Matematica finanziaria 3 Pari A

ESERCIZIO (AMMORTAMENTI)

• Tipo francese:

In rate costanti posticipate

V₀ = R × am_i

X = R × am_i ⇒ R = ^X/_ami

• R_t = C_t + I_t
• I_t = i × D_t-1
• C_t = R_t − I_t
• D_t = D_t-1 − C_t

All'↑t I_t↓ e C_t↑

• Tipo tedesco:

R costanti ma I_t anticipati C_t posticipati

• R = ^X/_ami
• I₀ = i · X
• a1 = ¹/_(1+i)
• C_t = R − I_t
• D_t = [D_t-1 − R_t] × (1+i_i)

ESERCIZIO (AMMORTAMENTI)

• Tipo francese:

V₀ = R x a_mi

X = R x a_mi

R = C_t + I_t

I_t = i x D_t-1

C_t = R_t - I_t

• All’↑ t ↑ I_t ↓ e C_t ↑
• Tipo tedesco:

R costanti ma S_t anticipati C_t posticipati

R = X / a_mi

I₀ = i . X

C_t = R - I_t

D_t = [D_t-1 - R] x (1+i)

[RTC]

(λ(t) = [λ + λ∗],

δ(t) = d/dt log  [λ_t + i] —> log  [λ_t + i

(nel RTC la δ(t) è costante perchè non dipende da t)

NUOVO FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE

η(t) = exp (∫₀^t δ(a) da)

e^x = exp[x]

M = X₀ x exp(∫₀^t δ(a) da)

es. 3 - (parte 1@ Malavasiini)

δ(t) = 2λt + λ/100 (0 < t < 20)

η(t) = e^{∫₀t δ(a) da} = e^{∫₀t [2λa + λ/100] da}

= exp{∫₀^t [2λa + λ/100] da } = exp { [2λ/2]a²  + λ/100 |₀^t}

exp{[2λ/100] [t² - 0] + λ/10 [t - 0]} = exp{ λt²/100 + λt/10 }

λ₀ = ? = C    λ = 20

M = 2 C (dopo quanto tempo?)

M = C . exp(∫₀^t δ(a) da) & exp( λt²/100 + λt/10 ) = 2 C

Δ R / P =?

Δ i = 1%

Δ R / P = DM x Δ i = 0,5468 x 1% = -0,005468 = -0,5468_‰

DM = D / 1 + i = 0,598₆ / 1 + 0,06 = 0,5468

Esercizio

C_netta = n/2 CI (1-T) x VN

[coeff. di moltiplicazione (calibrarellabile)

Tasso interno all'operazione al lordo e al netto?

15/9/03 → 1/12/04

VN . (1 + i)^4,5/12 = C . (1 + i)^8,5/12 + C . (1 + i)^2,5/12 + (CS + diutimi)

[VN capitalizzato] = [C capitalizzato] + [CS + D]

15/9/03 15/3/04 15/9/04 1/12/04 15/3/05

100 (1 + x)^4,5/12 = 0,9 4 I 6^2,4

100 (1 + x)^4,5/12 = 0,9, 4

v₀ = 0,03 f(i) = -5,188553

v_i = 0,01 f(ī) = -0,339805

Se si detiene l'obbligazione per ancora 1 euro e 27 ggallora non ci sono perdite (valutazione fatta al 22/1/14).

DM = ¹/_1+i x D = ¹/_1+0,03 x 1,046₉=1,045₅

(il punteggio piccolocon non terminaal 31/12)

i = 3% → i₁ = 4%

ΔP = -DM x Δi = -1,045₅ x (^4%-3%/_0,01) = -0,014₅ x 100 =-1,045%

Se i tassi ↑ al 1%, il valore dell'obbligazione ↓ 1,045%

P ₁ = P ₀(1 + ^ΔP/_{P 0}) = 103,45 (1 - 0,014₅) = 102,38₉

(_99,5(_99,9

Esercizio (OBBLIGAZIONI), 29/08/2014, es. 2 Rossi

• 1/4/2010 titolo emesso scadenza 1/4/2015
• VN = 100 (F) δ(1) = 4%(cedolatrimestrale)
• VR = 101r = 12,5%

→ Prezzo del quale 29/08/2014 con tasso divalutazione 6%?

