Matematica finanziaria 4 Dispari A

Matematica finanziaria parte 2

Richiami di probabilità

Esercizio:

1. Per quale valore di x la variabile aleatoria x: P(x = x_i) ha Var = 4.

-1, 1/2, x, 1/2(¹⁄₅), (³⁄₅)

E [x²] - [E(x)]² = Var(x)

[-1]² λ₁ ⁄ 2 + x² λ₁ ⁄ 2 = (-^{1 + x}⁄2)²

Var(x) = ^{1 + x2} ⁄ 2 - (^{-1 + x}⁄2)² = ^{1 + x2 - 2x}2 + 2x² - λ x² + 2x = x² + 2x + λ

(x + λ)² ⁄ 4 = x² + 2x + λ = λ

6x² + 2x - 15 = 0

x_1,2 = -2λ ± √^{4 + 60} ⁄ 2

x_1,2 = -⁵⁄₃

Esercizio

x ∼ y (2 non carnali)

y² (x): = 9

y² (4) = 4

car.(x+1) /.0/R(y - 3 x) = 0

y² (4) + y² (x) = 4 ⁄ 9 ⁄ 9 ; = 85

√(4 - 3 x) = √85 = 9,2

Richiami di probabilità

Esercizio:

Per quale valore di x, la variabile aleatoria x, il P(x = x₁), ha var = 4.

-1, 1/2, x, 1/2

E(x²) - [E(x)]² = Var(x)

∑x²λ + x₁λ = (-1 + x 2)²(-1)²λ/2 + x²λ/2 = 1 + x²/2

Var(x) = 1 + x²/2 - (1/2 + x/2)² = 1 + x²/2 - (1 + x²/2) = 2 + x² - 2x = x² + 2x + 1 = (x + 1)²

(x + 1)²/4 → x² + 2x + 1 = λ 6 → x² + 2x - 15 = 0

x₁₂ = -2 ± √(4 + 60)/2

x₁₂ = -5/3

Esercizio

x, y (2 non carnali) x e y incorrelate perché ρ²(x) = 9 ρ²(4) = 4

ρ²(4) + ρ²(x) + ρ²(4) + ρ²(4 - 3x) + 2 cov(4 - 3x, x) = 9

2 0, 0.1 0.2, 0.25 0.1, 0.1 0.1, 0.4 0.05, 0.05 = 0,1505 = 0,0825

esercizio 0,28 0,2 P(R=R2), 0.25 0.1 0.1 0.15 0.05 = 0,0435 = 0,0243 = 0,1237

correlazione = 0,01 = -0,01011 = 0,333 0.05

Esercizio

P = -λρ₁₂ = -1

M₁ = 0,05

M₂ = 0,1

σ₁ = 0,1

σ₂ = 0,2

μ_P = 0,5 σ_P + 0

x₁^* = \(\frac{σ₂}{σ₂ - σ₁} M x₂^* - λ

x = λ - 2 = -λ < 0

MP_λ = \(\left\{\begin{array}{l}-0,16 γ σ_P + 0,067\\0,16 γ σ_P + 0,067\\\end{array}\right.\)

P\(\mu\) → x₁ = \(\frac{2}{3}\) x₂ = \(\frac{λ}{3}\)

Per avere M_p=0,029 x₁ e x₂=?

M_p=x₁M₁+x₂M₂

0,029=x×0,02+(1-x)×0,05

0,029=x×0,02+0,05-x×0,05

0,029-0,05=x×0,02-x×0,05

x₁=0,7 x₂=1-0,7=0,3=70% =30%

Quante azioni si acquistano di x₁ e x₂=?

W₁=30.000×0,7=21.000

W₂=30.000×0,3=9.000

n pac. risp. 21.000/5=4.200

n pac. Fiat 9.000/15=600

Esercizio

2 titoli indipendenti

P₁(0)=85 P₂(0)=80

P₁(1)=100 μ = 0,4

P₂(1)=130 μ = 0,3

P₁(1)=80 μ = 0,6

P₂(1)=80 μ = 0,7

x=0,3 → x₂=0,7

Valore atteso, varianza, conclusione=?

