Matematica finanziaria - Appunti delle lezioni

TASSI EQUIVALENTI NEL RIC

Def. Due tassi d'interesse i e i si dicono equivalenti se applicati allo stesso capitale iniziale per la stessa durata, danno lo stesso montante.

m(1 + i ) (1 + i )=n m

TASSO NOMINALE ANNUO CONVERTIBILE n VOLTE (l'anno)

j(m)j (m) = mi → i =m m m 3

MODULO 2O.F. COMPLESSE

Def. Rendita

È una successione di pagamenti esigibili in epoche diverse.

R = rata K = scadenza i = tasso di valutazione V.A. = valore attuale M = montante

Tipi particolari di Rendite:

● a rata costante = quando tutte le rate hanno lo stesso importo.

● periodiche = Quando il tempo tra una rata e un'altra è costante.

Classificazione:

● Posticipata = pagata a fine periodo

● Anticipata = pagata a inizio periodo.

Quando inizia la rendita?

● Immediata = Il momento del pagamento della prima rata coincide con la stipula del contratto.

● Differita = Il momento del pagamento della prima rata non coincide con la stipula del contratto.

Quanto dura la rendita?

n può

essere di due tipi:

1. n finito → rendita temporanea
2. n infinito → rendita perpetua

RENDITE PERIODICHE A RATA COSTANTE TEMPORANEE CON n NUMERO DELLE RATE FINITO n−1 (1+i)−R

FORMULA REGINA → ← con questa formula giungiamo al periodo* i precedente al primo.

n−1 (1+i)−R (1 + i)

VALORE ATTUALE → ← con questa formula giungiamo al* *i tempo 0.

RENDITE PERIODICHE

Sono la forma più utilizzata per rimborsare un C preso in prestito al tempo 0.

{R, t} con i = tasso tecnico

{(C, R , R , ..., R ); (0, t , t , .., t }

Consumatore = − − − n n1 2 1 2

Problema di Amm.to

Dato un capitale C al tempo t=0. dato un tasso i (tasso tecnico) determinare la rendita(R,t) che rappresenta un piano di rimborso C. Affinché R permetta di rimborsare C, devevalere questa uguaglianza:

W(R;0)=C Condizione Valore← 4

Def. Operazione Finanziaria Equa/x = 0

O .F . = {x, t} con k

Si dice equa se al t=0 si ha w(O.F. , 0)=0 (con tasso i)(se OF è

equa al t=0 allora essa è equa in ogni altro tempo) Cond. di chiusura iniziale C=w(R,0) il cap. preso in prestito al t=0 deve avere lo stesso valore della rendita alt=0. Determinazione dell'importo della rata Rk Ciascuna rata R pagata si divide in 2 quote: k1. C quota capitale k2. I quota interesse (R =C +I ) [prima formula fondamentale] k k k k condizione di chiusura elementare D =0 [seconda formula] nD (debito residuo al tempo k) kD =D -C [terza formula] k k-1 k ·I =i D [quarta formula] k k-1 Estinzione anticipata senza penale (1° problema) K è dovuto R +Dk k Valutare quanto ancora dovuto con j (tasso di valutazione) (2° problema) w=w(C,K)+w(t,K) → Usufrutto (valore attuale della quota interessi) ↘ Nuda proprietà (valore attuale della quota capitale) Ammortamento → schemi generali 1. Amm.to con rimborso globale finale e pagamento degli interessi: [I = costanti] il capitale "C" preso in prestito viene rimborsato per intero alla

1. Scadenza.
2. C = C = ... = C = 0
3. C = C → condizione1 2 n-1 n > 0
4. I = I = ... = I = i*C con R = I ∀n1 2 n n nBTP valore nominale C 52. Amm.to con quota capitale costante, (amm.to Italiano) → n → C = c c = c = c = ... = c numero delle rate ±1 2 3 4 n⇒ nc→n*C = c C = 3. Amm.to a Rata costante, (amm.to Francese) R = R = R = ... = R1 2 nn n− −1 (1+i)1 (1+i) /− −C = R → R = C ( )i iPreammortamento m rate impiegano interessi periodici ma non si → rimborso il capitale (pago solo gli interessi) Ammortamento n rate inizia il piano di rimborso del capitale + gli → interessi. 6Criteri di scelta fra O.F. condizione di certezza → O.F.=(x,t) con x = vettore flussi e con t = vettore scadenza La cond. di certezza implica che siano certi gli importi e le grandezze:1) Criterio del REA ( rendimento) - VANrendimento economico attualizzato Def. Data OF=(x,t) e dato un tasso j di valutazione si definisce REA di OF il valore attuale (t=0) di OF,

nel RIC, al tasso j.-t -t -t -tx (1 + j ) + x (1 + j ) + x (1 + j ) x (1 + j )REA(OF,j)= + formula REA←n1 2 3* * * *n1 2 3Il criterio del REA Date 2 o più OF è preferita quella che, dato un tasso→j uguale, garantisce un maggior REA.(confronto fra V.A. di OF)NB: Questo criterio è basato sul VA ma se alla stessa scelta si perviene inaltri periodi di tempo rimane invariata.

