Matematica finanziaria (dalle leggi di attualizzazione alla matematica attuariale )

MATEMATICA FINANZIARIA

La matematica finanziaria studia le operazioni finanziarie , che sono scambi di moneta contro moneta che si protraggono nel

tempo ( do moneta e ricevo moneta) .

Questi scambi hanno un inizio e una fine : ho bisogno di 2 soggetti economici ( E e B ) , prestazione e controprestazione .

E e B sono due soggetti economici : all’istante T0 , E affida il capitale C0>0 a B , che si impegna a restituire il capitale C1> C0

all’istante T1> T0. prestazione controprestazione

La transazione che si muove da E a B si dice , la restituzione da B a E si dice .

Il capitale oggetto della prestazione è C0>0 (l’ammontare può essere 0 o superiore , mai inferiore ) .

E e B utilizzano un criterio con cui regolamentare lo scambio di partite monetarie distinte in tempi diversi .

( T0,C0) (T1,C1).

In tale senso , è opportuno costruire un legame funzionale tra le 2 situazioni finanziarie e

Asse dei tempi

1. Visualizzazione grafica: è una retta orientata . Per convenzione gli istanti di tempo si segnano con dei punti e si indicano con

lettere maiuscole .

( T0-T0 = T0 ; T1-T0=T1; T2-T0= T2 …) }

/ .

- .

Ti

Io Tz ✗

La distanza si indica con lettere minuscole (tempo trascorso) , risulterà :

' _ )

-

.

to ta t2 ×

ES.

Assumiamo di utilizzare l’anno come unità di misura di tempo e supponiamo che sia :

}

/ .

- .

Ti

Io Tz ✗

1/1/2020 110712021

1/2/2021

Risulterà ( tempo trascorso): }

/ .

- .

to ta

t ✗

,

11-6%2/2

° 1+1112

In sintesi :

• con Ti ; i=0,…,n istanti .

indichiamo gli

• con ti ; i=0,…,n tempo tra istanti .

indichiamo il

• anni(1) , mesi (12) e giorni(30) ,

misuriamo il tempo in mesi e giorni saranno , dunque, frazioni di anno .

Per i tempi si assume 0 ≤ t1 ≤ 1ossia , potrebbe essere :

/

• t1=t2=0 I

Ò particolari

casi

• 0=t1=t2 - tra

O

• 0<t1≤t2 )

i _

ti

o

LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

Nozioni

• il capitale C≥0 è l’oggetto della prestazione ( no negativa) ; \

• il montante M> C è l’oggetto della contro-prestazione funzione di

montante è

il in iniziale

C.

il

grandezze

Queste 3

M

• il legame funzionale tra le 2 situazioni finanziarie (T0;C0) e (T1,M) risulta : ;

jtz ,

t →

C prestazione

la

= cui inizia

, e

; momento in

il finisce

cui

momento in

il

il montante di C ,

Questa formula esprime sono gli euro investiti in t1 e disinvestiti in t2

• ricordando che M> C , risulta : M=C+I ; dove I è l’interesse per ricompensare il soggetto iniziale dell’operazione che si è privato di

.

C e quindi non lo può utilizzare

Leggi di capitalizzazione

M itz

ti

C

= ;

Le leggi di capitalizzazione consentono il calcolo del montante come funzione di C,t1 e t2 .

Leggi di interesse

-12

C.tn

F

= ,

Le leggi di interesse consentono il calcolo dell’interesse come funzione di C,t1 e t2

Relazione tra Montante e Interesse

M itz

ti

C

= ; | )

( tu ta

.fr (

ti )

F (

C.

F C. -12

te

+ C.

=

= , ,

I

C

M +

-

La funzione ( come F) è una funzione in 3 variabili :

o (F ) : R x R x R -> R

+ + + +

Dominio spazio a 3 dimensioni (è il prodotto cartesiano)

es . "

.to/--Cect2-t

( ti

¢ " ( sono

C. = )

ta

te

=D (

M C.

100 , ,

g a

• 11-12

11-142 È

(E)

☒

t' %

eh È 119

_ +

+

(100,1+1/12,1+12)=1 zoo

∅ = e

-

Requisiti minimi di. :

Premessa : una funzione per essere una f. Di montante deve soddisfare alcuni requisiti minimi :

Requisito 1 : assenza di free lunch-> non è possibile investire o ricevere di più

tz

.to/--

( ti

ti ≤

0,0 ≤

∅ a.

