Matematica finanziaria 4 Pari A

Determinazione e diversificazione dei portafogli

Calcolo del portafoglio efficiente

MP = k + αβ_p² → (CURVA)0,11 = k + α · 0,12² 2αβ_p = 0,5 determinata ausiliaria determinata settori k = 0,08 α = 2,0833 0/R

MP = K + αβP² → (CURVA) {0,11 = K + α · 0,12² 2αβP = 0,5 determinata eliminata elevata rotaz} {K = 0,08 α = 2,0833} 30/R

Investimenti e diversificazione

Altro investitore che investe in 2 titoli con diversificazione fissata al 10%; con p = 0,25 quale sarà il p. efficiente1^o Se ε x_A = μ_P - μ₂x₂ = -0,6667 M₁ - μ₂ 0,3333

2. μ ottimo x investitore con una data f(x) di utilità =?

U(B_T, MVP) = M₂ - 2 σ₂ σ_P (α = ) X^* = (M₁ - M₂ + 2 α σ₂ σ₁ + 2 α σ₁ σ_B) / 2 α (σ_A + σ_B) = (0,07 - 0,1 + 2.2.0,05² / 2.2.0,03.0,05) = 2.2.0,03 = 1,5469

Esercizi di calcolo

Mx - 3y = 20 -> E(x - 3y) = 20 E(4y + x) = 0

1) Vale, sotto di (x + y) =? E(4y) + E(x) = 0 4E(y) x E(x) = 0 Mx - 3y = 20 {E(x) - 3E(y) - 20 = 0 {-4E(y) - 3E(y) - 20 = 0 {@ 4E(y) + E(x) = 0 {@ E(x) = -4E(y) {7xE(y) = 20/7 => E(y) = 20/7 {E(x) = -4 . 20/7 => E(x) = 80/7 E(x + y) = 80/7 + 20/7 = 60/7

Titoli e correlazione

5 titoli (A, B, C, D, E) P_M, 2 = TITOLI μ% β% A 6 1 B 7 2 C 7 0 D 9 1 E 10 2.5

• Quali titoli dominano e dominati?

2 normali equivalenti β_x = 7 β_y = 3 β_3y·x = 8

1. Corelazione tra x e y = ? (ρ_x,y = ?)

p_x,y β_3y·x = 8 → β²_3y·x = 8² = 64

V(x + y) = √(V(x) + V(y) + 2Cov(x,y)) → θ_y² + θ_x² - 6Cov(y,x) = 64 β_x,y = 11 p_x,y = 11 / 4.3 = 0,524

Rendimenti attesi

Rendita atteso → Mą 8% = 0,08 β_l 15%: 0,15 μ_f = 3% = 0,03

1. Coeff. retta del titolo, grafico = ?

0,08 - 0,03 / 0,15 = 1 / 3 [ (Mą - μf) / β^l ] MP = 0,03 + 1 / 3 βp inf. 0,03 → INTERCETTA

Verifica di efficienza del portafoglio

Le P_1,2 o λ, il P con rendim. atteso 8% è un P efficiente? P_1,2 = 0,7 M_P = 0,08 (Inoltre trova la σ_P corrispondente.)

M_P = x₁μ₁ + (1-x₁)μ₂

0,08 = x₁0,06 + (1-x₁)0,1 x₁ = 0,5 x₂ = 1-x₁ = 0,5

σ_P = √0,5² 0,1² + 0,5² 0,18² + 2·0,5·(1-0,5)·0,1·0,18·0,7 = √0,0169

[Inoltre verifichiamo se M_P è quello atteso e quello atteso X trovato se è efficiente]

x_λ1²·[μ₁ - r]² + x₂²·[μ₂ - r]² - 2p₁₂·x₁·x₂·[μ₁ - r]·[μ₂ - r] + r²[σ₂² + σ₁² + 2σ₁σ₂] 0,0169 x₁²·0,1² - x₂ 0,0396 + 0,0165 = 0

x_λ1,2 > 0,5 (no vendite 1 e 2 non alle (accettate) rimanda al tit. 2 alla concetto picc.=r è perché sono inefficienti σ_λ è sempre vendere quello costruiamo x₁, x₂ con M_P eff. M_P = 0,5·0,06 + 0,5·0,1 = 0,08 = 8% σ_P = √0,0169

