Matematica finanziaria, Gosio - Appunti

Appunti di matematica finanziaria (di Serena Balestra e Davide Benza)

CAPITOLO I Leggi finanziarie (Libro di testo: “Matematica finanziaria” di Cristina Gosio, Bozzi Editore, Genova)

La matematica finanziaria studia i modelli matematici necessari per governare le operazioni finanziarie. Cosa sono le

operazioni finanziarie? Sono scambi di moneta contro moneta ($/€ non importa) che si protraggono nel tempo: impresto

100€ a Tizio, il quale si impegna a restituirmeli ad un tempo prefissato.

Le operazioni finanziarie si possono rappresentare sull’asse dei tempi, cioè su una retta orientata r sulla quale ogni

≥

punto individua un tempo. Se in t impresto il capitale C a Tizio, questo C per definizione è 0.

1 L’anno (per ora la nostra

C M unità di misura) è diviso in

≤

T – T Con 0≤ t t

1 0 1 2 mesi di 30 giorni ognuno!

t t t r

0 1 2

La somma che Tizio deve restituire si chiama montante (M). M rispetto a C e M>C per l’uso che viene fatto del denaro

→

da chi lo riceve. Se M>C vuol dire che M = C + qualcosa; se questo qualcosa è l’interesse M = C + I.

M segue delle leggi di capitalizzazione per la sua formazione così come ci sono delle leggi di interesse per la

formazione di I.

Vediamo per prime le Leggi di capitalizzazione per la formulazione del montante.

Φ → Φ.

M, il montante dipende dal capitale e dal tempo. È una funzione che chiamiamo (“fi”) M =

→ Φ

M è funzione di 3 variabili: C, t , t M = (C, t , t )

1 2 1 2 ≥

→ →

Φ → Φ + + + +

x R x R il codominio è: R M 0.

Vediamo il dominio di = R

C x t x t

1 2 Φ

Vediamo ora le proprietà minime che devono essere soddisfatte da perché questa sia una legge di capitalizzazione.

Φ

1) (0, t , t ) = 0: impiegando un C = 0 otterrò un M = 0.

1 2

Φ

2) (C, t , t ) = C: se impresto in t e mi restituiscono in t otterrò C = C.

1 1 1 1

Φ Φ ≤ ≤ ≤

3) (C, t , t ) < (C, t , t ) con 0 t t t

1 2 1 3 1 2 3 Φ’

Si può anche fare la derivata rispetto al terzo argomento >0 Ricordiamo da matematica generale che la

3

Φ Φ ≤ ≤

4) (C, t , t ) < (C , t , t ) con 0 C C derivata >0 implica che la funzione cresca.

1 2 2 1 2 1 2

Φ’

Con la derivata >0

1 22 21

Esempi: t – t

• Φ

Data la funzione (C, t , t )=C * e è adatta a rappresentare una legge di capitalizzazione?

1 2

Verifico le quattro proprietà:

→ →

1) se C = 0 la funzione = 0 OK →

21 21

2) “e” è elevato a t – t quindi è elevato a 0; un numero elevato a 0 dà 1, che moltiplicato a C dà C OK

22 21 23 21

t – t t – t → →

22 23

3) C * e < C * e semplificando: t < t OK

Oppure, facendo la derivata (?):

22 21

t – t → →

C * e * 2t >0 OK

2

>0 >0 >0

→

4) C < C OK

1 2 22 21

Oppure: t – t →

= 1 * e >0 OK

>0 >0

• Calcolare il montante M di 200€ impiegati in 1 dopo 2,5.

200 M?

t t t

0 1 2,5

2 2

2,5 – 1

M (200, 1, 2,5) = 200 * e = 38.113,25 Φ

Queste 4 proprietà minime devono essere verificate tutte 4 perché una sia una legge di capitalizzazione.

