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CAPITOLO II La rendita (pag. 85 del libro)

La rendita è una successione di capitali disponibili in determinate scadenze, incondizionatamente.

R R R R Rendita posticipata i termini sono disponibili

1 2 s n alla fine di ogni periodo.

0 t t t t

1 2 s n →

R R R R Rendita anticipata i termini sono disponibili

1 2 3 n+1 all’inizio di ogni periodo (es.: l’affitto).

0 t t t

1 2 n

La rendita (discreta o certa) può essere, con riferimento alla durata:

→ →

a) temporanea se ha un numero finito di rate / perpetua se ha un numero infinito di termini o rate;

→ →

b) immediata se i termini partono subito / differita se i termini partono dopo un po’;

c) a termini variabili / a termini costanti Le R sono tutte uguali (→ unitarie se tutte le R valgono 1).

Rendita immediata, posticipata, temporanea per t anni, di termine variabile

R R R

1 2 n

0 t t t

1 2…………………………. n

n n

1 / (1 + i) = V → ∑

–t1 –t2 –tn ns=1 –ts

V(0) = R (1 + i) + R (1 + i) + … + R (1 + i) V(0) = R (1 + i)

1 2 n s

→ ∑ ∑

tn–t1 tn–t2 ns=1 tn–ts tn ns=1 –ts

V (t ) = R (1 + i) + R (1 + i) + … + R V (t ) = R (1 + i) = (1 + i) * R (1 + i) =

n 1 2 n n s s

tn

= (1 + i) * V (0) questo solo se siamo in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale.

→ –tn

V (0) = V (t ) (1 + i) In generale:

n R R R formalizzazione generica

1 2 n

t t t

0 t

1 2…………… z…………. n ∑

tz – t1 tz – t2 –(tn – tz) tz – tn ns=1 tz – ts

V (t ) = R (1 + i) + R (1 + i) + … + R (1 + i) = R (1 + i) = R (1 + i) = Valutazione in t

z 1 2 n n s z

Esempio: 200 300 500 la scegliamo perché ha legge coniugata ed

è il caso più semplice:

5 6

0 1 2 3 4 il valore finale di una rendita è = al valore

1) Regime di capitalizzazione composta convenzione esponenziale anni.

attuale capitalizzato per t

n

2 1 –2 Attualizzazione: esponenziale = elevo a –n

V = 200 (1 + i) + 300 (1 + i) + 500 (1 + i)

4 Semplice = divido per (1 + i * n)

Oppure: –2 –3 –6 4

Valore attuale = V = 200 (1 + i) + 300 (1 + i) + 500 (1 + i) = V (4) (1 + i)

0

2) Regime di interesse semplice con legge coniugata per l’attualizzazione

= 200 (1 + i * 2) + 300 (1 + i * 1) + 500 * 1 / (1 + i * 2)

V 4

Rendita immediata, posticipata, periodica (il periodo è sempre =) di periodo 1 (annua), a rate costanti = 1

R = 1 R = 1 R = 1

n

0 1 2 n

δ δ δ →

–1 –2 –n 2 n

V (0) = (1 + i) + (1 + i) + … + (1 + i) = + + … + i termini variano in progressione geometrica

n ∑).

S = somma = a * (1 – q ) / (1 – q) dove q è la ragione (se individuiamo la ragione, il 1° termine ed il n° dei termini, si fa così la

1 ┐ ┐

→ δ δ δ) δ δ δ

n n n n δ

n

Deriva da: i a n i + = 1

V (0) = * (1 – ) / (1 – = (1 – ) / (µ – 1) = (1 – ) / (1 + i – 1) = (1 – ) / i = a n i

→ – n

Fissato i a n i = [1 (1 + i) ] / i ┐

a) Valore attuale di una rendita posticipata: a n i

1……………………………………1 µ → µ

* v = 1 = 1/v

0 1 2 n

………………………….

┐ δ δ δ δ δ δ) δ

2 n n n

a n i = + + … + = * (1 – ) / (1 – = (1 – ) / i

Esempio: → δ

n –10

Se R = 1 posticipata di n = 10 e i = 0,03 = (1 + 0,03)

→ –10

a 10 0,03 = [1 – (1 + 0,03) ] / 0,03 = 8,530202837

b) Valore attuale di una rendita anticipata: n i

α Ricordarsi che qui le rate sono unitarie,

1 1………………..1 negli esercizi bisogna moltiplicarle!

0 1………………n – 1 n

┐ ┐

α δ δ δ µ δ δ µ δ δ δ

2 n – 1 2 n n n

n i = 1 + + + … + = (δ + + … + ) = * a n i = 1 /δ * (1 – ) / i = (1 – ) /

µ δ →δ

= 1 + i = 1 / = fattore di sconto = 1/(1+i)

c) Valore finale di una rendita posticipata: s n i Il valore finale di una rendita posticipata unitaria ┐

1 1 1 periodica temporanea immediata si indica con s n i,

si definisce “temporanea n anni” o “figurato n”.

Quando “i” non c’è è sottinteso.

n

0 1 2 .

┐ µ µ µ

n–1 n–2 n n n n

s n i = + + … + + 1 = 1 * (µ – 1) / (µ – 1) = (µ – 1) / (1 + i – 1) = [(1 + i) – 1] / i = (µ – 1) / i 8

d) Valore finale di una rendita anticipata: S n i

1 1 1 1

0 1 2 n–1 n

…………………………

┐ ┐

µ µ µ µ µ µ µ µ

n n–1 n–1 n–2 n

S n i = + + … + = (µ + + … + + 1) = * s n i = (µ – 1) / i *

Vediamo ora alcune relazioni:

┐ ┐ δ n

1) a n i = s n *

┐ ┐ ┐ ┐ ┐

µ µ

n n n n n

2) (1 / a n ) – (1 / s n ) = i Dimostro: (1 / a n ) – (1 / a n * ) = (µ – 1) / (a n * ) = (µ – 1) / (µ – 1) * i = i

┐ ┐ ┐ ┐

α

3) n = a + 1 e anche S n = s + 1

n–1 n–1

α δ µ δ δ δ

n n–1 n–1 n–1

Dimostro: n = (1 – ) / i * = (µ – ) / i = (1 + i – ) /i = [(1 + ) / i] + 1 = a

┐ ┐

µ µ)

n n+1 n+1 n+1

Dimostro: S n = (µ – 1) / i * = (µ – / i = (µ – 1 + i) / i = (µ – 1) / i + i/i = s + 1

n+1

Schema riassuntivo sulle rendite immediate

Valore iniziale Valore finale

Posticipata R R R R R

a s

Anticipata R R R R R

α S

Valori iniziali Valori finali

α

Posticipato (a) Anticipato: = a * (1 + i) Posticipato (s) Anticipato: S = s * (1 + i)

–n –n n n

1 – (1 + i) (1 + i) (1 + i)

1 – (1 + i) * (1 + i) = – 1 – 1 * (1 + i)

i i i i

–n+1

= 1 – (1 + i) + 1 N.B.: qui n è il numero di rate NON di anni!

