tempo limitato o illimitato.

A queste operazioni prendono parte due soggetti i quali si assumono almeno un impegno finanziario

ciascuno (prestazione).

Un’ operazione finanziaria si dice elementare quando prevede un solo impegno finanziario, si dice

complessa negli altri casi. OPERAZIONI FINANZIARIE ELEMENTARI

Prestito: operazione in cui un soggetto (creditore) cede in un determinato istante a un altro soggetto

(debitore) l’uso di una certa somma di denaro (capitale) per un prefissato periodo di tempo. Alla scadenza

l’uso del denaro costa e quindi il debitore si libera corrispondendo una somma maggiore del capitale preso a

prestito (montante).

L’ è l’aumento che il capitale subisce per l’effetto del suo impiego.

interesse

tasso d’interesse

i è il ovvero il compenso che spetta a chi presta un euro oggi per un determinato periodo di

t

tempo (t). nell’operazione di prestito gli interessi si rendono disponibili al termine del

r è il fattore di capitalizzazione,

periodo.

Sconto: un soggetto (scontatario) titolare di un credito per una certa somma (valore nominale) in una

prefissata epoca futura (scadenza), decide oggi di cedere questo credito a un altro soggetto (scontante) per

acquisire la disponibilità di una somma contante (valore attuale). Poiché il denaro costa, oggi il soggetto

scontante è disponibile a pagare una somma minore (valore attuale).

sconto è la diminuzione di K per effetto della sua anticipazione

valore attuale

tasso di sconto

fattore di capitalizzazione (di sconto)

un’operazione finanziare di sconto ne definisce anche se solo virtualmente una simmetrica di

Osservazione:

prestito e viceversa. Ogni operazione finanziaria elementare determina una relazione di “equivalenza” fra

due somme con valute (scadenze) diverse ovvero C e C

0 t

Se t=1 r v=1 il fattore di capitalizzazione è il reciproco di quello di sconto relativi ad una stessa

operazione ( )( )

Da cui si deduce che d cresce al cresce di i.

LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE E LEGGI DI SCONTO

Dati due capitali finanziariamente “equivalenti” pare naturale considerarli come valori in tempi diversi di

uno stesso capitale. Occorre quindi definire funzioni che consentano dato un certo capitale disponibile in t*,

in un qualunque t ≠ t*.

di determinare il valore equivalente C t

( )

In generale

Assiomi:

( ) ( ) ( )

1) ( ) ( )

2) se =

( )

3)

Critiche agli assiomi:

1) non è sempre indifferente l’ammontare della somma impiegata (es. 10 o 1000 euro) funziona solo entro



certi intervalli di somme questo assioma ci permette di togliere una variabile le funzioni che soddisfano

( )

questo assioma sono tutte del tipo cioè quelle con valori proporzionali al capitale.

tenendo conto dell’inflazione che però può essere considerata a

2) è sempre vero in termini monetari non

parte come funzione monotona non decrescente d’interruzione di un’operazione finanziaria immediata.

3) Esclude la presenza di costi accessori nel caso

# #

Se t ≥ t –

legge di capitalizzazione m(t ,t) i = m(0,1) 1

# #

Se t ≤ t –

legge di sconto v(t,t ) d = 1 v(0,1)

che permettono di determinare l’ammontare di una certa somma capitalizzata o

Queste leggi sono funzioni

attualizzata ad un certo tempo. Assegnata una legge di capitalizzazione la corrispondente legge di sconto

deve soddisfare la relazione reciproca la legge di sconto è coniugata alla legge di capitalizzazione.

( ) ( )

( ) ( )

Quando la legge di sconto è coniugata alla legge di capitalizzazione ed è espressa come la stessa con tempi

negativi ( ) ( )

Si può utilizzare un’unica funzione di capitalizzazione che permette di calcolare il valore di un capitale ad

un qualsiasi tempo, posteriore o anteriore a quello della sua disponibilità, la legge di sconto è continuata

della legge di capitalizzazione. ( ) ( )

Una legge di sconto deve comunque essere coniugata ma può non essere continuata, se è anche continuata la

funzione è unica per tempi positivi e negativi di calcolo.

PROPRIETÀ DELLE LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE E SCONTO

Scindibile

una legge di capitalizzazione è scindibile se dati 3 tempi determinati allora t < t < t risulta:

n k s

( ) ( ) ( )

In caso contrario la legge di capitalizzazione non è scindibile, se una legge di capitalizzazione è scindibile lo

è anche la legge di sconto coniugata.

Uniforme rispetto al tempo

Dati due tempi t < t risulta che

h k ( ) ( )

Se la legge di capitalizzazione è uniforme al tempo lo è anche la legge di sconto coniugata.

REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE FINANZIARI

Insieme di convenzioni che regolano lo svolgimento di un’operazione finanziaria e permettono la

definizione di legge di sconto e capitalizzazione con cui effettuare le valutazioni connesse.

