Matematica finanziaria

La matematica finanziaria studia l’evoluzione nel tempo dei valori monetari; studia i criteri per la

valutazione razionale di flussi, la cui disponibilità non coincide con l’istante della valutazione.

Il valore di una somma di denaro dovrebbe incrementarsi al passare del tempo.

Le operazioni finanziarie:

- investimento (se flusso monetario in uscita (-) precede temporalmente quello in entrata (+))

- finanziamento (se flusso monetario in uscita (-) segue temporalmente quello in entrata (+))

Le operazioni finanziarie sono accordi o contratti tra due parti, regolano lo scambio di flussi di

denaro riferiti ad epoche diverse.

- semplici (due scadenze, due flussi con segno diverso)

- complesse (più flussi di denaro con almeno un elemento di segno positivo e almeno uno di segno

negativo) (almeno un entrata e almeno un uscita)

ASSE DEI TEMPI E GRANDEZZE FONDAMENTALI ftp..tn

I

retta orientata nel senso progressivo .

( (

( iii

1 p

z

Grandezze fondamentali in una OF nel caso in cui t₂ = t₁, è fondamentale

- C investimento al tempo t₁ che resti il capitale C che ho investito

- M montante che si trova ad un tempo t₂ con t₂ t₁

≥

La differenza M-C = I è detta interesse dell’operazione.

Se invece C è il capitale finale alla scadenza t₂ si chiama Va il valore attuale in t₁≤ t₂

tz

ti

0 1

I I s

Va c

La differenza D = S = C - Va si chiama sconto, ovvero è il “compenso” che viene dato a chi richiede

oggi (o a un tempo anticipato) la disponibilità di una somma che gli sarebbe dovuta ad un tempo

futuro

CAPITALIZZAZIONE E trasferimento di C

ATTUALIZZAZIONE nel tempo avviene

interesse attraverso processi di

1

capitalizzazione montante

capitale razionalizzazione che

capitale

attualizzazione

valore attuale danno luogo a

sconto

r interessi o sconti

Esempi ti

ti

io .

I (interesse maturato) = M - C = 4600 - 4000 = 600 € 4000 4600

D (sconto) = 600 € nel caso in cui 4000€ sia il Va al tempo t₁ di una somma esigibile al tempo t₂

D = I

REGIMI O LEGGI FINANZIARIE

Legge finanziaria di capitalizzazione: M(t) = F(C, t) con t = t₂ - t₁

Legge finanziaria di attualizzazione: Va(t) = G(C, t) con t = t₂ - t₁

LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

M(t) = F(C,t)

postulati che deve soddisfare:

- F(C, t) è definita per ogni C ≥ 0 e per ogni t ≥ 0 e per ogni t∈[0,T), con T scadenza massima possibile

- F(0, t) = 0 per ogni t∈[0,T) il montante al tempo t di un capitale nullo è nullo (se non investo niente,

non otterrò mai un montante)

- F(C, 0) = C per ogni t∈[0,T) il montante al tempo iniziale di un capitale C è C

- se 0 ≤ C1 ≤ C2 allora F(C₁, t) ≤ F(C₂, t), ovvero a parità di durata (e ovviamente a parità di tasso

d’interesse) a capitale maggiore corrisponde montante maggiore

- se t₁ < t₂ allora F(C, t₁) ≤ F(C, t₂) a parità di capitale investito, il montante ad un’epoca successiva è

non inferiore al montante a un’epoca precedente

- F(C,t) = C • F(1, t) a parità di durata d’impiego, il montante è direttamente proporzionale al capitale

impiegato

quindi se C=1 si ha che F(1,t) = f(t) (x capitale unitario)

La funzione f(t) si chiama fattore di montante e rappresenta il montante al tempo t di un capitale

iniziale unitario.