Risolviamo, quindi si azzera la derivata per trovare se MIX: dU/dx₁ = -2α(β₁-β₂)² x₁ + [μ₁-μ₂ + 2αβ₂² 2αβ₁β₂] dU/dx₁ = 0 → x₁^* = (μ₁-μ₂ + 2αβ₂² - 2αβ₁β₂)/(2α(β₁-β₂)²)

Analisi di correlazione

Caso 3 ρ₁,₂ = -λ MP = x₁^*(μ₁-μ₂) + μ₂ JP = x₁^*β₁ + (λ-x₁^*)β₂ MP = x₁(μ₁-μ₂) + μ₂ JP = x₁β₁ + (λ-x₁)β₂ U = (MP)² - α(JP)² = x₁(μ₁-μ₂) + μ₂ - α((x₁β₁ + (λ-x₁)β₂)²

Si svolge come prima e si trova... x₁² : - (β₁ + β₂)²) + x₁(μ₁-μ₂ + 2αβ₂² + 2αβ₁β₂)+ λ - αβ₂² dU/dx₁ = 0 → -2α(β₁+β₂)² x₁ + [μ₁-μ₂ + 2αβ₂² + 2αβ₁β₂] x₁^* = (μ₁-μ₂ + 2αβ₂² + 2αβ₁β₂)/(2α(β₁+β₂)²) x₂^* = λ - x₁^*

Utilità quadratica

UTILITA' QUADRATICA^P_T, ^P_f P = P - α P_P² (α > 0) se P, P se P_P², P per ogni K fissato: P = K + α P_P² α = 1 y = x² + K (retta) Punto di tg = il punto al vertice e attimo

Capitale di allocazione e linea di mercato

CASO 1^o - Titolo rischioso e titolo non rischioso P = P_f + x (P₁ - P_f)_P^P = x_P CAPITAL ALLOCATION LINE = MARKET LINE coeff. angolare: SHARPE RATIO

1. P_P e P in funzione di x₁ P = x₁ (P₁ - P_f) + P_{f P}^P = x₁ P₁

P = (P - α _P² x₁ (P₁ - P_f) + P_f - α x₁²P_P²) parabola concavit

Distribuzione dei rendimenti e correlazione

2 titoli µ_m = 23 (generali) µ_m = 9 (alieni) mol S_G S_A → (prezzo dopo 1 anno) 0,25 20 80,4 21 110,25 25 100,1 18 6

Distribuzione dei rendimenti λ₁ = ^20-23⁄₂₃ = -0,1304   λ₂ = ^8-9⁄₉ = -0,1111

• Mol λ₁ λ₂ 0,25 -0,1304 -0,1111 0,4 -0,0870 0,2222 0,25 0,0840 0,1111 0,1 -0,2174 -0,3333

M_titoli = 0,25(-0,1304) + 0,4(-0,0870) + 0,25(0,0840) + 0,1(-0,2174) = -0,0674 Mol attesa = 0,25(-0,1111) + 0,4(0,2222) + 0,25(0,1111) + 0,1(0,3333) = 0,0556

MP = 0,06 x 0,7143 + 1 - 0,7143) x 0,15 = 0,0857 β² = 0,7143² 0,08² + 0,2859² 0,2² + 2 0,7143 0,2857 - 1 0,08 0,2 = 0 β = 0,14 (ci sono 2 MP e si sceglie col più alto)

MP = { -0,3214 0,14 + 0,0857 (x > 0,7143) 0,3214 0,14 + 0,0857 (x MP = 0,04 (A) (x > 0,7143) netta sopra MP = 0,13 (B) (x 2 portafogli con i ma t inversamente e si tengono: x^*_A = MP - M2 = 0,04 - 0,15 M1 - M2 = 0,06 - 0,15 = 1,2444 netta sotto x^*_B = 0,2 1,45 = 0,13 0,15 (netta sopra) 0,06 - 0,15

