Matematica Finanziaria prima parte

Matematica Finanziaria

5.10.2015

Rischio di insolvenza:

Tasso di interesse ale.

Rischio che il nostro investimento ci causi una perdita.

Perdite grandi su BTP (ora durante la crisi). Non su BOT.

Grandezze fondamentali:

1. Stock ↔ Imposco di denaro
2. Flusso ↔ Stock(1) - Stock(0) Flusso dove
3. Tasso ↔ dove
4. Intensità ↔ Tasso/Tempo

1. Investo una somma S e alla scadenza avr

   S

   Postulato di immanenza dice che:

   S ≤ M

2. M - S = Interesse (I) oppure M = S + I

3. Tasso di interesse: f = S₂ / S_iniz

   Tasso di sconto: d = S₁ / S_idr

4. f = θ = 0 intensità di interesse

   Varia in base all’unità di misura di riferimento anno o mese

   Anno civile ➔ 365 gg Anno commerciale ➔ 360 gg

   d = R = Intensità di sconto

ESAME 3/12/2007

S = 30.000 €

M = 30.200 €

t = 2 mesi

I = 200

fj = 200/30000 = 0,006₆

fs = dv = 200/32000 = 0,006225

γ = 0,006^2/12 = 0,16

R = 0,006225^4/3 = 0,3

LEGGI DI EQUIVALENZA FINANZIARIA

• LEGGE DEGLI INTERESSI SEMPLICI: legge Lineare
• LEGGE DEGLI INTERESSI COMPOSTI: legge Esponenziale
• LEGGE LINEARE

Gli interessi che maturano sono proporzionali a:

• - capitale investito
• - durata dell'investimento
• - al tasso di interesse applicato

I = S · t · i

M = S + I = S + S · t · i

M = S · (1 + i · t)

t: periodi che ci interessano

i = annuo

i₁ = mensile

i₂ = semestrale

i₃ = quadrimestrale

2) LEGGE ESPONENZIALE

È una legge di equivalenza finanziaria con intensità istantanea di interesse costante.

equivalente differenziale

\( \left[ \log W(t) \right]' = \delta \)

• \( \int_{t_0}^{t_0+\Delta t} \log W(t) dt = \int_{t_0}^{t_0+\Delta t} \delta dt \)
• \( \log \frac{W(t_0+\Delta t)}{W(t_0)} = \delta \Delta t \)

\( W(t_0+\Delta t) = W(t_0) \cdot e^{\delta \cdot \Delta t} \)

\( \mathrel{\hat{=}} S \cdot e^{\delta \cdot \Delta t} \)

espressa con \( i \)

\( e^{\delta \cdot t} = (1+i)^t \)

\( e^{\delta} = (1+i) \)

\( \delta = \log (1+i) \)

ESAME 8.10.2010

I = 103.5 - 100 = 3.5

j = 3.5 / 100 = 0.035

K = 3.5 / 103.5 = 0.034

Il particolare è il tasso annuo di interesse con la legge esponenziale.

\( \hat{=} S \cdot (1+i)^t \)

\( \to \frac{103.5}{100} = \frac{100 + I}{100} = (1+i)^{392/365} \)

\( \to (1.035) = (1+i) \)

\( \frac{1.035}{392} = 0.0025805\ldots \)

es:

i = 10%

0₂

VP₀ = 1000 ⋅ (1+10%)² = 1210

VP_0.5 = 1000 ⋅ (1+0,1)^0.5 = 1048,8

VP₂ = 1048,8 ⋅ (1,4) = 1210

esercizio valore complessivo di un’operazione finanziaria al tempo t (secondo la legge esponenziale)

₀

ⁿ

i = 2%

-950 20 1020

0 1 2

W(0,x) = -950 (1,02)⁰ + 20 (1,02)^-1 + 1020 (1,02)^-2 = 50

W( _, x ) = ⁿ ∑ X_t (1 + i)^{t - tk}

t_k < = t

t_i > t

mancante

valore residuo o attuale

4) PROPRIETÀ DI SCOMBINILITÀ in L.E.

