Matematica finanziaria

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RRi 124Rz }EsempioUna rendita è costituita da 3 rate annue posticipate di importo R = 100 €, poi altre 3 rate di importo doppio. Valutare la rendita nei tre regimi al tempo t = 0 al tasso i= 3%. È .100 200200200100100 -11001170,03/-7200111-0,03/-4 -1200111-0,03/-72001170,03/-6-100111-0,03/7100111-0,03 "))VIOR.C. raccolgo 100 e 200GHKTÉR.S. )) -1200ft t' ItatattoViolenti 'gltt-1-dtd-fff-o.NUR.A. f- 0,03-100.41 -1200.41-0,01284/+11-0,01285141) )-0,0128/+11-0,01282141-0,012831 -0,012861NOISe sono periodiche allora gli assi dei tempi si presentano come segue:tiÈ PosticipataAnticipata (1^ rata la pago a fine periodo)(1^ rata la pago a inizio periodo)E si nota agevolmente come possono essere considerate una la traslazione dell'altra di un periodo.RichiamiUna progressione geometrica è una successione di numeri tali che il rapporto tra un elemento ed il suo precedente sia sempre costante (tale costante è detta ragione della

successione).progressione geometrica di ragione q

S = a₁ + a₂ + ... + aa₂ = a₁q

n

qS = qa₁ + qa₂ + ... + qaa₃ = a₂q = a₁q²

n

qS - S = (qa₁ + qa₂ + ... + qa + qa ) • (a₁ + a₂ + ... + a )a₄ = a₃q = a₁q³

n

tn

nnn qⁿ - 1S (q-1) = qa - a₁ = a₁qⁿ⁻ⁱq q ≠ 1S = a₁... - a₁I - q - 1-nn na = a = a₁qⁿ⁻ⁱ₋₁q In nRichiamo: somma dei primi n termini di una progressione geometrica

Était !- per q ≠ 1 Iiii an .at. "979797.1=1+9+97 9* ' [Eigen ÉticaÉtait- per |q| < 1En- per q = 1 RCVALORE ATTUALE DI UNA RENDITA PERIODICA POSTICIPATA IMMEDIATA UNITARIA DI nRATE, NEL REGIME A SCONTO COMPOSTO COMPOSTO AL TASSO DI INTERESSE PERIODALE i. .Ì I fftp.V-htittthtitt.ithtitm-hthtitn-1 In1 11 '÷ R'.ir#sekt età←-_ v.- iantietici è la somma di n termini in progressione“a figurato n al tasso i” i geometrica di primo termine (1 + i) ei-^ragione (1 +

Una rendita annua posticipata, composta da quattro termini, del valore attuale di 1000 €, richiede,ad un tasso i = 12%, una rata di 000'Re 329,23== "Il -10,1251-40,12 0,12

Calcolare il valore attuale di una rendita posticipata con R = 900 €, rate annue, durata 17 anni altasso annuo 7,15%Vl0te90OcAo. zige9O t-f5t e8696i3 86Vl0 el68Oa@o.

Data una rendita annua di 10 rate di valore 1680 € al tasso i = 7%, calcolare il valore oggi sapendoche la prima rata sarà versata alla fine dell’annoò--1680 9,617,

VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA PERIODICA ANTICIPATA IMMEDIATA UNITARIA DI n RATE, NELREGIME A SCONTO COMPOSTO COMPOSTO AL TASSO DI INTERESSE PERIODALE i. ""tutt'Vettlttitttlttit ! "µ il p µ p e =Hi )..i IV.1 111 RifiniiD- t è la somma di n termini in“a anticipato rae' htt progressione geometrica di primofigurato n al tasso i” -1termine 1 e ragione (1 +

1. Calcolare il valore attuale di una rendita annua di 10 rate anticipate, R = 1680 e i = 7%.
   I capitalizzo per un periodo per "tornare a 0", t-lttff.tt/-lItaozTT" altrimenti è come se attualizzassi in -1VloteI68Oci@o.oa -1680
2. Il valore attuale, calcolato all'atto in cui scade la prima rata, al tasso annuo del 6,18% di una rendita di 10 rate annue, è uguale a 2634,566€. Qual è il valore della rata R?
   I Viole 2634,566R2634,566 = nooooo 2634,566Ra294.SI t.IE?o%ffoIfIY.oo no, '"Htt' ! !.ooo no ,VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA DI n RATE PERIODICA POSTICIPATA DIFFERITA DI p PERIODI UNITARIA, NEL REGIME A SCONTO COMPOSTO AL TASSO DI INTERESSE PERIODALE iP è "? %" in " tutt'violenti tutti -1 =, .. .1^ 1 t.i-H-h-nf-htit.PTlatitanti"tuit ) - . HA✓- ventilarti-VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA DI n RATE PERIODICA ANTICIPATA DIFFERITA DI p PERIODI UNITARIA, NEL REGIME A SCONTO COMPOSTO AL TASSO DI