Non sempre coincidono.

i

Tutte le rendite viste finora erano immediate. Consideriamo ora le rendite differite, cioè disponibili dopo un tot di anni:

α,a,s,S,

Nota: ogni testo utilizza una sua simbologia e dicitura per noi utilizziamo queste lettere ma su altri testi possono variare.

Le rendite differite ┐

a) valore attuale di una rendita posticipata differita di m anni: /m a n i

1 1 1

0 1……….m m+1 m+2…..m+n

┐ ┐

δ δ δ δ δ δ δ

m+1 m+2 m+n m 1 2 n m

/m a n i = + + … + = (δ + + … + ) = * a n i

Indica che la rendita è differita di m anni. ┐ i

b) valore attuale di una rendita anticipata differita di m anni: /m n

α

1 1 1

0 1 m m+1 m+2…..m+n

┐ ┐

α δ α

m

/m n i = * n i ┐

c) valore finale di una rendita posticipata differita di m anni: /m s n i

1 1 1

0 1 m m+1 m+2…..m+n

┐ ┐

µ µ µ µ µ

m+n–(m+1) m+n–(m+2) m+n–m–1 m+n–m–2

/m s n i = + + … + 1 = + + … + + 1 = s n i

d) valore finale di una rendita anticipata differita di m anni: /m S n i

1 1 1

0 1 m m+1 m+2…..m+n

┐ ┐

/m S n i = S n i Ci sono poi le rendite perpetue.

Rendita perpetua, posticipata, in n anni con n +∞ (es.: la pensione)

R R R

0 1 2 3 +∞

δ

n n

lim 1 – = lim 1 – 1/(1 + i) = 1 / i = a

i n→+∞ i

┐ →

n n ∞.

s n = (µ – 1) / i lim (µ – 1) / i = +∞ non si può parlare di valore finale di una rendita perpetua, ovviamente, in quanto

n→+∞ 9

CAPITOLO III L’ammortamento (pag. 127 del libro)

Si supponga che in un certo istante zero un soggetto impresti un certo capitale A ad un altro soggetto, il quale si

impegna in un certo tempo a restituirgli il capitale A + gli interessi.

n

A A+I = A(1 + i) questo è un amm.to globale degli interessi e del capitale.

0 n

Si può però ammortizzare diversamente; per esempio restituire alla fine di ogni anno gli interessi dovuti.

A A*i A*i A*i+A questo è un amm.to periodico degli interessi e globale del capitale.

0 1 2………n (è il c.d. “ammortamento americano”)

Prevede che si paghino gli interessi sul debito fino a scadenza e la restituzione globale del capitale a scadenza.

Le rate valgono: R = R = … = Rn – 1 = i; Rn = 1 + i

1 2

Le quote capitale valgono: C = C = … = C = 0; Cn = 1

1 2 n – 1

Le quote interesse I valgono tutte i per ogni s.

S

In entrambi i casi (globale o americano), comunque, i risultati devono essere uguali :

(entrambi sono attualizzati in 0)

n –n

1) A (1 + i) (1 + i) = A

┐ –n –n –n –n –n

2) A * i a i + A (1 + i) = A * i * [1 – (1 + i) ] / i + A * (1 + i) = A – A (1 + i) + A (1 + i) = A

n

C’è poi l’ammortamento generale, cioè l’ammortamento periodico del capitale e periodico degli interessi:

A R R R

1 2 n

0 1 2………n

Il soggetto in questo caso paga un insieme di rate “ennupla di rate” che però non sono prese a caso, cioè devono

verificare la condizione di amm.to equivalenza finanziaria tra avere A oggi, tempo 0, e avere la somma di n Rate alla

fine di n anni:

n

∑ δ δ

s s –s

A = Rs * dove = (1 + i)

s = 1

Esaminiamo ora il problema di costituzione del capitale. Supponiamo che per una certa scadenza n si voglia avere a

disposizione una certa somma C; per far ciò accantoniamo delle somme, delle rate R, che devono soddisfare la

condizione di costituzione:

n

∑ µ n–s

C = Rs * Perché ho supposto che A = C = 1

{ indica un vettore.

s = 1 ≥ ∑ δ

ns=1 n

Problema di ammortamento in generale: A = {R = (R , R , …, R ), Rs 0 per ogni s, Rs * = 1} (pag. 132)

1 2 n ≥ ∑ µ

ns=1 n–s

Problema di costituzione in generale: C = {R = (R , R , …, R ), Rs 0 per ogni s, Rs * = 1}

1 2 n

I due problemi sono legati da due teoremi: →

1° teorema: data una ennupla di rate che ammortizza il debito di 1 $ in n anni la stessa ennupla di rate costituisce il

µ ≥ ∑ δ →

n ns=1 s

capitale . Cioè: Se R € A = {R = (R , R , …, R ), Rs 0 per ogni s, Rs * = 1}

1 2 n

→ Č ≥ ∑ µ µ

ns=1 n–s n

R € = {R = (R , R , …, R ), Rs 0 per ogni s; Rs * = } (pag. 133)

1 2 n

∑ δ → ∑ µ µ → ∑ µ µ

ns=1 s ns=1 n n ns=1 n–s n

Dimostro: Rs * = 1 Rs * = Rs * = è vero! Ma era prevedibile perché:

R R R questa per ipotesi è l’amm.to di 1$ visto che siamo in capitalizzazione

1 2 n µ µ

n n

0 1 2………n composta convenzione esponenziale e allora i * =

2° teorema: se abbiamo una ennupla di rate che ammortizza in n anni 1 $ la ennupla di rate che si ottiene

δ

n

moltiplicando ciascuna rata per costituisce in n anni il capitale di 1$. Cioè:

≥ ∑ δ → δ δ δ

ns=1 s n n n

Se R € A = {R = (R , R , …, R ), Rs 0 per ogni s, Rs * = 1} R = {R = (R * , R * , …, R * )} =

1 2 n 1 2 n

∑ µ

ns=1 n–s

(R , R , …, R ) € C dove C = {R = (R , R , …, R ), R > 0 per ogni s; Rs * = 1}

1 2 n 1 2 n s

Dimostro: I II III

I) Se ho una ennupla di rate e la moltiplico per una quantità >0 avrò sempre una ennupla di rate.