Ci sono poi altre proprietà che una legge di capitalizzazione può avere:

1) Uniformità o stazionarietà nel tempo

Una legge si dice uniforme o unitaria nel tempo se:

Φ Φ ≤ ≤

(C, t , t ) = (C, t +x, t +x) 0 t t

1 2 1 2 1 2

200 M?

t t t +x t t +x

0 1 1 2 2

Se una legge è uniforme allora il montante M di un capitale C non dipende dall’istante in cui è impiegato e dall’istante

in cui è disinvestito, ma dipende dall’ampiezza dell’intervallo (cioè investire dal tempo 1 al 2 o dal 2 al 3 è lo stesso). 1

Φ → Φ

Teorema ( ) Se è uniforme nel tempo (C, t , t ) = M (C, t)

☺

prendi una donna, trattala male…fuori dal letto nessuna pietà 1 2

Φ

La e quindi M è uguale a M = C + I

(Anche I è una funzione di C, t , t . Se I è uniforme nel tempo vale la stessa proprietà, il teorema è comunque vero:

1 2

→

I = f(C, t , t ) F(C, t , t ) = K (C, t)

1 2 1 2

Φ → Φ Φ

Dimostrazione Se è uniforme nel tempo (C, t , t ) = (C, t +x, t +x)

1 2 1 2

Φ Φ Φ

Poniamo t = –x (C, t , t ) = (C, –x+x, t – t ) = (C, t – t ) = M (C,t)

1 1 2 2 1 2 1

t = –t

2 1 22 21

Esempio: t – t

Φ

La funzione (C, t , t ) = C * e è uniforme nel tempo?

1 2 2 2 22 2 12 2

(t +x) – (t +x) t +x +2t2x – (t +x +2t x)

2 1 1

→ Φ →

(C, t +x, t +x) = C * e = C * e non è uniforme nel tempo!

1 2

2) Additività rispetto al capitale

Una legge si dice additiva rispetto al capitale se il montante M di 2 capitali, C e C , è uguale al montante del

1 2

primo capitale C sommato al montante del secondo capitale C :

1 2

Φ Φ Φ

(C +C , t , t ) = (C , t , t ) + (C , t , t ) (in pratica investire 100+100 o 200 è lo stesso)

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

Φ → Φ →

Teorema Se è additiva rispetto al capitale (C, t , t ) = C * f (t , t ) fattore di capitalizzazione: è una

1 2 1 2

quantità che moltiplicata per C dà il montante M. Rappresenta il montante di un’unità di capitale impiegato da t a t .

1 2

Φ.

Anche il fattore di capitalizzazione ha delle proprietà minime che derivano dalle proprietà minime di

• Φ

Dalla 1° proprietà di non si ricava nulla.

• Φ

Dalla 2° proprietà di si ricava che f (t , t ) = 1

1 2

• Φ

Dalla 3° proprietà di si ricava che f ’ (t , t ) > 0

2 1 2

• Da C * f (t , t ) < C * f (t , t ) si ricava che: f (t , t ) > 0

1 1 2 2 1 2 1 2

Da queste 3 proprietà messe insieme si ricava non solo che f (t , t ) > 0, ma anche che f (t , t ) > 1.

1 2 1 2

Supponiamo di avere C , se devo calcolare l’interesse faccio F (C , t , t ). In generale, se ho C farò F (C, t , t ).

1 1 1 2 1 2

Se divido la prima quantità F (C , t , t ) per C : F (C , t , t ) / C ottengo l’interesse I prodotto da un’unità di capitale che

1 1 2 1 1 1 2 1

faceva parte di C . Lo stesso vale per C .

1 2

Se supponiamo che l’interesse che viene prodotto da un’unità di capitale C sia sempre lo stesso allora questa catena è

una catena di uguaglianze (=): F (C , t , t ) / C = F (C , t , t ) / C = F (C, t , t ) / C.

1 1 2 1 2 1 2 2 1 2

Se però l’interesse prodotto da un’unità di capitale è sempre lo stesso vuol dire che l’interesse prodotto non dipende dal

, t ) che dipende solo da t e t e non dal capitale C:

capitale C di cui è parte e allora abbiamo una nuova funzione K (t

1 2 1 2

F (C, t , t ) = C * K (t , t )

1 2 1 2

Questa quantità è additiva rispetto al capitale. L’interesse allora non dipende dal capitale di cui faceva parte: la legge è

additiva rispetto al capitale. Con l’ipotesi di additività supponiamo che un’unità di C dia lo stesso interesse di 100 unità

di C (ciò si discosta dalla realtà).