C = VN x ^δ(1)/₄ = 100 x 0,04/₄ = 1 x (1 - 0,125) = 0,3₇₅(netto)

VR = 10₁ - r (VR-VN) = 101 - 0,1₂₅(101-100) = 100,8₇₅(netto)

fii = -Vo/R + α₁₂i_ii/λ₂

= -Vo/R + 1-(λ+ιi_ii/λ₂)-i₃

i_ii/λ₂

Esercizio (OBBLIGAZIONI) [Simulazione Rossi] [22|11|14 es. 2]

• emissione 1|3|11 VU=100
• cedola semestrale n=5%
• stata di codalexa 1|3|15
• rivalore VR=101 n=3%
• intenta fiscale T=20%

1ra (=presso tulle quel) 22|11|14, n=3%?

• 1|3|11 1|9|11 1|3|12 1|9|12
• 1|3|13 1|9|13 1|3|14 1|9|14 1|3|15

Raccola netta

ε 5% x 100 = 2,5 (cedala teoda)/2

C netta = 2,5 x (1-20%) = 2 (cedala netta)

Valore assato netto

VR=10Λ-ε[VR-Vt] = 10Λ-0,2[10Λ-100]=10[item]80 netto

Λ rane solo mile sfopanza

Es. 1 (Slide Rendite Malvaldiin)

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

V_o = R x åm&titilde;

V_o = R x a[n] i

3 METODI alimenta

V_o = Σⁿ_i=1 R_&akilde; / (1+ån i)ⁿ

[V_o , R_&akilde;] → noti

ALGORITMO ITERATIVO

f(i) = -V_o + Σ R_&akilde; / (1+å i)^{n i}

f’(i) = negativa

se [;], f(i) [;]

i_o = 2 x (n - åR) / åx (n_Λ) å = a[n] i = V_o/R

(V_o = R x a[n] i)

f (i_o) = [ ]

f(i) ≠0 (allege ai ni ferma)

Esercizio (2.2.9)

M=20.000

10 versamenti posticipati annui

dopo 1 notte M=22.000

i=5%

⇒R=R_1,9

M=R×a_{m i}

20.000=R×a_10,10,05

R=

22.000=1590×a_7,90,05:

(1+0,05)³

+R×a_3,90,05

R=2.224,5

RYR

Esercizio (es.)

V₀=200ml (merito ottenuto)

i=0,12

n=60 (mesi)

la 1° rata va resa dopo 5 mesi

R=

Esercizio 2.2 (Ritardante)

M₀ = 4.000n = 9 (anni)i = 0,04

poi i = 0,075(al capo 4 rate)

Rata con sempre lo tasso 4%:

M₀ = R × a_9|0,04

R = 4.000 ÷ a_9|0,04 = 333,946

Rata nel 20 anno?

_n = a₉

4.000 = 333,946 × a_2|0,047 × (1 + i)⁵ +R₁ × a_5|1,5%R₁ = 322,187

Esercizio 2.2.8 (Anticipante)

i = 6%rate annue costanti , n = 16 (anni)

V₀ = 15.000

V₀ = R × a_16|6%15.000 = R × a_16|6% -> R = 1.722,441 (se non si introdurranno)

Esercizio [2.2.6, dispari]

M36= 25.000 m=36 mesi

36 rata mensili anticipate

δ(12) = 10,8%

tasso effettivo

i_m= m^√(1+δ)^m-1

i_m= δ_m

0,108 ≈ 0,009 = 9%

tasso nominale

M_m = R x ä_m^_:

25.000 = R x ä_36\|0,009

R = ^25.000/_ä36\|0,009 = 585,83

Dopo 5 versamenti, quanto vale S?

