Matematica finanziaria - prima parte

1

I. LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

1. LEGGE DEGLI INTERESSI SEMPLICI ( legge lineare ): gli interessi sono proporzionali al tasso di

interesse, alla somma investita e alla durata dell’investimento.

Viene denominata legge lineare poiché M (montante) è una funzione lineare del tempo. Nella legge lineare è

costante l’interesse, mentre il tasso periodale di interesse j

, l’intensità di interesse e l'intensità istantanea di

γ

interesse decrescono.

δ

Nelle operazioni pluriennali la legge lineare non è molto adatta. Nella realtà si utilizza solo per operazioni con

durata minore di un anno.

● I : interesse → M - S = S * i * t

● M : montante / somma finale → (S + I) = S (1+ i * t) =S* m (0; t ) =

( 0

;

)

1

● S: somma iniziale → * M= M* =

( 0 ;

)

1

+

*

( 0

;

)

● m (0; t) : fattore montante → = (1 + i * t)

1 (

)

● v (0; t) : fattore di attualizzazione/ di sconto → = = con t<s

1

+

*

−

● d : tasso di sconto → =

−

● j : tasso periodale di interesse → =

−

● γ : intensità istantanea di interesse → =

∆

∆

*

−

● k : intensità di sconto → =

∆

∆

*

● i : tasso annuo di interesse

● w(t) : M * v ( t ;s) = S * m (

t ;s) (

)

● : limite dell'intensità di interesse per la durata dello scambio che tende a 0 → →

= lim γ δ =

→

∆

0

NB : In una funzione lineare: (0; t )= è decrescente (rispetto a t)

1

+

*

OPERAZIONE FINANZIARIA: coppia di vettori, in cui il primo rappresenta una sequenza di importi ed il

secondo gli scadenziari: . Naturalmente x è esigibile/pagabile in t .

{

0 , 1 , ....,

}

/ {

0 ,

1 , ...,

} 0 0

L’operazione finanziaria è “fatta bene” se gli importi non hanno tutti lo stesso segno. Si parlerebbe altrimenti di

arbitraggio . ES: . Si parla di arbitraggio non rischioso quando un’operazione

{

− 100 , − 10 , − 1 , − 101 }

finanziaria garantisce almeno un’entrata, senza prevedere nemmeno un’uscita.

2. LEGGE ESPONENZIALE (legge degli interessi composti)

: l’interesse è crescente, mentre il tasso periodale

di interesse j , l’intensità di interesse e l'intensità istantanea di interesse sono costanti.

γ δ

● →

[ (

) ] =

( 1 +

)

● e →1+ i;

δ

● i → e -1;

δ t t

● m (0 ; t ) → e = (

e ) = (1+ i

)

δ * δ

1 1

- ( ) -

t

● v(0; t) → e = = (1+

i )

δ *

=

( 0

;

) ( 1

+

)

t

● M → S * e = S * (1+ i

)

δ *

● S →

( 1

+

)

(

)

(

0

;

)

NB: =

δ( 0 ;

) = −

PG

2

TASSI EQUIVALENTI:

1 1

Lineare : i : , i : ; Esponenziale: i : (1+ i

) , i : (1+i) -1

2

sem trim sem / 2 q

2 4

CONFRONTO TRA LEGGE LINEARE E LEGGE ESPONENZIALE

Esponenziale : MC= S (1 + i );

Lineare : ML= S (1 + i * t)

Con