3) scomponibilità e scindibilità

Una legge di capitalizzazione si dice scomponibile se:

Φ Φ

(C, t , t ) = (Φ (C, t , z), z, t ) nell’istante z si disinveste il montante ottenuto in z e lo si rinveste

1 2 1 2

C per il periodo restante.

≤ ≤ ≤

Con 0 t z t

1 2

t t z t Non tutte le leggi sono scomponibili!

0 1 2

Φ

Teorema Se è scomponibile e additiva rispetto al capitale la legge è scindibile, cioè:

f (t , t ) = f (t , z) * f (z, t )

1 2 1 2

Φ Φ →

Dimostrazione Se (C, t , t ) = (Φ (C, t , z), z, t ) C * f(t , t ) = C * f (t , z) * f (z, t )

1 2 1 2 1 2 1 2

Φ →

E se (C, t , t ) = C * f (t , t ) f (t , t ) = f (t , z) * f (z, t ) ho dimostrato il teorema!

1 2 1 2 1 2 1 2

Una legge per essere scindibile deve essere contemporaneamente additiva e scomponibile.

– t

Esempio: t

2 1

Φ

La funzione (C, t , t ) = C * e è additiva rispetto a C?

1 2 t – t t – t t – t

2 1 2 1 2 1

→ Φ → Φ

Φ

Verifico (C , C , t , t ) = (C + C ) * e (C , C , t , t ) = C * e + C * e (C , C , t , t ) =

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Φ Φ →

= (C , t , t ) + (C , t , t ) sì è additiva!

1 1 2 2 1 2

È anche uniforme? t – t t – t t – t t – t

2 1 2+x 1–x 2 1 2 1

Φ Φ → → →

(C, t , t ) = (C, t +x, t +x) C * e = C * e C * e = C * e sì!

1 2 1 2

È scomponibile? t – t z – t t – z t – t t – t

2 1 1 2 2 1 2 1

Φ Φ → → →

(C, t , t ) = (Φ (C, t , z), z, t ) C * e = C * e * e C * e = C * e sì!

1 2 1 2

→ la legge è anche scindibile!

Φ

Se una legge è additiva e uniforme accade che:

Φ (C, t , t ) = C * f (t , t ) = C * I = C * F (C, t , t ) = C + C * K (t , t ): conseguenza dell’additività devono valere

1 2 1 2 1 2 1 2

Φ →

(C, t , t ) = M (C, t): conseguenza dell’uniformità entrambe

1 2

→ Φ , t ) = M (C, t) = C (1 + K(t , t )): da ciò ricavo che:

(C, t

1 2 1 2

Φ (C, t , t ) = C * (1 + K (t)) = C + CK (t): questo perché è uniforme, cioè perché non dipende da t e t .

1 2 1 2

Continua… 2

→

1 + K (t) = fattore di capitalizzazione f (t) = 1 + K (t) è il montante M di un’unità di capitale C = 1 impiegata da 0 a t.

C = 1 M Esempio di legge scomponibile ma non scindibile:

Φ(C, t – t

e 2 1

, t ) = (C + 1) – 1

t

0 1 1 2

È una funzione a due variabili con proprietà minime che sono:

1) f (0) = 1 Classica domanda: introdurre il regime semplice, il

2) f’ (t) > 0 tasso variabile e spiegare come si perviene

3) f (t) > 0 all’espressione a tasso fisso se i = i = i .

1 2 n

Esempio: t

Data f (t) = (1 + 0,01) verificare se f (t) è un fattore di capitalizzazione.

→ 0

1) f(0) = 1 (1 + 0,01) = 1 ok

→ →

t x x

2) f’(t) > 0 (1 + 0,01) * log (1,01) f’(t) > 0 ok (da matematica ricordiamo che: D a = a * log a)

e e

→ t

3) f(t) > 0 (1 + 0,01) > 0 ok

Ora parliamo del regime dell’interesse semplice

Φ → →

(C, t , t ) = C (1 + K(t)) = C + CK(t) interesse e lo chiamiamo I (C,t) I (1,1) è l’interesse che viene prodotto da

1 2

1 unità di capitale C = 1 impiegato per t = 1 anno. È il cosiddetto Tasso “annuo” di interesse (i).

