Matematica Finanziaria

B

O

r(t )

0

1 t

t t + ∆t

0 0 0

Invece di andare a vedere graficamente il tasso di interesse sulla funzione, lo

verifichiamo sulla tangente (è la derivata alla funzione nel punto in cui la tangente

tocca la funzione).

Lim [r(t + ∆t ) – r(t )] / ∆t = r’(t ) rapporto incrementale (derivata)

à

∆t0 ∞ 0 0 0 0 o

à

r(t + ∆t ) – r(t ) =~ r’(t ) * ∆t = AB

0 0 0 0 0

Quanto è più piccolo ∆t , tanto minore è l’errore che commetto sulla variazione

0

della tangente piuttosto che sulla curva effettiva.

AB = OB * r’(t )

0

Interesse in modo approssimato = cateto opposto * tangente trigonometrica dell’angolo opposto espressa in radianti

(angolo che la tangente crea quando incontra il grafico)

Quindi posso scrivere:

I = r’(t ) * ∆t * [r(t )/r(t )]

t0, t0+∆t0 0 0 0 0

= r(t ) * [r’(t )/r(t )] * ∆t

0 0 0 0

= capitale investito * forza d’interesse * durata

∂(t)

r(t) -------------------------> ∂(t)

A) Conoscendo la funzione del montante r(t), posso calcolare la forza d’interesse ∂(t):

• in capitalizzazione semplice:

∂(t) = r’(t) / r(t) = [∆(t) di 1 + i*t] / 1 + i*t = i / 1 + i*t [è un’iperbole equilatera]

essendo un’iperbole equilatera all’aumentare di t, la forza d’interesse ∂(t)

à

decresce perché il peso degli interessi rispetto al capitale iniziale si riduce.

• in capitalizzazione composta: t t t t

∂(t) = r’(t) / r(t) = [∆(t) di (1 + i) ] / (1 + i) = (1 + i) * ln (1+i) / (1 + i) = ln (1+i)

essendo una costante, non dipende dal tempo il peso degli interessi

à

rispetto al capitale iniziale del sotto-periodo è costante: ciò che io maturo è

rapportato a ciò che io ho investito.

∂(t) --------------------------> r(t)

B) Data la forza d’interesse ∂(t), posso ricavare la funzione del montante r(t):

• Siccome sappiamo che la forza d’interesse è ∂(t) = r’(t) / r(t) = ∆ ln r(t),

per trovare la funzione del montante si applica il metodo opposto della

, ,

derivata, ovvero l’integrale: ! " $" = ∆ '( )(") à

- -

5 5 = ln r(t) – ln r(0) = ln r(t) – ln r(1) = ln r(t)

. / 0/ = ln 3(/)

à 4

4

Quindi la funzione del montante è:

: 7 8 98 <= >(5)

r(t) = =

6 6

;

Esempio:

∂(t) = ∂ : : :

7 98 7 ? 98 ∂*t

7 [8]

r(t) = = = = e

6 6 6

à ;

; ;

Forza di sconto

Tutto quello che è stato fatto dal punto di vista dell’interesse può essere fatto dal

punto di vista dello sconto.

1 v(t ) v(t + ∆t )

v(0) = 0 0 0

0 t = 2 anni t + ∆t = 2 anni e 30 giorni

0 0 0

6

I = v(t ) – v(t + ∆t )

t0, t0+∆t0 0 0 0

= v’(t ) * ∆t * [v(t )/v(t )]

0 0 0 0

= v(t ) * [- v’(t )/v(t )] * ∆t

0 0 0 0

= valore attuale * forza di sconto * durata

B(t)

La forza di sconto è data dal rapporto negativo [- v’(t )/v(t )] perché la tangente

B(t) 0 0

della funzione del valore attuale è decrescente.

