Matematica finanziaria - Schemi di teoria

ASSE DEI TEMPI

(€1,000,00) 13/09/12

(€1,050,00) 13/09/22

INVESTITORE

• operazione finanziaria di investimento

FINANZIATO

• operazione finanziaria di anticipazione o finanziamento

OPERAZIONE FINANZIARIA DI INVESTIMENTO

• (P;x) (M;y)

p = capitale investito

x = data di investimento

M = capitale ottenuto dopo rendita di un investimento fatto in una data precedente

y = data di disinvestimento

M - P = I -> interesse prodotto tra x e y del capitale investito p

OPERAZIONE FINANZIARIA DI ANTICIPAZIONE O FINANZIAMENTO

• (P;x) (M;y)

M = capitale dovuto a scadenza

y = data di scadenza

p = valore attuale

x = data di anticipazione

M - P = D -> sconto

somma a cui devo rinunciare per ottenere la somma oggi invece che un certo periodo di tempo

[NB nelle operazioni finanziarie I e D sono sempre veraci]

Grandezze finanziarie

Montante unitario

• Quanto ricaverei se investissi €1?
• M : P = 1

M_vu = ^M⁄_P

Interesse unitario

• Quanto ricaverei se investissi €1?
• P : I = 1

i_vu = ^I⁄_P (espresso in %)

Valore attuale unitario

• Quanto otterrei se anticipassi €1?
• M : P = 1

V_au = ^P⁄_M

Sconto unitario

• Se a quanto rinuncerei se anticipassi €1?
• M : D = 1

d_vu = ^D⁄_M

i=?

M=P·(1+i)^t

^M = P·(1+i)^t

^M = [(1+i)^t]

(^M)^1/t = (1+i)^t·1/t ➔ (M)^1/t = 1+i

i=(^M)^1/t-1

t=?

M=P·(1+i)^t

ln M=ln [P·(1+i)^t]

t= ^{ln M-ln P}/_ln(1+i)

n(t) = 1 + it (funzione di interesse semplice)

Capitalizzazione semplice

δ(t) = i / (1+it)

Riportare equilibrio tra funzione decrescente da ridurre.

Capitalizzazione composta

δ(t) = ln(1+it)

δ(t) = (1/Δt) ln(1+Δit)

Capitalizzazione commerciale

δ(t) = i / (1-td)

δ(t) = 1/(1 - dt) * d / dt

Forza di interesse, in questo regime vale t; se ci si avvicina a 0, si ottiene un valore molto basso d.

Data la forza di interesse calcolo la legge di capitalizzazione:

n(t) = e^{∫ δ(s) ds}

Condizione sufficiente

• Ipotesi: la forza di interesse è costante
• Tesi: la legge è sindilucibile n(t+t_s)=n(t) - n(t_s)

δ(t)N(Δt)=δ

Calcoliamo il montante attraverso la forza di interesse \[ \int_0^t S(s)ds \] \[ \int_0^t S(s)ds \] \[ \int_t^{t+ts} S(s)ds \]

Considerando l’ipotesi:

\[ \int_t^{t+ts} S(s)ds = σ \int_t^{t+ts} S ds = S(t)ds \]

δ/N^-1 δt= δ\(n(Δt)δ/N(t)

=\(S(Δt)\)

δ

\[ t(t+Δt)=n(t) \]

Osservazioni

1. Se σ composta n(t)=(Δt) - la forza d’int’streme è costante σ =log(tΔt) è costante
2. Se s(t) = costante applicando n(t) = σ₂ si ha \( N(t)=2 \) \[\(Δ\)/i
3. quindi se la forza di interesse è costante la legge di capitalizzazione è sempre composta
4. La legge a interesse composto è l'unica riducibile tra le leggi che dispongono alcâne scene divista dalle operazioni finanziarie

LE RENDITE

Operazioni finanziarie composte rappresentate da una successione di capitali tutti della stessa ragione, da pagarsi o riscuotere a determinate scadenze.

Gli importi sono le rate detta rendita

• R₁
• R₂
• ...
• R_u-1
• R_u

• 0
• 1
• 2
• ...
• u-1
• u

Le rendite possono distinguersi in:

1. QUASI PERPETUE:

• periodiche: intervallo di tempo tra le rate sempre uguale
• intere o frazionate: l'importo di una rata viene pagato in un'unica volta o in "n" scadenze
• temporanee o perpertue: per il numero delle rate e finito o infinito
• le rate costanti o variabili

• tra due variabili che riguardano l'operazione distinguiamo le rendite a progressione geometrica o in progressione aritmetica
• posticipate o anticipate: la rata viene pagata dopo (fine o vero) o prima (inizio o falso).
• immediate o differite: la consecutiva e la disrintranza dalla prima nota avviene a partire dal primo periodo o dopo un certo periodo di tempo.

V₀ = A = ∑₅₌₀^u R₀(Λ^5)^-5

SE le rate sono costanti: (R₁=R₂=R₃=...=R_u=R)

R; i + R; v¹ + R; v² + ... + R; v^u = R( v + v¹ + v² + ... + v^u)

ri maggiore v∕λ

Λ maggiore v∕λ

Progressione geometrica

A = ∑₅₌₁^u R (Λ^i)^-5 = R∑₅₌₀^u (Λ^i)^-5 vⁱ = R(v¹ v² +...+ v^u)

A = R v^√ / Λ-v

A = R Λ-v/Λ-v

A = R; vⁱ/Λⁱ = R; Λ

A(l; =0)=u;R)

Λ-v/Λ

/Λ-v

/Λv; i

DURATION

Durata delle operazione finanziaria di una rendita:

- ₁/^u + 2 + . . . + u/u = DURATA MEDIA

- _RA/R + 2R₂ + . . . + uR_u/R_A + R₂ + . . . + R_u = DURATA MEDIA ARITMETICA

- _RA + 2R_A² + . . . + uR_u^u/R_A^u + R_u+1^u+1 + . . . + R_nⁿ = DURATA MEDIA FINANZIARIA

(Neve costo del tasso di interesse)

DUREZION

D(i) = _n∑^s=1 s.Rs.(A+i)^-si^v

∑_s=1Rs(A+i)^-s i = A prezzo del prodotto finanziario

In capitalizzazione integrale la durethon = durata delle operazioni

- in periodi con TASSA CRESCENTE = cerco investimenti con DURATA BASSA

(L'investimento ritorna pertanto)

- in tassi non decrescenti = durata più alta

Strategia di reinvestimento delle rendite a disposizione

O R_A R₂ 2 . . . R_u-1 u

+ R₂ + R₃ + ... + R_nuⁿ

+ R_A(A+i)R₂ + (R₃v)R_u+1 + ... + Rnu^(-u-2)

- VALORE DI RINVESTIMENTO O DI IMPIEGO

(Indicate delle prime rendite lucanate)

- VALORE DI RENDIMENTO

(Volona capitale delle prime d.s. ritornate)

- In periodi di Valore bias superiore a 6%

- La VALORE DI RENDIMENTO cerca per aumentare delle rate che vengono

- VALORE DI RENDIMENTO diminuire (convertire vendere il titolo più tardi possibile)

- Se in termini del 5% ao 1/6

- LIO convertire vendone il titolo piu tardi possible