● Se REA (OF ,j) > REA (OF ,j) scelgo OF1 2 1

● REA (OF ,j) < REA (OF ,j) scelgo OF1 2 2

● Se sono uguali la scelta sarà indifferente e le 2 OF si dirannoINDIPENDENTILimiti del REA:

1. j è un tasso soggettivo in quanto utilizzando tassi diversi si giungea risultati diversi.
2. J* = Tasso di svolta: date 2 OF, OF e OF si definisce tasso di svolta1 2quel tasso J*, di valutazione (se esiste) tale che:REA(OF ,J*) = REA(OF ,J*) le 2 of hanno lo stesso REA e quindi sono←1 2indifferenti

2) Criterio del TRM ( saldo finale a 2 tassi ) (j tasso attivo,

j tasso passivo) a pcriterio basato sul Valore Finale (montante) Def. Montante che si ottiene capitalizzando di periodo in periodo usando jpse il saldo è negativo e j se il saldo è positivo. a 7 Criterio del TRM: date 2 o più OF, fissato j, j è preferita l'OF che producep aun maggior TRM. Limite del criterio del TRM i tassi j e j sono tassi soggettivi. → p a 3) Criterio del TIR (criterio del tasso interno di rendimento) Def. Data un O.F.=(x,t) si definisce TIR i* quel tasso di interesse (se esiste) che rende l'OF equa. [OF è equa V.A. = 0] → 1 2 3 n V.A. = - - - - + = 0 x + x (1 + i) + x (1 + i) + x (1 + i) x (1 + i) * * * * n 0 1 2 3 il TIR è detto anche tasso implicito Def criterio del TIR: Nella scelta fra OF che ammettono il TIR, si sceglie quella con maggioriTIR, se sono investimenti e viceversa se si tratta di finanziamenti. → Limite del TIR non può essere applicato per le OF miste, o meglio può

essere utilizzato ma non per scegliere. p 1( ) −i(0, t) = 0 tIl rendimento (su base annua) del titolo sarà:

VNTEOREMA DI NORSTROMPer calcolare il TIR dobbiamo sottostare al teorema di norstorm

Hp1: x <0 (la prima posta deve essere negativa)

0nHp2: (la somma delle poste deve essere positiva)x > 0∑ kk=0

Hp3: x ,x ,x ,..,x >0 (strett. crescente)1 2 3 nSe sono tutte verificate allora TIR ed è unico!

∃TAEG (tasso annuo effettivo globale)TAN (tasso annuo nominale) non considera i costi accessori.≥TAEG TAN

MODULO 3MERCATO OBBLIGAZIONARIOPrestito Diviso: a fronte di un solo debitore si trovano una pluralità di creditori.Il capitale richiesto dal debitore verrà diviso in quote che saranno rese disponibili(collocate) ai creditori che potranno acquistare una o più quote.Titoli di stato: sono dei titoli che lo stato emette al fine di finanziare un debitoriportandolo in quote. 8Stato bisogno di finanziarsi: emissione di titoli di

stato.→1) dove avviene l’emissione? Mercato primario (banche, società finanziarie)

2) successivamente al mercato primario i T.D.S. vengono scambiati Mercati secondari

p = prezzo di emissione p = prezzo corrente del titolo

0 tValore nominale = 100 ( singola quota del debito contratto)

Mercato secondario (borsa italiana, mercato telematico di stato)

1) Rimborso del titolo alla scadenza ( rimborso unico alla scadenza ) titoli a breve/media scadenza /=se vendi un titolo prima della scadenza avrai un TIR realizzato da quello aspettato alla scadenza.

scadenze:BOT 3,6,12 mesi→CTZ 2 anni entrambi sono ZERO COUPON BOND (scadenza→entro 24 mesi)

2) Rimborso del capitale alla scadenza, e pagamento periodico degli interessi cedola/quota interessi.

NB.quando considero i T.D.S. devo convertire i tassi nel RIS

ni =mi ← formula dei tassi equivalenti nel RIS

n mi = tasso cedolare p = prezzo di emissione p = prezzo del mercato secondario

0 t● Se p o p = 100 = VN ( il titolo emesso

è quotato alla pari )0 tTIR= tasso cedolare

Se p o p < 100 = VN ( il titolo emesso è quotato sotto alla pari )0 tTIR < tasso cedolare

Se p o p > 100 = VN ( il titolo emesso è quotato sopra alla pari )0 tTIR > tasso cedolare 9Def .

TASSO DI INTERESSE A PRONTI :È il tasso annuo associato ad uno zero coupon bond quotato al tempo 0, con scadenzaal tempo t. i(o,t) con t=anni

IPOTESI DI COERENZA DEL MERCATO SECONDARIO

Ipotesi di NON FRIZIONALITÀ: no costi di transazione; no limiti alla quantità;sono possibili le vendite allo scoperto; i titoli di stato sono infinitamente divisibili.

PERFETTA CONCORRENZA: agenti price-takers e massimizzanti ( scelgonoinvest. più redditizio)

ASSENZA DI ARBITRAGGIO: non è possibile realizzare profitti privi di rischio

Def. di ARBITRAGGIO NON RISCHIOSO: un flusso di cassa≥ k = 0, ..., n eT=[(x ,x ,..,x );(t ,t ,..,t )] tale che x 0 k* tale che x >0 è detto∀

^∃0 1 n 0 1 n k k*arb. non rischioso.
Condizione di assenza di arbitraggio non rischioso: si ha un arbitraggio non rischioso se e solo se non vale la condizione di scindibilità:
/= · ← non scindibilità
● r(t ,t ) r(t ,t ) r(t ,t )0 2 0 1 1 2
Come si trova? t t
Tasso a pronti = r(t ,t ) (1+i(t ,t ) )→ −2 0
0 1 0 2
Tasso a Termine
Rappresenta il tasso di interesse annuo concordato al t=0, relativo ad un OF che inizia in t=1 e termina in t=2.
Come si trova? (è un tasso implicito nei tassi a pronti)
conosco il tasso a pronti da 0 a 1, e da 0 a 3 ( posso trovare i(0,1,3))
3 1 2
(1+i(0,3)) =(1+i(0,1)) *(1+i(0,1,3)) è l’unica i