Siccome v(t) = 1/r(t) e r(t) = 1/v(t) , allora è possibile dimostrare sfruttando questa

-2

E?

relazione r’(t) = = - v(t) * v’(t) che la forza d’interesse è uguale alla forza

∆ C D

di sconto: -2 2

∂(t) = r’(t) / r(t) = -v(t) * v’(t) / [1/v(t)] = [1/v(t) ] * v’(t) / [1/v(t)] =

2

= - 1 / [v(t) ] * v’(t) * v(t) = - v’(t) / v(t)

Come possiamo vedere la forza d’interesse è uguale alla forza di sconto à . D = F(D)

Regime dello sconto commerciale

L’ultimo regime che è necessario introdurre è quello dello sconto commerciale che

alla base ha la funzione dello sconto d(t).

d(t) = d*t funzione lineare

v(t) =1 – d*t funzione lineare

r(t) = 1 / (1 – d*t) iperbole

i(t) = [1 / (1 – d*t)] – 1 iperbole

Questo regime ha il limite dell’applicabilità intrinseca: è impossibile che d*t > 1

perché sennò il valore attuale sarebbe negativo quindi t deve essere minore di

à

1/d t < 1/d.

à

In questo regime la forza di interesse si calcola sempre attraverso il rapporto

r’(t)/r(t):

∂(t) = d / 1-d*t

-2 2

r’(t)/r(t) = - (1- d*t) * (-d) / [1/(1 – d*t)] = [- 1 / (1 – d*t) ] * (-d)] / 1/(1-d*t) =

All’aumentare di t, la forza d’interesse cresce: il peso degli interessi che man mano si

formano rispetto al capitale iniziale è sempre maggiore.

Condizione necessaria per la scindibilità

1. 1 r(∆t)

0 t = 2 anni t + ∆t = 2 anni e 30 giorni

7

r(∆t) è il montante di investimento

2. 1 1/r(t) * r(t + ∆t)

1/r(t)

0 t = 2 anni t + ∆t = 2 anni e 30 giorni

8

1/r(t) * r(t + ∆t) è il montante di proseguimento, ovvero il montante all’epoca t + ∆t

del capitale investito all’epoca 0 di 1/r(t) che all’epoca t è diventato 1 e che

prosegue fino a 1/r(t) * r(t + ∆t).

A cosa ci serve il montante di proseguimento?

Serve per la spiegazione della condizione necessaria di scindibilità.

Come possiamo vedere abbiamo al punto 1 e al punto 2, un capitale di 1 al tempo t .

0

Possiamo, quindi, chiederci se il capitale d’investimento r(∆t) è uguale al capitale di

proseguimento 1/r(t) * r(t + ∆t). Se è uguale, una legge finanziaria è scindibile.

In generale:

? ? ? ?

r(∆t) = 1/r(t) * r(t + ∆t) r(∆t) * r(t) = r(t + ∆t)

à

In C.S:

(1+i*t)*(1+i*∆t) = [1+i*(t+∆t)] à

2

i + i*∆t + i*t + i *∆t 1 + i*t + i*∆t

≠

à

Il regime della capitalizzazione semplice è inscindibile.

In C.C:

t ∆t t+∆t

(1+i) * (1+i) = (1+i)

Il regime della capitalizzazione composta è scindibile.

Caratteristica che contraddistingue la capitalizzazione composta da quella semplice

è che ha la forza d’interesse costante.

La condizione necessaria per la scindibilità è che la forza d’interesse sia costante.

Dimostrazione:

Hp: r(t+∆t) = r(t) * r(∆t)

Th: ∂(t) = ∂

partiamo dal logaritmo

à ln [r(t+∆t)] = ln [r(t) * r(∆t)]

ln [r(t+∆t)] = ln [r(t)] + ln [r(∆t)]

facciamo la derivata

D ln [r(t+∆t)] = D ln [r(t)] + D ln [r(∆t)]

∂(t+∆t) = ∂(t) 0

Possiamo concludere che ∂(t) ∂ COSTANTE.

à

=

Domanda di esame:

la capitalizzazione composta è l’unica legge scindibile? SI

: 7 9H ∂*t

= = r(t) nella capitalizzazione composta (nel continuo).

