Prima parte Matematica finanziaria

M = S e^5·t

espresso in anni?

STOCK → grandezza. Sono tutte misurate in € e sono quantità di denaro

FLUSSO → concetto legato allo stock

è una differenza tra due stock oppure è una variazione di uno stock

TASSO è sempre un flusso fratto uno stock

TASSO = FLUSSO / STOCK

Mettiamoci nell'ottica di un investitore che investe con il che avrà somme iniziale S

S₀ ----------------- M_t

S = somma iniziale al tempo 0

M = somma al tempo futuro t

Il flusso è dato dalla differenza tra somma finale e somma iniziale

FLUSSO = M – S = I

ed è chiamato INTERESSE (i)

creazione del capitale finale

e capitale iniziale

TASSO PRODOTTO DI INTERESSE (t)

J = I / S

INTERVALLO DI TEMPO

J [0, t]

variazione temporale

TASSO DI SAGNO o TASSO DI INTERESSE ANNUO (d)

d = I / M

INTERESSE somma finale

In economia, si parla di ELASTICITà RAPPORTO TRA DUE TASSI

TASSO 1

TASSO 2

Non è così tanto usato come si usa la semplicità della anche

INTENSITà

tasso Δt

∆t = variazione del tempo

Intensità di interesse X (quello)

X = TASSO DI INTERESSE / ∆t

Intensità di scambio K

K = TASSO DI SAGNO / ∆t

Un tasso è sempre un numero puro

Grandezza adimensionale che offre delle unità a misura unitaria.

es. 1

• S = 1.000 €
• I = 5 €

Numero puro

La frazione è e cioè si supp. fra.

es. 2

• S = 100
• I_anno = 120
• S_{6 mesi} = 120 semestre

Numero puro

Calcoliamo l'intensità di interesse i

_i = j / Δt

Intensità espressa in anni

• _i = 0.20 anni^-1

Intensità espressa in semestri

• _i = 0.20 / 12 semestri^-1

Se al tempo 0 investiamo una certa somma, e questo somma la riprendiamo dopo un certo tempo + 1, lui restituisci qualcosa in più -> ciò vuol dire che il tasso di interesse deve essere positivo.

Positività di interesse

S < M

• Se per un certo "i" danno in più di comp. soma di denaro, quando l'amb. prende questo soma di denaro voglio qualcosa in più.

Nel momento in cui investo qualcuno, se corro a breve, si supponi a prendere qualcosa in più.

Leggi Usuali

• Interessi

I = S · j · t

• Montante

M = S(1+ j · t)

1. M_a = S(1+ j) ^t

M = S + I

Fattore Montante

Valore di 1€ al tempo t (scadenza) investito al tempo 0

M_(0,t)

S = (1/1+j·t)

• Reciproco del fattore montante

1. N_(0,t)

Fattore di Attualizzazione

Valore di 1€ al tempo 0 al scadenza al tempo t

1. Att

0 ----------------- t

1€

t

1€

Valore = presente

Tassi Equivalenti

Due tassi sono equivalenti se fanno maturare lo stesso interesse

Problema:

• Tasso anno = 6%

e semestrale =?

Mensile =?

T_anno = 2t semestre

• T = tempo espresso in anni

1. t_sem in semestri

S: 0,06· t = S· j_sem · 2t

Considerando t=1

8· 0,06· 1 = S· j_sem · 2

j_sem = 0,06/2

3%

i_mese = (tasso anno /12)

Esercizio

Nella legge lineare si osserva:

• L'interesse annuo
• L'intensità istantanea di interesse
• Il valore attuale
• Il tasso annuo composto

Esercizio

Dato un intervallo _{[t, λ]} con t < λ, dire quali delle seguenti relazioni tra le funzioni monotone m(t, λ) e tasso istantaneo di interesse j(t, λ) è corretta.

