Matematica finanziaria 3 Pari A

Esercizio sugli ammortamenti

Tipo francese

V₀ = R × am_i X = R × am_i ⇒ R = ^X/_ami R_t = C_t + I_t I_t = i × D_t-1 C_t = R_t − I_t D_t = D_t-1 − C_t

All'↑t I_t↓ e C_t↑

Tipo tedesco

R costanti ma I_t anticipati C_t posticipati R = ^X/_ami I₀ = i · X a1 = ¹/_(1+i) C_t = R − I_t D_t = [D_t-1 − R_t] × (1+i_i)

ESERCIZIO (AMMORTAMENTI) Tipo francese:

V₀ = R x a_mi X = R x a_mi R = C_t + I_t I_t = i x D_t-1 C_t = R_t - I_t

All’↑ t ↑ I_t ↓ e C_t ↑

Tipo tedesco

R costanti ma S_t anticipati C_t posticipati R = X / a_mi I₀ = i . X C_t = R - I_t D_t = [D_t-1 - R] x (1+i)

Nuovo fattore di capitalizzazione

η(t) = exp (∫₀^t δ(a) da) e^x = exp[x] M = X₀ x exp(∫₀^t δ(a) da)

es. 3 - (parte 1@ Malavasiini) δ(t) = 2λt + λ/100 (0 η(t) = e^{∫₀t δ(a) da} = e^{∫₀t [2λa + λ/100] da} = exp{∫₀^t [2λa + λ/100] da } = exp { [2λ/2]a²  + λ/100 |₀^t}exp{[2λ/100] [t² - 0] + λ/10 [t - 0]} = exp{ λt²/100 + λt/10 }λ₀ = ? = C    λ = 20M = 2 C (dopo quanto tempo?)M = C . exp(∫₀^t δ(a) da) & exp( λt²/100 + λt/10 ) = 2 C

Δ R / P =? Δ i = 1% Δ R / P = DM x Δ i = 0,5468 x 1% = -0,005468 = -0,5468_‰ DM = D / 1 + i = 0,598₆ / 1 + 0,06 = 0,5468

Esercizio

C_netta = n/2 CI (1-T) x VN[coeff. di moltiplicazione (calibrarellabile)] Tasso interno all'operazione al lordo e al netto?

15/9/03 → 1/12/04 VN . (1 + i)^4,5/12 = C . (1 + i)^8,5/12 + C . (1 + i)^2,5/12 + (CS + diutimi)[VN capitalizzato] = [C capitalizzato] + [CS + D] 15/9/03 15/3/04 15/9/04 1/12/04 15/3/05 100 (1 + x)^4,5/12 = 0,9 4 I 6^2,4 100 (1 + x)^4,5/12 = 0,9, 4 v₀ = 0,03 f(i) = -5,188553 v_i = 0,01 f(ī) = -0,339805 Se si detiene l'obbligazione per ancora 1 euro e 27 gg allora non ci sono perdite (valutazione fatta al 22/1/14). DM = ¹/_1+i x D = ¹/_1+0,03 x 1,046₉=1,045₅(il punteggio piccolo con non termina al 31/12) i = 3% → i₁ = 4% ΔP = -DM x Δi = -1,045₅ x (^4%-3%/_0,01) = -0,014₅ x 100 =-1,045% Se i tassi ↑ al 1%, il valore dell'obbligazione ↓ 1,045% P ₁ = P ₀(1 + ^ΔP/_{P 0}) = 103,45 (1 - 0,014₅) = 102,38₉(_99,5(_99,9)

Esercizio (OBBLIGAZIONI)

29/08/2014, es. 2 Rossi

1/4/2010 titolo emesso scadenza 1/4/2015 VN = 100 (F) δ(1) = 4%(cedolatrimestrale) VR = 101 r = 12,5% → Prezzo del quale 29/08/2014 con tasso divalutazione 6%? C = VN x ^δ(1)/₄ = 100 x 0,04/₄ = 1 x (1 - 0,125) = 0,3₇₅(netto) VR = 10₁ - r (VR-VN) = 101 - 0,1₂₅(101-100) = 100,8₇₅(netto) fii = -Vo/R + α₁₂i_ii/λ₂ = -Vo/R + 1-(λ+ιi_ii/λ₂)-i₃i_ii/λ₂

