REGIME FINANZIARIO AD INTERESSE COMPOSTO

t t● r(t) = (1 + i) M = C * (1 + i) C = M * (1 / (1 + i) )t● i(t) = (1 + i) -1-t● v(t) = (1 + i) -t● d(t) = 1 - (1 + i)● t = ln(M / C) / ln(1 + i)

TASSI EQUIVALENTI

Per il RFIS: i(t) = i * t diventa i = i(i/m) = 1/m * i1/m1/m

Per il RFIC: 1 + i = (1 + i )1/m

Passare da un tasso annuo ad un tasso equivalente periodale: 1/mi = (1 + i) - 11/m

Passare da un tasso periodale ad un tasso equivalente annuo: mi = (1 + i ) - 11/m

Per il semestre m = 2, quadrimestri m = 3, trimestri m = 4, bimestri m = 2, e per imesi m = 12.

TASSO NOMINALE D'INTERESSE E TASSO ISTANTANEO

È il tasso convertibile "m" volte l'anno: 1/m● Per il RFIC: J(m) = m * [(1 + i) - 1] m○ Formula inversa: i [1 + (J(m) / m)] - 1● Per gli altri regimi: J(m) = m * i 1/m○ Formula inversa: i = J(m) / m1/m

È il tasso convertibile infinite volte l'anno: lim J(m) = ln(1+i)x→+inf

LEGGE ESPONENZIALE

t∂*t ∂*t

Capitalizzazione: r(t) = e^M = C * (1+ i)^M = C * e^{t∂*t -∂*t} Attualizzazione: v(t) = e^C = M * (1+ i)^C = M * e^{Con ∂ = ln(1 + i)} - LE RENDITE Rendita immediata: la prima rata è pagata all'anno 1 (ant/post) Rendita differita: la prima rata è pagata all'anno t + 1 (ant/post) ƩVA Rendita = VA Rate Rendita immediata posticipata unitaria: Ʃ -t -n○ a = (1 + i)^a = 1 - (1 + i) / iⁿ Ʃ t n○ s = (1 + i)^s = 1 - (1 + i) / iⁿ Rendita immediata anticipata unitaria: -n○ ä = a * (1 + i)^ä = 1 - (1 + i) / dⁿ ṡ ṡ n○ = s * (1 + i)^ṡ = 1 - (1 + i) / dⁿ Rendita perpetua con rata RVA = R + (R / i) Rendita differita di t anni t+1 t+2 t+3 t 2 3 VA = R * v + v + v + ... VA = R * v (Rv + Rv + Rv + ...) Rendita frazionata VA = (R / m) * a^{n * m}┐i 1/m - RICERCA DEL TASSO i NELLE RENDITE noti A, R, n Partendo dalla formula principale per la ricerca di A: -n -n A = R * 1 -

[(1 + i) / i] con 1 - [(1 + i) / i] = a n┐i

Quindi A = R * a n┐i

Si ottiene R:R = A / a n┐i

Il tasso i si ottiene tramite il metodo dell'interpolazione lineare:

1. Prendiamo questi valori di riferimento A = 850, R = 100, n = 10, i = ?
2. Si costruisce una tabella con due colonne:
   • In quella di sinistra vi sono i tassi i scelti a nostra discrezione
   • In quella di destra vi è A che prende un determinato valore a seconda del tasso che gli abbiamo inserito e una volta che ci siamo avvicinati al valore reale di A (850) prendiamo i due valori che si avvicinano di più, in questo A = 853 (deve essere il valore che in assoluto si avvicina di più, trovato con un tasso i del 3% che sarà i) e A = 811,1 (deve essere minore del precedente, trovato con un tasso i del 4% che sarà i)
3. Una volta ottenuti questi 4 valori si inseriscono nella formula per la ricerca del tasso i:

   i = i + [(i - i

1. Ricerca di n nelle rendite note A, R, in = - ln[1 - (A / R) * i] / ln(1 + i)
2. L'AMMORTAMENTO

   Vi sono 5 colonne:

   • I tempi t
   • la quota capitale C, dove S: importo prestito
   • la quota Interesse I t
   • la rata R t
   • il debito residuo D t

   N.B.: In tutti gli ammortamenti tutte le prime righe di tutte le colonne (tranne quella del debito) hanno valore 0 o nullo.