M₅ = R x ä_5\|9% = 3.000,19

Dopo 1 anno, si modifica a picco, e prelevo 150€

al mese e poi

M₁₂= R x ā_12\|0,009 = 4.155,09

R = 150

FORMULE

M_n = P_o x (1 + i)ⁿ

• Battuta di capitalizzazione in presenza

P_o = M_n x N^-1

• Fattore di attualizzazione in generale

I = M_n - P_o

• Interesse

i: tasso d’interesse

D = M_n - Po

• Sconto

a(t) = D / M_t = M_t - P_o / M_t = 1 - P_o / M_t

• Tasso di sconto

i = a / 1 - a

ROC

M_n = P_o x (1 + i)ⁿ

a(t) = (1 + i)^t

v(t) = (1 + i)^-t

i(t) = a(t) x i / i_t - 1

a(t) = 1 - v(t)

i = tasso annuo effettivo

i = (1 + i_a)^m - 1

a = (1 + i_a) / (1 + i_t)^m - 1

Esercizio 5

Vizio vuole costituire 4.500 € effettuando 9 versamenti (perciò non specifici e posticipati) (carne rate)

i = 1%

M₀ = 4.500

• Se abbrev il V. ella ventale → anni.
• Se abbrev il M_t della ventile → anni.

R = 9

M₀ = R x 2,91%

4.500 = R

2,91%

R = 4.500 = 3A5,7

11,98

M₄ dopo la quarta rata = ?

M₄ = R x 2,91%

M₄ = 3A5,7 x (1+0,04)⁴ = 1.668

0,04

Esercizio 2

Su un fondo @no deportati 13.000 €, cioè V₀.

V₀ = 13.000 i = 12%

R = 500 (nuleti ogni more, posticipato)

• M_t (purtati preleni) → numero m.x x alti rate dei preleno

i/12 x (1 + i/12)¹ x 1 = 0,0095

V₀ = R x m₁.

13.000 = 2,6 = 4lt.M.0095

Esercizio 1

i = 0,125 M₃ = 300

P₀ = ?

RIS

M_t = P₀ x (1 + t x i)

P₀ = ^M_t/_{(1 + t x i)} = ³⁰⁰/_{(1 + 3 x 0,125)} = 218,18

RIC

M_t = P₀ x (1 + i)^t

P₀ = ^M_t/_{(1 + i)^t} = ³⁰⁰/_(1,0,125)³ = 210,70

RSC

M_t = P₀ x (1 + t x d)^-t

P₀ = ^M_t/_{(1 + t x d)^-t} = ³⁰⁰/_{(1 - 3 x 0,111)^-3} = 200,01

d = ⁱ/_{(1 + i)} = 0,111

Esercizio 2

i = 0,1025 M = 100 (tra 2 anni e 6 mesi) = 2,5

P₀ = ?

RSC

P₀ = ^M_t/_{(1 + i)^t} = ¹⁰⁰/_{(1 + 0,1025)^2,5}

P₀ = ¹⁰⁰/_{(1 + t x i)}

{1^a strada

N.B.

2^a strada} = 48,35

{ i = t annuale allora snellals. N.B.: i^e semestrale allora anche i^e semestrale.

Esercizio 6

r₀ = 1002 anni   (λ = 2)μ ζ = 121

RSC, RIC, RTS = ?

[RTS]i = ¹²¹⁄₁₀₀[RTS]i = ¹²¹⁄₁₀₀ - 1 = 0,105$ = ^μ⁄_1+i = 0,09502

[RIC]i = ²√¹²¹⁄₁₀₀ - 1 = 0,10$ = ⁱ⁄_1+i = 0,09091

[RSC]$ = 1 - ¹⁰⁰⁄₁₂₁ = 0,08647i = ^$⁄_1-$ = 0,09501

Esercizio 5

• RIS: M_t=P₀×(1+i×t)
• RIC: M_t=P₀×(1+i)^t
• RSC: P₀=M_t×(1-t×α)

P₀=100 dopo 3 anni investiti 100 lire

m_t M=1,5ut _rt = RIS | RIC | RSC

[RIS]M_t=P₀×(1+m_t×t)t×i=m_t-1 → i= (m_t - 1)/ti=(1,45-1)×(1/3)=0,15α=i/(1+i)=0,15/1,15=0,1304(tasso annuo effettivo trovato in Mt di 1.5 dopo 3 anni nel RIS)

[RIC]M_t=P₀×(1+i)^t(1+i)^t=M_t/P₀(1+i)=³√(1,45/100)i=³√(1,45/100)-1=0,13185α=i/(1+i)=0,13185/1,13185=0,1165(è il migliore dell'RIC, rende gli interessi più mensilmente)