Matematica Finanziaria - Appunti

RENDITE PERIODICHE FRAZIONATE

Una rendita generica non può essere frazionata, è una rendita periodica in cui ciascun termine viene diviso in

k parti uguali, disponibili alla fine di ogni 1/k del periodo della rendita.

∑

Il valore in s delle k parti in cui è stato diviso C risulta :

s

∑ ( )

La rendita frazionata è finanziariamente equivalente ad una rendita periodica (non frazionata) di termini

, stesso discorso vale per il valore attuale di rendite posticipate e differite :

( ) ∑ ∑

( ) ( )

Il valore attuale e montante di una rendita anticipata modifica il fattore di frazionamento che diventa :

⁄

Questo perché una rendita frazionata anticipata ha tutti i termini “anticipati” di 1/k rispetto alla

corrispondente rendita frazionata posticipata

Oss.1 ( )

( )

“Calcolo ”

Oss.2 approssimativo di i/j k

( )

“Rendite unitarie posticipate frazionate”

Oss.3 ( ) ( )

Rendita costante di “nk” termini pari a 1/k e periodo 1/k di quello di capitalizzazione può essere calcolato il

tasso equivalente i di i.

k “Rendita in progressione aritmetica frazionata”

Oss.4

C= ρ = 1 rendita costante “a tratti” o che varia in progressione aritmetica a tratti

RENDITE PERPETUE “PERPETUITÀ”

È una rendita periodica con un numero infinito di termini. Se i>0 il suo montante è sempre infinito mentre

può essere un valore finito il suo valore attuale. Si trova facendo il limite per n che tende a infinito di una

di n termini dello stesso tipo. Servono per “prezzare” beni capaci di produrre un reddito in perpetuo

rendita

(terreno agricolo, aziende, immobili).

Perpetuità costanti unitari m

Se i rimane costante, il capitale 1/i disponibile in 0 è finanziariamente equivalente a una perpetuità unitaria,

consumo quindi solo l’interesse e custodisco il capitale iniziale perché impiegato produce alla fine di ogni

periodo l’interesse 1 :

Perpetuità in progressione aritmetica ̿

( ̈ ) m ( ) m m

( )

Se i rimane costante, il capitale disponibile in 0 è finanziariamente equivalente alla perpetuità in

progressione aritmetica perché impiegando in 0 ed accantonando ogni anno a parte gli interessi prodotti (1/i)

si può disporre della perpetuità. ( )

( )

Perpetuità in progressione geometrica ( )

m

( ) ( )

m

SCADENZA MEDIA DI UNA RENDITA

∑ (∑ ) (∑ )

∑ ∑ ∑

Sia il numeratore che il denominatore crescono con i, studiamo quindi l’andamento di t = t(i) al variare del

tasso i.

Osservazione ∑

( )

Dovremmo ricorrere alla duration ovvero la media aritmetica ponderata delle scadenze t s

∑

con il valore attuale dei termini della rendita. La duration (durata media finanziaria) è un indice della

variabilità del valore attuale della rendita al variare del tasso.

Dimostrazione ∑ ( ) ( )

∑ ∑

∑ ∑ ( )( )

∑

∑

∑

( )

Il segno dipende quindi da d-t, sappiamo però che la media aritmetica ponderata di una certa variabile è

sempre maggiore della media geometrica (1/2), mostriamo quindi che t > d per ogni i, ricordando dalla

statistica che la media aritmetica di certe quantità con certi pesi è sempre maggiore della corrispondente

media geometrica: ∑

∑ ∑ ∑ ∑

[∏ ] ( )

∑ ∑

Cioè t è decrescente al crescere di i e il lim t = t non può scendere sotto la prima scadenza.

(i) s

∑ ∑ ∑ ( )( ∑

( ) )

̿

m m

∑ ∑

( )

∑

∑

Proprietà:

 la scadenza media (t) non cambia

 (sostituendo scadenze allo stesso tempo) allora la nuova scadenza media è y = t+x

 La scadenza media è decrescente al crescere del tasso

RENDITE A TASSO VARIABILE

Se si conosce la “struttura per scadenze dei tassi a pronti” cioè l’insieme dei tassi in vigore nei vari anni

∑ ( )

Dato l’insieme S (tassi) si può determinare l’insieme con i (0,n) = tasso annuo in vigore negli ultimi n-s

anni, facendo l’ipotesi di assenza di possibilità di arbitraggio.

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) { }

( )

∑ ( )

d’interesse dipende dalla scadenza dei capitali la legge di capitalizzazione e di sconto non

Poiché il tasso

sono scindibili, il montante e valore attuale non si possono calcolare gradualmente.

“struttura uniperiodali” cioè l’insieme dei tassi S* = [i (s-

Se si conosce la per scadenze dei tassi a termine

 s=1,2…n] con tasso in vigore nell’s-mo

1,s) i (s-1,s) anno

∑ ∏ ( )

∑ ∏ ( )

Qui il tasso non dipende dalla scadenza del capitale da valutare quindi la legge di sconto e di

capitalizzazione sono scindibili e il valore attuale e montante si possono calcolare gradualmente.

