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Φ → Φ

Teorema ( ) Se è uniforme nel tempo (C, t , t ) = M (C, t)

prendi una donna, trattala male…fuori dal letto nessuna pietà 1 2

Φ

La e quindi M è uguale a M = C + I

(Anche I è una funzione di C, t , t . Se I è uniforme nel tempo vale la stessa proprietà, il teorema è comunque vero:

1 2

I = f(C, t , t ) F(C, t , t ) = K (C, t)

1 2 1 2

Φ → Φ Φ

Dimostrazione Se è uniforme nel tempo (C, t , t ) = (C, t +x, t +x)

1 2 1 2

Φ Φ Φ

Poniamo t = –x (C, t , t ) = (C, –x+x, t – t ) = (C, t – t ) = M (C,t)

1 1 2 2 1 2 1

t = –t

2 1 22 21

Esempio: t – t

Φ

La funzione (C, t , t ) = C * e è uniforme nel tempo?

1 2 2 2 22 2 12 2

(t +x) – (t +x) t +x +2t2x – (t +x +2t x)

2 1 1

→ Φ →

(C, t +x, t +x) = C * e = C * e non è uniforme nel tempo!

1 2

2) Additività rispetto al capitale

Una legge si dice additiva rispetto al capitale se il montante M di 2 capitali, C e C , è uguale al montante del

1 2

primo capitale C sommato al montante del secondo capitale C :

1 2

Φ Φ Φ

(C +C , t , t ) = (C , t , t ) + (C , t , t ) (in pratica investire 100+100 o 200 è lo stesso)

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

Φ → Φ →

Teorema Se è additiva rispetto al capitale (C, t , t ) = C * f (t , t ) fattore di capitalizzazione: è una

1 2 1 2

quantità che moltiplicata per C dà il montante M. Rappresenta il montante di un’unità di capitale impiegato da t a t .

1 2

Φ.

Anche il fattore di capitalizzazione ha delle proprietà minime che derivano dalle proprietà minime di

• Φ

Dalla 1° proprietà di non si ricava nulla.

• Φ

Dalla 2° proprietà di si ricava che f (t , t ) = 1

1 2

• Φ

Dalla 3° proprietà di si ricava che f ’ (t , t ) > 0

2 1 2

• Da C * f (t , t ) < C * f (t , t ) si ricava che: f (t , t ) > 0

1 1 2 2 1 2 1 2

Da queste 3 proprietà messe insieme si ricava non solo che f (t , t ) > 0, ma anche che f (t , t ) > 1.

1 2 1 2

Supponiamo di avere C , se devo calcolare l’interesse faccio F (C , t , t ). In generale, se ho C farò F (C, t , t ).

1 1 1 2 1 2

Se divido la prima quantità F (C , t , t ) per C : F (C , t , t ) / C ottengo l’interesse I prodotto da un’unità di capitale che

1 1 2 1 1 1 2 1

faceva parte di C . Lo stesso vale per C .

1 2

Se supponiamo che l’interesse che viene prodotto da un’unità di capitale C sia sempre lo stesso allora questa catena è

una catena di uguaglianze (=): F (C , t , t ) / C = F (C , t , t ) / C = F (C, t , t ) / C.

1 1 2 1 2 1 2 2 1 2

Se però l’interesse prodotto da un’unità di capitale è sempre lo stesso vuol dire che l’interesse prodotto non dipende dal

, t ) che dipende solo da t e t e non dal capitale C:

capitale C di cui è parte e allora abbiamo una nuova funzione K (t

1 2 1 2

F (C, t , t ) = C * K (t , t )

1 2 1 2

Questa quantità è additiva rispetto al capitale. L’interesse allora non dipende dal capitale di cui faceva parte: la legge è

additiva rispetto al capitale. Con l’ipotesi di additività supponiamo che un’unità di C dia lo stesso interesse di 100 unità

di C (ciò si discosta dalla realtà).

3) scomponibilità e scindibilità

Una legge di capitalizzazione si dice scomponibile se:

Φ Φ

(C, t , t ) = (Φ (C, t , z), z, t ) nell’istante z si disinveste il montante ottenuto in z e lo si rinveste

1 2 1 2

C per il periodo restante.

≤ ≤ ≤

Con 0 t z t

1 2

t t z t Non tutte le leggi sono scomponibili!

0 1 2

Φ

Teorema Se è scomponibile e additiva rispetto al capitale la legge è scindibile, cioè:

f (t , t ) = f (t , z) * f (z, t )

1 2 1 2

Φ Φ →

Dimostrazione Se (C, t , t ) = (Φ (C, t , z), z, t ) C * f(t , t ) = C * f (t , z) * f (z, t )

1 2 1 2 1 2 1 2

Φ →

E se (C, t , t ) = C * f (t , t ) f (t , t ) = f (t , z) * f (z, t ) ho dimostrato il teorema!

1 2 1 2 1 2 1 2

Una legge per essere scindibile deve essere contemporaneamente additiva e scomponibile.

– t

Esempio: t

2 1

Φ

La funzione (C, t , t ) = C * e è additiva rispetto a C?

1 2 t – t t – t t – t

2 1 2 1 2 1

→ Φ → Φ

Φ

Verifico (C , C , t , t ) = (C + C ) * e (C , C , t , t ) = C * e + C * e (C , C , t , t ) =

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Φ Φ →

= (C , t , t ) + (C , t , t ) sì è additiva!

1 1 2 2 1 2

È anche uniforme? t – t t – t t – t t – t

2 1 2+x 1–x 2 1 2 1

Φ Φ → → →

(C, t , t ) = (C, t +x, t +x) C * e = C * e C * e = C * e sì!

1 2 1 2

È scomponibile? t – t z – t t – z t – t t – t

2 1 1 2 2 1 2 1

Φ Φ → → →

(C, t , t ) = (Φ (C, t , z), z, t ) C * e = C * e * e C * e = C * e sì!

1 2 1 2

→ la legge è anche scindibile!

Φ

Se una legge è additiva e uniforme accade che:

Φ (C, t , t ) = C * f (t , t ) = C * I = C * F (C, t , t ) = C + C * K (t , t ): conseguenza dell’additività devono valere

1 2 1 2 1 2 1 2

Φ →

(C, t , t ) = M (C, t): conseguenza dell’uniformità entrambe

1 2

→ Φ , t ) = M (C, t) = C (1 + K(t , t )): da ciò ricavo che:

(C, t

1 2 1 2

Φ (C, t , t ) = C * (1 + K (t)) = C + CK (t): questo perché è uniforme, cioè perché non dipende da t e t .

1 2 1 2

Continua… 2

1 + K (t) = fattore di capitalizzazione f (t) = 1 + K (t) è il montante M di un’unità di capitale C = 1 impiegata da 0 a t.