δ

n

II) Ciascuna componente di Rs è >0 perché ciascuna rata la moltiplico per .

∑ µ ∑ δ µ µ ∑ µ ∑ δ

ns=1 n–s ns=1 n n –s ns=1 –s ns=1 n

III) Rs * = Rs * * * = Rs * = Rs * = 1

Vale la condizione di costituzione?→

Questo vale nel discreto, ma nel continuo com’è? ρ

Supponiamo di essere in regime di capitalizzazione continua con tasso (s) e di dover ammortizzare 1€ in n anni,

versando una rendita continua di flusso R(s).

Rs

0 s n

1 1

n

∫ -φ(s)

= R(s) * e ds = 1 condizione di amm.to nel continuo

0 n

∫ φ(n) φ(s)

= R(s) * e ds = 1 condizione di costituzione nel continuo

0 10

∑ µ

ns=1 n–s

Mentre, come abbiamo visto, la costituzione di capitale nel discreto è R(s) * = 1

R R Rz R

1 2 n

0 1 2……… z n

1

Fz è il fondo ammortamento alla scadenza z; è la valutazione finanziaria delle rate versate fino all’istante z.

∑ µ

zs=1 z–s

Fz = R(s) * = 1 µ ∑ µ µ ∑ µ ∑ µ

n–z ns=1 z–s n–z ns=1 z–s + n–z ns=1 n–s

Il fondo Fz in n vale: Fz * = R(s) * * = Rs * = Rs *

Questo accade se i è uguale in ogni istante.

Esempio:

Dati i = 0,01 e 1.000€ da costituire in 5 anni, versando R.

100 50 300 200 R = ?

5

0 1 2 3 4 5

→ →

4 3 2

1) determinare R 1000 = 100 (1 + 0,01) + 50 (1 + 0,01) + 300 (1 + 0,01) + 200 (1 + 0,01) + R

5 5

→ → →

1000 = 104,060401 + 50,00005 + 306,03 + 202 + R R = 1000 – (662,090451) R =337,909549

5 5 5

2) Determinare F F = R (1 + i) + R = 100 (1 + 0,01) + 50 = 151

2 2 1 2

→ 3

3) Quanto vale F alla scadenza 5? 151 (1 + 0,01) = 155,575451 (si porta a scadenza)

2

Nella realtà però non abbiamo i costante e allora:

100 50 300 200 337,9

0 1 2 3 4 5

i = 0,02 3 3 2

1) Quale C si costituisce?→C=100(1 + 0,01)(1 + 0,02) +50(1 + 0,02) +300(1 + 0,02) + 200 (1 + 0,02) +337,9 =

= 1,061208 + 53,0604 + 432 + 204 + 337,9 = 1.028,021608

2) Da 2 in poi si sospendono i versamenti previsti e si versa una rendita posticipata, costante di rata R. Quanto

vale R per avere 1.000?

100 50 R R R

0 1 2 3 4 5

= 0,01 i = 0,02 1.000

i

1 2 ┐ → ┐ → ┐ →

3 3

1.000 = F (1 + 0,02) + Rs 1.000 = 151(1 + 0,02) + Rs Rs = 1.000 – 160,242408

2 3 0,02 3 0,02 3 0,02

→ µ → → →

n n 3

R * – 1 = 839,757592 R * (1 + i) – 1 = 839,757592 R * (1 + 0,02) – 1 = 839,757592 R = 274,394717

i i 0,02

→ →

3 3 3

3) Calcolare K F (1 + 0,02) + K = 1.000 K = 1.000 – F (1 + 0,02) = 1.000 – 151 (1 + 0,02) =

2 2

= 839,757592

In generale è possibile costruire un progetto/piano di costituzione di capitale.

Esempio:

C = 1.000; i = 0,01; R = 200; R = 400; R = ?

1 2 3

→ → → →

2

1.000 = 200 (1 + 0,01) + 400 (1 + 0,01) + R 1.000 = 204,02 + 404 + R R = 1.000 – 608,02 R = 391,98

Z anni Fondo iniziale Interessi Rata Fondo finale

1 / / 200 200

2 200 2 400 602

3 602 6,02 391,98 1.000

C’è poi un caso particolare:

∑ µ → ∑ µ → ┐ → ┐ ┐

ns=1 n–s ns=1 n–s

Rs * = 1 ma se R è costante R = 1 R * s = 1 R = 1 / (s ) = (“sigma minuscola” =

σ

n i n i n i

→ ∑ µ ┐ ┐ ┐

ns=1 z–s

termine costante di costituzione) F sarà: F = Rs * = Rs = s / s

2 2 z z n

φ(n) φ(s)

∫ n0 –

Questo nel discreto, ma nel continuo è: R(s) e ds = 1 Rs

0 s z n

Se vogliamo calcolare il fondo in z sarà la valutazione finanziaria delle rate da 0 a z, il tutto valutato in 0.

φ(z) φ(s)

→ ∫ z0 –

Fz = R(s) e ds

φ(n) φ(z) φ(z) φ(s) φ(n) φ(z) φ(n) φ(s)

→ ∫ ∫

– z0 – – z0 –

Fn = Fz * e = R(s) e ds * e = R(s) e ds

Consideriamo ora l’ammortamento:

R R Rz Rn

1 2

0 1 2………z………n

∑ δ

ns=1 s

Condizione di amm.to: R(s) = 1 →

Ora dividiamo la Rata in quota Capitale Cs e in quota interesse Is Rs = Cs + Is. Seguono le definizioni:

∑ → ∑ ←

ns=1 ns=1

Dove Cs è dato da: Cs = 1 (se il debito è unitario) Cs = debito estinto = Bz è la somma delle quote di

capitali pagate fino a z (detta anche somma capitale di ammortamento).

