Matematica finanziaria, Gosio - Appunti

Regime della capitalizzazione composta

C0 t t + t ……………………………….t = t + t + … + t t1 1 2 r 1 2 ni i… ii0 1 r∑ → ∑(1) (2) (r) ns=1 (s) ns=1 (s)M (C, t) = C + C * i * t + C * i * t + … + C * i * t = C + C * i * t I = C * i * t1 2 r s sC’è un altro regime: il regime della capitalizzazione composta “annua”.C Con n intero0 1 2…………………nΦ1) (C, 0, 0) = CΦ2) ( C, 0, 1) = C + C * i * t = C + C * i = C (1 + i) All’interno dell’anno il regime è semplice, mentrealla fine degli anni interi gli interessi maturati vanno ad aggiungersi al capitale per generare altri interessi in regime diinteresse semplice (cioè l’interesse viene capitalizzato): M (C, 2) = M (C, 1) + M (C, 1) * i * 1Φ Φ Φ Φ 2(C, 0, 2) = (C, 0, 1) + (C, 0, 1) * i = (C, 0, 1) * (1 + i) = C (1 + i) * (1 + i) = C (1 + i)→ Φ

In generale: (C, 0, n) = C (1 + i)

Ma se n non è intero come si fa? Per estendere la funzione ai valori non interi di n ci sono due tipi di convenzioni:

1) convenzione esponenziale: M = C (1 + i) dove n è la parte intera e p è la parte decimale p = n – [n]

2) convenzione mista: M = C (1 + i) * (1 + ip) Si applica la capitalizzazione esponenziale per n intero e quindi si applica, per la restante frazione, la capitalizzazione semplice.

Esempio: C = 100; n = 4 anni e 6 mesi; i = 0,03; M = ?

1) convenzione esponenziale: M = 100 * (1 + 0,03) = 114,23 Nota: se avessi 4 anni e 8 mesi, n 4,8 = 4 + 8/12 = 4,64

2) convenzione mista: M = 100 * (1 + 0,03) * (1 + 0,03 * 0,5) = 102,64 (è inferiore, visto che moltiplico e non elevo)

Domanda: qual è la differenza tra le due convenzioni? Le confronto (per le proprietà delle potenze posso dividerla così):

1) M = C (1 + i) * (1 + i)

Questi ultimi due determinano la differenza

1. No
2. M = C (1 + i) * (1 + i * p) f (p)
3. la variabile è p
4. Confrontiamo (1 + i) e (1 + i * p) con 0 < p < 1
5. f (p) = (1+ i) Esponenziale = curva
6. Lineare = retta
7. f (0) = (1 + i) = 1
8. f (1) = (1 + i) = 1 + i
9. f (p) = (1 + i * p)
10. f (0) = (1 + i * 0) = 1
11. f (1) = (1 + i * 1) = 1 + i
12. Continua…
13. La convenzione mista dà valori > della convenzione esponenziale. Questo se p è compreso tra 0 ed 1. Ma se p è maggiore di 1, cosa succede? Se > 1, cioè se passa l’anno, la convenzione esponenziale mi dà un valore maggiore dell’interesse semplice. Questo accade perché nella capitalizzazione composta alla fine dell’anno gli interessi maturati generano nuovi interessi, mentre nel regime dell’intereresse semplice no, perché è una retta. Continuiamo a confrontare le due convenzioni:
14. M = C (1 + i) per ogni n ponendo C = 1 Negli interi le 2 convenzioni danno gli stessi risultati. [n]
15. M = C

(1 + i) (1 + i (n – [n]))

Nei decimali ci sono due casi:

• • → → 0 se n € (0,1) M = 1 + i * n è una retta. Es.: se n = 0,3 e C = 1 M = 1 * (1 + i) + (1 + i(0,3–0)) = 1 + i * n
• • → 1 * (1 + i(n – 1)) è ancora una retta. se n € (1,2) M = (1 + i)f(p) Il grafico è una spezzata e questo implica che la convenzione mista dia sempre valori maggiori della convenzione esponenziale, tranne che negli interi 1 dove le due convenzioni danno lo stesso risultato.