M₁=((100-85)×0,4+(80-85)×0,6)/85 rendimento medio titolo=0,0353

M₂=((130-80)×0,3+(80-80)×0,7)/80=0,1875

Esercizio

μ₁ = 6% μ₂ = 15%

β₁ = 8% β₂ = 20%

(= 2 rend. medi di 2 titoli) (= volatilità)

sono ammesse l'errori alle scoperto (P_1,2= -λ)

1. x, 1 - x, P a v.u. = ? Grafica del luogo delle opportunità di P, dove è evidenziata la zona con rendità allo scoperto e non = ?
2. Rend. atteso del P _{P = λ 6%}
3. P_1,2 = 0,4 e riprendi il 1° punto?
4. P_1,2 = 0,2 come punto 2?

MP :M₁ - M₂ β₁ + M₁σ₂ + M₂σ₁────── β₁ + σ₂─────── β₁ + σ₂β₁ + σ₂

M₁ - M₂ β₁ + M₁σ₂ + M₂σ₁ ────── β₁ + ─────── β₁ + σ₂ β₁ + σ₂^{(x > σ₂}───)β₁ + σ₂^(x ───────)β₁ + σ₂

M_P = 0,06 - 0,15 β + 0,06:0,2 + 0,15:0,08────────────────0,08 + 0,2 0,08+0,2

- 0,06 - 0,15 β + 0,06.0,2 + 0,15.0,08 ──────────────── 0,08+0,2 0,08+0,2^{(x > 0,2}──────) 0,08+0,2

M_P-0,3214 β + 0,08570,3214 β + 0,0857 ^{(x > 0,143}────) (^{x )}x* = 0,143

Il P a v.m. si raggiunge con x* = 0,143 fermati se lo metto nell'arco non ottengo O e se lo metto nell'arco sì.

^*MVP = x₁ + (1 - x₁) ₂= 1.2 0.06 + 0.8 0.12 - 0.15 = 0.042

^{2 *MVP} = x² ₁² + x₂² ₂² + 2_1,212 x₁x₂| = 1.2²0.08² + (0.2)²0.2² + 2 0.7 0.08 0.2 = 0.0054²

x₂² ₁² + x₂² ₂² - 2_1,2 x₂² = 0.0054 ^*MVP = √0.0054 = 0.0438

(0,15)(0,06)(0,02) ^*MVP₁(0.08, 0.06) → x₁ = 1 x₂ = 0₂(0.2; 0.15) → x₁ = 0 x₂ = 1_1,2 = 0.2 = 1/1/_0/_90.080.4 > 0.20 = _122²(0.14); x₁ (0.04) (0.0936) x + 0.04(x₁ = 4,5(x₂ → 0.5= 0.34 x_2α → 0.66_α = 1.5 0.06 + 0.5 0.15 = 0.015 = 0.34 0.06 + 0.66 0.15 = 0.11

β₁₂ = E(n₁, n₂) - M₁M₂ = 0,25 * [-0,1304 (-0,1114) + 0,4 (-0,0870) (0,2222) + 0,25 (0,0870) (0,1111) + 0,1 (0,1211) (-0,3333)] = (-0,1064) - (0,0556) = 0,0933

Investo 2.000 nel 1° e 5.000 nel 2° titolo, 2.000 → generali 5.000 → allievi π_atteso?

X₁ \ \ x₂=λ−x₁ 2.000 = \u03322 \u0332\u0332 / 5.000 = \u0332\u0332 5 \u0332 /1.000 / 1.000 7 7 π₂= x₁ μ₁ + (1-x₁) μ₂ = \u0332\u0332 \u0332 2 \u0332 (−0,0674 + 5 0,0556 = 0,0205 7x¼n = xıιμ_R

Si  vuole  avere  il  valore  atteso  del  3%,  x₁  e  x₂?

0,03 = x₁ − 0,0674 / (1 − x₁) 0,0556

x₁ = 0,2081 (generali)

1-x₁ = x₂=1−0,2081=0,7919 (allievi)

Quante  euro  deve  investire  in  allievi,  fermo  2.000 investiti?