L’interesse è calcolato in modo direttamente proporzionale al capitale, nel regime dell’interesse semplice si chiede che

l’interesse sia proporzionale anche al tempo, quindi C * i * t secondo un fattore di proporzionalità che è del tipo i > 0.

Nel regime dell’interesse semplice, il montante M è:

Φ , t ) = M (C,t) = M = C + C * i * t = C (1 + it) dove 1 + i è il fattore annuo di capitalizzazione

(C, t

1 2

Esempio: 100 M i = 0,02

0 3 1,5 4,5

M = 100 (1 + 0,02 * 1,5) = 103

Noi abbiamo supposto che nel regime dell’interesse semplice, il tasso di interesse sia sempre lo stesso per tutto il

periodo, ma nella realtà non è così!

Introduciamo allora l’argomento del regime dell’interesse semplice a tasso variabile

C

0 t t + t ……………………………….t = t + t + … + t t

1 1 2 r 1 2 n

i i… i

i

0 1 r

∑ → ∑

(1) (2) (r) ns=1 (s) ns=1 (s)

M (C, t) = C + C * i * t + C * i * t + … + C * i * t = C + C * i * t I = C * i * t

1 2 r s s

C’è un altro regime: il regime della capitalizzazione composta “annua”.

C Con n intero

0 1 2…………………n

Φ

1) (C, 0, 0) = C

Φ

2) ( C, 0, 1) = C + C * i * t = C + C * i = C (1 + i) All’interno dell’anno il regime è semplice, mentre

alla fine degli anni interi gli interessi maturati vanno ad aggiungersi al capitale per generare altri interessi in regime di

interesse semplice (cioè l’interesse viene capitalizzato): M (C, 2) = M (C, 1) + M (C, 1) * i * 1

Φ Φ Φ Φ 2

(C, 0, 2) = (C, 0, 1) + (C, 0, 1) * i = (C, 0, 1) * (1 + i) = C (1 + i) * (1 + i) = C (1 + i)

→ Φ n

in generale: (C, 0, n) = C (1 + i)

Ma se n non è intero come si fa? Per estendere la funzione ai valori non interi di n ci sono due tipi di convenzioni:

No+p

1) convenzione esponenziale: M = C (1 + i) dove n è la parte intera e p è la parte decimale p = n – [n ]

o o

→

No

2) convenzione mista: M = C (1 + i) * (1 + ip) Si applica la capitalizzazione esponenziale per n intero e quindi si

0

Esempio: applica, per la restante frazione, la capitalizzazione semplice.

C = 100; n = 4 anni e 6 mesi; i = 0,03; M = ? 4,5 ≠

1) convenzione esponenziale: M = 100 * (1 + 0,03) = 114,23 Nota: se avessi 4 anni e 8 mesi, n 4,8 = 4 + 8/12 = 4,6

4

2) convenzione mista: M = 100 * (1 + 0,03) * (1 + 0,03 * 0,5) = 102,64 (è inferiore, visto che moltiplico e non elevo)

Domanda: qual è la differenza tra le due convenzioni? Le confronto (per le proprietà delle potenze posso dividerla così):

No p

1) M = C (1 + i) * (1 + i) questi ultimi due determinano la differenza 1

No

2) M = C (1 + i) * (1 + i * p) f (p) 2

la variabile è p

p

Confrontiamo (1 + i) e (1 + i * p) con 0 < p < 1 1+i

p

1) f (p) = (1+ i) Esponenziale = curva

0 Lineare = retta

f (0) = (1 + i) = 1

1

f (1) = (1 + i) = 1 + i 1

2) f (p) = (1 + i * p)

f (0) = (1 + i * 0) = 1

f (1) = (1 + i * 1) = 1 + i 0 p 1 p

Continua… 3

La convenzione mista dà valori > della convenzione esponenziale. Questo se p è compreso tra 0 ed 1. Ma se p è

maggiore di 1, cosa succede? Se > 1, cioè se passa l’anno, la convenzione esponenziale mi dà un valore maggiore

dell’interesse semplice. Questo accade perché nella capitalizzazione composta alla fine dell’anno gli interessi maturati

generano nuovi interessi, mentre nel regime dell’intereresse semplice no, perché è una retta.

