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AMMORTAMENTO
L'Una delle situazioni finanziarie più comune nella vita reale è quella in cui un agente economico cerchi di ottenere un prestito, ossia un finanziamento immediatamente disponibile impegnandosi a restituirlo progressivamente (diluito nel tempo, tipicamente da 0 a n anni) DIA Ri RnRs RzRado .. .. . .'
'I } ÈI LoAssumiamo di lavorare in regime di capitalizzazione composta annua (convenzione esponenziale) Al tasso annuo i.A indicare l'ammontare del prestito. D0 indica l'ammontare del debito contratto. In 1 sarà un po' meno, in ogni tempo (2,s,Z,…) sarà sempre in grado di monitorare la quantità da rifondere (D0). Rs indica l'ammontare della generica rata al tempo s. Nel caso di un debito di ammontare unitario, la condizione di ammortamento è ✓ ti1=h RSÙSE l'A obiettivoSe effettuare è• 1 rimborso infatti1 graduale (→= un=' 5--1 Larate' il)
medianteC' diversamentone somma.,V7VÌRDirt l'Ra ammontareRsvst tutte rateRsvs deve debito+ di ilcoprire+ le1 e=> . . . .. . unitario impegnatomicui sonoper .n§ Rsvs Aa ≠ 1se• =,RATALALa rata distintefinalitàassolve due :estinguere debito• il degli interessiparte• pagare .Is CsRs +=IS la la chedellainteressi parteè rata provvedequota corrispondere1 dih → as = . . .., . interessi debito contrattosullaCsis che' capitalequota gradualmentedella rataparte1 abbattereadva→en= , .... debito contrattoil residuoPer definizione :È (A- 1-1 =s, 5--1ÈA -11 ↳ a=, fondamentaliNotazioni relazionie :RS Ist Cs ratalaè5=1 h• = . . . . ,, laIs intdiquota1S è• n=, ..., .Cs la capitaleè quota5--1 h• , ., .. .SSÉ completataestintoBZ statadebito' deldebito quantail èparteCs ossia originarioin• ze= .,estinta 2-in . 130=0debito estintoIl ' Bn0 0 -1in pari ae-.Es Rz Aa AsRu 'ito }i: ↳di In Ce CiBn+ ;= =Ia (CzRZ CiBz ++ a= =R ( ((I Ci133 + +3 + 3 32= } = =' -/- -, --~ _ _,ES . RaRiio : >;(Be• 1= 1-C1Di Be1 =-= Ci CaBz +° = )( BzntczD2 1 1-- == estintodeb debBZIl èresiduo 1- →2-in pari Za in. .quota interessisulla diancora . . .Is laè periodiciche interessidiparte=LS n paga ., ., .. ,In ido= (I di )i Bni 1=2 = -I ( )iD2i Bz13 == -: 1)/iIs BsDsi 11 == - - -Piano ammortamentodiÈ tabella ammortamentorelativi all'sintetizza datiche iuna :debitonelevidenziatotroviamo quindiche cheimporto saràin residuo ad A≠genere pari e:estinto è 0deb restoil )pari C-ila per,. . ..ammontaretempoal 0 qiqcrata e1 → ,( )da slideguardare sulle ↑Rz2- BZCIZDZA o-0 - -Rt Re InCi idoA-1 C1-Rz G2 IaR2Di BaitaDii- -; RnRn Inidn A-10n -ES DA FARE. formaliDefinizioniL' debito unitarioammortamento di versamentodi importo medianteanni il diin h nun , }{ negative taliR raterate Raracostanti
