Appunti matematica finanziaria ed attuariale

Contratto Finanziario

Regola di scambio di importi monetari esigibili a date future diverse

Moneta e Tempo

Vale di piu 1 € oggi o 2€ tra due anni?

Due valori monetari relativi a grandezze temporali differenti non sono confrontabili, grazie al contatto finanziario creiamo una

EQUIVALENZA FINANZIARIA

Asse Temporale

rappresentazione contratti finanziari

Finanziamento            Investimento

           1€_t0           1€

+-------------------------->

-2€_tend         2€

Diritto dei Titoli di Credito

debiti / crediti

Bilancio

passività / attività

Intermediazione Finanziaria

raccolta / impiego

Interesse → prezzo per spostare il denaro nel tempo

I CONTRATTI FINANZIARI possono essere:

• con poste monetarie NOTE:
  1. Obbligazioni a tasso fisso;
  2. Mutui a tasso fisso.
• con poste monetarie ALEATORIE:
  1. Obbligazioni a tasso variabile;
  2. Mutui a tasso variabile;
  3. Contratti derivati (IRS, opzione fin. elementare).

VALUTARE significa:

• Fare prezzi;
• Calcolare il rendimento (T.I.R., tasso di variabilità);
• Calcolare indici di durata;
• Calcolare indici di variabilità del valore.

• POSIZIONE LONG = chi investe
• POSIZIONE SHORT = chi si indebita

Valore di un Contratto Finanziario

• Rappresentazione vettoriale di un c.f.

X/1_T = {_{t1, t2, tn, tn}}

impatti/tempo

• es

X = {+100€, +100€, +150€}

t = {1, 2, 3}

• Rappresentazione asse dei tempi di un c.f.

_{x1, x2, xtn}

_{t1, t2, tn}

0 — +100 — +100 — +150 —>

0 1 2 3

• Valore in t: V(t, x) = valore al tempo iniziale del flusso x.

Il valore è una grandezza che dobbiamo definire.

V(t, x) = x₁ ⋅ V(t, t₁) + x₂ ⋅ V(t, t₂) + … + x_k ⋅ V(t, t_k) + … + x_n ⋅ V(t, t_n)

Osservazione

V(t, x) = ^∑_k=1 x_k ⋅ V(t, t_k)

• es

V(0, x) = 100€ ⋅ V(0, 1) + 100€ ⋅ V(0, 2) + 150€ ⋅ V(0, 3)

• Grandezze Fondamentali nel Tempo Continuo

• Intensità Istantanea di Interesse δ(t,s)
• Intensità di Rendimento a Scadenza h(t,s)

1) δ(t,s) = come cresce la moneta istantaneamente; è equivalente al tasso di interesse nel tempo discreto.

δ(t,s) = lim_T→0 [m(t,s+T) - m(t,s)] / [m(t,s) ⋅ T]

Funzione Valore

- Analogamente vediamo come interpretare la formula:

Ricorda

lim_Δx→0 [f(x+Δx) - f(x)] / Δx = Δf / Δx, rapporto incrementale = f'(x)

Vale la stessa cosa per:

lim_T→0 [m(t,s+T) - m(t,s)] / T = m'(t,s), derivata rispetto a s

quindi:

δ(t,s) = m'(t,s) / m(t,s)

ma f'(x) / f(x) cosa è?

Dimostrazione Teorema di Cauchy

NEC

• C. Suff
• V(t, S) = V(t, S) / V(t, T)
• δ(t, S) = δ(S)

C. Dec

• δ(t, S) = δ(S)
• V(t, S) = V(t, S) / V(t, T)

CN:

• ν(t, S) = ν(t, T) ν(t, S) ⇔ δ(t, S) = δ(⋅ - S) δ(S)
• ln ν(t, S) = ln [ν(t, T) ν(t, S)]
• ln ν(t, S) = ln ν(t, T) + ln ν(t, S)
• ∂/∂S ln v(t, S) = 0 + ∂/∂S ln ν(t, S)
• δ(t, S) = δ(t, S)

non dipende da t

CS:

• δ(t, S) = δ(S) ⇒ δ(t, S) = δ(t, T) ∙ δ(t, S)

ν(t, S) = e^∫SB δ(S)ds

• = e^∫SBδ(S)ds + ∫SB δ(S)ds
• = e^∫SBδ(S)ds ∙ e^∫SB δ(S)ds
• = ν(t, T) ∙ ν(t, S)

500 100 100

r = 0, 1

Osservazione

a_ni: valore attuale di una rendita unitaria posticipata immediata temporanea

Osservazione

Se i_L sconto razionale cambia solo V(O, R)

V(O, R) = R · ¹/_1+i¹ + R · ¹/_(1+i)² + ...

2^° Rendita certa immediata, posticipata e perpetua

^R_∞ — ^R_k — ^R_k — ...

Se LE con parametro i:

V(O, R) = ^R/_i

3^° Rendita certa differita posticipata e temporanea

V(O, R) = ^n+m_Σ⁽¹⁺ⁱ⁾_k=n+1

Osservazione

V(O, R) = {1 + i}ⁿ · R a_ni

Periodo di differimento (n) periodo di durata (m)

3. bullet

Tutte le quote capitali sono 0 e l'ultima è 100

I_k = I

f(v₀) - P

v₀, v₁,

al k-esimo passo:

f(v_k-1) - P

v_k-1, v_k

= f'(v_k-1) {

f(v_k) - P

v_k, v_k+1

= f'(v_k) {

è la stessa cosa ma scritta in modi differenti

f(v_2k) - P

f'(v₁(v_k)

v_k+1 = v_k - v_k+1,2 + ^{f(v_k) - P} / _f'(vk+1)

-------------

t₀ 10 20 30 40 _t40

0 3 2 5 4

v₀ = 0,42

80 - P {

f(v₁) = ^{f(v₀) - P} / _f'(v0)

f(v_{v0 10 v0 + 10 v0² + 10 v0³ + 130 v6 is 100.0 / s}

P = 30

f'(v₀) = 10 + 20 v₀¹ + 30 v₀¹ + 40v ₀³

Osservazione

Se prendo v_k e a sinistra di v^* al primo passaggio torni subito a destra quindi non cambia nulla.

CONDIZIONI DI NON ARBITRAGGIO DI TCN UNITARIO

Hp Mercato a pronti ma tutte le conclusioni a cui giungiamo valgono anche per il Mercato a termine.

1. V(t, S) = 0 Tesi

[diagram with branches showing calculations]

• IMPOSSIBILE

2. V(S, S) = 1 Tesi

[diagram with branches showing calculations]

• Può essere POSSIBILE con la COERENZA di assenza di arbitraggio.

4. V(t, S') > V(t, S'') con S' ≤ S'' Tesi

TEOREMA DI DECRESCENZA rispetto alla SCADENZA

Portafoglio di TCN

ES [T = 3]

0,9

Acq 1

Arbitraggio di 2€

Condizioni di non arbitraggio nel mercato a pronti e a termine

Teorema dei prezzi impliciti

Serve per capire se si può realizzare un arbitraggio:

Th: v(t, T, S)

0,85 / 0,9

Dimostrazione per assurdo