 Regime dell’interesse semplice

la norma fondamentale, l’interesse è disponibile solo al termine del periodo d’impiego, viene quindi

Esprime

usato per operazioni di breve durata (massimo un anno) e questo regime non è scindibile.

 Regime finanziario dello sconto commerciale

L’interesse è disponibile per intero all’inizio dell’operazione finanziaria, è speculare al regime d’interesse

(anticipato) viene usato per brevi periodi.

 Regime dell’interesse composto

L’interesse è disponibile alla fine di ogni periodo di capitalizzazione (definito quasi sempre dal tasso

d’interesse), viene utilizzato per operazioni a medio-lungo termine.

 Regime finanziario dello sconto composto

L’interesse anticipato è disponibile all’inizio di ogni periodo di capitalizzazione definito dal tasso, è un

regime ombra in quanto è deducibile dalla relazione tra legge di capitalizzazione e di sconto

 Regimi misti

Vengono applicati regimi finanziari diversi, utilizzato particolarmente per libretti di deposito e di risparmio

con capitalizzazione semplice durante l’anno e composta fra i periodi

 Regime finanziario istantaneo

L’interesse è disponibile nell’istante stesso in cui viene prodotto, è quindi immediatamente disponibile e

rimpiegabile. PRINCIPIO D’EQUIVALENZA FINANZIARIA

certa operazione finanziaria, si dice che un’operazione è

Fissato il regime finanziario che deve regolare una

quando i valori degli impegni dei due soggetti riferiti alla scadenza dell’operazione sono uguali ( alla

equa

scadenza il valore della prestazione e controprestazione sono uguali). In particolare questa regola vale se la

legge di capitalizzazione e di sconto definite dal regime non sono scindibili. Se la legge di capitalizzazione e

di sconto sono scindibili allora l’equità è verificabile in qualunque istante dell’operazione ponendo

l’uguaglianza tra dell’indifferenza dell’equilibrio finanziario).

prestazione e controprestazione (principio

REGIME INTERESSE SEMPLICE

L’interesse è disponibile solo alla scadenza dell’operazione. Da un operazione di prestito ricaviamo la legge

di capitalizzazione.

Il tempo è espresso nell’unità di misura espressa dal tasso.

( )

(1+it) è la legge di capitalizzazione semplice, questa legge non è scindibile infatti :

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

La legge di capitalizzazione è uniforme al tempo infatti:

( ) ( )]

) (

La legge di capitalizzazione è una funzione lineare di t.

m(0) = 1

m(1) = 1+i

m(t) = i >0

OSS.1

OSS.2

Se nell’operazione finanziaria non è definito il tasso d’interesse si può determinare in via consuntiva e

vedere l’intervallo entro cui può variare ( )

#

Nel caso in cui C = 0 perdita completa del capitale i = -1

T

OSS.3 impiego a tasso variabile ( )

)

La legge di sconto è il reciproco della legge di capitalizzazione, non è proporzionale al tempo e perciò viene

poco usata, è una funzione razionale fratta rappresentata da un ramo d’iperbole.

( )

Principio equivalenza applicata alla scadenza dell’operazione finanziaria

Estinzione anticipata del prestito in un tempo T < t

( ) ( )

( )

( )

Non posso assolutamente calcolarlo come due montanti semplici in quanto renderei disponibili gli interessi

al tempo T che non corrisponde alla scadenza dell’operazione.

Se il tasso nell’intervallo [T,t] diventa i’ l’equivalenza va paragonata alla scadenza dell’operazione

finanziaria ( )

( )

REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE

L’interesse anticipato (sconto) è per intero disponibile all’inizio dell’operazione finanziaria.

C = valore nominale d= tasso di sconto t= t - t tempo di anticipazione

t k h ( )

(1-dt) è la legge di sconto commerciale la quale non è scindibile ed è uniforme rispetto al tempo, ha un

nella pratica inferiori all’anno ma non si

limite di applicabilità in quanto sono quindi operazioni

verificano mai. Confronto tra legge di sconto razionale e legge di sconto commerciale

1) se d = i

( ) lo sconto razionale è minore dello sconto commerciale

2) se d i

Il valore attuale commerciale è uguale al valore attuale razionale infatti :

( )

La legge di capitalizzazione non è uniforme al tempo in quanto cresce più che proporzionalmente ed è poco

usato. ( )

REGIME DELL’INTERESSE COMPOSTO

L’interesse è disponibile al termine di ogni periodo di capitalizzazione definito dal tasso.

