Matematica finanziaria - Formulario

Leggi di capitalizzazione

→ ΦLeggi di capitalizzazione C, t , t M = (C, t , t )1 2 1 2ΦProprietà minime (0, t , t ) = 0 impiegando un C = 0 otterrò un M = 0.1 2Φ (C, t , t ) = C e mi restituiscono in t otterrò C = C.se impresto in t1 1 1 1Φ Φ ≤ ≤ ≤(C, t , t ) < (C, t , t ) con 0 t t t1 2 1 3 1 2 3Φ Φ ≤ ≤(C, t , t ) < (C , t , t ) con 0 C C1 2 2 1 2 1 2Φ Φ ≤ ≤Uniformità o stazionarietà nel M dipende solo dall’ampiezza dell’intervallo:(C, t , t ) = (C, t +x, t +x) 0 t t1 2 1 2 1 2 a t o da t a t è lo stesso.tempo investire da t 1 2 2 3Φ Φ ΦAdditività rispetto al capitale investire 100+100 o 200 è lo stesso(C +C , t , t ) = (C , t , t ) + (C , t , t )1 2 1 2 1 1 2 2 1 2Φ ΦScomponibilità e scindibilità (C, t , t ) = (Φ (C, t , z), z, t ) In z disinvesto e re-investo.1 2 1 2Φ ∑ns=1 (s)Regime dell’interesse semplice (C, t , t ) = C(1 + it) Se il tasso è variabile: M = C * (1 + i * t )¹² sì No Regime della capitalizzazione M = (C, 0, n) = C (1 + i) * (1 + ip) convenzione mista: M = C (1 + i) composta "annua" ∏n no convenzione esponenziale: M = C (1 + i) M = C * (1 + i )ⁿ sì n = ln(M/C) / ln(1+i) Tassi di interesse equivalenti Due tassi di interesse si dicono equivalenti se, applicati allo stesso capitale per la stessa durata di tempo, producono lo stesso montante. i = K * i (interesse semplice) 1/K (1 + i) = (1 + i ) (composta) 1/K ι) 1/K Iota Tasso annuo nominale convertibile k volte l'anno, in comp. espon. i = (1 + – 1/K ρ(t) Legge di formazione del M(s+ds)–M(s) = M(s)ρ(s)ds+θ(ds) = M'(t)/M(t) (capitalizzazione continua) ∫t0ρ(s)ds montante δ[t ∫ρ(s)t1t2M (t) = M(0) * e ,t ] = ds / (t – t )² 1 2 φ(t) φ ∫ρ(s) δ*: ∑Ciδ*t0 –δ* t –δ* t Capitalizzazione continua Tasso

istantaneo * *M (t) = C * e (t) = ds V = * e + C * e(0)

Proprietà minime dello sconto Uniformità nel tempo

V (0, t , t ) = 0

1 2 φ(C, δV (C, t , t ) = C – S = C – t) = (C,t)

C (C, t , t ) = C

1 21 2 Additività≤ ≤ ≤

C (C, t con 0 t, t ) > V (C, t , t ) t t1 2 1 3 1 2 3

V (C + C , t , t ) = V (C , t , t ) + V (C ,1 2 1 2 1 1 2 2→, t , t ) < V (C , t , t ) con 0 < C < C

V (C , t ) V (C, t , t ) = C * g (t1, t2)t1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Scomponibilità, t ) = V (V(C, z, t ), t , z)V (C, t 1 2 2 1

Regime dello sconto S (C, t) = C * h (t) = C * d * t con 0 < t < 1/d

commerciale nSconto composto V (C, 0, n) = C (1 – d) →

Sconto razionale V (C, t) = C / (1 + it) C – C * d * t V = C – S1–d + dt 1/K

I tassi di sconto equivalenti d = d * K (commerciale) d = 1 – (1 – d)1/K 1/K

K1 – d = (1 – d ) (composto) d = i * v = i * 1/(1 + i) = i/(1 + i)1/K

∑ns=1 tz – ts

Rendita immediata,

posticipata, V (t ) = R (1 + i) Valutazione in tz s ztemporanea per t anni, di terminevariabile

Schema riassuntivo sulle rendite immediate

Valore iniziale	Valore finale
Posticipata	R
Anticipata	R
Posticipato (a)	R
Anticipato	R
α	Sα
Posticipato (s)	Anticipato: S = s * (1 + i)–n
Anticipato	1 – (1 + i)
Posticipato	(1 + i) – 1
Anticipato	(1 + i) – 1 * (1 + i)
i	i
µ	α
µ	δ
δ	µ
n	n
a	n i = [1 – ] / i
a	i = * a
a	i = (1 – ) / s
a	i = [(1 + i) – 1]/i = (µ – 1)/i
S	n i = (µ – 1) / i *n
∑	Condizione di amm.to
δ	δs s –s equivalenza finanziaria tra avere A oggi, tempo 0, eA = Rs * dove = (1 + i)s=1 avere la somma di n Rate alla fine di n anni
∫	n -φ(s)
Nel continuo:	= R(s) * e ds =10n∑
∫	Condizione di costituzione
µ	n–s nC = Rs * φ(n) φ(s)–
Nel continuo:	= R(s) * e ds =

1s=1 0σ z–1Ammortamento francese (a rate Cz+1 = Cz (1 + i) Cz = n┐i * (1 + i)costanti posticipate) z–1Si utilizzano le rendite Cz = A * (1 + i)(z = anno in considerazione; s n┐i Piano d’amm.ton = totale anni) A = R * a n┐i Cz = Rz – IzR = A / a n┐i Bz = Cz cumulato– CzIz = R – Cz Dz = D z–1┐iDz = R * a DzIz = * in-zAmmortamento italiano o Rz = C[1/n + i – i/n(z – 1)] Rz = Cz + Izuniforme (a quote capitale Cz = C = 1/ncostanti) ∑ns=1 Cs = 1/n + 1/n + 1/n = z/nBz =Dz = 1 – Bz = 1 – z/n = (n – z) / nIz = i (1 – Bz–1) = i * [1 – (z – 1)/n] 1