Esercizio (OBBLIGAZIONI) [Simulazione Rossi]

[22|11|14 es. 2] emissione 1|3|11 VU=100 cedola semestrale n=5% stata di codalexa 1|3|15 rivalore VR=101 n=3% intenta fiscale T=20%

1ra (=presso tulle quel) 22|11|14, n=3%? 1|3|11 1|9|11 1|3|12 1|9|12 1|3|13 1|9|13 1|3|14 1|9|14 1|3|15 Raccola netta ε 5% x 100 = 2,5 (cedala teoda)/2 C netta = 2,5 x (1-20%) = 2 (cedala netta) Valore assato netto VR=10Λ-ε[VR-Vt] = 10Λ-0,2[10Λ-100]=10[item]80 netto Λ rane solo mile sfopanza

Es. 1 (Slide Rendite Malvaldiin)

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

V_o = R x åm&titilde; V_o = R x a[n] i 3 METODI alimenta V_o = Σⁿ_i=1 R_&akilde; / (1+ån i)ⁿ [V_o , R_&akilde;] → noti ALGORITMO ITERATIVO f(i) = -V_o + Σ R_&akilde; / (1+å i)^{n i} f’(i) = negativo se [;], f(i) [;] i_o = 2 x (n - åR) / åx (n_Λ) å = a[n] i = V_o/R (V_o = R x a[n] i) f (i_o) = [ ] f(i) ≠0 (allege ai ni ferma)

Esercizio (2.2.9)

M=20.000 10 versamenti posticipati annui dopo 1 notte M=22.000 i=5%⇒R=R_1,9 M=R×a_{m i} 20.000=R×a_10,10,05 R=22.000=1590×a_7,90,05:(1+0,05)³+R×a_3,90,05 R=2.224,5 RYR

Esercizio (es.)

V₀=200ml (merito ottenuto) i=0,12 n=60 (mesi) la 1° rata va resa dopo 5 mesi R=Esercizio 2.2 (Ritardante) M₀ = 4.000 n = 9 (anni) i = 0,04 poi i = 0,075(al capo 4 rate) Rata con sempre lo tasso 4%: M₀ = R × a_9|0,04 R = 4.000 ÷ a_9|0,04 = 333,946 Rata nel 20 anno?_n = a₉ 4.000 = 333,946 × a_2|0,047 × (1 + i)⁵ +R₁ × a_5|1,5% R₁ = 322,187

Esercizio 2.2.8 (Anticipante)

i = 6% rate annue costanti , n = 16 (anni) V₀ = 15.000 V₀ = R × a_16|6% 15.000 = R × a_16|6% -> R = 1.722,441 (se non si introdurranno)

Esercizio [2.2.6, dispari]

M36= 25.000 m=36 mesi 36 rata mensili anticipate δ(12) = 10,8% tasso effettivo i_m= m^√(1+δ)^m-1 i_m= δ_m0,108 ≈ 0,009 = 9% tasso nominale M_m = R x ä_m^_: 25.000 = R x ä_36\|0,009 R = ^25.000/_ä36\|0,009 = 585,83 Dopo 5 versamenti, quanto vale S? M₅ = R x ä_5\|9% = 3.000,19 Dopo 1 anno, si modifica a picco, e prelevo 150€al mese e poi M₁₂= R x ā_12\|0,009 = 4.155,09 R = 150

Formule

M_n = P_o x (1 + i)ⁿ Battuta di capitalizzazione in presenza P_o = M_n x N^-1 Fattore di attualizzazione in generale I = M_n - P_o Interesse I = M_n - P_o / P_o = M_n / P_o - 1 i: tasso d’interesse D = M_n - Po Sconto a(t) = D / M_t = M_t - P_o / M_t = 1 - P_o / M_t Tasso di sconto i = a / 1 - a ROC M_n = P_o x (1 + i)ⁿ a(t) = (1 + i)^t v(t) = (1 + i)^-t i(t) = a(t) x i / i_t - 1 a(t) = 1 - v(t) i = tasso annuo effettivo i = (1 + i_a)^m - 1 a = (1 + i_a) / (1 + i_t)^m - 1