Requisito 2: operazione istantanea

do 100 e la persona non li accetta e me li restituisce subito -> (M=C)

.to/- C,V-cz0.V-teZo0(c.ti.t2ko(c.ti,t

( ti

c.

∅

Requisito 3: montante di un impiego più protratto nel tempo sarà maggiore piuttosto che quello ridotto . (Maggiore è la durata di

un impiego , maggiore è il montante ); lo stesso C impegnato in tempi ≠ porta a montanti ≠

ts

te ta

) ≤

≤

≤

o

≥ ,

Requisito 4: una funzione per essere di montante deve fare corrispondere a capitali dei montanti più elevati

) ta

ti

tuta

/ cacca

( (

citata C) ≤

≤

10 G. o ≤ ;

<

∅ ,

Per quanto riguarda i requisiti 3 e 4 , la funzione deve essere derivabile rispetto a C e a t e crescente rispetto a queste 2 variabili .

Derivata di funzioni a più variabili :

In generale , se Z=f(x;y) , la funzione ,f, può essere derivata in 2 direzioni : rispetto a X (derivata parziale di funzione rispetto a. X) e

rispetto a y (derivata parziale di funzione rispetto a Y )

Derivata parziale rispetto a x :

! D8 )

(

fi

8 Y

×

( )

) ( y ;

-

× y × ;

- -

; . di

Derivata parziale rispetto a y :

! D8 )

(

;

8 Y

=p ×

( )

/ ( y ;

-

× y × ; -

; dy

Se f ( x;y ) = x^2 + 3xy avremo :

ha tratto

↳ come

costante )

G- num

deriva

se per ✗

(

df ) f)

× Y

= %

)

D8 ( Y g)

× (

2×+39

(

- ) =3 ×

× y ✗

= -

=

= =

,

di dy

↓ ↓

derivata derivata di

di 2 rispetto a

✗ rsxy

✗

Es. 2 "

.fr/--CeH2-t

"

.fi ( cita esaminati

|

veri soddisfa minimi

chiamo requisiti

i

se :

"

"

e' +2

( )

ta -

R tu verificato

1 0 0 >

o

=

1 =

→ = .

. ,

, Ì

t'

Celti (

) (

è verificato

t

R -

( tu

01 C. >

2 = =

→ = =

,

,

. 12

ti

? Celts

te

Celta

R -

-

3 <

→

. 12

≥ ti

)

ti

¥-2 1- 3-

- < Ì

(

2 t ti

ta /

ti verificato

( >

< } =

- -

ta t.rs

ti ti

< -

-

È

agitatrice

R ( (

4 <

¥

→

. verificato

Ca

<

verifichi crescente Crea )

tz

è

∅ rispetto 3

se a

amo :

+112

alta

(

Ricordiamo 1-

te (

① a)

che -

C. =

, » )

ti ta

12 ( ti

( ta -2 o

>

+2

(cit - -

)

poi d

2) €

( 1-

Gta ' e

_

= → so

=

, alta

↓

rispetto a

tz crescente

verifichi requisito

(

C )

lo è 4

rispetto

se a

amo è

2

/

t

alta

ddk.tt ) ,

t

! .to -

)

(

IO C. o

>

=

, =

dC

Autovalutazione ]

Sia Ì

/ ti

(

) ta

ta legge

rappresentare capitalizzazione

tu C

( chiede di

può

si ∅

1+0,01

C. :

se

∅ - una

-

-

, verificati

controllare requisiti

dobbiamo che tutti i siano

(0,1-1,1-2)=011+0,01 3=0

Haiti ) ✓

lo

1) Clito

.dk?--tED--c

/

ti

( te ✓

0

2) c. =

, tz

1-1,1-2 ) C

015 ( ✓

2.

C. 0,01 >

3) o

= - ✓

1- )

ti

! )

C.tn ta

4) ( 22

( >

∅ +0,01

→ o

-

.

, INTERESSE A CONFRONTO

LEGGI MONTANTE

DI DI

E

Montante Interesse

0/(0,1-2,4)=0 FIO.tn/-a)=0

① /

( tu ti )

(

F tn.tn

C. C

C C.

= =

, (

FI )

Gta

(41-1,1-2)>0

05 tz > o

,

tata )

FI (

tuta )

0h ( c. o

>

c. o

>

ES 4

. )

) ?

t

ta

( (

tuta legge

'

la funzione F interesse

di

C.

c. 0.03 una

e

✗ -

: - )

(0,1-1,1-2)=0×0,03 ( te

1 F ta ✓

o

=

-

. .tn/--Cxao3lti-til---

( tu ✓

c.