→ → ∑ ∑ ∑

ns=1 zs=1 ns=z+1

1 – Bz = debito residuo = Dz Dz = 1 – Bz = Cs – Cs = Cs = Dz

Se B = 0 D = 1

0 0

Se Bn = 1 D = 0

0

Rs = Cs + Is 0 >B

Se Cs > 0 ogni volta che pago una rata estinguo una parte di debito B z z – 1

In questo caso si ha un amm.to graduale, cioè le Bz al crescere di Cs sono una funzione crescente mentre Dz decresce.

11

I è la parte di rata che paga gli interessi su 1 I = i * 1 = i * D = i (1 – B )

1 1 0 0

I = i * D = i (1 – B )

2 1 1

→ I = i * D = i (1 – B ) È quindi possibile costruire un piano di ammortamento.

s s – 1 s – 1

Esempio: Si versano 4 rate annue posticipate: i = 0,02 A = 2.000 n = 4 con R = R = 500 e R = R

1 2 3 4

500 500 R R

0 1 2 3 4 2.000

–1 –2 –3 –4

2.000 = 500 (1 + 0,02) + 500(1 + 0,02) + R(1 + 0,02) + R(1 + 0,03)

→ 2.000 = 490,1960784 + 480,5843906 + R (0,942322334) + R (0,888487047)

→ →

R (1,830809382) = 2.000 – 970,780489 R = 1.029,219531 / 1,830809382 = 562,1664063

Z = anni Rz = R Dz =D – Cz Iz = Dz * i Cz = Rz – Iz Bz = Cz cumulato

z–1

0 0 2.000 / / /

1 500 1.540 40 460 460

2 500 1.070,8 30,8 469,2 929,2

3 551,151 541,065 21,416 529,735 1.458,935

4 551,151 / 10,8213 540,3297 1.999,27

In questi casi l’ammortamento è determinato; ma c’è un altro caso in cui l’amm.to è determinato:

Teorema: se sono assegnate le quote capitali e l’amm.to è graduale, cioè se Cs > 0 l’amm.to è determinato.

Cs>0 amm.to determinato per essere determinato devono verificarsi le seguenti 3 ipotesi:

una ennupla di rate

R > 0 ∑ δ

ns=1 s

Verificare le condizioni di ammortamento: R = 1

s

Se Cs > 0 sappiamo che B > B per ogni z; questo implica che ogni anno si estingue il debito. (Se Cs = 0 pago solo gli

z z–1

interessi e non estinguo nessun debito, se Cs < 0 il debito aumenta.)

Dimostrazione:

1) che ho una ennupla di rate: →

Rs = Cs + Is = Cs + i (1 – B ) posso scrivere anche così: B * B + i (1 – B )

s – 1 s s – 1 s – 1

→ ∑

nz=1

Cs = B – B perché Bs = Cz

s s – 1

→ ∑

n–1z=1

B = Cz = C + C + … + C + C – C – C – … – C = Cs

s – 1 1 2 s–1 s 1 2 s–1

Is = i (1 – B )

s–1

Quindi per dimostrare 1): →

Rs = Cs + (1 – B ) Cs > 0 Rs = Cs + i (1 – B ) Così dimostro che ho una ennupla di rate con

s–1 s–1

>0 va da 0 a 1 rate > 0 e quindi dimostro anche:

2) perché C > 0 δ

→ ∑

ns=1 s

Rs * = 1 ???

3) l’ammortamento verifica le condizioni di ammortamento?

→ ∑ δ ∑ δ

ns=1 n ns=1 n

(Bs – B + i (1 – B )) * = [Bs – B + i (1 – B ) + 1 – 1] * =

s – 1 s – 1 s – 1 s – 1

∑ δ ∑ δ

ns=1 s ns=1 s

= [(1 – B ) + i (1 – B ) – (1 – Bs)] * = [(1 – B )*(1 + i) – (1 – Bs)] * = dove (1+i)=µ

s – 1 s – 1 s – 1

∑ δ ∑ δ

ns=1 s–1 ns=1 s

= (1 – B ) * – (1 – Bs)* =

s – 1 →

0 n–1

= (1 – B )δ + (1 – B )δ + … + (1 – B )δ – (1 – B )δ – … – (1 – Bn)δ = 1 – 0 = 1 è vero! dove Bn = 1

0 1 n–1 1

Conclusione: note le quote capitali>0, quindi ammortamento graduale, se Bz>Bz-1, l’ammortamento è determinato.

Quindi per delineare il piano non serve sempre aver le rate, ma bastano delle quote capitale > 0.

Esempio: C = 250 D = 1.000 i = 10%

Z R Dz Iz Cz Bz

0 / 1.000 / / /

1 350 750 100 250 250

2 325 500 75 250 500

3 300 250 50 250 750

4 275 / 25 250 1.000

∑ δ →

ns=z+1 s–z

Dimostrazione: Si dimostri che Dz non è altro che la valutazione finanziaria delle rate che devono essere ancora versate. Dz = Rs

→ usiamo la stessa strada utilizzata qui sopra. 1 – Bz = Dz. Così possiamo evitarci di sviluppare tutto il piano d’ammortamento.

TIPI DI AMMORTAMENTO:

1) Ammortamento francese (a rate posticipate costanti): (pag. 148)

R R R R R (“alfa”) ∑

ns=1 s

0 1 2 3………n–1 n Rδ = 1 cioè:

α → Rata unitaria costante per ammortizzare

1 = R * a n┐i da cui ricavo R = 1 / (a n┐i) che si scrive n┐i

→ in n anni. R = A / a n┐i

Osservazione 1 / (a n┐i) – 1 / (s n┐i) = i

α σ → α σ α σ

n┐i – n┐i = i n┐i = 1 + n┐i mentre n┐i – i = n┐i

Visto che l’ammortamento francese R = Rz+1 con z = 1…n–1

Iz + Cz = Iz+1 + Cz+1 Iz+1 = Iz – iCz → →

Quindi sostituendo Iz+1 avremo: Iz + Cz = Iz – iCz + Cz+1 Cz+1 = Cz + iCz Cz+1 = Cz (1 + i)

σ

Questo implica che le quote capitale variano in progressione geometrica di 1° termine n┐e ragione (1+i),

→ σ z–1

perché ogni quantità si ottiene moltiplicando la precedente per una costante (1 + i) Cz = n┐i * (1 + i) 12

z–1

Cz = A/sn┐i *(1+i)

2) Ammortamento italiano o uniforme (o a quote capitale costanti):

A = 1, n, i Cz = C z = 1, 2, n

∑ → →

ns=1 Cs = 1 C + C + C = 1 nC = 1 quindi: Cz = C = 1/n Lungo tutta la durata n vengono versate

n volte n quote capitale C costanti annue

ns=1

Bz = Cs = 1/n + 1/n + 1/n = z/n posticipate e la corresponsione degli

Dz = 1 – Bz = 1 – z/n = (n – z) / n interessi avviene mediante il versamento

Iz = i (1 – Bz–1) = i * [1 – (z – 1)/n] di n quote interesse annue posticipate.