2.000 = \u03320,2081 → x=7.609,38 (quantità 2.000 + x / 2.000 x / della investirex inilliwissume)

2.000, 5.000 → 0,0205(μ₂)_R - 2.000, - 9 → 0,03 (MP)

Si vuole massimizzare la funzione di utilità rispetto a x₁

Definiamo in un primo passo per la derivata seconda.

Il MU_x prende e si fa pari solo:

∂U_x / ∂x₁ = -2aβ₂x₁ + (μ₁-μ_F)

∂U / ∂x₁ = 0{x₁^* = [Μ_λ - μ_F (É la composizione del portafoglio ottimo, e la circolina utilità massima)] / 2aβ₂²}

x₂^* = λ - x₁^*

μ_P = x₁^* (μ₁ - μ_F) + μ_F

β_p = x₁^* β₂ (coordinato con il portafoglio ottimo nel processo media-varianza)

C ASO 2º

β_1,2 = 1

MP = x₁(μ₁ - μ₂) + μ₂

β_P = x₂ (1-x₁)β₂

U = (μ_P-αβ_P²) x₁(μ₁ - μ₂) + μ₂ - α(x₁β₂ + (1-x₁)β₂)² = x₁(μ₁ - μ₂) + μ₂ - α( x₁²β₂² + (λ - x₁)²β₂² + (1-x₁)β₂ x₁)² = x₁(μ₁ - μ₂) + μ₂ - α{ (x₁²)&beta₂² + (λ² - 2x₁)β₂² + 2x₁x₂ β₂ λ² β₂² = x₁(μ₁ - μ₂) + μ₂ - α{x₁² β₂² + 2λx₁x₂ β₂ λ²(1-x₁)b₂² 2x₁x₂ λ&alpha } - 2a x¹ x²

a (x_β λ/x_β λ)1-x²(-αβ₂² + αβ₂² - α&alpha2 + 1_μ - μ= x₁(-α(β₁ - β₂)²) x₁[(μ₁-(μsub)+ 2aβ₂² - 2a&alphaμ_p = x_A*μ_A + (1-x_A)μ_Bσ_p = [x_A*σ_A + (1-x_A)*σ_B]0.5

Esercizio

2 titoli rischiosi μ_A = 0,6 μ_B = 0,1

β_A = 0,1 β_B = 0,18

sono ammesse le rendite alle coperto

Qual è il P_A1,2 che permette il portafoglio si P_MVL ma con x_A del 10%? 90%-->* P_MVP x_A* x_A* P = 0,1

σ_p² = P_A1,2σ_Aσ_Bβ_A² + β_B² - 2P_A1,2β_Aβ_B

0,18²=0,1·0,1·0,180,1² + 0,18² - 2P_A1,2·0,1·0,18

P_A1,2 = 1,9 (P_MVL conosco x_A=0,1 [Stesso esercizio con x_A=90%;50%;P_1,2=0,4] se P_A1,2=0,4; P_MVP e luogo opportunità?

μ_p = 0,06·0,9+0,1·0,1=0,064

β_p = [0,09²+0,1²+0,09²+0,18²+2·0,9·(1-0,9·0,1·0,180,14-0,0986

z_t = -γ_Ritene il punto 2) con p₁,2=1?

p₁,2=M_P=^M₂-M₁/_δ2-δ1Δp + ^{Mδ₂-M₂δ₁}/_δ2-δ1=0,5 Δ p +0,01

x_λ^*=^δ₂-δ₂/_δ2-δλ

x_λ^*=^{0,04 -0,λ}/_0,06-0,λ=2,25

x₂^*=-1,25(vedi cità delle acque)

Δ P=0

P_MVP(0.0,0.4)(M_A)(M_P)M_P(03)M_RkJ_PxJ_AK=0,03930,0556J_A21/R2) 20g. !o. 12 rendi attendo…

M=MP-3J²P    (a=3), attimo?