F o

2 . FI Cti

( 2)

1- ( 0,03 ✓

3 > o

= ✗

,

. )

C.tn/-z)--ao3(tz-tn

' ( ✓

F. o

4 >

. UNIFORMITÀ

STAZIONARIETÀ Rispetto TEMPO

al

O uniforme

definizione definisce stazionaria tempo

rispetto al

si

→ se

o :

)

( tatx

tu

01

)

( tz.tn tntx

C.

① C. tztx

≤

≤

o

×

+

= , ,

ta.tn/--T-(C.t1tx.tz+x

( )

C. tnt

F tztx

≤

≤

o ✗

, derivata

la

parità

' C

di

i se

a

→

>

• • • . ,

' la

ti tax conta

stessa

ta tax che

e

o poco

l' istante perchè

iniziale sia ≠

montante uguale

sarà

il .

Es 5

. . "

"

↳

/

l'

Verificare uniformità -

)

tempo (

funzione

della tata

nel Ce

C.

∅ =

Applicando la definizione : "

? +

+2

t' '

≠

' '

#

' " - )

canta

) ①

(

( tatx (

ti (

∅ C. + e

× = =

e

,

la legge tempo

uniforme nel

è .

Es 6

. . l'

Verificare uniformità ①

tempo )

funzione

della

nel ]

( )

[

te ta 1+0.014=2-1-7

C

C. ✗

-

.

.

App def

la :

. { }

? ]

12

[

) )

tztx

ti (

( C (ta tu

C. 1+0,01

∅ =

+

= × ✗

×

+ +

, { +2×1-21×72 D=

ti

( ti -2×1-1 #

C 1+0,01

= -

{ }

)

1-22+2×+2

( ti

C -2×1-1 C

≠

1+0,01

= -

Se una legge è uniforme rispetto al tempo , il montante non dipende dagli istanti in cui si impiega/disimpiega , bensì dipende dall’

ampiezza dell’intervallo .

TEOREMA tempo

uniforme

se t

nel ta

a)

è )

( ( ti

tu 1-

①

lo t

M C.

C. =

= -

: , ,

DIMOSTRAZIONE : )

tempo tata tztx

ti

Se ) (

nel

uniforme definizione QCC C

lo è 01

è

per + ×

: = , ,

,

,

perdita te

generalità

di

alcuna poniamo

senza ✗ = :

-

,

) )

ta QCC

ti ta t.to

tu

(

a) (

0,1-2-1-1

1- M

10 C.

Io ts

(C. tu C. =

-

= - = -

,

,

, .

Analogamente uniforme allora

F è :

,

) t

ta

( t

I ti

tuta )

( C.

C.

f- =

= -

,

uniforme

' uniforme

IO solo F è

se viceversa

se e

e e

, .

,

lo

uniforme

F ' Io

è anche

se

prova e

: (

) )

+2

te

ta

tu Ctf

( l' uniformità

C.

C.

∅ di

per

- F

= .

, ) )

MCC

( t

cit

I

C + =

= ,

lo sarà

IO uniforme

' anche F

se

prova e

: , )

)

( tuta tuta

( uniforme

F lo

C. C

C. ① è dunque

per

= = :

- ,

)

t

(

)

t C.

MCC C 1

=

-

= ,

ADDITIVITÀ rispetto capitale

al

legge

definizione capitale

adattiva

dice al

rispetto se

una si

→ :

(

) )

) tuta

Cate

(

tuta ta

Q Io

( C2 Cz

ci

∅ =

+ - ,

,

,

montante

Il montanti dei

la

capitali

di è

due C2 dei

di somma

ci

somma

una e

, ,

capitali

singoli . .

teorema :

se montante

lavorando classe

legge nella funzioni

delle

sta

si con una ,

IRIDI

'

IR Rt

- Se è

10 proprietà

le

soddisfa allora

continua

è

lo 4 lo

→

✗ e

: . ,

capitale

additiva risulta

al

rispetto e :

.to/=Cf(tnta

( )

01 ti

G.

f fattore

( ) capitalizzazione

ta

te di

→

,

Il fattore capitalizzazione unità capitale

restituisce montante

di di

il di una

+2

te

da fino

impegnata a .

Relazione tra capitale

lo

①

te auditiva

è al

rispetto

se :

,

Perché M I M

Cti C

- - - te

K ( )

ta

,

C.tn/-2)--O(C.tn.ta)-C----Cf(tn.t2

(

F Clf (

(1-1,1-2) ] tata )

) CK

C -1 -

=

-

adattiva

F '

anche

ossia e .