I termini variano in progressione aritmetica di primo termine i e ragione i/n.

Rz = 1/n + [1 – (z – 1)/n] = 1/n + i – 1/n (z – 1) C([1/n + i – i/n(z – 1)]

C’z = Cz = A/n RIVEDERE SUL LIBRO

3) Ammortamento tedesco (facoltativo dal 2007, come l’ammortamento inglese):

È uguale a quello italiano dal punto di vista finanziario, ma qui gli interessi vengono dati anticipatamente

rispetto a quello italiano nel quale vengono dati posticipatamente.

δ → δ

az

I = i * = d Iz = I = i * * (1 – B )

0 z–1

Se però i tassi non sono costanti:

i i

(1) (2)

0 1 2………n →

D’ = 1 (debito che si ha all’inizio) D

0 0

I’ = i * D’ = i * D D’ = D’ – C’

1 (1) 0 (1) 0 1 0 1

R’ = C’ + I’ I’ = i * D’

1 1 1 2 (2) 1

A = 1 Rz Dz Cz Iz

Se prefisso la quota capitale

D’ = 1 I’ = i * D’ = i * D

0 1 (1) 0 (1) 0

C’ = C R’ = C’ + I = C + I’

1 1 1 1 1 1 1

D’ = D’ – C’ = D – C = D

1 0 1 0 1 1

C’ = C I’ = i D R’ = C + I’

2 2 2 (2) 1 2 2 2

D’ = D – C = D

2 1 2 2

C’z = Cz R’z = Cz + Iz D’z = Dz I’z = i * Dz

(z)

4) Ammortamento americano (importante): vedi pag. 17 di questi appunti. 13

CAPITOLO IV I prestiti

R R R R

1 2 t n

0 t t ………t………t

1 2 n

* * –(ts–t)

v (t, i ) = Rs (1 + i )

↓ →

ts>t: somma estesa da ts a t non metto anche l’uguale perché le rate scadenti in t le considero già versate.

valore del prestito. Capitalizzazione convenzione esponenziale.

δ → δ → δ ∑

* * * * * –δ*(ts – t)

Se però il tasso non è i ma corrispondente ad i = log (1 + i ) v (t, ) = Rs e (in cap. continua)

e ts>t

C’è un caso particolare con R scadenti negli interi (scadenze annue): ∑

ns=z+1 * –(s – (z+ρ))

R R R R R v (t=z+p, i*) = Rs (1 + i )

1 2 z z+1 n δ ∑

* ns=z+1 –δ*(s – (z+ρ))

0 1 2 z……..t=z+p….z+1………n v (t=z+p, ) = Rs * e

≤ ≤

dove 0 p 1

Se l’istante di valutazione t = z, per definizione si considera già versata:

* ns=z+1 * –(s–z)

) = Rs (1 + i ) (con p = 0)

v (z, i

δ) ∑

ns=z+1 –δ*(s–z)

v (z, = Rs e

Sapendo che R si divide in Cs + Is si può scrivere così:

∑ ∑ ∑

ns=z+1 * –(s–z) ns=z+1 * –(s–z) ns=z+1 * –(s–z)

(Cs + Is)(1 + i ) = Cs (1 + i ) + Is (1 + i )

µ

A : Nuda proprietà + : Usufrutto

z,i z,i

Valutazione finanziaria in z delle: quote capitale quote interesse

*

Se i = i, V è il debito residuo: v (z,i) = Dz. Fin qui abbiamo sempre visto soltanto prestiti indivisi.

z,i

Prestiti Divisi (pag. 185 del libro)

Se per una SPA, per esempio, un prestito è ingente, non è opportuno trovare un unico finanziatore e si ricorre al prestito

diviso, che consiste nel suddividere l’importo in obbligazioni. Si hanno così prestiti con un solo soggetto debitore a cui

non fa fronte un unico finanziatore (creditore) ma una pluralità di finanziatori i quali sottoscrivono una quota di prestito.

Per ogni titolo occorre distinguere: valore nominale, sul quale viene corrisposto l’interesse, valore di emissione, che è il

prezzo pagato dai sottoscrittori, valore di mercato (o corso), valore di rimborso all’atto dell’estinzione del debito.

L’emissione ed il rimborso dei titoli può avvenire alla pari, sotto la pari o sopra il valore nominale.

I tipi più diffusi di titoli di credito sono:

1) Buoni o certificati di credito: se è prefissata la data del rimborso del capitale che è la stessa per tutti i

sottoscrittori:

a. BOT: non è previsto il pagamento degli interessi per cui sono detti zero coupon bond;

b. BTP: a scadenza superiore all’anno e tasso fisso con cedole;

c. CCT: a scadenza superiore all’anno e tasso variabile con cedole.

2) Obbligazioni: è previsto un piano di rimborso graduale del debito mediante estrazione ed il pagamento

periodico degli interessi. A = valore nominale del prestito

Ora parliamo di prestiti divisi, cioè di titoli: A / N = C N = numero di titoli emessi

Ci sono vari tipi di titoli: C = valore di emissione di un titolo

0

1. I titoli a capitalizzazione integrale: non danno diritto C = valore nominale di un titolo

al pagamento di interessi periodici. Es. i BOT. C’ = il valore di rimborso di un titolo

Ci = valore della cedola

C C Possono avere scadenza trimestrale, semestrale o annua

0 n = la durata in anni del prestito diviso

0 t al massimo. Che regime di capitalizzazione utilizzano?

C = C (1 + it) Interesse semplice.