C = 1 M Esempio di legge scomponibile ma non scindibile:

Φ(C, t – t

e 2 1

, t ) = (C + 1) – 1

t

0 1 1 2

È una funzione a due variabili con proprietà minime che sono:

1) f (0) = 1 Classica domanda: introdurre il regime semplice, il

2) f’ (t) > 0 tasso variabile e spiegare come si perviene

3) f (t) > 0 all’espressione a tasso fisso se i = i = i .

1 2 n

Esempio: t

Data f (t) = (1 + 0,01) verificare se f (t) è un fattore di capitalizzazione.

→ 0

1) f(0) = 1 (1 + 0,01) = 1 ok

→ →

t x x

2) f’(t) > 0 (1 + 0,01) * log (1,01) f’(t) > 0 ok (da matematica ricordiamo che: D a = a * log a)

e e

→ t

3) f(t) > 0 (1 + 0,01) > 0 ok

Ora parliamo del regime dell’interesse semplice

Φ → →

(C, t , t ) = C (1 + K(t)) = C + CK(t) interesse e lo chiamiamo I (C,t) I (1,1) è l’interesse che viene prodotto da

1 2

1 unità di capitale C = 1 impiegato per t = 1 anno. È il cosiddetto Tasso “annuo” di interesse (i).

L’interesse è calcolato in modo direttamente proporzionale al capitale, nel regime dell’interesse semplice si chiede che

l’interesse sia proporzionale anche al tempo, quindi C * i * t secondo un fattore di proporzionalità che è del tipo i > 0.

Nel regime dell’interesse semplice, il montante M è:

Φ , t ) = M (C,t) = M = C + C * i * t = C (1 + it) dove 1 + i è il fattore annuo di capitalizzazione

(C, t

1 2

Esempio: 100 M i = 0,02

0 3 1,5 4,5

M = 100 (1 + 0,02 * 1,5) = 103

Noi abbiamo supposto che nel regime dell’interesse semplice, il tasso di interesse sia sempre lo stesso per tutto il

periodo, ma nella realtà non è così!

Introduciamo allora l’argomento del regime dell’interesse semplice a tasso variabile

C

0 t t + t ……………………………….t = t + t + … + t t

1 1 2 r 1 2 n

i i… i

i

0 1 r

∑ → ∑

(1) (2) (r) ns=1 (s) ns=1 (s)

M (C, t) = C + C * i * t + C * i * t + … + C * i * t = C + C * i * t I = C * i * t

1 2 r s s

C’è un altro regime: il regime della capitalizzazione composta “annua”.

C Con n intero

0 1 2…………………n

Φ

1) (C, 0, 0) = C

Φ

2) ( C, 0, 1) = C + C * i * t = C + C * i = C (1 + i) All’interno dell’anno il regime è semplice, mentre

alla fine degli anni interi gli interessi maturati vanno ad aggiungersi al capitale per generare altri interessi in regime di

interesse semplice (cioè l’interesse viene capitalizzato): M (C, 2) = M (C, 1) + M (C, 1) * i * 1

Φ Φ Φ Φ 2

(C, 0, 2) = (C, 0, 1) + (C, 0, 1) * i = (C, 0, 1) * (1 + i) = C (1 + i) * (1 + i) = C (1 + i)

→ Φ n

in generale: (C, 0, n) = C (1 + i)

Ma se n non è intero come si fa? Per estendere la funzione ai valori non interi di n ci sono due tipi di convenzioni:

No+p

1) convenzione esponenziale: M = C (1 + i) dove n è la parte intera e p è la parte decimale p = n – [n ]

o o

No

2) convenzione mista: M = C (1 + i) * (1 + ip) Si applica la capitalizzazione esponenziale per n intero e quindi si

0

Esempio: applica, per la restante frazione, la capitalizzazione semplice.

C = 100; n = 4 anni e 6 mesi; i = 0,03; M = ? 4,5 ≠

1) convenzione esponenziale: M = 100 * (1 + 0,03) = 114,23 Nota: se avessi 4 anni e 8 mesi, n 4,8 = 4 + 8/12 = 4,6

4

2) convenzione mista: M = 100 * (1 + 0,03) * (1 + 0,03 * 0,5) = 102,64 (è inferiore, visto che moltiplico e non elevo)

Domanda: qual è la differenza tra le due convenzioni? Le confronto (per le proprietà delle potenze posso dividerla così):

No p

1) M = C (1 + i) * (1 + i) questi ultimi due determinano la differenza 1

No

2) M = C (1 + i) * (1 + i * p) f (p) 2

la variabile è p

p

Confrontiamo (1 + i) e (1 + i * p) con 0 < p < 1 1+i

p

1) f (p) = (1+ i) Esponenziale = curva

0 Lineare = retta

f (0) = (1 + i) = 1

1

f (1) = (1 + i) = 1 + i 1

2) f (p) = (1 + i * p)

f (0) = (1 + i * 0) = 1

f (1) = (1 + i * 1) = 1 + i 0 p 1 p

Continua… 3

La convenzione mista dà valori > della convenzione esponenziale. Questo se p è compreso tra 0 ed 1. Ma se p è

maggiore di 1, cosa succede? Se > 1, cioè se passa l’anno, la convenzione esponenziale mi dà un valore maggiore

dell’interesse semplice. Questo accade perché nella capitalizzazione composta alla fine dell’anno gli interessi maturati

generano nuovi interessi, mentre nel regime dell’intereresse semplice no, perché è una retta.

Continuiamo a confrontare le due convenzioni:

n

1) M = C (1 + i) per ogni n ponendo C = 1 Negli interi le 2 convenzioni danno gli stessi risultati.

[n]

2) M = C (1 + i) (1 + i (n – [n]))

Nei decimali ci sono due casi:

(normalmente, invece, una funzione esponenziale > retta)

• → → 0

se n € (0,1) M = 1 + i * n è una retta. Es.: se n = 0,3 e C = 1 M = 1 * (1 + i) + (1 + i(0,3–0)) = 1 + i * n

• → 1 * (1 + i(n – 1)) è ancora una retta.

se n € (1,2) M = (1 + i)

f(p) Il grafico è una spezzata e questo implica che la

convenzione mista dia sempre valori maggiori della

convenzione esponenziale, tranne che negli interi

1 dove le due convenzioni danno lo stesso risultato.

0 1 2 p

Capitalizzazione composta convenzione esponenziale

C Nota, soprattutto quando il tasso è variabile: mentre

nella capitalizzazione semplice avevamo una som-

0 n n +n n +n +…+n ∑

ns=1 (s)

1 1 2 1 2 r matoria: M=C * (1 + i * t ), in convenzione

s

esponenziale abbiamo una produttoria.

(1) (2)

i i ∏ ∏

n1 n2 nr ns=1 ns

M = (C, n) = C (1 + i ) * (1 + i ) * … * (1 + i ) = C * (1 + i ) dove “pi Greco” è il simbolo di produttoria.