Se (tata )

1- CK

( te

F 2)

è

F Hiva C.

adi da cui

=

: , , )

(+1,1-2) (

tata

Cf

( ) Ctck

ta

c.tn =

∅ =

,

f

) )

tata

ta (

te

(

K 1

- -

. )

f 2)

1-

te

( 1tkltn.to

=

, K

su

ancora * (

) )

)

) (

( tata

ta

( tata

citata ca.tn

F F

F K

c.

= =

=

= , .

. .

C2

( C

1

L' facente

unità C)

parte

capitale

interesse (

di NON

da Cz

prodotto di

ogni cui euro

. .

. .

,

fa

capitale parte

la stessa

dipenda dal cui

di .

F

REQUISITI DI ?

fattore

considerata capitalizzazione

di

requisiti f

Quali deve avere per essere un )

(0,1-1,1-2)=0 (tanta

Sappiamo ( ) la

Se Cf

tata

01

lo additiva C.

lo

1 che dunque

è = :

.

. , .

) tata )

te

( (

Of

ta

10 o =

, , &

FORNISCE

NON ALCUNA INFO SU . .tn/--Cf(ti.t.)--C--sf(ti.ti)--

ti

) ( ti

01

tata

( 1.

C.

Io da

c C ≥

2 o

cui

- :

,

. ,

Il te immediatamente disinvestito

montante unità capitale impiegata

di di

un in e

è pari 1

a . t

ta

ti

)

) C.tn

tuta ① (

( ts -

C. ≤

∅ ≤

o

< da

3 cui

≥ :

. , , ,

¢8

)

( tata )

Ef Hats

-

( Alti

I tuta )

) .to C o

>

- ,

f durata

deve crescente f

della è

di

al impiego

essere ctescere ossia se

,

,

(

' )

fa te ta

derivabile o

>

: , 1 >

)

(

)

citata

( tuta

(

① Ca

C- <

4 da < ≤ segue

∅ o

a. :

,

. ,

/

/ tentato

(

Caf

tuta

Csf ta il

)

tu

(

f

Cacca montante deve

1

≤

< essere

> capitale investito

del

, maggiore

PROPRIETÀ

RIEPILOGO

f .tn/=1

( ti

i 2

rea

consona

→ .

( )

I' finta

' Ha

consona

> o 3

→

2 .

( tu )

I ta 4

1 rea

consona

→

>

- .

,

Consideriamo Per l'

C additività

C.

capitali C2 F risulta

di

dei :

.

.

.

.

.

, )

) citata

( ( ) (

tata )

(

f- tata

C. CK tata F

K

»

- - Ci )

.to/=CaK(tn,ta)--sk(ti.ta)=F(Cz.tn.tz

(

f- .tn

Cz CZ

0

o a )

tuta

C.tn.to/=CK(tn,ta)--sk(ti.ta)=T- (

(

f- c.

C

""

*

da cui :

Es 7

. 2+003+2

/ ( capitalizzazione

tuta )

Verificare fattore

è di

se un

= .

+1

21-0,03

r.2-IH.tn/--3++:#I--- ✓

1

)

trita

IL 1 ✓

3

f. 0,03

→ 2+0%1=>0

= .

(1-1,1-2) 21-0,031-2

f

4 >

v. ✓

→ ti

2+0,03 t C

RISPETTO Rispetto

UNIFORMI ADDITIVE a

LEGGI a e :

Supponiamo tempo

uniforme

contemporaneamente odiava capitale

che rispetto

nel al

lo sia e .

Per l' uniformità possiamo scrivere :

C.tn/-a)--CtF(c.tn.ta)--Ctl(c.t )

(

01

additività

Per l' però : te

01 ( ctckltn.to/--CtCklt

)

ta )

C. -

.

, / dcp

dep

piccolo .

,

dunque durata

Solo della

s .

: 11 ]

Ctcklt ) ) t

Klt

) M

(

tata

Q ( C.

C. + =

-

= .

Atk fattore capitalizzazione at

il

è

( )

t da

di 0

Es 8

. Ict

Verificare fattore

1+0.011-2 capitalizzazione

Az at

la ) 0

da

di

è

se un

=

. .

I (a)

1 1+0,01 1

O

= =

.

. 2T

)

( t

f'

2 0,01 > o

= .

. )

Ict

3 O

>

. CAPITALIZZAZIONE

REGIMI DI

1. INTERESSE

REGIME SEMPLICE

DI leggi

Nell' capita