( )

( ) non sono proporzionali al tempo, la legge di capitalizzazione è scindibile e uniforme

rispetto al tempo infatti ( ) ( ) ( )

Impiego a tasso variabile

È come capitalizzare per n il capitale con un fattore di capitalizzazione che si distribuisce come media

geometrica ponderata ( ) ( )

) ( )

√(

Legge di sconto ( )

( )

( ) ( )

La legge di sconto composto è continuata della legge di capitalizzazione con tempi negativi nella legge di

capitalizzazione si ottiene la legge di sconto.

Convenzione esponenziale

Quando il tempo non è un numero intero si generalizza la funzione l(0,n) attribuendo validità alla

legge di capitalizzazione e sconto ( ) ( )

( ) ( )

Una prima giustificazione è fornita dalla scindibilità della legge di capitalizzazione di sconto

( ) ( ) ( )

La l.c dell’intesse composto è crescente, convessa e diverge positivamente quanto il tempo tende all’infinito,

mentre la legge di sconto è decrescente convessa e ha come limite per t che tende all’infinito 0.

m(0) = 1

m(1) = 1+i t

m’(t) = (1+i) ln (1+i) > 0

t 2

m” (t) = (1+i) ln (1+i) > 0

v (0) = 1 -1

v (1) = (1+i) -t

=

v’(t) - (1+i) ln (1+i) < 0

-t 2

(t) = (1+i)

v” ln (1+i) > 0

Osservazione

Se d=i anche la legge di sconto del regime commerciale è continuata della legge di capitalizzazione

dell’interesse semplice.

Tassi d’interesse equivalenti

In generale due tassi i’ e i’’ sono equivalenti se applicati ad uno stesso capitale e per lo stesso tempo di

impiego producono lo stesso montante.

⁄ ⁄

( ) ( ) ⁄

( ) ⁄

( ) ( )

Osservazione | |

Se q non è intero o negativo e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ovvero è una serie binomiale che converge ad un valore, sostituendo i e i si può ottenere

k

( ) ( ) ( )

Tasso nominale j k

È un tasso relativo a una certa unità di tempo di tempo (anno), che si conviene venga pagato in k rate uguali

(pari a ) alla fine di ogni di tale unità di tempo, il suo uso è dovuto a motivi di ordine pratico (es. tasso

nominale convertibile sui BPT semestralmente)

Relazioni fra i e j k ⁄

)

( ) [( ]

Osservazioni

 i > j qualunque sia k

k

 Dato j al crescere di k il tasso i cresce

k

 Dato i al crescere di k il tasso j decresce

k

Dimostrazioni

1) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2) ( ) [( ) ] ( )

3) ⁄

)

[( ]

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ( ) ( )

( ) ( ) p r f’ r s m J è decrescente con k

( ) ( )

m ( ) ( ) k

4)

Dato i la successione decrescente J converge a ln(1+i) che rappresenta il suo minimo

k ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

equivalente a i forza d’interesse e si indica con δ

Rappresenta il tasso nominale convertibile istantaneamente

δ = tasso istantaneo d’interesse (costante)

Osservazione ( )

( )

REGIME SCONTO COMPOSTO

L’interesse è disponibile all’inizio di ogni periodo di capitalizzazione

( ) ( ) ( )

( )

Lo stesso risultato si può ottenere tramite la relazione i = infatti

Questo regime è quindi poco usato, si può ottenere come speculare da quello dell’interesse composto

sfruttando questa relazione fondamentale della matematica finanziaria.

Confronto tra leggi di capitalizzazione e di sconto regime semplice e composto

REGIME MISTO CONVENZIONE LINEARE

afferma che il tempo d’impiego è un

Regola libretti di deposito, c/c postali e bancari, la convenzione lineare

numero non intero di periodi di capitalizzazione si applicano quindi il regime dell’interesse composto (anno

solare) e quello dell’interesse semplice per frazioni del periodo.

( ) ( ) ( )

La legge di capitalizzazione non è scindibile e in generale non è uniforme al tempo, poiché rimanga

uniforme bisogna spostarsi sull’asse per un numero intero di periodi di capitalizzazione, la legge di

d’ascissa interi per il regime composto.

capitalizzazione è una funzione lineare a tratti con vertici nei punti

Tra i punti interi vige la legge di capitalizzazione semplice.

Osservazione

Poiché il periodo di capitalizzazione è l’anno solare (01/01 -31/12)

( ) ( ) ( ) ( )

METODI DI RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN’EQUAZIONE

Ricerca del tempo d’impiego ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Ricerca del tasso i ( ) ( )

Metodo per tentativi: si tratta di trovare per tentativi due tassi i cui montanti siano M < M < M e poi

1 2

effettuando un’ interpolazione lineare fra questi valori ottengo una stima approssimata del tasso.

L’operazione può essere riapplicata restringendo sempre più l’intervallo sfruttando il metodo iterativo delle

corde (geometria)

Metodo d’iterazione:

1) si pone l’equazione in forma iterativa

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2) si verifica la condizione sufficien