1 2 r s

Regime di interesse semplice

→ →

M (C, t) = C (1 + i * t) M (1, i) = 1 + i fattore di capitalizzazione

I (C, t) = C * i * t I (1, 1) = i sono uguali!

Regime di capitalizzazione composta

→ →

n 1

M (C, n) = C (1 + i) M (1, 1) = 1 * (1 + i) = 1 + i fattore di capitalizzazione

Tornando alla scomponibilità ci sono 2 considerazioni da fare:

Φ

Φ , t ) = (Φ(C, t , z), z, t );

abbiamo detto che una legge è scomponibile se (C, t

1 2 1 2

Φ Φ Φ

poi una legge è additive se: (C + C , t , t ) = (C , t , t ) + (C , t , t ).

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

Se è sia scomponibile sia additiva, allora è scindibile.

1) interesse semplice:

Φ →

= (C, t , t ) = C (1 + i (t – t )) non è scomponibile.

1 2 2 1

2) capitalizzazione composta: →

Φ t2 – t1

, t ) = C (1 + i) è scomponibile.

= (C, t

1 2

Esempi vari di calcolo:

Regime dell’interesse semplice →

M = C (1 + it) da cui: M/C = 1 + it t = (M/C – 1)/i

Se C = 795 i = 0,05 M = 860 Quanto dura l’impiego?

→ → →

860 = 795 (1 + 0,05 * t) t (860/795 – 1) / 0,05 t = 1,635220126

→ t = 1 anno Mesi = 0,635220126 * 12 = 7,622641512

≈ →

Giorni = 0,62264152 * 30 = 18,6 19 la durata dell’impiego è di 1 anno, 7 mesi e 19 giorni

Capitalizzazione composta convenzione esponenziale

n n

M = C (1 + i) M/C = (1 + i) per calcolare n applico i logaritmi:

→ → →

n

log M/C = log (1 + i) log M/C = n * log (1 +i) n = (log M/C)/(log (1 +i)) è sufficiente utilizzare la

e e e e e e

calcolatrice scientifica.

Esempio:

n = log 860 – log 795 = 0,034131322 = 1,610781083

e e

log (1 + 0,05) 0,021189299

e

Convenzione mista

No

M = C (1 + i) * (1 + i * p) con N = [n] e p = n – [n] Noto M, C e i trovare n o t:

0

• →

se No = 0 M = C (1 + i * p) è = all’interesse semplice

• → 1

se No = 1 M = C (1 + i) * (1 + i * p) in questo caso ci sono due incognite.

Noto M, C e i possiamo conoscere la parte intera; calcolo in convenzione esponenziale la durata dell’impiego.

No No

M = C (1 + i) n = n – p. Ora prendo la convenzione mista M = C (1 + i) * (1 + ip) dove p è l’unica incognita.

o

Esempio: No * (1 + 0,05 * p)

860 = 795 (1 + 0,05)

No

860 = 795 (1,05) No = (log 860 – log 795)/log 1,05 = 1,610781083

e e e 4

→ → → →

1

860 = 795 (1,05) * (1 + 0,05 * p) 860 = 834,75 * (1 + 0,05 * p) 860 = 834,75 + 41,7375p 860 – 834,75 =

→ →

41,7375p 41,7375p = 25,25 p = 0,604971548

Durata del tasso di interesse

Noto M, C e t o n trovare i

1) regime interesse semplice:

→ → →

M = C (1 + it) M/C = 1 + it M/C – 1 = it i = (M/C – 1)*1/t

2) Convenzione esponenziale:

→ → →

n n 1/n 1/n

M = C (1 + i) M/C = (1 + i) (M/C) = (1 + i) i = (M/C) – 1

3) Convenzione mista:

Sia con No = 0 sia con No = 1 si riesce a risolverla: No = 1 M = C (1 + ip)

No = 0 M = C (1 + i) (1 + ip) x > 0 accettabile

2

C = (1 + ip + i + i + i p) due soluzioni x < 0 non ˝

Il regime di c/c bancario con capitalizzazione degli interessi al 31/12

Alla fine dell’anno solare, la banca fa il conto degli interessi e li aggiunge al capitale che ho versato in banca.

C = 100 Anatocismo: gli interessi passivi venivano

1/2/08

1/3/06 1/3/07 addebitati ogni 3 mesi, mentre quelli attivi ogni

1/12 anno. Noi considereremo tutto al 31/12.

31/12/06 31/12/07

10/12 1 anno →

1 11

M = 100 (1 + i) (1 + i / ) in convenzione mista separa l’anno e “i decimali”.

12 → →

10 1 1

Nel c/c bancario bisogna segnare le scadenze solari M = 100 (1 + i / ) (1 + i) (1 + i / ) “spezza” in 3 periodi.

12 12

Questo se il tasso i è costante, ma se cambia cosa succede?

100 200 –10 (prelievo)

1/3/06 1/7/06 1/3/07 1/7/07 1/2/07

31/12/06 31/12/07

i i i

1 2 3

S = saldo del c/c del 01/02/08 = c’è il cambio di tasso!

= 100 (1 + i 4/12 + i 6/12)(1 + i 6/12 + i 6/12)(1 + i 1/12) + 200 (1 + i 4/12 + i 6/12)(1 + i 1/12) – 10 (1 + i 1/12)

1 2 2 3 3 2 3 3 3

Tassi di interesse equivalenti (pag. 37 del libro)

Due tassi di interesse si dicono equivalenti se, applicati allo stesso capitale per la stessa durata di tempo, producono lo

stesso montante. Con t in anni, esistono tassi semestrali, quadrimestrali, trimestrali etc. ed in generale possiamo dividere

un anno in K parti, ciascuna delle quali è un Kesimo di anno: i = 1/K = tasso relativo ad un Kesimo di anno.

1) regime di interesse semplice 1) e 2) sono sempre una funzione C * f(t)

M = C (1 + it) M = C (1 + i t * K) M = M

1 2 1/K 1 2

→ →

M = M C (1 + it) = C (1 + i t * K) i = K * i

1 2 1/K 1/K

2) regime dell’interesse composto convenzione esponenziale

n nK

M = C (1 + i) M = C (1 + i ) M = M

1 2 1/K 1 2

→ →

n nK K

M = M C (1 + i) = C (1 + i ) (1 + i) = (1 + i ) studiare a memoria!