Rn diè Upeaperiodiche nonuna n =e - . ... .,È Rsvs simboliIncui 1per = :.5=1 h{ ))( ERnR2 RsvsA Re RsR > 0 →-= .= ,,, , . . ,. 5=1.tol'Cs Fs dice dettoche propriamenteè gradualesiSe > eammo .,TEOREMASe Cs lts l' ' determinatoallora .to0 amm> e e :, , nÈ{ 1)A- ( ) RsvsRsR RnRaRe > 0 -- _= ,,, ,Dimostrazione :parte dall' cheosservare : 1)(IsRs BsCostiCst 1 -= -= È { }Csftp. Bs Crescenteideb estinti BS sono successionesiccome Ck una>se ✗ 0 -, .,, ,E- 1che da 10va a .Riscriviamo la ricordando cheamm.tocondizione diora :BsBsCs 1-= -È È / /( ) E/Is (vs 1) (Cs ( ]BsBs BsvsBsti+ 1)utile vsBss1 Bss +1 -1- -== - -- - - =-5--1 ↓↓↓ ↳ Is§ Rsvs1--E H 1) ]11 )) vsGBs BsBsi= -1+-- -- =-¥ -deb fineDs 1 dato res→ a- da →reoin annoa .anno alladeb→ ^"[{ ( 'dell( }( )) vs1)Bs Bs11- tti anno- -= - stessoIEÈ ☐↳ capit sanno✗. Egrave;{ 1) 1- )( vs 11 vs-
BsBS1= --- --)finire(da trarelazione Bz C DZe,h{ ( ( DZ DzBzBzBz1-☐ a-== 2-s2- -1= -= _5=2-+1 le ratenotedi DZDeterminazione finanziariaTEOREMA ◦?debitoIl valutazione finanale rateallaresiduo corrisponde chedelleinZ 2-devono versateessere ancora .nE 2-Rsvs -☐ 2- = 5=2-+1DIMOSTRAZIONEn ÈE EhiBus.is/+i(1-Bs-1Dvs?S--Zt1[ ( e)EKSTISRsvs ?) Bs2- 2- 11 Bsvs BsBsBs- ti- +i-= -= - --5--2-+1[{vs-Z-IH-bs.nl/1ti)-l1-BsDvs-Z---( })G)e) G-Bs ti Bsn Bs1= - -- - {[ G-{ {Z1) vs( ^1)]) )( vs 2-) (- -E- (tti BsvsBsBs Bs -11-1 -- -_-- -sviluppando calcolii :1-bzm.IT?zI-2--i-È +2-2--11) )( 1)v2Rsvs 2- ( -2--1/1-13=+1( BmBz un- +21 + 1+ ---= - ,5=2-+1 2-) un2- (2- 1- Bn BZ+ - DZ11✓ = =- -_ -.. . Essendo1Bn = AMMORTAMENTOTIPOLOGIE DIVi ammortamentola presenta regolarità chedellediprocedurasono cuiincasi le componenticonsentono individuareformule calcolodi diricorrere pera :1 ratefrancese costantiammortamento ao. ammortamento italiano2 uniforme costanticapitalequote diao o.3
ammortamento americano. ammortamento4 tedesco.5. ammortamento inglese rate costantifranceseammortamento aodebitoIpotizzando la amm.toammontare unitariodi condizione èdiun :,£§ {Riesunitario Rdebse ✓ 1→→ ,. sei:&Ricordando % dunqueche anti✓ avremo :s ,=R R 1anti ✗1 ti== ' =-anti↳ direciprocoafiguratontassoal ' ✓ i^1✗ Di = = "anti un 1 v1- -i ARariunitarioSe R-1deb A antinon ; =: = --antiFORMULE NOTEVOLI i^RR ✗ ai:<=: =anni Un1- nRÈn {E 2- ??# ^ ÈRsvs "VS2- 2-Vs 2-'Dz un- - --DZ anzi perV cuima += :==: = ,. ..⇐ ,5=2-+1 5=2-1-1RaffiDZ ia: = =- anni↓÷. ÙZ÷n "" v'BZ ZBz 1Wh-2-7 i antiDz an V1 i -1-a v1- .-=: += - -= === . un' 1-anti 1antiZ U2" ÷\ 1"(" .un Z- SEI"V i✓ In"+ ✓ ""-- _.= == === un unviii. , ,,,1- saiun ^ _Bz ¥I÷ 'UZBz UZUZCz sei!Cz +7SEI -1 ÷f--1 =--: - -= =_=- 'un
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