Esercizio 5

Vizio vuole costituire 4.500 € effettuando 9 versamenti (perciò non specifici e posticipati) (carne rate) i = 1% M₀ = 4.500 Se abbrev il V. ella ventale → anni. Se abbrev il M_t della ventile → anni. R = 9 M₀ = R x 2,91% 4.500 = R2,91% R = 4.500 = 3A5,711,98 M₄ dopo la quarta rata = ? M₄ = R x 2,91% M₄ = 3A5,7 x (1+0,04)⁴ = 1.6680,04

Esercizio 2

Su un fondo @no deportati 13.000 €, cioè V₀. V₀ = 13.000 i = 12% R = 500 (nuleti ogni more, posticipato) M_t (purtati preleni) → numero m.x x alti rate dei prelenoi/12 x (1 + i/12)¹ x 1 = 0,0095 V₀ = R x m₁. 13.000 = 2,6 = 4lt.M.0095

Esercizio 1

i = 0,125 M₃ = 300 P₀ = ? RISM_t = P₀ x (1 + t x i) P₀ = ^M_t/_{(1 + t x i)} = ³⁰⁰/_{(1 + 3 x 0,125)} = 218,18 RICM_t = P₀ x (1 + i)^t P₀ = ^M_t/_{(1 + i)^t} = ³⁰⁰/_(1,0,125)³ = 210,70 RSCM_t = P₀ x (1 + t x d)^-t P₀ = ^M_t/_{(1 + t x d)^-t} = ³⁰⁰/_{(1 - 3 x 0,111)^-3} = 200,01 d = ⁱ/_{(1 + i)} = 0,111

Esercizio 2

i = 0,1025 M = 100 (tra 2 anni e 6 mesi) = 2,5 P₀ = ? RSCP₀ = ^M_t/_{(1 + i)^t} = ¹⁰⁰/_{(1 + 0,1025)^2,5} P₀ = ¹⁰⁰/_{(1 + t x i)} {1^a strada N.B. 2^a strada} = 48,35 {i = t annuale allora snellals. N.B.: i^e semestrale allora anche i^e semestrale. }

Esercizio 6

r₀ = 100 2 anni   (λ = 2) μ ζ = 121 RSC, RIC, RTS = ? [RTS]i = ¹²¹⁄₁₀₀ [RTS]i = ¹²¹⁄₁₀₀ - 1 = 0,105 $ = ^μ⁄_1+i = 0,09502 [RIC]i = ²√¹²¹⁄₁₀₀ - 1 = 0,10 $ = ⁱ⁄_1+i = 0,09091 [RSC]$ = 1 - ¹⁰⁰⁄₁₂₁ = 0,08647 i = ^$⁄_1-$ = 0,09501

Esercizio 5

RIS: M_t=P₀×(1+i×t) RIC: M_t=P₀×(1+i)^t RSC: P₀=M_t×(1-t×α) 3 LEGGI FINANZIARIE P₀=100 dopo 3 anni investiti 100 lire m_t M=1,5 ut _rt = RIS | RIC | RSC [RIS]M_t=P₀×(1+m_t×t) t×i=m_t-1 → i= (m_t - 1)/t i=(1,45-1)×(1/3)=0,15 α=i/(1+i)=0,15/1,15=0,1304 (tasso annuo effettivo trovato in Mt di 1.5 dopo 3 anni nel RIS) [RIC]M_t=P₀×(1+i)^t (1+i)^t=M_t/P₀ (1+i)=³√(1,45/100) i=³√(1,45/100)-1=0,13185 α=i/(1+i)=0,13185/1,13185=0,1165 (è il migliore dell'RIC, rende gli interessi più mensilmente)