0 1 2 p

Capitalizzazione composta convenzione esponenziale

C Nota, soprattutto quando il tasso è variabile: mentre nella capitalizzazione semplice avevamo una somatoria: M=C * (1 + i * t ), in convenzione esponenziale abbiamo una produttoria.

(1) (2)

i i ∏ ∏ n1 n2 nr ns=1 ns

M = (C, n) = C (1 + i ) * (1 + i ) * … * (1 + i ) = C * (1 + i ) dove “pi”

Greco” è il simbolo di produttoria.

Regime di interesse semplice→ →M (C, t) = C (1 + i * t) M (1, i) = 1 + i fattore di capitalizzazione

→I (C, t) = C * i * t I (1, 1) = i sono uguali!

Regime di capitalizzazione composta→ →n 1M (C, n) = C (1 + i) M (1, 1) = 1 * (1 + i) = 1 + i fattore di capitalizzazione

Tornando alla scomponibilità ci sono 2 considerazioni da fare:

ΦΦ , t ) = (Φ(C, t , z), z, t );

abbiamo detto che una legge è scomponibile se (C, t1 2 1 2Φ Φ Φ

poi una legge è additive se: (C + C , t , t ) = (C , t , t ) + (C , t , t ).

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

Se è sia scomponibile sia additiva, allora è scindibile.

1) interesse semplice:Φ →= (C, t , t ) = C (1 + i (t – t )) non è scomponibile.

1 2 2 1

2) capitalizzazione composta: →Φ t2 – t1, t ) = C (1 + i) è scomponibile.

= (C, t1 2

Esempi vari di calcolo:

Regime dell’interesse semplice →M = C

(1 + it) da cui: M/C = 1 + it t = (M/C – 1)/i

Se C = 795 i = 0,05 M = 860 Quanto dura l’impiego? → → →860 = 795 (1 + 0,05 * t) t (860/795 – 1) / 0,05 t = 1,635220126→ t = 1 anno Mesi = 0,635220126 * 12 = 7,622641512≈ →Giorni = 0,62264152 * 30 = 18,6 19 la durata dell’impiego è di 1 anno, 7 mesi e 19 giorni

Capitalizzazione composta convenzione esponenziale→n nM = C (1 + i) M/C = (1 + i) per calcolare n applico i logaritmi:→ → →nlog M/C = log (1 + i) log M/C = n * log (1 +i) n = (log M/C)/(log (1 +i)) è sufficiente utilizzare la calcolatrice scientifica. Esempio: n = log 860 – log 795 = 0,034131322 = 1,610781083e e log (1 + 0,05) 0,021189299e

Convenzione mista NoM = C (1 + i) * (1 + i * p) con N = [n] e p = n – [n] Noto M, C e i trovare n o t: 0• →se No = 0 M = C (1 + i * p) è = all’interesse semplice• → 1se No = 1 M = C (1 + i) * (1 + i * p) in questo

+ i) * (1 + ip) No = 0 M = C (1 + i) * (1 + ip) Esempio: No * (1 + 0,05 * p) = 860 = 795 (1 + 0,05) No = (log 860 - log 795) / log 1,05 = 1,610781083e e e 4 1860 = 795 (1,05) * (1 + 0,05 * p) 860 = 834,75 * (1 + 0,05 * p) 860 = 834,75 + 41,7375p 860 - 834,75 = 41,7375p 41,7375p = 25,25 p = 0,604971548 Durata del tasso di interesse: Noto M, C e t o n trovare i 1) Regime interesse semplice: M = C (1 + it) M/C = 1 + it M/C - 1 = it i = (M/C - 1) * 1/t 2) Convenzione esponenziale: n n 1/n 1/n M = C (1 + i) M/C = (1 + i) (M/C) = (1 + i) i = (M/C) - 1 3) Convenzione mista: Sia con No = 0 sia con No = 1 si riesce a risolverla: No = 1 M = C (1 + i) * (1 + ip)

+ ip)No = 0 M = C (1 + i) (1 + ip) x > 0 accettabile→2C = (1 + ip + i + i + i p) due soluzioni x < 0 non ˝Il regime di c/c bancario con capitalizzazione degli interessi al 31/12Alla fine dell’anno solare, la banca fa il conto degli interessi e li aggiunge al capitale che ho versato in banca.

