Appunti di Matematica finanziaria

DURATA: DUE UNITÀ DI TEMPO

A CEDE A B AL TEMPO t=0 l’importo S maggiore di 0 unità monetarie

B restituisce ad A dall’importo S +I1+I2 unità monetaria al tempo t=2 con

I1 l’interesse per il primo periodo e

I2 l’interesse per il secondo periodo

Composizione delle operazioni (p.v. di A) {−S, S + I1}/{0, 1} e

Due parti: A e B.

Durata: 2 unità di tempo.

{−(S+I1),S+I1 +I2}/{1,2}.

{−S,S+I1}/{0,1}+{−(S+I1),S+I1 +I2}/{1,2}={−S,S+I1 +I2}/{0,2}

Equivalenza finanziaria fra

W (0) = S unità monetarie al tempo 0

W (1) = S + I1 unità monetarie al tempo 1

W(2) = S + I1 + I2 unità monetarie al tempo 2

La stessa logica anche per 345 eccetera

Per ogni k, Ik = W(k) − W(k − 1), equazione ricorrente W(k)=W(k−1)+Ik .

Per ogni periodo k, tasso di interesse

EQUAZIONE RICORRENTE W(k)=W(k−1)(1+ik) .

Assegnare una legge di capitalizzazione = assegnare valore iniziale W (0) e

▶ la successione degli interessi I1, I2, I3, ...

▶ oppure, la funzione valore W(k) ad ogni istante k,

▶ oppure, la successione dei tassi di interesse i1, i2, i3, ...

▶ oppure, per ogni istante k, una delle tre grandezze Ik, W(k) o ik.

Spesso, al posto di elencare una tabella di grandezze, si assegna una regola di

evoluzione diW(k) (o,il che è lo stesso,di Ik o di ik).

Le più usate nella pratica:

legge degli interessi semplici

legge degli interessi composti

Legge degli interessi semplici

È definita dalla regola

Ik = I (costante) ,

∀k

I = interesse unitario (cioè riferito all’unità di tempo).

Quindi:

W(0) = S

W (1) = S + I

W (2) = W (1) + I = S + 2I

. . .

W(k) = W(k − 1) + I = S + kI Punti (k, W (k)) disposti su una (semi)retta di pendenza

(coefficiente angolare) I. = crescente se I > 0,

orizzontale se I = 0, o decrescente se I < 0.

TASSO UNITARIO DI INTERESSE

Se I > 0 si dispone lungo un’iperbole decrescente:

Quale è l’andamento se I = 0? E se I < 0?

Il tasso del primo periodo è i1 =I/S e viene chiamato tasso (unitario) semplice

e indicato con iS (il pedice “S” sta per “semplice”).

Risulta, per ogni k,

Ik =I=iSS ,

W(k)=S+kI=S+kiSS=S(1+kiS) ,

L’interesse di ogni periodo k è calcolato al tasso semplice iS sempre e solo,

sulla somma iniziale S, senza considerare gli interessi già maturati fino a quella

data: Ik = iSS e non Ik =iSW(k−1).

Spesso si dice: “Nella legge degli interessi semplici, gli interessi non si

compongono: gli interessi precedenti non fruttano nuovi interessi.”

Ma è corretta questa affermazione?

La risposta a questa domanda, escludendo il caso banale I = 0, è . . . dipende.

L’affermazione non è infatti completa, perché non specifica a quale tasso sono da

calcolarsi gli interessi per il periodo k. Sono entrambe vere le relazioni:

Quindi:

▶ L’affermazione è corretta se la si completa con “se calcolati al tasso iS”.

▶ L’affermazione non è corretta se la si completa con “se calcolati al tasso ik ”

(per

Legge degli interessi semplici definita solo per scadenze k = 1, 2, . . . intere (rispetto

all’unità di misura dei tempi in uso).

È possibile estenderla ad una legge definita per ogni t R, con t > 0, usando la

∈

stessa formula: W(t)=S(1+iSt) .