3. Ammortamento Italiano (a capitale costante)
   • C = S / n
   • I = D * i_t-1
   • R = C + I_t
   • D = D - C_h-1
4. Ammortamento a Rimborso Unico
   • C = C = St (solo l'ultima riga della colonna della quota capitale è compilata)
   • I = i * S, I = D * i_t-1
   • R = i * S, R = C + I, R = S + i * St
   • D = S, D = D - C_t-1
5. Ammortamento Francese (a rata costante)
   • C = R - I_t
   • S = R * a_n┐i
   • I = D * i_t-1
   • R = S / a_n┐i
   • D = S, D = D - C_t-1

D - C D = R * ah h-1 t h n-h┐iN.B.: Per verificare che i calcoli siano corretti si può controllare che il valore di C t(ossia dell’ultima riga della colonna della quota capitale) sia lo stesso di D (ossiahdella penultima riga della colonna del debito residuo).

2● Usufrutto, U = I / (1 + j) + I / (1 + j) + …h h+1 h+2

2● Nuda proprietà, Np = C / (1 + i) + C / (1 + i) + …h h+1 h+2

2● Valore del prestito, Vp = R / (1 + i) + R / (1 + i) + …h h+1 h+2

- VALORE ATTUALE NETTO

E’ l'operazione finanziaria in base ad un certo tasso j, come la somma dei valoriattuali dei valori x in tk 0Ʃ nk=0 -(tk - t0)Van = x * (1 + j)kes. t = 0, j = 2%

t = {-100; 10; 10; 10; 110}/{0; 1; 2; 3, 4}

x/t = {-100; 20; 10; 9; 100}/{0; 1,5; 2; 3,5, 4}

-1 -4Van = -100 + 10 * (1,02) … + 110 * (1,02) = 30,46183

-1 -4Van’ = -100 + 20 * (1,02) … + 1o0 * (1,02) = 29,80823

Se invece fosse stato j = 8% sarebbe:

Van = 6,62

Van’ = 6,77

- TASSO INTERNO

DI RENDIMENTO (TIR) è il tasso di interesse i della legge di capitalizzazione esponenziale per cui l'operazione assegnata risulti equa: Ʃ nk=0 -(tk - t0) Tir = x * (1 + i) = 0kes. i = 2%, A = 100x/t = {99; 2; 2; 2; 2; 102}/{0; 1; 2; 3, 4, 5}5 Tir = 99 + 2 * (1,02) … +102 * (1,02) = 2,22%

Per gli ZCB: VA è il prezzo d'acquisto, n la durata, e VN il valore nominale → VA / VN = (1 + i) → √(VN / VA) = (1 + i)-n -n n VA = VN * (1 + i)√(VN / VA) - 1n TIR =

Per obbligazioni con due epoche: si calcola tramite l'interpolazione lineare prendendo il prezzo di acquisto (o valore attuale) come A.

- TITOLI OBBLIGAZIONARI

● Titoli a cedola nulla: Zero Coupon Bond (ZCB)-t

VA = VN * (1 + i)es. x ? 100 i = 0,045 o 4,5%1t 0 3-3 P = 100 * (1 + 0,045) = 87,631/t Tir = (VN / VA) - 1 = 0,0282 o 2,82%

● Titoli a cedola: Coupon Bond (CB)c: Cedolac = VN * i -n -n VA = c * [1 -(1 + i) / i] + VN * (1 + i)

- CONTRATTI A PRONTI, CONTRATTI A TERMINE (FORWARD) EVALORE

DI MERCATO

Tassi di interesse a pronti: m(0,t) = x / xt 0

Nel RFIC: t

m(0,t) = [1 + i(0,t)]-t

v(0,t) = [1 + i(0,t)]1/t -1/t

i(0,t) = m(0,t) - 1 o i(0,t) = v(0,t) - 1

Tassi a termine: m(0,s,t) = m(x ,x ) / m(x ,x )0 t 0 st-s

m(0,s,t) = [1 + i(0,s,t)] -(t-s)

v(0,s,t) = 1 / m(0,s,t) = [1 + i(0,s,t)]1/(t-s) -1/(t-s)

i(0,s,t) = m(0,s,t) - 1 o i(0,s,t) = v(0,s,t) - 1

Prezzo di mercato: P = x * v(0,t ) + x * v(0,t ) + x * v(0,t ) + …1 1 2 2 3 3

Proprietà di non arbitraggio dei mercati: r(0,t) = r(0,s) * r(0,s,t)

Se r(0,t) > r(0,s) * r(0,s,t) allora c’è possibilità di arbitraggio(combinazione di operazioni finanziarie che consente di ottenere saldinetti positivi ad ogni epoca ossia “guadagno senza esborso”).