0

2. I titoli senza pagamento di cedola si chiamano zero coupon bond (z.c.b.): non prevedono il pagamento di

interessi periodici, hanno scadenze intere, viaggiano in regime di capitalizzazione composta se serve in

convenzione esponenziale.

t

C = C (1 + i)

0

3. Esistono anche titoli che danno origine al pagamento di cedole (Coupon Bond, come i BTP, buoni del tesoro

pluriennali), interessi periodici “annui” in ammortamento americano.

Ci Ci Ci+C Se C’ (il valore di rimborso) = C lo schema è questo.

0 1 2……… n Se ho più titoli devo moltiplicare per N: N * C

Tutti e 3 i titoli sono uguali per tutti i sottoscrittori.

Obbligazioni

Funzionano come i BTP, ma lo Stato all’inizio stabilisce il numero delle obbligazioni che alla fine di ogni anno

vengono estinte, cioè quelle per cui viene pagato il debito. Avviene per estrazione a sorte.

Esempi:

Z.C.B. 98 100 Se le pago 98 e alla fine varranno 100, di che tasso di rendimento godono?

2

0 2 100 = 98 (1 + i)

I problemi nascono con i BTP, nel determinare il tasso effettivo di rendimento dei titoli con cedola.

Ci Ci Ci+C → →

se C > C emissione sopra la pari C > C’ rimborso sopra la pari

0 0

→ →

0 1 2 n se C = C emissione alla pari C = C’ rimborso alla pari

0 0

→ →

se C < C emissione sotto la pari C < C’ rimborso sotto la pari

0 0 14

–n

C = Ci a n┐i + C (1 + i) condizione di ammortamento

≠ → –n

se C C C = Ci a n┐x + C (1 + x) è tutto noto tranne x

0 0 f(x) x = tasso effettivo di rendimento di chi acquista quel titolo

C = f(x) Cin + C

0

x € [0, +∞) f(0) = Cin + C (basta sostituire 0 ad “x”)

C

0

0 x x Vediamo perché è disegnata così:

–1 –2 –n

f(x) = Ci (1 + x) + Ci (1 + x) + … + (Ci + C) (1 + x)

lim f(x) = 0 per capire il suo andamento studio la derivata prima:

x→∞ –2 –3

f’(x) = Ci (1 + x) + Ci (1 + x) < 0 decrescente (in realtà erano tutte cose con segno negativo, quindi + … < 0)

f ”(x) > 0 concava vs l’alto 0 < C Cin + C : condizione fondamentale; il problema ha

0

soluzione e il tasso effettivo di rendimento x è determinato. Come si fa a trovare la soluzione?

–n

C = Ci a n┐x + C (1 + x)

0 –1

Con n = 1 C Ci + C C = (Ci + C)(1 + x)

0 0

0 1 –1 –2

Con n = 2 C Ci Ci+C C = Ci (1 + x) + (Ci + C)(1 + x)

0 0

0 1 2

Con n > 2 si utilizza il metodo di iterazione che non dà una soluzione, ma consente di avvicinarsi ad essa:

Teorema A φ(x), φ(x) φ’(x)

Se abbiamo un’equazione del tipo x = x € [a; b] e € [a; b] e deve esistere e tale derivata deve avere una

φ’(x) ≤ ≤ φ

caratteristica fondamentale cioè | | K 1. Esiste un’unica soluzione x tale che x = (x).

φ φ φ

Se x € [a; b] x = (x ) x = (x ) e scopro che x = (x ) che si avvicina sempre di più a x.

0 1 0 2 1 n+1 n

Trovo una successione di valori che non so come sia fatta.

Teorema B

Ci permette di capire come sia fatta la successione, quindi se valgono le stesse ipotesi del teorema A la successione è

φ )>0 x < x < x < … < x oppure x < … < x < x < x

così: Se (x

n 0 1 2 2 1 0

φ’(x →

Se )<0 si procede a saltelli cioè: x < x < x < x < x (è il celeberrimo c.d. “teorema della ragnatela”)

n 0 2 3 1

φ(x) y = x si incontrano.

coeff.angolare = 1

φ(x)

b coeff.angolare<1

φ(x )

0

φ(x )

1 φ’(x)>0

Questo se φ’(x)<1

a x x b x

0 a x x

2 1 0

φ’(x)<0 φ’(x) ≤

Se funzione decrescente, come? | | K < 1

φ’(x) ≤ φ’(x) ≥

– K < 1 cioè –K > –1

φ(x)

b La retta tangente alla curva ha un coefficiente angolare > –1.

φ(x ) la successione di valori non si ha tutta in un senso o tutta in un altro come

1 prima: si ha a saltelli. Si ha una c.d. convergenza a ragnatela.

φ(x ) L’ipotesi del coefficiente angolare è fondamentale per ottenere la conver-

0 genza. Nel caso di emissione sopra la pari si potrebbe dimostrare che

φ’(x φ”(x

)>0 e )<0: l’approssimazione si ha tutta in un senso, indietro.

0 0

a Accade, ovviamente il contrario sotto la pari: C < C, a saltelli.

0

0 a x x x x b x

1 2 0

Titolo con cedola (applichiamo quanto appena detto ai BTP): –n

Ci Ci Ci+C C = Ci a n┐x + C (1 + x)

0

0 1 2………..n x = tasso effettivo di rendimento = ?

Se n = 1 oppure se n = 2 ho un’equazione di 1° o 2° grado quindi so come risolverlo e non ci son problemi.

φ(x)

Se n > 2 utilizzo il teorema di iterazione. x =

–n n

= Ci a n┐x + C (1 + x) si moltiplicano entrambi i lati per (1 + x) quindi:

C

0 n –n

C (1 + x) = Ci a n┐x (1 + x) + C sottraggo ad ambo i membri C (a n┐x diventa s n┐x)

0 0

n

C (1 + x) – C = Ci s n┐x + C – C divido e moltiplico per x

0 0 0

n

x * [C (1 + x) – C ]/n = Ci s n┐x + C – C

0 0 0

n

x * [C (1 + x) ]/n – 1 = Ci s n┐x + C – C x = Ci / C + C – C /C s n┐x = Ci / C + (C/C – 1)/s n┐x

0 0 0 0 0 0 0 15

φ(x φ(x

x = Ci / C + (C/C – 1)/s n┐x la successione si determina così: x = Ci/C ; x = ); x = )

0 0 0 0 1 0 2 1

Valutazione di prestiti divisi

δ ∑ –(ts – t)