1 2 1/K 1/K

→ K 1/K

i i = (1 + i ) – 1 tasso annuo i = (1 + i) – 1 tasso relativo a 1/K di anno. (pag. 40 del libro)

1/k 1/K

Esiste un altro tasso annuo, cioè il tasso annuo nominale convertibile K volte l’anno (in capitalizzazione composta

ι ι(K)? ι 1/K

convenzione esponenziale). Si indica con (K) (“iota”K). Cosa è (K) = K * i * 1/K = K * [(1 + i) – 1]

→1 ι)

K 1/K

+ i = (1 + i ) i = (1 + – 1

1/K 1/K

Esempio: assegnato il tasso annuo nominale convertibile

2

100 semestralmente (1 + 0,01) = 1 + i

ι

0 3,5 (2) = 0,02

→ →

7 3,5 2 ½

M = 100 (1 + 0,01) = 100 (1 + i) (1 + 0,01) = 1 + i i = (1 + 0,01) – 1 = 0,004 Dalla f’ non cogliamo nulla,

½

ι ι

Considerazioni su (K): che andamento ha? (K) quindi, analizzando la f”,

ι 1/K scopriamo che è > 0, quindi la f’ è

(K) = K * i = K[(1 + i) – 1] con K = 1,2, … K € [1, +∞)

1/K crescente. Poiché lim f’(K)=0,

ι δ

1/K K→∞

lim (K) = lim (1 + i) – 1 = log (1 + i) = (“delta”) ι’(K)<0.

e Quindi la f è fatta così:

K→+∞ K→+∞ 1/K i

ea

y Asintoto

È un c.d. “limite fondamentale”: (a – 1) / y = log

∞) orizzontale

Regime di capitalizzazione continua (se K = (c’è sempre all’esame) δ

C M(s) M s € [0,t]

0 s s + ds t

(differenziale di s) 1 K

ρ (s) (“rho”esse) è il tasso istantaneo di interesse annuo. Può essere costante per ogni istante oppure può cambiare anche

da istante ad istante. Ora voglio trovare M: scrivo la legge di formazione del montante. M(s) è il montante del capitale C

impiegato in zero fino a s. Poi considero un istante successivo s + ds. M(s + ds) è il montante del capitale C impiegato

da zero fino a s + ds. Se faccio M(s + ds) – M(s) trovo l’interesse che matura nel tempo ds. 5

ρ(s) θ(ds).

LEGGE DI FORMAZIONE DEL MONTANTE = M(s + ds) – M(s) = M(s) ds + Non è uguale, perchè

ρ(s)

abbiamo supposto che il tasso sia uguale in tutto ds. Ma nella realtà non è così e allora devo aggiungere una

→ θ(ds).

quantità per rendere le due quantità uguali (“teta”) È un infinitesimo di ordine superiore a ds.

θ(ds)

Quando ds tende a zero, anche tende a zero ma in modo più veloce di quanto tenda ds (tocca prima lo zero):

θ(ds) θ(ds)

lim forma indeterminata 0/0, ma tende a zero più velocemente e lim 0 = 0

ds→0 ds→0

ds ds

Ma noi vogliamo trovare M: θ(s) θ(ds)

lim M(s + ds) – M(s) = lim M(s) ds + lim = Ricordiamo da matematica generale che il limite del

ds→0 ds→0 ds→0

ds ds ds rapporto incrementale è la derivata prima della funzione.

θ(s)

lim f(x + h) – f(x) = f’(x) M(s) tende a zero

h→0 h

→ ρ →

M’(s) = M (s) * (s) è un’equazione differenziale del primo ordine perché esiste la derivata prima della funzione.

→ ρ → ρ ρ(t)

(s) = M’(s)/M(s) Nota la funzione M, trovare (s). Qui abbiamo s, ma vale per qualunque t→ = M’(t)/M(t).

2

Esempio: 0,01t

Φ ρ

Data M(t) = (C, 0, t) = C * e (t) = ? è la c.d. “equazione differenziale” del primo ordine

→ ρ 0,01t2

(t) = C * e * 2 * 0,01t = 0,02t perché c’è la derivata prima.

0,01t2

C * e

ρ ρ(s) → ρ(s) →

Nota M(t) ho trovato (t), ma a noi interessa calcolare M(s) noto = M’(s)/M(s) D log M(s)

e

→ ρ ∫ ρ ∫ → ∫ ρ

t0 t0 t0 t0

(s) = D log M(s) integro da ambe le parti: (s) = D log M(s) log M (s)] = (s) ds (Torricelli)

e e e ∫t0ρ(s)ds

→ ∫ ρ → ∫ ρ → →

t0 t0 loge M(t)/M(0)

log M(t) – log M(0) = (s) ds log M(t)/M(0) = (s) ds vogliamo trovare M (t) e = e

e e e

∫t0ρ(s)ds ∫t0ρ(s)ds

→ →

M(t)/M(0) = e M (t) = M(0) * e (dove M(0) = C; “ds” è per chiudere l’integrale, non confondere)

Esempio: ρ

100 M con (s) = 0,02s

0 3,5

→ ∫ 3,5 2 3,50 2

e l

e v

a t

o 0,02s ds 0,02 s /2] 0,02 (3,5) /2 – 0

e l

e v

a t

o 0

M = 100 * e = 100 * e = 100 * e = 100 * 1,103031912 = 113,031912

(“fi” di t)

Facciamo alcune considerazioni:

∫t0ρ(s)ds ∫ ρ(s) φ →

t

1) M (t) = C * e ds è il fattore logaritmico di capitalizzazione e si indica con (t)

0 ∫t0ρ(s)ds φ(t)

→ ∫ ρ(s) φ → →

t0 ds = (t) M (t) = C * e = C * e fattore di capitalizzazione da 0 a t in cap. continua

C M Da C ad M capitalizzo Per trovare l’integrale tra t (cioè un istante

1

0 t Da t a 0 attualizzo successivo a 0) e t, anziché tra 0 e t, basta trovarlo

anche tra 0 e t e far la differenza, ma è più comodo

Ma se si ha M, come si fa a trovare C? 1 φ(t) φ(t1)

φ: –

osservarlo in termini di M (t) = C * e .

φ(t) →

– t1

C = M * e fattore di attualizzazione

∫t0ρ(s)ds ∫t0δds

ρ(s) δ →

2) Se ho M (t) = C * e e se è costante, cioè non dipende da s, chiamata (delta) M(t) = C * e =

δ δ*t

]t0

= C * e = C * e ma se sono in regime di capitalizzazione composta:

δ

t

M = C (1 + i) dico che e i sono equivalenti se, applicati allo stesso capitale per la stessa durata di tempo,

δ*t δ δ

→ → δ →

t

danno lo stesso montante: C (1 + i) = C * e e = 1 + i = log (1 + i) i = e – 1

e

δ e i si dicono tassi corrispondenti (e non equivalenti).

Leggi di attualizzazione e di sconto

V C C Con V < C e V = C – s

0 t t t

1 2 3

Con le leggi di sconto trovo S (lo sconto); con le leggi di attualizzazione trovo V (il valore scontato).

, t ) è il valore del capitale C, esigibile in t , calcolato in t .