Continuiamo a confrontare le due convenzioni:

n

1) M = C (1 + i) per ogni n ponendo C = 1 Negli interi le 2 convenzioni danno gli stessi risultati.

[n]

2) M = C (1 + i) (1 + i (n – [n]))

Nei decimali ci sono due casi:

(normalmente, invece, una funzione esponenziale > retta)

• → → 0

se n € (0,1) M = 1 + i * n è una retta. Es.: se n = 0,3 e C = 1 M = 1 * (1 + i) + (1 + i(0,3–0)) = 1 + i * n

• → 1 * (1 + i(n – 1)) è ancora una retta.

se n € (1,2) M = (1 + i)

f(p) Il grafico è una spezzata e questo implica che la

convenzione mista dia sempre valori maggiori della

convenzione esponenziale, tranne che negli interi

1 dove le due convenzioni danno lo stesso risultato.

0 1 2 p

Capitalizzazione composta convenzione esponenziale

C Nota, soprattutto quando il tasso è variabile: mentre

nella capitalizzazione semplice avevamo una som-

0 n n +n n +n +…+n ∑

ns=1 (s)

1 1 2 1 2 r matoria: M=C * (1 + i * t ), in convenzione

s

esponenziale abbiamo una produttoria.

(1) (2)

i i ∏ ∏

n1 n2 nr ns=1 ns

M = (C, n) = C (1 + i ) * (1 + i ) * … * (1 + i ) = C * (1 + i ) dove “pi Greco” è il simbolo di produttoria.

1 2 r s

Regime di interesse semplice

→ →

M (C, t) = C (1 + i * t) M (1, i) = 1 + i fattore di capitalizzazione

→

I (C, t) = C * i * t I (1, 1) = i sono uguali!

Regime di capitalizzazione composta

→ →

n 1

M (C, n) = C (1 + i) M (1, 1) = 1 * (1 + i) = 1 + i fattore di capitalizzazione

Tornando alla scomponibilità ci sono 2 considerazioni da fare:

Φ

Φ , t ) = (Φ(C, t , z), z, t );

abbiamo detto che una legge è scomponibile se (C, t

1 2 1 2

Φ Φ Φ

poi una legge è additive se: (C + C , t , t ) = (C , t , t ) + (C , t , t ).

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

Se è sia scomponibile sia additiva, allora è scindibile.

1) interesse semplice:

Φ →

= (C, t , t ) = C (1 + i (t – t )) non è scomponibile.

1 2 2 1

2) capitalizzazione composta: →

Φ t2 – t1

, t ) = C (1 + i) è scomponibile.

= (C, t

1 2

Esempi vari di calcolo:

Regime dell’interesse semplice →

M = C (1 + it) da cui: M/C = 1 + it t = (M/C – 1)/i

Se C = 795 i = 0,05 M = 860 Quanto dura l’impiego?

→ → →

860 = 795 (1 + 0,05 * t) t (860/795 – 1) / 0,05 t = 1,635220126

→ t = 1 anno Mesi = 0,635220126 * 12 = 7,622641512

≈ →

Giorni = 0,62264152 * 30 = 18,6 19 la durata dell’impiego è di 1 anno, 7 mesi e 19 giorni

Capitalizzazione composta convenzione esponenziale

→

n n

M = C (1 + i) M/C = (1 + i) per calcolare n applico i logaritmi:

→ → →

n

log M/C = log (1 + i) log M/C = n * log (1 +i) n = (log M/C)/(log (1 +i)) è sufficiente utilizzare la

e e e e e e

calcolatrice scientifica.

Esempio:

n = log 860 – log 795 = 0,034