Rs (1 + i*)

(t, i*) = ts>t δ –(n – t)

Nel caso degli zero coupon bond non ci sono problemi per la valutazione: (t, i*) = C (1 + i*)

Se abbiamo invece un BTP (caso tipico di titolo con cedola):

Ci Ci Ci Ci Ci + C c < p < 1

0 1 2……… z t z+1…… n n – (z + 1) + 1 = n – z è il numero dei termini

δ –(1 – p) –[n – (z+p)]

* (1 + i*) + C(1 + i*) è il valore del BTP secondo la nostra definizione listini pubblici

(t, i*) = Ci a n–z┐i*

Corso secco e corso tel quel (ecco come si ragiona sui mercati, nella realtà):

Ci Ci Ci + C

z z+1 z+2 n α(p)

t = z+p si chiama dietimo

Si ipotizza che all’interno dell’anno la cedola si formi in modo direttamente proporzionale al tempo: t = Ci * p

Ciò implica che inizia la cedola = 0 e in z + 1 = Ci. Il soggetto che acquista il titolo ha diritto a Ci (1 – p),

infatti Cip + Ci (1 – p) = Ci il soggetto che acquista deve pagare dietimo + corso secco (= corso tel quel).

→ ┐

–(1–p) –(1–p) –(n – (z+p))

s (z + p, i*) = Ci (1 – p)(1 + i*) + Ci a (1 + i*) + C(1 + i*)

n–z–1 i*

Confronto tra corso tel quel e valore del titolo n – (z + 2) + 1 = n – z – 1 è il numero dei termini

δ –(1 – p) –(n – (z+p))

(t, i*) = Ci a * (1 + i*) + C(1 + i*)

n–z┐i*

1 1 1 a = 1 + a

0 1 2 n – z – 1 n – z n – z – 1

–(1–p) –(n – (z+p))

= Ci(1 + a )(1 + i*) + C(1 + i*) =

n–z–1┐ i* – (1–p) –(1–p) –(n – (z+p))

= (Cip + Ci(1 – p))(1 + i*) + C a (1 + i*) + C(1 + i*)

n–z–1┐ i*

α(p) – (1–p) – (1–p) –(1–p) –(n – (z+p))

= (1 + i*) + Ci (1 – p)(1 + i*) + Ci a (1 + i*) + C (1 + i*)

n–z–1┐ i*

α(p) φ

– (1–p)

= (1 + i*) + (z + p, i*) α(p) φ δ →

Dietimo scontato + corso secco + (z + p, i*) > (t, i*) corso tel quel > valore del titolo. Questo accade

perché il soggetto che paga il dietimo paga anticipatamente quello che riceverà a fine anno. Se pago al corso tel quel

pago di più di quanto vale il titolo; quindi il tasso che ho è minore di “quello che ha chi lo ha comprato al suo valore”.

Per capire di che tipo di titolo si sta parlando si attribuiscono degli indici al titolo:

1. la durata o indice temporale; Questi primi 2 indici non tengono conto della componente finanziaria e

2. la vita residua o “maturity”. non danno informazioni in merito alla cedola.

3. la duration: è l’indice più importante; si può associare a qualsiasi titolo; è la media delle scadenze residue,

ts – t, ponderata con i valori attuali in t delle somme Rs scadenti rispettivamente in ts. Formula ed esempio:

∑ –(ts – t)

D (t, i*) = (ts – t) Rs(1 + i*) 10 10 10 10 10+100

ts>t ∑ –(ts – t)

Rs(1 + i*) 0 1 2 3 4 5 con i* annuo

ts>t 2+3/12

–9/12 –1–9/12 –2–9/12

D (2 + 3/12, i*) = 9/12 x 10 (1 + i*) + (1 + 9/12) x 10 (1 + i*) + (2+9/12) * 110 (1 + i*)

–9/12 –1–9/12 –2–9/12

10 (1 + i*) + 10 (1 + i*) + 110 (1 + i*)

δ*,

Assegnando cioè = log(1 + i*), come si scriverà la duration?

δ*) ∑ –δ* (ts – t)

D (t, = (ts – t) Rs e

ts>t

∑ –δ* (ts – t)

Rs e

ts>t δ*

Se ho uno zero coupon bond: Rn con

0 t n

δ*) –δ* (n – t)

D (t, = (n – t) Rn e = n – t (maturity titolo)

–δ* (ts – t)

Rn e δ* δ* δ*;

Supponiamo di avere un tasso che subisce un incremento di valore: + d come reagisce il titolo a

δ*) δ* δ*).

questo cambiamento? Si passa da V(t, a V(t, + d

δ* δ*) δ*) δ* ≈ ∂ δ*) ∂ δ* δ*

V (t, + d – V (t, x d V (t, / x d

δ*) δ* δ*)

V(t, d V (t, (si divide allo scopo di poter confrontarli)

Variazione relativa Derivata parziale

δ*(ts

∂ δ*) ∂ δ* ∑ – – t)

V (t, / = Rs e –(ts – t) Ora sostituisco e ottengo:

ts>t δ*(ts

≈ δ* δ*) δ*

– – t)

variazione relativa –∑ (ts – t) Rs e x d = – D (t, d

ts>t δ*) – duration x differenziale

volatilità V (t,

(∂V/∂δ*)/V

Più la duration è alta più la variazione relativa è alta, in valore assoluto; il titolo allora risente di più delle variazioni dei tassi. Un

titolo è tanto più volatile quanto più la duration è alta. Al crescere di i, quindi all’aumentare della cedola Ci, la duration decresce. I

titoli che hanno la duration più alta sono quelli con cedola nulla, cioè gli zero coupon bond. Ciò è detto “effetto cedola”.

Variazione relativa nel caso di tasso annuo

i* i* + d i* calcolare la variazione relativa (domanda da esame):

≈ ∂V(t, ∂i* ∑

V(t, i* + di*) – V(t, i*) i*) / x di* V = (t, i*) = Rs (1 + i*)

ts – t

(ts – s) V(t, i) V(t, i) volatilità volatilità

∂V(t, ∑ – (ts – t)

i*) = Rs [– (ts – t)(1 + i*)] = –∑ Rs (ts – t) Rs(1 + i*) x 1 x di* = – D (t, i*) x 1 x di*

ts – t ts – t

∂i* V (t, i*) (1 + i*) (1 + i*)

duration al tasso i* 16

CAPITOLO V La struttura del mercato

Osserviamo uno zero coupon bond emesso oggi con valore A, scadente in t con valore C.