V = V (C, t

1 2 2 1

Proprietà minime (vedi pag. 52 del libro)

1) V (0, t , t ) = 0

1 2

2) C (C, t , t ) = C

1 2 ≤ ≤ ≤

3) C (C, t , t ) > V (C, t , t ) con 0 t t t

1 2 1 3 1 2 3

4) V (C , t , t ) < V (C , t , t ) con 0 < C < C

1 1 2 2 1 2 1 2

1) Uniformità nel tempo

Una legge di attualizzazione è uniforme nel tempo se:

→ → δ

V (C, t , t ) = V (C, t , t ) V (C, t , t ) (C, t) attualizzazione

1 2 1+x 2+x 1 2

→ φ(C, δ

V (C, t , t ) = C – S = C – t) = (C, t) S (C, t) sconto

1 2

2) additività rispetto al capitale → →

V (C + C , t , t ) = V (C , t , t ) + V (C , t , t ) V (C, t , t ) = C * g (t1, t2) fattore di sconto/attualizzazione

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

g è il valore scontato di un’unità di capitale

a. g (t , t ) = 1

2 1

b. g’2 (t , t ) < 0

1 2

, t ) > 0

c. g (t

1 2

3) scomponibilità C V (C, t , t ) = V (V(C, z, t ), t , z)

1 2 2 1

0 t z t

1 2 6

Se V è scomponibile e additiva allora la legge si dice scindibile, cioè i fattori di attualizzazione stanno così:

g (t , t ) = g (z, t ) * g (t , z) per l’uniformità per l’additività

1 2 1 2 φ

Se V è additiva e uniforme rispetto al C allora V (C, t , t ) = C – (C, t) = C * g (t , t )

1 2 1 2

δ →

= C – C * h (t) = (C, t) = C * (1 – h(t)) g (t) è il fattore di attualizzazione di un’unità di C da t a zero, le cui

proprietà minime sono:

1) g (0) = 1

2) g’ (t) < 0

3) g (t) > 0

Esistono diversi regimi di sconto:

1) regime dello sconto commerciale (vedi pag. 55 del libro)

S (C, t) = C * h (t) = C * d * t dove d è il fattore di proporzionalità > 0; rappresenta lo sconto che viene

fatto su un’unità di C: è il tasso di sconto annuo. (ricorda C * i * t della capitalizzazione semplice)

S (1,1) = 1 * d * 1 = d sconto fatto su un’unità di tempo; se è l’anno sarà il tasso di sconto annuo.

V (C, t) = C – Cdt con 0 < t < 1/d

Esempio:

Dati C = 100 d = 0,02 t = 3 anni e 3 mesi

→ V = 100 – 100 * 0,02 * (3 + 3/12) = 93,5

V (1, 1) = 1 – 1 * d (1) = 1 – d fattore annuo di sconto

→ → →

1 – d > 0 – d > – 1 d < 1 ma sappiamo che d > 0 0 < d < 1 .

2) Regime dello sconto composto (pag. 56 del libro) C

0 1 2……………….. n – 2 n – 1 n

V (C, n, n) = C

V (C, n – 1, n) = C – Cd = C (1 – d)

V (C, n – 2, n) = V (C, n – 1, n) – V (C, n – 1, n) d = V (C, n – 1, n) * (1 – d) = (C – Cd) (1 – d) = (C(1 – d))*(1 – d) =

2

= C (1 – d) →

n n

In generale V (C, 0, n) = C (1 – d) V (C, n) = C (1 – d) con n intero C M

→ →

1) M (C, t) = C (1 + it) C = M(C, t)/(1 + it) V (C, t) = C/(1 + it) 0 t

→ →

n n n

2) M (C, n) = C (1 + i) C = M(C, t)/(1 + i) V (C, n) = C/(1 + i) Regime dello sconto composto

n

d (C, t) = C/(1 + it) d (C, n) = C/(1 + i) Regime della capitalizzazione composta

Il regime dello sconto composto e il regime della capitalizzazione composta, danno valori uguali.

n n

Se C (1 – d) = C / (1 + i) elevando alla radice ennesima 1 – d = 1/(1 + i)

n

Se conosco i posso calcolare d. (1 – d) = valore scontato attuale in 0 di una unità di capitale disponibile in n.

→ →

1 – d = 1/(1 + i) 1 = (1 – d)(1 + i) Le leggi sono CONIUGATE, cioè: quando un fattore di capitalizzazione è

l’inverso del fattore di attualizzazione, danno lo stesso valore.

Fattore annuo di Fattore annuo di capitalizzazione: si indica con u u = (1 + i)

attualizzazione o di sconto, si indica con v = 1/(1 + i)

Si osserva che u = 1/v v * u = 1

Noto i trovo d

d = 1 – 1/(1 + i) = (1 + i – 1)/(1 + i) = i / (1 + i) = i * 1/(1 + i) = i * v

Noto d trovo i

1 + i = 1/ (1 – d) i = 1 / (1 – d) – 1 = (1 – 1 + d) / (1 – d) = d/(1 – d)

Ora confronto il regime dello sconto commerciale con il regime dell’interesse semplice

→ →

Se t = 0 V (C, 0) = C se t = 1 V (C, 1) = C – C d = C (1 – d)

V (C, 0) = C V (C, 1) = C /(1 – d) Le due leggi sono coniugate.

≠ ≠ →

Se però t 0 e t 1, le due leggi non sono più coniugate Per questo motivo si introduce il regime dello sconto

razionale, che si costruisce come legge coniugata all’interesse semplice (che non ha leggi coniugate).

3) regime dello sconto razionale (pag. 62)

V (C, t) = C / (1 + it) = C – S (C, t) in regime di interesse semplice, se è richiesto il valore attuale.

r ←

S (C, t) = C – C/(1 + it) = (C + Cit – C) /(1 + it) = Cit/(1 + it) se conosco i e devo trovare t.

r → → →

Se conosco d e devo trovare i 1 +i = 1 / (1 – d) i = 1 / (1 – d) – 1 i = (1 – 1 + d)/(1 – d) = d/(1 – d)

→ → → →

V (C, t) = C – C * d/(1 – d) * t semplificando ottengo C – C * d * t V = C – S

1 + d/(1 – d) * t 1–d + dt Classica domanda per l’orale

I tassi di sconto equivalenti (pag. 63)

2 tassi si dicono equivalenti se, applicati allo stesso C esigibile alla stessa scadenza, producono lo stesso valore attuale.

1) Regime sconto commerciale

V = C (1 – dt) V = C (1 – d * Kt) V = V con K intero e > 1; d = Kd

1 2 1/K 1 2 1/K’

→ →

V = V C (1 – dt) = C (1 – d * Kt) d = d * K

1 2 1/K 1/K (argomento facoltativo) Tasso annuo di sconto

2) Regime sconto composto nominale convertibile K volte l’anno: è un tasso di

n nK

V = C (1 – d) V = C (1 – d ) V = V sconto composto.

