Matematica finanziaria - Appunti delle lezioni

Teoria matematica finanziaria

Modulo 1

Definizioni fondamentali

Def. Funzione valore: Sia w(0) > 0 l'importo disponibile al t=0, la funzione valore associa a w(0) disponibile al t=0 un importo w(t) finanziariamente equivalente a tempo ∀t>0 w(x) → w(x+t) (importo iniziale) (importo finale).

Def. Intensità di interesse: L'intensità di interesse è data dal tasso di interesse dell'operazione finanziaria rapportata al tempo. ^{w(x+t) - w(x)} / _{w(x) t} = γ(x, x + t).

Def. Forza d'interesse: La forza di interesse non è altro che il lim dell’intensità di interesse quando il tempo tende a 0. ^{w(x+t) - w(x)} / _w(x)t = δ(x) = lim_t→0⁺.

Leggi di capitalizzazione e attualizzazione

Def. Legge di capitalizzazione: r(x) è una legge di capitalizzazione se valgono le seguenti proprietà:

• A. r(0)=1
• B. r(t) continua ∀t≥0
• C. r(t) strettamente crescente rispetto a t≥0

Questa proprietà si verifica facendo la derivata prima di r(t).

Def. Regime di capitalizzazione: Un Regime di capitalizzazione è una famiglia di funzioni fondata su un parametro α≥0 che rispetti i tre postulati A, B e C r(t)^α. Da r(t) a r(x,y)? → basta sostituire (t) con (y-x). Da r(x,y) a r(t)? → Non si può risolvere sempre! (solo in alcuni casi, vedere più avanti).

Def. Legge di capitalizzazione a 2 tempi: r(x,y) è una legge di capitalizzazione a 2t se valgono le seguenti proprietà:

• A. r(x,x)=1
• B. r(x,y) continua rispetto a y fissato ∀x
• C. r(x,y) strettamente crescente rispetto a y fissato ∀x

Questa proprietà si verifica facendo la derivata prima di r(x,y) rispetto ad y.

Def. Regime di capitalizzazione a 2 tempi: r(x,y) regime di capitalizzazione a 2 tempi se A, B, C sono verificati ∀α∈A^α.

Def. Legge di attualizzazione a 2 tempi: v(x,y) è una legge di attualizzazione a 2t se valgono le seguenti proprietà:

• A. v(y,y)=1
• B. v(x,y) continua rispetto a x fissato ∀y
• C. v(x,y) strettamente crescente rispetto a x fissato ∀y

Questa proprietà si verifica facendo la derivata prima di v(x,y) rispetto ad x. Attenzione v ed r sono coniugati, quindi: Se conosco r(x,y) posso trovare v(x,y) e viceversa. ¹/_r(x,y) · v(x,y) = 1 = v(x,y) e viceversa → r(x,y).

Leggi e regimi finanziari

1. Def. Traslabilità: Consideriamo una legge di capitalizzazione a 2t, r(x,y), essa si dice traslabile se vale la seguente legge: r(x+τ, y+τ)=r(x,y) allora ∀τ∈ℝ si dice che la nostra legge è Traslabile.

Se r è traslabile allora r(x,y) può essere scritta in funzione della durata t → [r(t)]. Una legge a 2 tempi si può scrivere ad un tempo solo se è traslabile.

2. Def. Scindibilità: Una legge di capitalizzazione r(x,y) si dice scindibile se si ha che r(x,y)=r(x,t)*r(t,y) ∀t∈(x,y). Quando non vale questa uguaglianza, potrò scegliere l’of che mi conviene.

3. Forza di interesse:

Ad un tempo: definiamo forza d'interesse il rapporto ^Δr(t) / _Δt = δ(t).

A due tempi: ^Δr(x,y) / _Δy = δ(x, y).

Regimi finanziari usuali

1. RIS → Regime dell’interesse semplice:

Sia w(o) disponibile al tempo 0. L'importo finanziariamente equivalente di periodo in periodo si ottiene aggiungendo a w(0) un importo costante proporzionale a w(0), con i (tasso di interesse periodale) costante di proporzionalità. ← Funzione valore nel RIS w(t) = w(o) (1 + it) t ≥ 0. r(t)= 1+it ← regime di capitalizzazione nel RIS.

¹/_1+it ← Legge di attualizzazione nel RIS.

Il RIS dipende da i tasso di interesse periodale. Quindi se avrò d dovrò trovare i. Il RIS lo posso scrivere a due tempi: r(x,y)=1+i(y-x). Attenzione: è fondamentale che i e t abbiano la stessa unità temporale.

Tassi equivalenti nel RIS:

Due tassi d’interesse i₁ e i₂ si dicono equivalenti se applicati allo stesso capitale iniziale per la stessa durata, danno lo stesso montante. n^i₁ = m^i₂ ← formula dei tassi equivalenti nel RIS, n/m.

2. RIA → Regime dell’interesse anticipato:

Sia w(n) un importo disponibile al tempo n, nel RIA l'importo finanziariamente equivalente nei periodi precedenti si ottiene: sottraendo di periodo in periodo un importo costante è proporzionale a w(n) con d costante di proporzionalità. w(0) ← Funzione valore nel RIA w(t) = ¹/_{(1 - dt)} t ≥ 0. r(t) = ¹/_{1 - dt} ← Legge di capitalizzazione nel RIA.

¹/_{1 - dt} ← Legge di attualizzazione nel RIA. Il RIA dipende da d. r(x,y)=¹/_{1 - d(y-x)} si può scrivere a 2 tempi.

Tassi equivalenti nel RIA:

Due tassi d’interesse i₁ e i₂ si dicono equivalenti se applicati allo stesso capitale iniziale per la stessa durata, danno lo stesso montante. n^d₁ = m^d₂ ← formula dei tassi equivalenti nel RIA, n/m.

3. RIC → Regime dell'interesse composto (esponenziale):

Dato w(0) al tempo zero, l'importo finanziariamente equivalente di periodo in periodo si ottiene aggiungendo un importo...