DURATA MEDIA FINANZIARIA “DURATION”

Media ponderata (o pesata quindi i valori maggiori hanno più peso) delle scadenze che usa i valori attuali degli importi:

Ʃ Ʃh1 -t h1 -t

Con i: D

= t * x (1 + i) / x (1 + i)t t t tƩ Ʃ

-t h1 -t

● Con i(0,t): D = t * x (1 + i(0,t)) / x (1 + i(0,t))t t t tƩ

-tV(i) = x (1 + i) ΔV =~ [-1 / (1+ i)] * D * V(i) * Δit t0

A 0

Bes. Titolo A: V = 99 D = 2, Titolo B: V = 99 D = 4

A B+i = 0,05, t = 0 , i’ = 0,07, Δi = 0,02

ΔV = [-1 / (1+ i)] * 2 * 99 * 0,02 = -3,77A

ΔV = [-1 / (1+ i)] * 4 * 99 * 0,02 = -7,54B → V → V0

A 0

B ’0

Ain t = V = 99 in t = 99 - 3,77 = 95,23

0+ → V’0

B = 99 - 7,54 = 95,23

- IMMUNIZZAZIONE FINANZIARIA

’immunizzazione finanziaria è una tecnica di gestione del portafoglio.

Portafoglio titoli:

● J: Titolo generico

● K: Epoca generica

● Ø: Portafoglio

● P : Capitale inizialeØ

● π : Quota del titolo J in portafoglio ØJ

● x : Importo pagato in t dal titolo JK,J K

● Ø : Importo pagato in t dal portafoglio ØK KƩ n1

Ø = π * xK J J K,J

es. x -99 10 105 J = 11t 0 1 2

x -100 5 10 115 J = 22t 0 1 2 3

π

⁴⁰⁰⁄_{(1 + 0,04)} = 384,62 2. VAE = VAU + VACB VAE = 384,62 + (100 + 25) / (1 + 0,04) + (100 + 25) / (1 + 0,04)² = 384,62 + 125 + 120,19 = 629,81 3. π = VACB / VAE π = (100 + 25) / 629,81 = 0,206 4. π = 1 - π π = 1 - 0,206 = 0,794 5. PTFE = π * VAE PTFE = 0,794 * 629,81 = 499,99 6. PTFU = (1 - π) * VAE PTFU = 0,206 * 629,81 = 129,82 7. Saldo netto = PTFE - PTFU Saldo netto = 499,99 - 129,82 = 370,17 8. Variazione del tasso d'interesse: i(0,t) = 6% VAU = 400 / (1 + 0,06) = 377,36 9. VAE = VAU + VACB VAE = 377,36 + (100 + 25) / (1 + 0,06) + (100 + 25) / (1 + 0,06)² = 377,36 + 118,87 + 112,29 = 608,52 10. π = VACB / VAE π = (100 + 25) / 608,52 = 0,204 11. π = 1 - π π = 1 - 0,204 = 0,796 12. PTFE = π * VAE PTFE = 0,796 * 608,52 = 484,32 13. PTFU = (1 - π) * VAE PTFU = 0,204 * 608,52 = 124,20 14. Saldo netto = PTFE - PTFU Saldo netto = 484,32 - 124,20 = 360,12

369,8225VAU = 369,8225 t t2. VAE = (ZCB * π ) / (1 + i) + (CB * π ) / (1 + i)1 21 1 2VAE = (100 * π ) / (1,04) + (25 * π ) / (1,04) + (25 * π ) / (1,04) + (125 * π ) /1 2 2 22(1,04) = 96,1538π + 24,0385π + 23,1139π + 111,1245π =1 2 2 296,1538π + 158,2769π1 2VAE = 96,1538π + 158,2769π1 23. Vincolo di Bilancio: VAE = VAU 96,1538π + 158,2769π = 369,82251 24. D del PTFU: è pari alla scadenza dell’uscita che è uguale a 2DU = 25. D del PTFE = [1 * (96,1538π )+ 24,0385π + 2 * (23,1139π ) + 3 *(111,1245π )] / 369,8225