FATTORE DI MONTANTE Htt

Dai sei postulati su F(C, t) si ricava che il fattore di montante f(t) gode delle seguenti proprietà:

- f(t) è definita t∈[0,T)

∀

- f(0) = 1

- la funzione è non decrescente ovvero se t₁ < t₂ allora f(t₁) ≤ f(t₂);

se la funzione è derivabile allora la condizione è f’(t) ≥ 0

MONTANTE

Si c onclude che il montante al tempo t è dato da M(t) = C • f(t)

Esempi

1. Stabilire se f(t) è un fattore di montante

f te

V-teto.tt

fltt definita

Proprietà

AH -1

: -

- Hotel

- ftp.ottteto.tt

fitte

- e-

2. Stabilire per quali valori del parametro la funzione è un fattore di montante

α

" ttte-o.tt

fltt definita

Htt proprietà

itali : -

- Hotel

- ftp.taaftt-t-dft " #

'

- solo a

70 se 0

see >

e

-

13

'

3. Verificato che f(t) = 1 + è un fattore di montante per > 0, calcolare il montante di 6000€

αt α

impiegato oggi per 3 anni, con α = 2. "

Attentati

verifico che f è fattore di montante, applico M(t) = C f(t)

investo oggi capitale di 6000, voglio sapere quanti soldi avrò fra 3 anni ii.

i

i

M(3) = 6000•f(3) = 6000 (1+2•3 ) = 6000•(3,8844) = 23.306, 99 euro

"

3 M

6000

INTERESSE

I(t) = M(t) - C = Cf(t) - C = C(f(t) - 1)

e per quanto detto precedentemente a proposito dello sconto D = S = C - Va la relazione con

l’interesse ora diventa: I(t) = D(t) = C(f(t) - 1)

TASSO D’INTERESSE E TASSO DI SCONTO

Dalle relazioni precedenti ricaviamo che l’interesse e lo sconto sono in relazione rispettivamente con

il capitale iniziale e con il montante, in modo da ottenere rispettivamente il tasso d’interesse

(rapidità di crescita del capitale nel tempo) e di sconto (rapidità di decrescita del capitale nel tempo)

È ¥ htt

htt

tefltt

tasso di interesse Htt -1

i -

-

- -

-

(annuo) Mltkcfltt

MÈ htt

et ditti

tasso di sconto ditta -

(annuo)

Se la durata è unitaria, ovvero t = 1 si ha

TASSO UNITARIO D’INTERESSE TASSO UNITARIO DI SCONTO

dedht-t.FI

intatti

⇐ -1

PERIODICITÀ DEL TASSO

Se K è il numero di periodi di uguale ampiezza nei quali viene suddiviso l’anno, allora si ha:

se k=12 il tasso è mensile, l’unità di tempo è il mese e il tasso si indica con i₁₂ ;

se k=4 il tasso è trimestrale, l’unità di tempo è il trimestre e il tasso di indica con i₄ ;

se k=2 il tasso è semestrale, l’unità di tempo è il semestre e il tasso di indica con i₂ ;

se k=6 il tasso è bimestrale, l’unità di tempo è il bimestre e il tasso di indica con i₆ .

Esempio 1 13

'

f(t) = 1 + t è un fattore di montante. Qual è il significato finanziario del parametro

α α.

f(t) è fatt di montante per ogni > 0, per t=1 si ha: f(1) = 1 + da cui = f(1) - 1 tasso unitario

α α α di interesse

Esempio 2 Htt

Cercare tasso unitario di interesse del fattore di montante

-7-1=0,5

)

illlefll le

-

Esempio 3

Un investitore acquista un titolo (a cedola nulla) al prezzo 4566 € e lo rivende dopo 7 mesi a 4873 €.

Calcolare, trascurando gravami fiscali e costi di transazione, relativamente al periodo di durata

dell’operazione il tasso d’interesse e il tasso di sconto. presi

O 7-

È 45166

iltte -0,067236 4873

È

ditte -0,0630

REGIMI FINANZIARI DI CAPITALIZZAZIONE

Un’operazione finanziaria nella quale si ha il differimento di una somma monetaria immediata si dice

capitalizzazione.

Della capitalizzazione si analizza l’andamento del montante nel corso del tempo, il tempo è la

variabile indipendente, essendo noti il capitale iniziale e il tasso unitario d’interesse.