1 2 1/K 1 2 1/K

→ →

n nk K dK = K * d con d = K[1 – (1 – d) ]

V = V C (1 – d) = C (1 – d ) 1 – d = (1 – d ) 1/K 1/K

1 2 1/K 1/K ι(K)= δ.

lim = Anche lo sconto ha legge coniugata,

K→∞ ρ

quindi possiamo prendere sia per la capitalizzazione

1/K

Osservazione: d = 1 – (1 – d) sia per l’attualizzazione. 7

1/K

CAPITOLO II La rendita (pag. 85 del libro)

La rendita è una successione di capitali disponibili in determinate scadenze, incondizionatamente.

R R R R Rendita posticipata i termini sono disponibili

1 2 s n alla fine di ogni periodo.

0 t t t t

1 2 s n →

R R R R Rendita anticipata i termini sono disponibili

1 2 3 n+1 all’inizio di ogni periodo (es.: l’affitto).

0 t t t

1 2 n

La rendita (discreta o certa) può essere, con riferimento alla durata:

→ →

a) temporanea se ha un numero finito di rate / perpetua se ha un numero infinito di termini o rate;

→ →

b) immediata se i termini partono subito / differita se i termini partono dopo un po’;

c) a termini variabili / a termini costanti Le R sono tutte uguali (→ unitarie se tutte le R valgono 1).

Rendita immediata, posticipata, temporanea per t anni, di termine variabile

R R R

1 2 n

0 t t t

1 2…………………………. n

n n

1 / (1 + i) = V → ∑

–t1 –t2 –tn ns=1 –ts

V(0) = R (1 + i) + R (1 + i) + … + R (1 + i) V(0) = R (1 + i)

1 2 n s

→ ∑ ∑

tn–t1 tn–t2 ns=1 tn–ts tn ns=1 –ts

V (t ) = R (1 + i) + R (1 + i) + … + R V (t ) = R (1 + i) = (1 + i) * R (1 + i) =

n 1 2 n n s s

tn

= (1 + i) * V (0) questo solo se siamo in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale.

→ –tn

V (0) = V (t ) (1 + i) In generale:

n R R R formalizzazione generica

1 2 n

t t t

0 t

1 2…………… z…………. n ∑

tz – t1 tz – t2 –(tn – tz) tz – tn ns=1 tz – ts

V (t ) = R (1 + i) + R (1 + i) + … + R (1 + i) = R (1 + i) = R (1 + i) = Valutazione in t

z 1 2 n n s z

Esempio: 200 300 500 la scegliamo perché ha legge coniugata ed

è il caso più semplice:

5 6

0 1 2 3 4 il valore finale di una rendita è = al valore

1) Regime di capitalizzazione composta convenzione esponenziale anni.

attuale capitalizzato per t

n

2 1 –2 Attualizzazione: esponenziale = elevo a –n

V = 200 (1 + i) + 300 (1 + i) + 500 (1 + i)

4 Semplice = divido per (1 + i * n)

Oppure: –2 –3 –6 4

Valore attuale = V = 200 (1 + i) + 300 (1 + i) + 500 (1 + i) = V (4) (1 + i)

0

2) Regime di interesse semplice con legge coniugata per l’attualizzazione

= 200 (1 + i * 2) + 300 (1 + i * 1) + 500 * 1 / (1 + i * 2)

V 4

Rendita immediata, posticipata, periodica (il periodo è sempre =) di periodo 1 (annua), a rate costanti = 1

R = 1 R = 1 R = 1

n

0 1 2 n

δ δ δ →

–1 –2 –n 2 n

V (0) = (1 + i) + (1 + i) + … + (1 + i) = + + … + i termini variano in progressione geometrica

n ∑).

S = somma = a * (1 – q ) / (1 – q) dove q è la ragione (se individuiamo la ragione, il 1° termine ed il n° dei termini, si fa così la

1 ┐ ┐

→ δ δ δ) δ δ δ

n n n n δ

n

Deriva da: i a n i + = 1

V (0) = * (1 – ) / (1 – = (1 – ) / (µ – 1) = (1 – ) / (1 + i – 1) = (1 – ) / i = a n i

→ – n

Fissato i a n i = [1 (1 + i) ] / i ┐

a) Valore attuale di una rendita posticipata: a n i

1……………………………………1 µ → µ

* v = 1 = 1/v

0 1 2 n

………………………….

┐ δ δ δ δ δ δ) δ

2 n n n

a n i = + + … + = * (1 – ) / (1 – = (1 – ) / i

Esempio: → δ

n –10

Se R = 1 posticipata di n = 10 e i = 0,03 = (1 + 0,03)

→ –10

a 10 0,03 = [1 – (1 + 0,03) ] / 0,03 = 8,530202837

b) Valore attuale di una rendita anticipata: n i

α Ricordarsi che qui le rate sono unitarie,

1 1………………..1 negli esercizi bisogna moltiplicarle!

0 1………………n – 1 n

┐ ┐

α δ δ δ µ δ δ µ δ δ δ

2 n – 1 2 n n n

n i = 1 + + + … + = (δ + + … + ) = * a n i = 1 /δ * (1 – ) / i = (1 – ) /

µ δ →δ

= 1 + i = 1 / = fattore di sconto = 1/(1+i)

c) Valore finale di una rendita posticipata: s n i Il valore finale di una rendita posticipata unitaria ┐

1 1 1 periodica temporanea immediata si indica con s n i,

si definisce “temporanea n anni” o “figurato n”.

Quando “i” non c’è è sottinteso.

n

0 1 2 .

┐ µ µ µ

n–1 n–2 n n n n

s n i = + + … + + 1 = 1 * (µ – 1) / (µ – 1) = (µ – 1) / (1 + i – 1) = [(1 + i) – 1] / i = (µ – 1) / i 8

d) Valore finale di una rendita anticipata: S n i

1 1 1 1

0 1 2 n–1 n

…………………………

┐ ┐

µ µ µ µ µ µ µ µ

n n–1 n–1 n–2 n

S n i = + + … + = (µ + + … + + 1) = * s n i = (µ – 1) / i *

Vediamo ora alcune relazioni:

┐ ┐ δ n

1) a n i = s n *

┐ ┐ ┐ ┐ ┐

µ µ

n n n n n

2) (1 / a n ) – (1 / s n ) = i Dimostro: (1 / a n ) – (1 / a n * ) = (µ – 1) / (a n * ) = (µ – 1) / (µ – 1) * i = i

┐ ┐ ┐ ┐

α

3) n = a + 1 e anche S n = s + 1

n–1 n–1

α δ µ δ δ δ

n n–1 n–1 n–1

Dimostro: n = (1 – ) / i * = (µ – ) / i = (1 + i – ) /i = [(1 + ) / i] + 1 = a

┐ ┐

µ µ)

n n+1 n+1 n+1

Dimostro: S n = (µ – 1) / i * = (µ – / i = (µ – 1 + i) / i = (µ – 1) / i + i/i = s + 1

n+1

Schema riassuntivo sulle rendite immediate

Valore iniziale Valore finale

Posticipata R R R R R

a s

Anticipata R R R R R

α S

Valori iniziali Valori finali

α

Posticipato (a) Anticipato: = a * (1 + i) Posticipato (s) Anticipato: S = s * (1 + i)

–n –n n n

1 – (1 + i) (1 + i) (1 + i)

1 – (1 + i) * (1 + i) = – 1 – 1 * (1 + i)

i i i i

–n+1

= 1 – (1 + i) + 1 N.B.: qui n è il numero di rate NON di anni!