Se X è equa in t^t

ϕ è equa in t^t

d dimostrazione (additiva + uniformità)

e ϕ è equa in t^t

X è equa in t^t

d (X+ϕ) è equa in t^t ⇒ d

(X+y) è equa in t t t

!!! OPERAZIONI EQUE SEMPRE LEGGE ESPONENZIALE !!!

ESERCIZIO:

¹⁰⁴

_120β

Sammi? → ϕ - S e^{δ t}

104t= 102 ∑ e^{δ 100 360} - ϕ ln 104t ³⁶⁰ e^{δ 360}

ln 104t

102 = δ ^{103 360} 360 ³⁶⁰ → δ₂ 0.0078580

(I+i) = e^δ ϕ₂ e^δ₂ l - l ϕ₂ e^δt₂ - l

I δ i t in L.L.

(104t-102) = 102 i^{140 360 - 360} S = i ⁴⁶⁰

Valore Attuale Di Rendite Differite Mensili

Perpetua

R = _m⁄ⁱ (1 + i)^m

TR (1 + ₁⁄ⁱ) (1 + i)^-m

Temporanea Posticipata

VA = R · _Ȧn|i (1 + i)^-m

Temporanea Anticipata

VA = R · ä_n|i (1 + i)^-m

19.10.2013

Esercizio:

I.C. i = 11%

N = δ = (1 + i)^t₄

36 = 8 (1 + 0,11)^t₄ ➔ log 3 = log 1,11 ➔ log 3 = t₄ = 10,52

log 1,11

Ji = _2S⁄^S = 2 = 200%

Js = _2S⁄^3S = 0,6 = 66,67%

δi = ₂⁄^10,52 = 0,19

δs = _0,6⁄^10,52 = 0,063

20.10.2015

esercizio: TCF 13_y C=100 tau = inow = 7%

S = 0,065 annui^-1 i_c = 0,04 / 2 = 0,02

I₂ = 0,035 · 100 = 3,5

P: 3,5 3,5 3,5

0,5 i ··· 3

P₂ = I₂ · a₁₂ + 100 · ∨ {0,13}₂

P_3,5 = 3,5 · 1 - (1 + i₁₂)^-26 + 500 (1 + i)^-13

P₃ = 3,5 · 1 - e^-i₂·26

e^3·I + 100 · e^-8·13 = 403,90

(i + i_t2) = e^8/2

• Se il tasso cedolare (ic) è < del tasso di attualizzazione (i₂) allora P < C per cedole semestrali;
• Se ic > i₂ => P > C;
• Se ic = i₂ => P = C.

RAGIONE ECONOMICA:

nel primo caso é quotato sotto la pari e per venderlo devo abbassare il prezzo, nel secondo posso ottenere un prezzo più alto e nel terzo caso il titolo rende giusto al suo prezzo

es.

+180000 _{R1 R2 R20} i=9%

_Pm|i = R

_P(1-1-vⁿ) = R

R=180000.0.04 / 1-1.04^-20

=13241.1506

i₂4%

R=6557.43.2 = 13114.85.

i₂ = 0.09/2 = 0.02

R₂ 180000 0.02 / 1 -1.02^-40

= 6550.03

Piano di ammortamento di un prestito con il metodo francese o con rate costanti

n 0 0 0 0 S

1 0 0 0 0

2 _Ds = _S.i / 1-(1+i)^-n

3 _I = _D^m-1.i

4 Q_c = _Ra - _Is

_Dr = _Ds - _C

Piano di ammortamento a quote capitali costanti

S = 60.000 5 rate semestrali i = 4,04% quote capitali costanti:

^{i₂ = (1+0,0404)1/2-1 ≈ 2%}

C_R = ^60.000/₅ = 12.000

• n

• R

• C

• I

• D

1. 0 0 0 0 60.000

2. 1 12400 12000 1200 48000

3. 2 12960 12000 960 36000

4. 3 12720 12000 720 24000

5. 4 12480 12000 480 12000

6. 5 12240 12000 240 0

Data decrescente

_{CR = ^S/n}

_{DR = DR-1 - CR}

_{IR = DR-1 · i}

_{RR = CR + IR}