Un regime di capitalizzazione è descritto dal fattore di montante f(t)

Si studiano in particolare tre famiglie di funzioni:

- funzioni affini, funzioni in cui f(t) = 1 + ht con h>0 : descrivono regime di capitalizzazione semplice;

ht

- funzioni esponenziali, in cui f(t)= e con h>0 : descrivono regime di capitalizzazione composta;

*

- funzioni iperboliche, in cui f(t)= con h>0 : descrivono regime di capitalizzazione anticipata.

.

Htt t criticità: funzione ammette asintoto verticale

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE A INTERESSE SEMPLICE

Caratteristiche:

- fattore di montante f(t) è una funzione affine del tipo f(t) = 1+ht h>0

- l’interesse maturato al tempo t è direttamente proporzionale al capitale iniziale e al tempo

trascorso, il fattore di proporzionalità è proprio il tasso d’interesse Mltkcthitt

Da cui si ricava che I(t) = Cit e allora M(t) = C + I(t) = C + Cit = C(1 + it)

I(t) = Cit rappresenta una retta passante per l’origine

M(t) = C + Cit = C(1 + it) è la retta parallela a I(t) ( •

Iltkcit

Dalla relazione M(t) = C(1 + it) si ricava che nel regime a interesse semplice il fattore di montante è:

fitte Itit

il cui grafico è una retta di coefficiente angolare i (finanziariamente caratterizza la velocità di

crescita del capitale unitario impiegato) e intersezione con l’asse y = f(t) per t=0 y = f(0) = 1

FORMULE INVERSE

- noti M, i, t, come si trova C? - noti M, i, C, come si trova t?

M f- FÈ

Itit t

( -

= - -

Itit

Esempio 1

Si determini il tasso di interesse semplice per il quale:

a) il montante fra un anno di Euro 2000 sia Euro 2110;

b) il montante fra 10 mesi di Euro 72.000 sia Euro 74.000.

a) C = 2000, M(1) = 2110, t = 1 anno

=2"%¥ 2%0-0,055=5,51 oppure IIH

l' cit

-

= . l' 0,055=5,51

= '

= = .

b) C = 72.000, M = 74400, t = 10 mesi tifi

Htt 74.400=72.00011

MHKC →

- È }!Ì (periodale)

la

74.400-72.000=72.000

-0,04=4%2

-

Esempio 2

Quanto tempo occorre, considerando il regime di capitalizzazione semplice al tasso del 20%,

affinché un importo raddoppi?

# cffltt #

Itto t esami

-

,

Esempio 3

Ho investito 5000 € e alla scadenza ho prelevato 6300 €. Trovare la durata dell’investimento

sapendo che il contratto ha fissato un tasso annuo i=0,025 in regime semplice.

6300=5000/1+0,0254 -1/0,01-25=10,4

¥ 6300

5000

te

-0,025T

-1 - →

t = 10 anni e 4 mesi (0,4 • 12) = 4,8 [4 mesi]

esprimere unità di misura di t ! (0,8 • 30) = 24 giorni

Esempio 4 t

Tizio ha concesso i seguenti prestiti: - .

- due anni fa la somma di 800 € M

1564,50

-600

-800 -

- 1 anno e 3 mesi fa 600 €

Sapendo che oggi riceve 1564,50 , a quale tasso di interesse annuo è stato concesso il secondo

prestito sapendo che il primo è stato concesso al 7%?

-10047072176001117177

M

f. 1)

-68%011+0,0141 =¥É

1564,5 " i. 0,0425=0,034

=

-

Esempio 5

Calcolare quale capitale impiegato ad interesse semplice al tasso annuo del 6,8% per 2 anni e 3

mesi, produce un interesse di 81090 €. Il tasso di riferimento è annuo, quindi la

ceffo durata va espressa in funzione dei 12 mesi

.fi??#--

cit

E- 530.000

- dell’anno: 2 anni e 3 mesi corrispondono a

2 (anni) + 3/12 (2 anni e 3 mesi su 12) da cui

2 + 3/12 = 27/12.

Esempio 6

Ho capitale di 5000 euro, dopo 18 mesi ottengo montante pari a 7/8 del capitale. Calcolare i.