C = 100 Anatocismo: gli interessi passivi venivano1/2/081/3/06 1/3/07 addebitati ogni 3 mesi, mentre quelli attivi ogni1/12 anno. Noi considereremo tutto al 31/12.31/12/06 31/12/0710/12 1 anno →1 11M = 100 (1 + i) (1 + i / ) in convenzione mista separa l’anno e “i decimali”.12 → →10 1 1Nel c/c bancario bisogna segnare le scadenze solari M = 100 (1 + i / ) (1 + i) (1 + i / ) “spezza” in 3 periodi.12 12Questo se il tasso i è costante, ma se cambia cosa succede?100 200 –10 (prelievo)1/3/06 1/7/06 1/3/07 1/7/07 1/2/0731/12/06 31/12/07i i i1 2 3S = saldo del c/c del 01/02/08 = c’è il cambio di tasso!= 100 (1 + i

4/12 + i 6/12)(1 + i 6/12 + i 6/12)(1 + i 1/12) + 200 (1 + i 4/12 + i 6/12)(1 + i 1/12) – 10 (1 + i 1/12)1 2 2 3 3 2 3 3 3

Tassi di interesse equivalenti (pag. 37 del libro)

Due tassi di interesse si dicono equivalenti se, applicati allo stesso capitale per la stessa durata di tempo, producono lo stesso montante. Con t in anni, esistono tassi semestrali, quadrimestrali, trimestrali etc. ed in generale possiamo dividere un anno in K parti, ciascuna delle quali è un Kesimo di anno: i = 1/K = tasso relativo ad un Kesimo di anno.

1) regime di interesse semplice

1) e 2) sono sempre una funzione C * f(t)

M = C (1 + it)

M = C (1 + i t * K)

M = M1 2 1/K 1 2→ →

M = M C (1 + it) = C (1 + i t * K)

i = K * i1 2 1/K 1/K

2) regime dell'interesse composto convenzione esponenziale

n nK

M = C (1 + i)

M = C (1 + i )

M = M1 2 1/K 1 2→ →

n nK

KM = M C (1 + i) = C (1 + i ) (1 + i) = (1 + i ) studiare a memoria!

1 2 1/K 1/K→ K 1/K

i i = (1 + i ) – 1 tasso annuo i = (1 +

i) – 1 tasso relativo a 1/K di anno. (pag. 40 del libro)1/k 1/KEsiste un altro tasso annuo, cioè il tasso annuo nominale convertibile K volte l'anno (in capitalizzazione composta ι ι(K)? ι 1/Kconvenzione esponenziale). Si indica con (K) (“iota”K). Cosa è (K) = K * i * 1/K = K * [(1 + i) – 1]→1 ι)K 1/K+ i = (1 + i ) i = (1 + – 11/K 1/KEsempio: assegnato il tasso annuo nominale convertibile2100 semestralmente (1 + 0,01) = 1 + iι0 3,5 (2) = 0,02→ →7 3,5 2 ½M = 100 (1 + 0,01) = 100 (1 + i) (1 + 0,01) = 1 + i i = (1 + 0,01) – 1 = 0,004 Dalla f’ non cogliamo nulla,½ι ιConsiderazioni su (K): che andamento ha? (K) quindi, analizzando la f”,ι 1/K scopriamo che è > 0, quindi la f’ è(K) = K * i = K[(1 + i) – 1] con K = 1,2, … K € [1, +∞)1/K crescente. Poiché lim f’(K)=0,ι δ1/K

K→∞lim (K) = lim (1 + i) – 1 = log (1 + i) = (“delta”) ι’(K)<0.e Quindi la f è fatta così:K→+∞ K→+∞ 1/K ieay AsintotoÈ un c.d. “limite fondamentale”: (a – 1) / y = log&in Il testo formattato con i tag HTML sarebbe il seguente:

K→∞lim (K) = lim (1 + i) – 1 = log (1 + i) = (“delta”) ι’(K)<0.e Quindi la f è fatta così:K→+∞ K→+∞ 1/K ieay AsintotoÈ un c.d. “limite fondamentale”: (a – 1) / y = log&in