INTERESSE PERIODALE iÌ Iftp.ifi?.HtiTP-ntIhtitPfithtiHt...thtiHn- "ViolentiI .^ 11 ?Ventili calcolo V in p, moltiplico per (1 + i)cimi- e poi differisco per p periodi

Esempio: 4 rate, la prima rata la pago fra 3 anni

Considero rata posticipata: Considero rata anticipata:

Iii-ivix."Hole Randall “riporto indietro” di 2 periodi Volerci “riporto indietro” di 3 periodihtt- -3Ray titillati )' , -)HttEsempi1) Calcolare il valore attuale di una rendita posticipata di 10 rate R = 100 euro, differita di 4 anni,al tasso di valutazione annuo i = 7%100%0,0711+0,071-4=535,8256 se anticipata 100%0,0711+0,07111+0,0755VIO) NOI- -2) Calcolare il valore attuale di una rendita semestrale di 10 rate uguali a 100 euro, posticipata evalutata al tasso annuo i = 7% O 5p21 ANNIl'I 1l ,lllEttol' NOI-1=0,0344 -1009 '' '702,3581 R RRR RRR Rof3) Calcolare la rata R di una rendita trimestrale anticipata, durata 5 anni al tasso i = 5% e di

valoreattuale 8000 euro O 51 lI l ll 'lv' titillatihttIa ) RRI RR R- - in8000#20 trimestri 8000 aztiia .R ' )f- "Ittici IttitiSINTESI1) Valore attuale di una rendita periodica di n rate RamivideÈcostanti R, immediata e posticipata, valutata al tasso i R R2) Valore attuale di una rendita periodica di n rate è volerciÈcostanti R, immediata e anticipata, valutata al tasso i RRVALORE ATTUALE DI UNA RENDITA POSTICIPATA PERPETUA UNITARIA, NEL REGIME A SCONTOCOMPOSTO AL TASSO DI INTERESSE PERIODALE iaqi-fv-l.FRY" =paoiiefimamiefimChe vale se e soltanto se |v| < 1, senz'altro vero per valori positivi del tasso di interesse.EsempioCalcolare il valore attuale di una rendita posticipata perpetua di rata R = 1000 € valutata altasso i = 2% UefaViola 50.000€-VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA ANTICIPATA PERPETUA UNITARIA, NEL REGIME A SCONTOCOMPOSTO AL TASSO DI INTERESSE PERIODALE imietitura cioefatticinefile )ti#✓ Hit=VALORE ATTUALE DI

UNA RENDITA PERIODICA POSTICIPATA UNITARIA IMMEDIATA DI N RATE IN REGIME DI SCONTO SEMPLICE AL TASSO DI INTERESSE PERIODALE i

VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA PERIODICA ANTICIPATA UNITARIA IMMEDIATA DI N RATE IN REGIME DI SCONTO SEMPLICE AL TASSO DI INTERESSE PERIODALE i

VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA PERIODICA POSTICIPATA UNITARIA IMMEDIATA DI N RATE IN REGIME DI SCONTO COMMERCIALE AL TASSO DI INTERESSE PERIODALE i

VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA PERIODICA ANTICIPATA UNITARIA IMMEDIATA DI N RATE IN REGIME DI SCONTO COMMERCIALE AL TASSO DI INTERESSE PERIODALE i

MONTANTE DI UNA RENDITA PERIODICA POSTICIPATA IMMEDIATA UNITARIA DI N RATE, NEL REGIME DI INTERESSE COMPOSTO AL TASSO DI

INTERESSE ANTICIPATO AL TASSO DI INTERESSE PERIODALE i. .ftp.fttt-T.at D=ÌI I1 1 11 ted# t.i.to#Mel=L =:MONTANTE DI UNA RENDITA PERIODICA ANTICIPATA IMMEDIATA UNITARIA DI n RATE,NEL REGIME A INTERESSE ANTICIPATO AL TASSO DI INTERESSE PERIODALE i.ftp.fttteedt D=Ì It.i #nd=%afd ! k=nY-, ? ltkdI= ! F-d ? k=n-dn'' ' M€ .VALORE ATTUALE IN SCONTO COMMERCIALE E MONTANTE IN INTERESSE SEMPLICEFORMULE CHIUSE PER RENDITE POSTICIPATE. f-ottengoDa dÌIHKH enfant)'MKentht-FORMULE CHIUSE PER RENDITE ANTICIPATE.KDIÉÈDEK!È htÈK " f- DEI% d'ottengoDa en- - -KeohthtEIHkit-ntiEK-n.in#=nf+ifYK=0KaoESEMPICalcolare il valore attuale di una rendita annua perpetua con rata costante di euro 560,considerando sia il caso di rata anticipata che quello di rata posticipata, nel regime composto altasso annuo di interesse del 7%.¥ ¥¥ -0%+560=8560 ÈVposVani liti ) Re E8000€+e = =e =Una rendita perpetua con rata