VEND. ALLO SCOP. TIT.1... quelle con... P_A12 = 0,4 + λ i₀ x_{M V P} = β² - P_A12 β√δ2 R² + δ₂ - 2 P_A12 β√δ₂ 0,2² -0,7 0,08 0,2 = 0,08² + 0,2² - 2 0,7 0,08 0,2 d₂ = 0,08 - 0,4 0,7 0,2² = d₁ = 0,4 √δ₂ = 0,2 d₂ = 0,08

_A² = (0,176_A² x 0,4 ) + ( - 0,0588² x 0,6 ) -0,0353² = 0,0133² = (0,6250 x 0,3 ) + ( 0 2 x 0,7 ) - 0,1875 ² = 0,0820_F = 0,1153 ₂ = 0,2864

MP = 0,0353 x 0,3 + 0,1875 x 0,7 0,1148²_P = 0,3² x 0,0133 + 0,7² x 0,0820 - 0,0405 _P = 0,2013 0,1765 - 0,0588 0,6250 0,30 x 0,1765 + 0,7 x 0,6250 0,3 x 0,1765 + 0,7 x 0 0,3 x 0,0588 + 0,6250 x 0,7 0,3 x ( - 0,0588 ) + 0,7 x 0 = 0,4 x 0,3 = 0,4 x 0,7 = 0,6 x 0,3 = 0,6 x 0,7

La congiunta ᄍ è il prodotto delle mg parole sono esercizio W = 30.000 (esempio) Alea di mercato S_uni(0) = 5 S_flat(0) = 15 (mese in esame) ω₁, ω₂, ω₃ (3 possibili stati del futuro)

Analisi dei rendimenti e della volatilità

STATI Reni Rflat prob. = ω₁ 16% 5% 1/3 ω₂ 10% 0% ω₃ -20% 10%

➔ Rendi attesi, Volatilità, coeff. di correlazione? Reni_m = ⅓ x 0,16 + ⅓ x 0,1 - ⅓ x 0,2 = 0,02 = 2% Rflat_m = ⅓ x 0,05 + ⅓ x 0,0 + ⅓ x 0,1 = 0,05 = 5%

σ₁² = (0,16 - 0,02)² x ⅓ + (0,1 - 0,02)² x ⅓ + (-0,2 - 0,02)² x ⅓ = 0,024 σ₁ = 0,1545

σ₂² = (0,05 - 0,05)² x ⅓ + (0 - 0,05)² x ⅓ + (0,1 - 0,05)² x ⅓ σ₂ = 0,0408

σ₁₂ = (0,16 - 0,02) x (0,05 - 0,05) x ⅓ + (0,1 - 0,02) x (0 - 0,05) x ⅓ + (-0,2 - 0,02) x (0,1 - 0,05) x ⅓ = -0,005

ρ₁₂ = ^σ₁₂⁄_σ1σ2 = ^-0,005⁄_{(0,1545 x 0,0408)} = -0,777 (correlazione negativa)

Calcoli di media e variazione titoli

μ₁=0,2 μ₂=0,1 p=0,8 - Per quale x₁ la media di p è il 10%? - p = dato superfluo x₁=0,667: SOLUZIONE con altri valori

M₂ = x₁μ₁ + x₂μ₂ = x₁μ₁ + (1-x₁)μ₂ 0,1 = x₁ 0,2 + (1-x₁) 0,1 0,2 x₁ + 0,1 - 0,1x₁ = 0 0,1 x₁ = 0 x₁=0

Analisi del rischio e difesa finanziaria

P=1- 2 titoli μ₁=0,05 σ₁=0,1 μ₂=0,1 σ₂=0,2 - titoli attacco titolo 1 - difensiva finanziaria titolo 1

P=1 (perfetta correlazione +) - luogo più opportunità del x nel 1° anno - titoli 1 e titolo 2.

M₂ = μ₂ - M₁ - 0 P + M₁σ₂ - M₂σ₁ = 0,1-0,05 = 0,07 + 0,05 σ₂ >= 0,1σ₁ + 0,02