( )

Osservazione

Dato S, utilizzando l’assenza di possibilità di arbitraggio è possibile ottenere S* e viceversa

REGIME MISTO DELLA CONVENZIONE LINEARE

)

Montante di una rendita di (n termini disponibili alla fine di ogni 1/k di anno solare, al tasso annuo i

[( ) ( )]

dopo la fine dell’n-mo

Se anno solare vengono effettuati ulteriori m versamenti (m<k) il montante diventa:

[( ) ( )] ( ) [( ) ( )]

Se prima dell’inizio del primo anno solare vengono effettuati h versamenti ( h<k) il montante risulta:

̅ [( ) ( )] ( )

COSTITUZIONE DI UN CAPITALE

Operazione finanziaria con la quale un soggetto, per poter disporre in un dato tempo futuro T di un

prefissato capitale M, decide di fare una successione di versamenti (C) alle scadenze successive (t)

( )

∑

In 0 sono noti M e T, si creano i capitali da versare oppure le scadenze ma le incognite sono n e abbiamo una

sola equazione, il problema è quindi indeterminato. Per risolverlo in modo univoco si considerano particolari

in progressione aritmetica o geometrica con T=n. Se il tasso d’impiego

casi : versamenti periodici costanti

del capitale e/o il montante da costituire mutano è importante seguire la dinamica dell’operazione finanziaria

calcolando periodicamente il fondo accumulato o fondo di costituzione

∑ ( )

REGIME INTERESSE SEMPLICE

Versamenti periodici costanti ( )

[( ) ( )] ( )

 Se n è intero il problema è risolto

 [( ) ( )]

Se n non è intero si pone n =[-n] e si calcola prendo il max intero e

1

calcolo il fondo di costituzione

Se l’operatore può versare più di C aumento l’ultimo versamento di M-F

o 1

Se l’operatore non può versare più di C, si lasciano impiegati i soli capitali per un ulteriore

o periodo

 versamenti di importo C e l’(n+1)-mo

F < M si fanno n di importo M-F

2 1 2

 F = M il capitale viene costituito in n+1 anni

2

 C per un periodo τ<1 :

F > M si devono impiegare i capitali n

2 1

REGIME INTERESSE COMPOSTO

Versamenti periodici costanti ̈

┐ ┐

( ̈ )

 quindi è l’importo da versare alla fine (inizio) di ognuno degli n periodi per

Se M=1 C = ┐ ┐

costituire al tasso i, il capitale unitario. ( )

┐ ( )

 n è intero

Se il problema è risolto

 n non è intero

Se si pone n =[-n] e si calcola ̈ prendo il max intero e calcolo

1 ┐

il fondo di costituzione

S ’ p r r p ò v rs r p ù m ’ m v rs m ( )

o S ’ p r r p ò v rs r p ù s s mp s p p r

o ulteriore periodo

F < M si fanno n v rs m mp r ’( )-mo di importo ( )

 2 1

F = M il capitale viene costituito in n+1 anni

 2

F > M si devono impiegare i capitali n p r p r τ

 2 1

( )

COSTITUZIONE PER INSEGUIMENTO

Si ha quando mutano le condizioni di redditività dei capitali (tassi d’impiego) e/o le esigenze dell’ operatore

(capitale da costituire a scadenza). Necessità di adeguare a questi alcuni elementi dell’operazione

finanziaria. Dopo una costituzione standard supponiamo si abbia un adeguamento dopo k periodi: mutano il

tasso e il capitale da costituire. ( ) ̈ ┐

[ ( ) ] ̈

Questo procedimento si ripete ad ogni variazione del tasso e/o del capitale da costituire :

( ) ( ) ( ) ( )

┐ ┐ ┐

( )

┐ FONDI COMUNI

Un fondo comune d’investimento è il patrimonio autonomo, istituito da una società di gestione (SIM) che

raccoglie capitali dai risparmiatori e li investe in titoli mobiliari (azioni, obbligazioni, derivati) al fine di

ottenere una buona redditività e un frazionamento del rischio. Il patrimonio è diviso in quote il cui valore è

pubblicato ogni giorno dalle SIM. L’acquisto delle quote può avvenire in un’unica soluzione o con un piano

d’accumulo di capitale (PAC). La vendita avviene riscattando le quote possedute al prezzo pubblicato. I

che partecipano all’attivazione di un fondo comune sono:

soggetti

 Risparmiatori

 Società di gestione

 Banca depositaria

Principali classificazioni dei fondi comuni:

 In base alla composizione del patrimonio

o Fondi azionari

o Fondi obbligazionari

o Fondi bilanciati

 In base alla variabilità del capitale gestito

o Fondi aperti

o Fondi chiusi

 In base alla modalità di remunerazione

Fondi d’accumulazione

o

o Fondi di distribuzione

Le operazioni di costituzione con versamenti in un fondo comune sono valutati nel regime finanziario

dell’interesse composto e originano gli stessi problemi già studiati in precedenza. La difficoltà in più è

dovuta all’estrema variabilità del loro rendimento e difficile previsione della loro realizzabilità.

; α= provvigione impiego

Con N= n° quote; Q= valore di ciascuna quota ; n= numero quote acquistate in t s

( )

∑

dei capitali versati, può essere fatto in t (scadenza dell’operazione) oppure

Calcolo tasso di vendita medio i*

in qualsiasi altro tempo inferiore alla scadenza.

∑ ( )

COSTITUZIONE NEL REGIME MISTO DELLA CONVENZIONE LINEARE

[( ) ( )] ┐

┐

┐

Osservazione

Il versamento da fare ogni di anno si ottiene moltiplicando quello annuo per un fattore dipendente da k,

risolvendo l’equazione

cerco n algebricamente.

 Se n intero problema risolto, costituisco M con “nk” versamenti pari a C

 (intero di n) si deve risolvere l’equazione

Se n non intero posto n 1

[( ) ( )] ( ) [( ) ( )]

┐

m < k equazione di secondo grado