M_p=¹⁄₃  0.12+0.03=0.07

M=MP-3J²P

x^*= M_i-M_f⁄2aJ²f=0,08-0,03 ⁄ 2.3∙0,15² = 0,3704

x²=0,6296

M_P= 0.3704. + 0,08+0,6296⋅0,03=0,0485

J^*_P= x^*J_A=0,3404.0,15=0,0556

M_x= K+aJ²R= K+3J²R0,0485=K+3⋅0,0556²K=0,0393

Conclusion

A e B non saranno mai scelti e C, D, E sono efficienti

∗ è dominata da C e D ∗ non domina niente

B è dominata da C e D B non domina niente

E non si può dire niente

C domina ∗ e B e non è dominato da niente

D domina ∗ e B e non è dominato

E non domina e non è dominato

2) Se si muovono C e D o D e E come 2 portafogli con ρ₁₂ = 1 2σ = 0,045 lungo delle opportunità di P: se 1,5 punto e andrà attorno e sarà efficiente

_{(C ≈ risolvo (μ = 7, θ1 = 0)) E ≈ (0,025, 0,1) (D) (M) (D ≈ non risolvo (μ=9百分号, θ1=1百分号))}

μA – μB = 0,09 - 0,07

^{σ2 - σ1} σ1 0,01 _{2 σP} μ̅P = 2 σP + 0,072 0,07 μP = μ2 - μA + μA σ2 - μ2 σ1

_{σ2 - σ1} = 0,0667 2P + 0,0833 = μP(D e E) MP ≈ 2 0,045 + 0,09 = 0,1 MP ≈ 0,0667 0,15 + 0,0833

E è efficiente muovendo in C e D perché lì ci sono un cambiamento avverso e alto e elegano la punta in su provando:

XD = ^{0,1-0,07 0,15} (VA 5)_0,09-0,07[x^* è "negativo" mal dine che il titolo è venduto allo scoperto.

M_P=-0,5469 | 0,07-0,1\ +0,1\ λ=0,1164 ρ_P =-|-0,5469\+0,03-(\λ\+0,5469)\,00,05=|0,0938|=0,0938

3) Trovare la funzione di preferenza di un investitore se un ottimo e un altro punto noto nel titolo 2.9

μ=0,0906+3,45β₂

μ=K+\alpha \ β₂² → K=livelo di utilità costont

P₂\(0,05;0,1\)M_P=+0,3750β\+0,0813

sezione della retta sezione della curvadelinata =0,3450eliminata =2αβ

α=3,45K=0,0906U\(ρ_i;M_P\)=M_P-3,45β₂

1) passaggio dal punto dato

2) tangente alla retta nel punto dato

2 condizioni da soddisfere

4) Con P_1,2 fiavolavoro, rifane tutto il procedimento!

P_1,2=0,2x_j^*=β₂²-P_A1,2\λβ₂=0,7X^20,3L'altro valore comporta rendita allo scoperto del titolo 1, perché è 1,0667

M = x1μ1 + x2μ2 → 1,0667μ = x1μ1 + x2μ2 → 0,333

Se ti chiede se il P è efficiente, basta guardare nel grafico se il prive di rischio permette di calcolare line il P. efficiente o delle soluzioni.

Esercizio

μ σSCHWELL 11% 12%

AKTLONEN 9% 8%

RIFFL 7% 8,5%

BUNO 1% 0%

TITOLO PRIVO DI RISCHIO

1. Quale titolo domina e quale è dominato?

S non domina e non è dominato

A domina R

B non domina e non è dominato

2. Investitore ha un portafogli, investe in S, A, B. M P, σP=?

w S = 700.000 €

w A = 300.000 €

w B = 1.000.000 €

w = 2.000.000

ρ = -0,25

x S = 700.000 / 2.000.000 = 0,35

x A = 300.000 / 2.000.000 = 0,15

x B = 1.000.000 / 2.000.000 = 0,5

MP = 0,35 x 0,11 + 0,15 x 0,09 + 0,5 x 0,01 = 0,057

σp² = 0,35² x 0,12² + 0,15² x 0,08² + 2(-0,25) 0,12 0,080,35 0,15 = 0,001 656