Matematica discreta - i binomi

Notiamo che in ogni riga ogni termine (tranne quelli estremi) si ottiene come somma dei 2



   

 



   

3 3

3

4

2 2 

   

 



   

termini che lo sovrastano nella riga superiore: per esempio = + , = +



   

 



   



   

 



   

1 1

2

2 2 2

Ciò dipende dalla seguente formula:

   

 

n - 1 n - 1

n

   

 

= +

   

   

 

  m - 1 m

m

Dimostrazione della formula:

Sviluppiamo il secondo membro, usando la formula alternativa per il calcolo del

coefficiente binomiale:

   

n - 1 n - 1 (n - 1)! (n - 1)! (n - 1)!

(n - 1)!

   

+ = + = +

   

   

m - 1 m (m - 1)!

[(n - 1) - (m - 1)]! m! (n - m - 1)! m! (n - m - 1)!

(m - 1)! (n - m)!

Per calcolare il comune denominatore delle 2 frazioni, è utile osservare che:

(m-1)!m=m!, (n-m-1)!(n-m)=(n-m)!

dunque il comune denominatore è m!(n-m)! e sviluppando i calcoli si ottiene:

  

  

n n

- -

1 1 (n (n

- 1)! - 1)!

m (m

(n - 1)! n

(n -

- m)

m)

  

 + = = =

  



  



m m

- 1 m!

m! (n

(n - -

m)! m)!

 

n

(n - n!

1)! n  

= = = .

 

 

m

m! m! (n

(n -

- m)!

m)!

La formula precedente permette di ricavare i termini di un riga del triangolo di Tartaglia-

Pascal (tranne i 2 estremi che sono sempre uguali ad 1) conoscendo quelli della riga

superiore e sommandoli a 2 a 2. Per esempio dalla conoscenza della riga numero 4:

    

    

4 4 4 4 4

    

    

=1 =4 =6 =4 =1

    

    

    

    

1 3

0 2 4

si possono ricavare subito i termini della riga numero 5:

 

  



  

 



5 5 5

5 5 5

 

  



  

 



=1 =1+4=5 =4+6=10 =6+4=10 =4+1=5 =1

 

  



  

 



 

  



  

 



1

0 3 5

2 4

e poi quella della riga 6 e così via.

Sviluppo della potenza di un binomio secondo Newton

Se a,b sono numeri reali >0, sono ben note le formule per calcolare il quadrato e il cubo del

binomio (a+b):

(a+b) = a +2ab+b

2 2 2

(a+b) = a +3a b+3ab +b

3 3 2 2 3

Esaminando la riga numero 2 e la riga numero 3 del triangolo di Tartaglia-Pascal,

possiamo scrivere le precedenti formule anche nel modo seguente:

  

  

2 2 2

  

  

(a+b) = a + ab+ b

2 2 2

  

  

  

  

1

0 2

  



 

 

3 3 3

3

  



 

 

(a+b) = a + a b+ ab + b

3 3 2 2 3

  



 

 

  



 

 

1

0 3

2

Queste formule sono un caso particolare di una formula generale (dovuta a Newton) che

permette di calcolare (per ogni numero naturale n) la potenza (a+b) , considerando tutti i

n

prodotti delle potenze di base a per le potenze di base b (in cui gli esponenti di a

decrescono da n a 0 e quelli di base b crescono da 0 a n), moltiplicando tali prodotti

ordinatamente per gli elementi della riga numero n del triangolo di Tartaglia-Pascal e

sommando i risultati:  

   

   





n n

n n n n

 

   

   





(a+b) = a + a b+ a b +……+ a b + ab + b

n n n-1 n-2 2 2 n-2 n-1 n

 

   

   





 

   

   





n n

1

0 2 n

- - 1

2

Dimostrazione della formula di Newton:

Si usa il principio di induzione. Per n=1 la formula dà l’eguaglianza:

   

1

1

   

(a+b) = a + b

1 1 1

   

 

  1

0    

1

1

   

che é banalmente vera in quanto = =1 .

   

 

  1

0

Supponiamo vera la formula per n, e dimostriamola vera per n+1: la tesi è dunque la

seguente   

  

     

     

n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1

     

     

(a+b) = a + a b+ a b +……+ a b + ab + b

n+1 n+1 n n-1 2 2 n-1 n n+1

     

      

     

     

0 1 2 n - 1 n n 1

(*)

Sfruttiamo l’identità (a+b) =(a+b)(a+b) e l’ipotesi che la formula è vera per n,

n+1 n

ottenendo, per la proprietà distributiva:

(a+b) =(a+b) (a+b)=

n+1 n