6 6

;

Relazione tra forza d’interesse e tasso nominale

d’interesse nel regime della capitalizzazione composta

Nella capitalizzazione composta, il tasso nominale d’interesse (∂) e la forza

d’interesse (∂(t)) sono uguali:

• lim j(m) = ln (1+i) = ∂

m ∞

à t t t t

• ∂(t) = r’(t) / r(t) = [∆(t) di (1 + i) ] / (1 + i) = (1 + i) * ln (1+i) / (1 + i) = ln (1+i)

Per spiegare questa relazione parto dall’interesse in un istante di tempo e mi ricavo

l’interesse nominale su base annua: Tieni bene in testa come si ricavava l’interesse avendo la forza d’interesse (che in questo caso

è uguale al tasso nominale d’interesse: è per questo motivo che nella formula useremo ∂ al

1 * ∂ * ∆t interesse di un istante

à posto di ∂(t))

I = r’(t ) * ∆t * [r(t )/r(t )]

t0, t0+∆t0 0 0 0 0

= r(t ) * [r’(t )/r(t )] * ∆t

Se voglio conoscere l’interesse nominale su 0 0 0 0

= capitale investito * forza d’interesse * durata

∂(t)

base annua calcolo l’integrale di ∂ che è come

fare la sommatoria di tutti gli interessi di un

istante nell’arco di un anno: Per tenere bene in mente la relazione tra tasso nominale e forza

d’interesse si consideri l’esempio:

? forza d’interesse intensità 100 km/h

à à

?

. 0D = . D = . tasso nominale d’interesse misura –> 100 km

à

4

4

I MERCATI FINANZIARI

Prezzi variabili

Si riprende l’esempio del BOT emesso il 31/07/2014

P = 99,88 M = 100,00

x y

X = 31/07/2014 22/09/2014 Y = 30/01/2015

Questa operazione l’avevamo chiamata operazione finanziaria elementare o

operazione a capitalizzazione integrale.

Nel mercato finanziario il valore attuale P=99,88 è denominato prezzo.

Essendo i BOT titoli trasferibili sul mercato secondario possiamo dire che:

lo Stato è la parte debitrice short-side colui che vende

à à

l’investitore è la parte creditrice long-side colui che acquista

à à

Prendiamo un titolo che è stato riacquistato sul mercato secondario nel 2012:

stiamo parlando del titolo IT0004844616

P = 99,585 M = 100,00

x y

U = 11/10/2012 X= 15/10/2012 Y = 28/02/2013

136 giorni

Nel mercato finanziario operazioni che hanno stessa durata, se compiute in epoche

diverse, hanno prezzo differente perché le condizioni del mercato cambiano:

quando si parla di prezzo differente chiaramente ci si riferisce al valore attuale

unitario che in questo caso è 99,585/100= 0,99585.

Fino adesso avevamo usato titoli con prezzi uguali, ovvero un BOT di 136 giorni di

oggi aveva un prezzo di un BOT di 136 giorni di domani.

Contratti a pronti

Ci sono diversi tipi di contratti

v(x,y) 1

X Y

Questo rappresentato sopra è un tipo di contratto “a pronti”, ovvero un contratto

in cui la data in cui decido di comprare il titolo è anche quella in cui regolamento

l’acquisto (X).

Il contratto a pronti ha queste caratteristiche:

- v(x,y) > 0 con X Y

≤

- v(y,y) = 1 se l’inizio e la scadenza coincidono (X=Y) il prezzo è uguale alla

à

prestazione

- v(x1,y) < v(x2,y) avvicinandomi alla scadenza il prezzo del titolo sale

à

X1 X2 Y

- v(x,y1) > v(x,y2) avvicinandomi ………………….???????

à

X Y1 Y2

Contratti a termine v(u,x,y) 1

U X Y

Questo rappresentato sopra è un tipo di contratto “a termine”, ovvero un contratto

in cui la data U è la data in cui decido di comprare il titolo bloccando il prezzo, la

data X è quella in cui regolamento l’acquisto e la data Y è quella di scadenza.

v(u,x,y) è il prezzo che pago per avere 1 euro a scadenza.

I contratti a termine sono quel