7

7 →

(ha senso perché da postulati montante)

Me -6C "

T

ÈOOIHIFI f- ttf falliti

f-

f- RIASSUNTO

DURATA INTERA E FRAZIONARIA

Il tempo va misurato nella stessa unità in cui è espresso il tasso unitario di interesse.

La durata di un’operazione può essere espressa in mesi, giorni e anni.

Conclusioni:

- Se il capitale C è impiegato per m con m < 12, allora I = C • i • m/12.

- Se il capitale C è impiegato per g giorni con g < 30 (mese commerciale), allora I = C • i • g/365.

(365 numero di gg dell’anno civile, 360 numero di gg dell’anno commerciale, ovvero 12 • 30)

Generalizzando: È

#

f-

Se t è una qualsiasi durata espressa in anni (a), mesi (m) e giorni (g) allora at

Esempio 1

Calcolare il montante ad int. semplice di un capitale C = 800€ al tasso i = 6,20% per 1 anno e 4 mesi.

¥ 800/11-0,062%1=866,133

f- Me

Esempio 2

Tizio ha impiegato una certa somma per 2 anni e 8 mesi in regime semplice al tasso i = 6%.

L’interesse maturato supera di 500€ l’interesse prodotto da 3/5 della stessa somma impiegata per 3

anni e 4 mesi allo stesso interesse semplice (I₁ = I₂ + 500), determinare l’importo delle due somme.

È

Ztfz #

ti In it C-

c- 0,06

-

- -

-

tz-3-f-ozh-EC-i.ta-fc.o.oo.fi

#

ha la #

¥0,06

filze :C

-1500 -0,06

500 Ce

- Ge

-500

500 00

. - -

. # 500=7500

G. =

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE A TASSI VARIABILI NEL TEMPO

Consideriamo:

i₁ tasso d’interesse applicato nel periodo da 0 a t₁ ;

i₂ tasso applicato nel periodo da t a t₂ .

I = C i t I₁ = interesse prodotto nel periodo (0, t₁)

I₁ = Ci₁t₁ e I₂ = Ci₂(t₂ - t₁) I₂ = interesse prodotto nel periodo (t₁, t₂)

Il montante in t₂ sarà dato da (con t₂=t) : M è direttamente proporzionale a C è alla durata t

Clttiittttidtitdl

M -

Esempio

Ho un capitale C = 3000€, lo investo al tasso trimestrale i₄ = 1,5% per il primo trimestre e poi per

i successivi 3 trimestri il tasso passa a i₄ = 1,6%, quanto vale il montante?

) )

Mld 300011 3189€

-11-0,015+3-0,016 -

-

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE A INTERESSE COMPOSTO

PER TEMPI INTERI

Al termine di ogni periodo, il capitale impiegato incorpora gli interessi maturati, in modo che anche

questi ultimi producano interessi nei periodi seguenti.

per t = 1 : M(1) = C + Ci = C(1 + i)

per t = 2 : M(2) = M(1) + iM(1) = M(1) (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)²

Ripetendo il procedimento fino all’n-esimo periodo : M(n) = M(n - 1) + iM(n - 1) = C (1 + i)ⁿ

relazione esponenziale

M(0) = C

M(1) = C (1 + i) "

Clift CIHIKHH

( )

MINI Cltti

-

lo assumo a t₂ come nuovo capitale da reinvestire

M(2) = C (1 + i) (1 + i) I(n) = M(n) - C = C (1 + i) - C = C [(1 + i)ⁿ - 1]

M(3) = C (1 + i)²(1 + i) ⁿ

↳ Infettati ?

Esempio 1

Calcolare il montante ad interesse composto di un capitale C = 340€ al tasso i = 6,15% per 10 anni.

M(10) = 340 • (1 + 0,0615)¹º = 617,56

Esempio 2

Ho un capitale C = 3000€, lo investo al tasso trimestrale i₄ = 1,3% per 6 mesi, calcolare il

montante e l’interesse I alla scadenza.