Non sempre coincidono.

i

Tutte le rendite viste finora erano immediate. Consideriamo ora le rendite differite, cioè disponibili dopo un tot di anni:

α,a,s,S,

Nota: ogni testo utilizza una sua simbologia e dicitura per noi utilizziamo queste lettere ma su altri testi possono variare.

Le rendite differite ┐

a) valore attuale di una rendita posticipata differita di m anni: /m a n i

1 1 1

0 1……….m m+1 m+2…..m+n

┐ ┐

δ δ δ δ δ δ δ

m+1 m+2 m+n m 1 2 n m

/m a n i = + + … + = (δ + + … + ) = * a n i

Indica che la rendita è differita di m anni. ┐ i

b) valore attuale di una rendita anticipata differita di m anni: /m n

α

1 1 1

0 1 m m+1 m+2…..m+n

┐ ┐

α δ α

m

/m n i = * n i ┐

c) valore finale di una rendita posticipata differita di m anni: /m s n i

1 1 1

0 1 m m+1 m+2…..m+n

┐ ┐

µ µ µ µ µ

m+n–(m+1) m+n–(m+2) m+n–m–1 m+n–m–2

/m s n i = + + … + 1 = + + … + + 1 = s n i

d) valore finale di una rendita anticipata differita di m anni: /m S n i

1 1 1

0 1 m m+1 m+2…..m+n

┐ ┐

/m S n i = S n i Ci sono poi le rendite perpetue.

Rendita perpetua, posticipata, in n anni con n +∞ (es.: la pensione)

R R R

0 1 2 3 +∞

δ

n n

lim 1 – = lim 1 – 1/(1 + i) = 1 / i = a

i n→+∞ i

┐ →

n n ∞.

s n = (µ – 1) / i lim (µ – 1) / i = +∞ non si può parlare di valore finale di una rendita perpetua, ovviamente, in quanto

n→+∞ 9

CAPITOLO III L’ammortamento (pag. 127 del libro)

Si supponga che in un certo istante zero un soggetto impresti un certo capitale A ad un altro soggetto, il quale si

impegna in un certo tempo a restituirgli il capitale A + gli interessi.

n

A A+I = A(1 + i) questo è un amm.to globale degli interessi e del capitale.

0 n

Si può però ammortizzare diversamente; per esempio restituire alla fine di ogni anno gli interessi dovuti.

A A*i A*i A*i+A questo è un amm.to periodico degli interessi e globale del capitale.

0 1 2………n (è il c.d. “ammortamento americano”)

Prevede che si paghino gli interessi sul debito fino a scadenza e la restituzione globale del capitale a scadenza.

Le rate valgono: R = R = … = Rn – 1 = i; Rn = 1 + i

1 2

Le quote capitale valgono: C = C = … = C = 0; Cn = 1

1 2 n – 1

Le quote interesse I valgono tutte i per ogni s.

S

In entrambi i casi (globale o americano), comunque, i risultati devono essere uguali :

(entrambi sono attualizzati in 0)

n –n

1) A (1 + i) (1 + i) = A

┐ –n –n –n –n –n

2) A * i a i + A (1 + i) = A * i * [1 – (1 + i) ] / i + A * (1 + i) = A – A (1 + i) + A (1 + i) = A

n

C’è poi l’ammortamento generale, cioè l’ammortamento periodico del capitale e periodico degli interessi:

A R R R

1 2 n

0 1 2………n

Il soggetto in questo caso paga un insieme di rate “ennupla di rate” che però non sono prese a caso, cioè devono

verificare la condizione di amm.to equivalenza finanziaria tra avere A oggi, tempo 0, e avere la somma di n Rate alla

fine di n anni:

n

∑ δ δ

s s –s

A = Rs * dove = (1 + i)

s = 1

Esaminiamo ora il problema di costituzione del capitale. Supponiamo che per una certa scadenza n si voglia avere a

disposizione una certa somma C; per far ciò accantoniamo delle somme, delle rate R, che devono soddisfare la

condizione di costituzione:

n

∑ µ n–s

C = Rs * Perché ho supposto che A = C = 1

{ indica un vettore.

s = 1 ≥ ∑ δ

ns=1 n

Problema di ammortamento in generale: A = {R = (R , R , …, R ), Rs 0 per ogni s, Rs * = 1} (pag. 132)

1 2 n ≥ ∑ µ

ns=1 n–s

Problema di costituzione in generale: C = {R = (R , R , …, R ), Rs 0 per ogni s, Rs * = 1}

1 2 n

I due problemi sono legati da due teoremi: →

1° teorema: data una ennupla di rate che ammortizza il debito di 1 $ in n anni la stessa ennupla di rate costituisce il

µ ≥ ∑ δ →

n ns=1 s

capitale . Cioè: Se R € A = {R = (R , R , …, R ), Rs 0 per ogni s, Rs * = 1}

1 2 n

→ Č ≥ ∑ µ µ

ns=1 n–s n

R € = {R = (R , R , …, R ), Rs 0 per ogni s; Rs * = } (pag. 133)

1 2 n

∑ δ → ∑ µ µ → ∑ µ µ

ns=1 s ns=1 n n ns=1 n–s n

Dimostro: Rs * = 1 Rs * = Rs * = è vero! Ma era prevedibile perché:

R R R questa per ipotesi è l’amm.to di 1$ visto che siamo in capitalizzazione

1 2 n µ µ

n n

0 1 2………n composta convenzione esponenziale e allora i * =

2° teorema: se abbiamo una ennupla di rate che ammortizza in n anni 1 $ la ennupla di rate che si ottiene

δ

n

moltiplicando ciascuna rata per costituisce in n anni il capitale di 1$. Cioè:

≥ ∑ δ → δ δ δ

ns=1 s n n n

Se R € A = {R = (R , R , …, R ), Rs 0 per ogni s, Rs * = 1} R = {R = (R * , R * , …, R * )} =

1 2 n 1 2 n

∑ µ

ns=1 n–s

(R , R , …, R ) € C dove C = {R = (R , R , …, R ), R > 0 per ogni s; Rs * = 1}

1 2 n 1 2 n s

Dimostro: I II III

I) Se ho una ennupla di rate e la moltiplico per una quantità >0 avrò sempre una ennupla di rate.

