Formulario completo Matematica finanziaria

Formulario

Capitalizzazione (o investimento)

• C = Capitale investito per avere il rendimento
• I = Interesse fruttato da un capitale dopo un certo tempo
• M = Montante: il capitale più l’interesse da questi fruttato in un certo periodo
• i = Tasso di interesse applicato quando si capitalizza, cioè quando si calcolano gli interessi
• t = Tempo del periodo d’investimento
• r = Fattore di capitalizzazione (o di montante), funzione che esprime il montante di un capitale unitario in funzione del tempo r(t) > 1 dove r(t) = 1 + i(t) oppure 1 / v(t)

M = C * (1 + i * t)
M = C + I
M = C * r(t)

C = I / (i * t)
C = M - I
C = M * v(t)

I = C * i * t
I = M - C
I = C * i(t)

i = I / (C * t)
i = I / C

Attualizzazione (o sconto)

• D = Sconto: l’importo da sottrarre ad una somma disponibile a scadenza per ottenere il suo valore attuale
• d = Tasso di sconto applicato quando si attualizza, cioè quando si sconta
• t = Tempo
• v = Fattore di attualizzazione (o di sconto) funzione che esprime il valore attuale di un capitale unitario in funzione del tempo v(t) < 1 dove v(t) = 1 - d(t) oppure 1 / r(t)
• d(t) è lo sconto ed è uguale a: d(t) = i(t) / (1 + i * t)

C = M * (1 - d(t))
C = M - D

D = i / (1 + i)
D = M - C
D = M * d(t)

d = i / (1 + i)
d = D / M

i = d / (1 - d)

Regime finanziario ad interesse semplice

• i(t) = i * t
• r(t) = 1 + i(t)
• v(t) = 1 / r(t)
• d(t) = i(t) / 1 + i(t)
• t = (1 / i) * (M / C) - 1

Regime finanziario dello sconto commerciale

• d(t) = d * t
• v(t) = 1 - d(t)
• r(t) = 1 / v(t)
• i(t) = d(t) / 1 - d(t)

Regime finanziario ad interesse composto

• r(t) = (1 + i)^t
• M = C * (1 + i)^t
• C = M * (1 / (1 + i))^t
• i(t) = (1 + i)^t - 1
• v(t) = (1 + i)^-t
• d(t) = 1 - (1 + i)^-t
• t = ln(M / C) / ln(1 + i)

Tassi equivalenti

• Per il RFIS: i(t) = i * t diventa i = i(i/m) = 1/m * i^1/m
• Per il RFIC: 1 + i = (1 + i)^1/m
• Passare da un tasso annuo ad un tasso equivalente periodale: 1/m i = (1 + i) - 1^1/m
• Passare da un tasso periodale ad un tasso equivalente annuo: mi = (1 + i)^1/m - 1
• Per il semestre m = 2, quadrimestri m = 3, trimestri m = 4, bimestri m = 2, e per i mesi m = 12.

Tasso nominale d’interesse e tasso istantaneo

È il tasso convertibile “m” volte l’anno:

• Per il RFIC: J(m) = m * [(1 + i)^1/m - 1]
• Formula inversa: i = [1 + (J(m) / m)]^1/m - 1
• Per gli altri regimi: J(m) = m * i^1/m
• Formula inversa: i = J(m) / m^1/m

È il tasso convertibile infinite volte l’anno:
lim _x→+inf J(m) = ln(1+i)

Legge esponenziale

Capitalizzazione: r(t) = e^t

M = C * (1+ i)^t

M = C * e^t

Attualizzazione: v(t) = e^-t

C = M * (1+ i)^-t

C = M * e^-t

Con ∂ = ln(1 + i)

Le rendite

• Rendita immediata: la prima rata è pagata all’anno 1 (ant/post)
• Rendita differita: la prima rata è pagata all’anno t + 1 (ant/post) ǀ VA Rendita = VA Rate
• Rendita immediata posticipata unitaria:

^-t_-n a = (1 + i)_n a = 1 - (1 + i) / iⁿ_i

^t_n s = (1 + i)_n s = 1 - (1 + i) / iⁿ_i

• Rendita immediata anticipata unitaria:

^-n ä = a * (1 + i) ä = 1 - (1 + i) / d_niⁿ

_n = s * (1 + i) = 1 - (1 + i) / d_niⁿ

• Rendita perpetua con rata RVA = R + (R / i)
• Rendita differita di t anni

t+1 t+2 t+3 t 2 3VA = R * v^t + v^t+1 + v^t+2 + …
VA = R * v (Rv^t + Rv^t+1 + Rv^t+2 + …)

• Rendita frazionata VA = (R / m) * a^{n * m}_i^1/m

Ricerca del tasso i nelle rendite noti A, R, n

Partendo dalla formula principale per la ricerca di A:

^-n A = R * 1 - [(1 + i) / i]
con 1 - [(1 + i) / i] = a_ni

Quindi A = R * a_ni
Si ottiene R:
R = A / a_ni

Il tasso i si ottiene tramite il metodo dell’interpolazione lineare:
1. Prendiamo questi valori di riferimento A = 850, R = 100, n = 10, i =