Matematica finanziaria

CAPITOLO 1

FINANZA MATEMATICA → DISCIPLINA CHE STUDIA

LE RELAZIONI ECONOMICO-FINANZIARIE TRA IMPORTI

MONETARI RELATIVI A DATE DIVERSE

• INVESTIMENTO

   –C

_t0                       M

                                                                     T

• PRESTITO

               tC                                            –M

_t0                                                                    T

CAPITALIZZAZIONE → NOTO t₀, T E C TROVO M

SCONTO/ANTICIPAZIONE → NOTO M, T E TROVO C

C W t₀ ≅ H W t T

F

I

EQU. FINANZIARIA

T₀ < T ⇒ C W t₀ < C W t T

TASSO DI INTERESSE (PERIODALE)

i_(t0,T) = 1

C → CAPITALE

                  → INTERESSE

                                   [INTERESSI PER UNITÀ

                          DI CAPITALE IMPIEGATO]

È INDIFFERENTE

DALLA LEGGE

ANALITICA UTILIZZATA

r(t_o, T) Fattore di montante periodale

(Quanto vale 1€ dopo T-t_o periodi)

d(t_o, T) Tasso di sconto periodale

v(t_o, T) Fattore di sconto periodale

v = 1 - d = ¹⁄_r = ¹⁄_1+i

Relazioni fondamentali

Valore fra tassi/fattori

Relativi allo stesso periodo

LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

• Semplice (RIS) Interesse calcolato sul capitale iniziale
• Composta (RIC) Interesse calcolato con riferimento al capitale noto nel periodo precedente
• Iperbolica (RIA) Sconto commerciale

RIS -> r(t_o, T) = 1+ i(0, 1)∙(T-t_o)

Tasso periodale

RIC -> r(t_o, T) = (1+i(0, 1)) ^(T-t_o) = ^(T_o)e^δ(T-t_o)

(Capitalizzazione degli interessi)

RIA -> v(t_o, T) = 1- d(0, 1)(T-t_o)

Non è definito per periodi > ^{1 + i_cial(0, t)}⁄_{icial(0, 1)}

INTEGRAZIONE PER PARTI

∫ f(x) g'(x) dx = f(x)⋅g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx + C

PROPRIETÀ

• LINEARITÀ: Siano f e g due funzioni definite in [a, b] e α, β due costanti
  • ∫_a^b [αf(x) + βg(x)] dx = α ∫_a^b f(x) dx + β ∫_a^b g(x) dx
• ADDITIVITÀ: Sia f una funzione integrabile su [a, b] e c ∈ [a, b]
  • ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx
• MONOTONIA: Siano f e g due funzioni integrabili su [a, b], esista f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b]
  • ⇒ ∫_a^b f(x) dx ≥ ∫_a^b g(x) dx
• INVERSIÓNE ED ORDINE ESTREMI DI INTEGRAZIONE:
  • ∫_a^b f(x) dx = - ∫_b^a f(x) dx

Conteggio dei giorni per determinare la durata di un'operazione finanziaria

Anno commerciale → 30/360

Giorni effettivi su anno commerciale → ACTUAL/360

Giorni effettivi su anno civile → ACTUAL/365

Giorni effettivi su anno effettivo → ACTUAL/ACTUAL

Tabella delle relazioni fondamentali

TIR

(TRES, TAEG, YIELD TO MATURITY, IRR)

Il TIR rappresenta la redditività totale di un investimento, in quanto considera tre fonti di reddito:

• cedola
• reinvestimento delle cedole
• capital gain/loss

ALGORITMO DI NEWTON

(per il calcolo del TIR)

Jf(q_si) / q_si = (F(q_s+1) - F(q_si)) / (q_s+1 - q_si) per q_s+1 → q

Assumendo F(q_s+1) = 0

Jf(q_si) / q_si ≈ -F(q_si) / (q_s+1 - q_si)

⇒ q_s+1 = q_s - F(q_si) / Jf(q_si)

L'equilibrio q_s+1 = q_s = q^* implica F(q_s) = 0

ALGORITMO

1. Si impone q_s > 0
2. ε = 10^-4
3. Se |F(q_s)| ≤ ε
4. q_s ≅ TIR
5. Altrimenti q_s+1 = q_s - F(q_s) / Jf(q_s) e si verifica il punto 2

Struttura per Scadenza (SPS)

Rappresenta, in un dato momento t, la relazione tra i prezzi (o tassi) dei titoli presenti sul mercato e la loro scadenza T, o durata l = T - t

Devono essere considerati titoli differenti solo per la loro durata

Esempio

Se \( P(t,T) \) e' il prezzo in t di uno ZCB italiano che scade in T il tasso annuo (in CC) che misura il rendimento del titolo

\( R(t,T) = \left( \frac{VF}{P_{ZCB}(t,T)} \right)^{\frac{1}{T-t}} - 1 \)

Costituiamo la SPS dei rendimenti degli ZCB italiani (Rendimento in termini di tasso annuo)

\( \delta(t_0,T) = \ln (1 + R(t_0,T)) \) SPS dei rendimenti istantanei (Yield Curve)

\( v(t_0,T) = \frac{P_{ZCB}(t_0,T)}{VF} \) Fattore di sconto

Per estrarre i tassi spot dai CB

è necessario conoscere la loro struttura.

PCB(0,m) = _∑^{M-1 k=1 C}/_[1+i(0,k)]^k + ^C+VF/_[1+i(0,m)]^m

Riscrivendo come

PCB(0,m) = - _∑^{M-1 k=1 C}/_[1+i(0,k)]^k = ^C+VF/_[1+i(0,m)]^m

Si ottiene a sinistra dell'uguale il prezzo ipotetico

di uno ZCB con maturity M e valore di rimborso

pari a C+VF.

Il tasso a pronti risulterà quindi

i(0,m) = ( ^C+VF/_{PCB(0,m) - ∑^{M-1 k=1 C}/[1+i(0,k)]^k} )^1/m - 1

Interest Rate Swap (IRS)

- Capitale nominale (non viene scambiato)

Fixed Leg > A

Float Leg < B

Nella prassi viene pagata

dalla controparte debitrice

la differenza fra i due