• m(t, λ) + j(t, λ) = λ
• m(t, λ) - j(t, λ) = λ
• m(t, λ) / j(t, λ) = λ
• m(t, λ) · j(t, λ) = λ

W = ^{S + I} / S

m(t, λ) = µ + j(t, λ)

m(t, λ) - λ = j(t, λ)

Legge lineare (esempio su excel)

j = 9% (tasso di interesse annuo)

w(0) = 10.000 € (capitale)

1. t
2. W(t)
3. I (domanda)
4. j(t, t+λ) (soluzione)
5. ẟ (t, t+λ) (soluzione)

• 0
• 10.000
• 1
• 10.200
• 200
• 2,0000...
• 0,02000
• 2
• 10.400
• 200
• 1,9608...
• 0,01961
• 3
• 10.600
• 200
• 1,9231...
• 0,01923

Cosa succede nella legge lineare?

• Interesse annuo costante
• Tasso annuo decrescente j(t, t+λ)
• Intensità di interesse decrescente ẟ(t, t+λ)

20/10/2021

5.000 + 1.000 = 5.000 (1 + 0,04)^t

6.000 = 5.000 (1,04)^t

^6.000/_5.000 = (1,04)^t

^{log 1,2}/_{log 1,04} = t

t = ^{log 1,2}/_{log 1,04} = 4,64586049 anni

LEGGE UNIFORME

Formula da cui parte

I = g_i · t

Con la legge uniforme gli interessi con cui si producono gli interessi maturano

1.000 = 5.000 · 0,04 · t

1,000/5.000 = 0,04 · t

0,2 = 0,04 · t

t = ^0,2/_0,04 = 5

Finanziamenti i cui interessi sono certi

Prestito

Si consideri l'investimento di una somma S per l'anno e 2 mesi che produce un interesse pari a 250 €. Sapendo che il tasso periodale di interesse (i) è pari a 6% si calcolino:

• il tasso periodale di sconto K in %
• l'intensità di interesse g in mese^-1

23/10/2021

I = 250 €

i = 6%

t = 1 a + 2/12

? S

? K

? g

j = ^I/_S

j = ²⁵⁰/_S x bimestrale = interesse per S

j = 0,06 = ²⁵⁰/_S x

j = ²⁵⁰/_0,06 = 4,166,67

K = ^I/_M

k = ²⁵⁰/_{4,166,67 + 250} = 5,6604 %

g = ^0,06/₁ = 0,00492 mese^-1

Investimento

21.000 €

Montante

21.000 · 1,15

a)

21.000 · λ1,15 = 21.000 · (λ)¹

λ_1,1428571 = λ_1,1428571 = 1,9759% /₀

b)

21.000 · λ1,15 = 21.000 · (1 + i)¹

λ_6,655331 = λ_6,655331 = 2,1222% /₀

δ = 0,02λ

(μ + λ)^t = e^δ

t = e^-δ - λ = 2,1222% /₀

30 mesi = 24 mesi + 6 mesi = 21,5 anni

Esercizio 2

Consideriamo questo scenario di un'operazione di investimento

• 0.5
• 4,5
• 8 unità

Consideriamo effe lineare e effe esponenziale

λ = 6,09%

? m(x, 0,5)

? v(x, 0,9)

? w(x, 0,5)

Effetti Lineare

• Montante → m(x, 0,5) = -100(1+0,0609*0,5) + 3 = -100, 045
• Valore Attuale → v(x, 0,5) = ³⁄_1+0,0609*0,5 + ³⁄_1+0,0609*1 + ¹⁰³⁄_1+0,0609*1,5 = 100, 1177
• Valore Complesivo → w(x,0,5) = -100,045 + 100,1177 = 0,07266
• Non è un'operazione equa in t=0,5 secondo la legge lineare

Effetti Esponenziale

• Montante → m(x, 0,5) = -100 * 0,0609 + 3 = -150
• Valore Attuale → v(x, 0,5) = 3 : 1.0609^-0,5 + 3 : 1.0609^-1 + 103 : 1.0609^-1,5 = +100
• Valore Complesivo → w(x, 0,5) = -100 + 100 = 0
• Operazione equa in t = 0.5 secondo la legge esponenziale

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