Chiameremo quest’estensione legge lineare.

Questa legge si usa per:

Gli interessi legali (art. 1284 cc ) sono calcolati secondo la legge lineare

al tasso legale di interesse, fissato con decreto del MEF e rivisto con

cadenza solitamente annuale. Per il 2024 è stato fissato al 2.5% dal DM

29/11/2023 (GU Serie Generale n. 288, 11/12/2023) .

In un contratto di conto corrente è fissato il periodo di capitalizzazione

degli interessi (tipicamente, il trimestre solare). All’interno del periodo di

capitalizzazione gli interessi maturano con legge lineare, ad un tasso annuo

semplice contrattualmente fissato e periodicamente rivisto. Al termine del

periodo di capitalizzazione, gli interessi maturati vengono versati nel conto e,

da lì in poi, contribuiscono a formare nuovi interessi.

is tasso unitario nell’unità di misura dei tempi scelta, t deve essere nella

stessa unità di misura dei tempi!

Esempio:

Tempo in anni, iS = 5% in base annua, valore dopo t = 1 mese:

Un conto deposito remunera l’investimento al 3.5% annuo semplice. Investendo

S = 10 000 euro al tempo zero e chiudendo l’investimento dopo t = 17 mesi,

quanto mi verrà liquidato?

Determinare il tempo di raddoppio del capitale investito in legge lineare

Esercizio che l’estensione dell’esercizio precedente

Determinare dopo quanto tempo il capitale si è investito in legge lineare

raggiunge un livello S assegnato

Se iS < 0, W(t) è decrescente,

con W(0) = S > 0

intercetta della retta è in t0 > 0 e per t > t0 W(t) < 0.

Interpretazione finanziaria: se accetto di percepire un interesse semplice

Soluzione esercizio precedente con iS < 0 e S′ = 0:

Per evitare che W(t) diventi negativo, che potrebbe avere poco senso nell’ambito

del problema in esame, ci si deve limitare a scadenze t < t0.

In modo equivalente, se T è la scadenza massima di interesse, si può fissare iS >

−1/T : in questo modo T < −1/iS = t0 e quindi, per ogni t ≤ T, W(t) > 0.

LEGGE INTERESSI COMPOSTI

è definita dalla regola ik = iC (costante) ,

∀k

con iC > −100%

iC = tasso di interesse unitario (cioè riferito all’unità di tempo), viene chiamato tasso di

interesse (unitario) composto (il pedice “C” sta per “composto”).

W(0) = S

W(1) = W(0)(1 + iC) = S(1 + iC)

W(2) = W(1)(1 + iC) = S(1 + iC)2

. . .

W(k) = W(k − 1)(1 + iC) = S(1 + iC)k

Successione (k,W(k)) si dispone su una curva esponenziale con base (1 + iC).

= crescente se iC > 0 (base > 1),

orizzontale (caso degenere) se iC = 0 (base = 1),

o decrescente se −1 < iC < 0 (base positiva e < 1).

Tasso unitario di interesse costante ik = iC per ogni k (per definizione).

Interesse Ik = ikW(k − 1) = iCS(1 + iC)

= se iC > 0 cresce esponenzialmente con k;

= se iC = 0 è costante (nullo);

= se−1 < iC < 0,poichéW(k−1) decresce esponenzialmente, Ik cresce come

un’esponenziale “ribaltato” (ma è negativo).

⇐

interessi composti” gli interessi accreditati prima di k contribuiscono a creare gli

interessi in k al tasso iC: Una scomposizione di questo tipo, che

evidenzia la parte di interesse dovuta alla

composizione, può avere rilevanza in ambito

contabile

W(k) definito solo per scadenze k = 1, 2, ...intere (rispetto all’unità di misura dei

tempi in uso).

È possibile estenderla ad una legge definita per ogni t R, con t > 0, usando la

∈

stessa formula: W(t)=S(1+iC)

Chiameremo quest’estensione legge esponenziale.