δ

n

II) Ciascuna componente di Rs è >0 perché ciascuna rata la moltiplico per .

∑ µ ∑ δ µ µ ∑ µ ∑ δ

ns=1 n–s ns=1 n n –s ns=1 –s ns=1 n

III) Rs * = Rs * * * = Rs * = Rs * = 1

Vale la condizione di costituzione?→

Questo vale nel discreto, ma nel continuo com’è? ρ

Supponiamo di essere in regime di capitalizzazione continua con tasso (s) e di dover ammortizzare 1€ in n anni,

versando una rendita continua di flusso R(s).

Rs

0 s n

1 1

n

∫ -φ(s)

= R(s) * e ds = 1 condizione di amm.to nel continuo

0 n

∫ φ(n) φ(s)

= R(s) * e ds = 1 condizione di costituzione nel continuo

0 10

∑ µ

ns=1 n–s

Mentre, come abbiamo visto, la costituzione di capitale nel discreto è R(s) * = 1

R R Rz R

1 2 n

0 1 2……… z n

1

Fz è il fondo ammortamento alla scadenza z; è la valutazione finanziaria delle rate versate fino all’istante z.

∑ µ

zs=1 z–s

Fz = R(s) * = 1 µ ∑ µ µ ∑ µ ∑ µ

n–z ns=1 z–s n–z ns=1 z–s + n–z ns=1 n–s

Il fondo Fz in n vale: Fz * = R(s) * * = Rs * = Rs *

Questo accade se i è uguale in ogni istante.

Esempio:

Dati i = 0,01 e 1.000€ da costituire in 5 anni, versando R.

100 50 300 200 R = ?

5

0 1 2 3 4 5

→ →

4 3 2

1) determinare R 1000 = 100 (1 + 0,01) + 50 (1 + 0,01) + 300 (1 + 0,01) + 200 (1 + 0,01) + R

5 5

→ → →

1000 = 104,060401 + 50,00005 + 306,03 + 202 + R R = 1000 – (662,090451) R =337,909549

5 5 5

2) Determinare F F = R (1 + i) + R = 100 (1 + 0,01) + 50 = 151

2 2 1 2

→ 3

3) Quanto vale F alla scadenza 5? 151 (1 + 0,01) = 155,575451 (si porta a scadenza)

2

Nella realtà però non abbiamo i costante e allora:

100 50 300 200 337,9

0 1 2 3 4 5

i = 0,02 3 3 2

1) Quale C si costituisce?→C=100(1 + 0,01)(1 + 0,02) +50(1 + 0,02) +300(1 + 0,02) + 200 (1 + 0,02) +337,9 =

= 1,061208 + 53,0604 + 432 + 204 + 337,9 = 1.028,021608

2) Da 2 in poi si sospendono i versamenti previsti e si versa una rendita posticipata, costante di rata R. Quanto

vale R per avere 1.000?

100 50 R R R

0 1 2 3 4 5

= 0,01 i = 0,02 1.000

i

1 2 ┐ → ┐ → ┐ →

3 3

1.000 = F (1 + 0,02) + Rs 1.000 = 151(1 + 0,02) + Rs Rs = 1.000 – 160,242408

2 3 0,02 3 0,02 3 0,02

→ µ → → →

n n 3

R * – 1 = 839,757592 R * (1 + i) – 1 = 839,757592 R * (1 + 0,02) – 1 = 839,757592 R = 274,394717

i i 0,02

→ →

3 3 3

3) Calcolare K F (1 + 0,02) + K = 1.000 K = 1.000 – F (1 + 0,02) = 1.000 – 151 (1 + 0,02) =

2 2

= 839,757592

In generale è possibile costruire un progetto/piano di costituzione di capitale.

Esempio:

C = 1.000; i = 0,01; R = 200; R = 400; R = ?

1 2 3

→ → → →

2

1.000 = 200 (1 + 0,01) + 400 (1 + 0,01) + R 1.000 = 204,02 + 404 + R R = 1.000 – 608,02 R = 391,98

Z anni Fondo iniziale Interessi Rata Fondo finale

1 / / 200 200

2 200 2 400 602

3 602 6,02 391,98 1.000

C’è poi un caso particolare:

∑ µ → ∑ µ → ┐ → ┐ ┐

ns=1 n–s ns=1 n–s

Rs * = 1 ma se R è costante R = 1 R * s = 1 R = 1 / (s ) = (“sigma minuscola” =

σ

n i n i n i

→ ∑ µ ┐ ┐ ┐

ns=1 z–s

termine costante di costituzione) F sarà: F = Rs * = Rs = s / s

2 2 z z n

φ(n) φ(s)

∫ n0 –

Questo nel discreto, ma nel continuo è: R(s) e ds = 1 Rs

0 s z n

Se vogliamo calcolare il fondo in z sarà la valutazione finanziaria delle rate da 0 a z, il tutto valutato in 0.

φ(z) φ(s)

→ ∫ z0 –

Fz = R(s) e ds

φ(n) φ(z) φ(z) φ(s) φ(n) φ(z) φ(n) φ(s)

→ ∫ ∫

– z0 – – z0 –

Fn = Fz * e = R(s) e ds * e = R(s) e ds

Consideriamo ora l’ammortamento:

R R Rz Rn

1 2

0 1 2………z………n

∑ δ

ns=1 s

Condizione di amm.to: R(s) = 1 →

Ora dividiamo la Rata in quota Capitale Cs e in quota interesse Is Rs = Cs + Is. Seguono le definizioni:

∑ → ∑ ←

ns=1 ns=1

Dove Cs è dato da: Cs = 1 (se il debito è unitario) Cs = debito estinto = Bz è la somma delle quote di

capitali pagate fino a z (detta anche somma capitale di ammortamento).

→ → ∑ ∑ ∑

ns=1 zs=1 ns=z+1

1 – Bz = debito residuo = Dz Dz = 1 – Bz = Cs – Cs = Cs = Dz

Se B = 0 D = 1

0 0

Se Bn = 1 D = 0

0

Rs = Cs + Is 0 >B

Se Cs > 0 ogni volta che pago una rata estinguo una parte di debito B z z – 1

In questo caso si ha un amm.to graduale, cioè le Bz al crescere di Cs sono una funzione crescente mentre Dz decresce.

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Matematica finanziaria del testo scritto da Gosio con analisi dei seguenti argomenti trattati: le leggi finanziarie, le leggi di capitalizzazione, le proprietà minime, l'uniformità o stazionarietà nel tempo, l'additività rispetto al capitale, la scomponibilità e la scindibilità, i vari esempi di calcolo.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia aziendale (GENOVA, IMPERIA)
SSD:
Università: Genova - Unige
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Genova - Unige o del prof Gosio Cristina.

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