M(2) = 3000 • (1 + 0,013)²

I(2) = 3000 • [(1 + 0,013)² - 1]

CONFRONTO TRA REGIME SEMPLICE E REGIME COMPOSTO

NE

Ero R.cl

?

s?WttntE=chtiH

t = 1 montanti sono uguali

^

t > 1 crescita di M molto più veloce in R.C.

0 < t < 1 rett di M in R.S. è sempre sopra a R.C.

( NELL’ANNO CRESCITA È PIÙ VANTAGGIOSA

t DI QUELLA ESPONENZIALE

PER TEMPI NON INTERI

CONVENZIONE ESPONENZIALE

- -

Esempio

Calcolare il montante di C = 1440€ al tasso i = 6% per 2 anni e 3 mesi (t = 27/12)

[Essendo il tasso i annuo, bisogna sempre esprimere il tempo in funzione delle frazioni dell’anno]

" "

" "

cttillltil

1440111-0,061

MAI 1596,123€ -

-

-

CONVENZIONE LINEARE ÷

-

Se t = n+f allora nella convenzione lineare

si sceglie di utilizzare il regime semplice

per le frazioni dell’anno (1 + if) - 1]

Nei tempi non interi si verifica Per frazioni di anno, a parità di

tasso, crescita lineare è maggiore

+ della crescita esponenziale

SCRIVERLO

POSSO

COME :

etlnlltil

lfltkehthso )

Esempio 1

Ho un capitale C = 3000€ al tasso i₄ = 1,3%, lo investo per 7 mesi, calcolare il montante e l’interesse

nelle due convenzioni. (rif: trimestre) }

t' lt

300041-0,01312/1+70,013

1) Convenzione lineare )

MH ) 3091,847€

-

- 300041-0,013/41+70,013 1)

)

It ) 91,847€

> e-

- -

2¥

2) Convenzione esponenziale MIT )

) 3000/11-0,013 3091,847€

- e-

!

300041-0,0131 1)

"

It ) 91,847€

- e-

-

A parità di tasso e di tempo, il montante calcolato in convenzione lineare è maggiore di quello

calcolato in convenzione esponenziale per durate non intere.

Esempio 2: C = 3000€, i = 1,3%, calcolare montante dopo 2 anni e 3 mesi nelle due convenzioni.

300041-0,01312/1+720,013 ) conv. lineare

MIT )

1) 3088,51214€

-

- " conv. esponenziale

MIT )

) 3000/11-0,013

2) 3088,51214€

-

E se il tasso è trimestrale?

Esempio: C = 3000€, i₄ = 1,3%, calcolare il montante dopo 2 anni e 1 mese nelle due convenzioni.

(in 2 anni: 8 trimestri)

300041-0,01318/1+130,013 ) conv. lineare

MIT )

1) 3340,9862€

-

- 3000/11-0,0138

MIT conv. esponenziale

)

2) 3340,9862€

- I

(o forza istantanea di interesse)

\ ha dimensione di un tempo alla -1

TASSI EQUIVALENTI

Due tassi d’interesse si dicono equivalenti se producono, ad una data futura t e a parità di capitale

impiegato, lo stesso montante, ovvero gli stessi interessi.

Qual è la relazione fra il tasso annuo in capitalizzazione semplice e il tasso annuo in

capitalizzazione composta? lltldt

mttt-clltis-tt-cllt.it l

-

.

t-ht.it/ls-t

Itis

noto uno dei due tassi ricavo l’altro - Htt -1

⇐

RELAZIONE TRA TASSI EQUIVALENTI IN REGIME SEMPLICE

Sia i il tasso annuo e i il tasso espresso in 1/k frazioni di anno (es. per un tasso semestrale sarà k=2)

K tkekt

Una durata di capitalizzazione pari a t anni corrisponderà a periodi

mltt-cllti-tteclltikkttiek.lk

da cui

Esempio

mttt-clltitkcllthtd.me/1titt=l1tiKktt con t = 5, t₂ = 10 semestri

Se k=2, in 5 anni ci sono 10 semestri, da cui

. da questa relazione si ottiene che i = 2i₂ )

!

IIII

anni 6 semestri

↳ ↳ s