Esempio

Nei contratti di mutuo o, più in generale, nei prestiti, si usa praticamente sempre la legge

esponenziale, ad un tasso annuo composto contrattualmente fissato.

Osservazione

iC tasso unitario nell’unità di misura dei tempi scelta, t deve essere nella stessa unità di misura dei

tempi!

−→ Altrimenti disastro!

Esempio:

Tempo in anni,

iC = 5% in base annua,

valore dopo t = 1 semestre:

Esercizio

Un conto deposito remunera l’investimento al 3.5% annuo composto. Investendo

S = 10 000 euro al tempo zero e chiudendo l’investimento dopo t = 17 mesi, quanto mi

verrà liquidato?

Esercizio

Determinare il tempo di raddoppio del capitale investito in legge esponenziale

esercizio, estensione dell’esercizio precedente

Determinare dopo quanto tempo il capitale essere investito in legge esponenziale

raggiunge un livello S assegnato

Confronto fra le leggi lineare ed esponenziale

Nel caso in cui iS = iC = i > −100% si confronti l’evoluzione del valore nelle leggi lineare

ed esponenziale.

Per i > 0,

— WC(t) = S(1 + i) è funzione crescente e convessa di t;

— WS(t) = S(1 + it) è funzione crescente e lineare (o, più precisamente, affine) di t.

WC(0) = S = WS(0)

◦Wc (1)=S(1+i) =S(1+i×1)=Ws (1)

per la convessità:

• per t (0, 1), si ha WC(t) < WS(t)

∈

•pert >1,sihaWC(t)>WS(t)

Nel caso i > 0, la legge lineare “vince” per t (0, 1)

∈

ma per valori “normali” di i la differenza è piccola,

come mostrato nella seguente tabella per t = 1 e dove si assume di partire da S = 100:

Esercizio

Un’azienda necessita di un prestito di 100 000 euro, da restituire (con gli interessi) in unica

soluzione dopo t = 2 anni e 7 mesi.

Ha due opportunità di finanziamento:

▶ Banca A: interessi al tasso annuo semplice iS = 7%.

▶ Banca B: interessi al tasso annuo composto iC = 6.5%.

Quale delle due conviene scegliere?

Esercizio

Un conto deposito remunera gli investimenti

per i primi due anni al 3% annuo composto

per i successivi due al 5% annuo composto,

successivamente, al tasso annuo semplice del 6%.

Investendo 100 euro per 5 anni, quanto otterrò a scadenza?

Esempio (Buoni postali fruttiferi)

Investimento iniziale S remunerato per n = 20 anni (tipicamente) secondo la

successione dei tassi annui composti i1, i2, ..., in.

Successivamente, al tasso annuo semplice iS, per ulteriori m = 10 anni (tipicamente).

Esercizio (n. 7 della raccolta Attività finanziarie in condizioni di certezza)

Il signor Russo deve scegliere fra due modalità di investimento propostegli da due

banche web:

•ilContoVerde, nel quale il capitale investito cresce al tasso IV =3%annuo composto;

• il Conto Giallo, nel quale il capitale investito cresce al tasso iG = 4% annuo

semplice.

Il signor Russo vuole mantenere il capitale investito fino a che la somma investita

non sia aumentata di un quarto.

Si determini anzitutto il tempo TV necessario a raggiungere l’obiettivo nel caso di

investimento nel Conto Verde e quello TG necessario con il Conto Giallo.

Si determini infine in quale dei due conti investirà il signor Russo

Esercizio (n. 1 della prova scritta del 9 settembre 2024)

La famiglia Rossi vuole investire 50 000 euro e le vengono offerte le seguenti opportunità:

▶ Il Conto Azzurro, in cui l’investimento viene remunerato al 1.5% annuo composto per il

primo anno e al 2% annuo composto per gli anni successivi.

▶ Il Conto Viola, in cui l’investimento viene remunerato al 1.75% annuo semplice.