A C

0 t

Φ(A,

C = 0, t) se è additiva: A f (0, t) noti C e A posso determinare il fattore di capitalizzazione: f (0, t) = C/A

0 0

t

Posso trovare il tasso effettivo di rendimento: f (0, t) = (1 + i (0, t)) = C/A

0 0

Tasso a pronti o tasso spot

1/t

Come lo calcolo? i (0, t) = (C/A) – 1 è il tasso effettivo di rendimento di uno zero coupon bond emesso

0 in zero e scadente in t.

Osservando i vari tassi spot di vari titoli: cosa succede sul mercato? Eccone la struttura:

i(0,t) per tutti gli zero coupon bond con quella scadenza si può indivi-

duare il tasso di effettivo rendimento, per la condizione di arbi-

traggio: cioè se ci fossero occasioni migliori sul mercato tutto

si equilibrerebbe a quel determinato tasso. Il mercato interpola.

Riusciamo, grazie a t, a stabilire i valori in qualsiasi t.

0 t t t t t t = tempi di osservazione di qualunque zero coupon

1 2 3 4

Se i tassi spot di tutti gli zero coupon bond fossero uguali avremmo una struttura piatta di mercato:

i(0,t) C = A f (0, t) tasso annuo spot

0

f (0, t) = C/A

0

Fino ad oggi avevamo ipotizzato, appunto, una struttura

piatta, o al max a “scalini”, cioè con tasso variabile per certi

t t t t

0 t intervalli di tempo.

1 2 3 4

Gli stessi ragionamenti valgono per il tasso istantaneo spot anziché annuo.

δ0(0, → δ δ

t)*t

e = C/A (0, t) = 1/t*log (C/A) tasso istantaneo spot (0, t) = log (1 + i (0, t))

0 e 0 e 0

2 Maggio 2006 (corrispondente alla lezione del giorno 9 Maggio 2007, con t e t invertiti sugli assi dei tempi)

1

Tasso annuo spot i (0, t)

0

δ (0, t)

0

δ (0, t) = log (1 + i (0, t)) Noti tutti i tassi spot, si può osservare il grafico della struttura di mercato. Fissato il tempo 0

0 e 0

oggi, prendiamo in considerazione uno ZCB con prezzo A in t e scadente in t con valore C .

1 1 1

A C

1 1 ≤ ≤

0 t t con 0 t t

1 1

Φ

C = (A , t , t)

1 0 1 1 →

C = A f (t , t) f (t , t) = C /A

1 1 0 1 0 1 1 1

i (t , t) tasso annuo forward o a termine

0 1 →

t – t1 1/(t – t1)

(1 + i (t , t)) = C /A i (t , t) = (C /A ) – 1 per la formula dei tassi spot basta porre t = 0.

0 1 1 1 0 1 1 1 1

δ0(t1,

δ → →e → δ → δ

t)(t – t1)

(t , t) f (t , t) = (C /A ) (t , t)(t – t1) = log C /A (t , t) = 1/(t – t ) * log (C /A )

0 1 0 1 1 1 0 1 e 1 1 0 1 1 e 1 1

Ora il tasso spot e il tasso forward sono legati tra loro? (0, t) = f (0, t ) f (t , t) come già visto, è la scindibilità.

Un mercato si dice coerente, consistente o in equilibrio se: f

0 0 1 0 1

Per spiegare quando un mercato è in equilibrio, possiamo dire che il mercato non è in equilibrio quando vale il minore o

il maggiore. Esempio: f (0, t) > f (0, t ) f (t , t) significa che è possibile comprare e vendere titoli allo scoperto, aven-

0 0 1 0 1

do un guadagno certo, cioè significa poter far arbitraggi. In un mercato in squilibrio posso vendere oggi a Tizio allo

scoperto un titolo che mi dà diritto ad incassare + C/ [f (0, t ) f (t , t)].

0 1 0 1

Tizio con questo acquisto si garantisce in t – C/ f (t , t); in zero ho incassato e allora vado sul mercato e compro dei

1 0 1

titoli a questo prezzo: – C/ f (0, t); tali titoli in t mi renderanno +C; ma in t dovrò dare a Tizio quello che gli spetta

0 1

quindi oggi compro dei titoli allo scoperto da Caio + C/ f (t , t) e dovrò dare a Caio – C. Quindi ho comprato e venduto

0 1

allo scoperto.

In t: incasso C e vendo C

In t : dovevo – C/ f (t , t) e mi spettava + C/ f (t , t)

1 0 1 0 1

0 t t

1

+ C/[ f (0, t ) * f (t , t)] – C/ f (t , t) +C facciamo la somma algebrica!

0 1 0 1 0 1

– C/ f (0, t) + C/ f (t , t) –C

0 0 1

C/[ f (0, t ) * f (t , t)] – C/ f (0, t) > 0 0 0 “guadagno dove ho >”

0 1 0 1 0 →

C/ f (0, t) < C/[ f (0, t ) * f (t , t)] f (0, t) > f (0, t ) * f (t , t)

0 0 1 0 1 0 0 1 0 1

Noi però prendiamo in considerazione un mercato in equilibrio; allora deve valere f (0, t) = f (0, t ) * f (t , t).

0 0 1 0 1

a

1 considerazione: se il mercato è in equilibrio, noti i tassi spot possiamo determinare i forward.

t t1 t – t1

(1 + i (0, t)) = (1 + i (0,t )) * (1 + i (t ,t))

0 0 1 0 1

numeratore denominatore incognita

t 1/(t – t1)

i = (1 + i (0,t))

0 0 t1

(1 + i (0,t )) – 1 formula dei tassi forward con t < t

0 1 1 17


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flaviael

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Appunti di Matematica finanziaria del testo scritto da Gosio con analisi dei seguenti argomenti trattati: le leggi finanziarie, le leggi di capitalizzazione, le proprietà minime, l'uniformità o stazionarietà nel tempo, l'additività rispetto al capitale, la scomponibilità e la scindibilità, i vari esempi di calcolo.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia aziendale (GENOVA, IMPERIA)
SSD:
Università: Genova - Unige
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica finanziaria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Genova - Unige o del prof Gosio Cristina.

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