Matematica discreta - i binomi

Matematica discreta

Binomi

Possiamo disporre i coefficienti binomiali in una struttura triangolare (detta triangolo di Tartaglia-Pascal) in cui in ogni riga si sistemano i coefficienti che hanno n fissato ed m variabile da 0 ad n.

Per esempio le prime 4 righe del triangolo sono:

   11   Riga 1 =1 =1      10    2 2 2    Riga 2 =1 =2 =1        10 2    3 33 3    Riga 3 =1 =3 =3 =1        10 32      4 4 4 4 4      Riga 4 =1 =4 =6 =4 =1            1 30 2 4

Notiamo che in ogni riga ogni termine (tranne quelli estremi) si ottiene come somma dei 2       3 3342 2        termini che lo sovrastano nella riga superiore: per esempio = + , = +              1 122 2 2

Ciò dipende dalla seguente formula:

    n - 1 n - 1n    = +         m - 1 mm

Dimostrazione della formula

Sviluppiamo il secondo membro, usando la formula alternativa per il calcolo del coefficiente binomiale:

   n - 1 n - 1 (n - 1)! (n - 1)! (n - 1)!(n - 1)!   + = + = +      m - 1 m (m - 1)![(n - 1) - (m - 1)]! m! (n - m - 1)! m! (n - m - 1)!(m - 1)! (n - m)!

Per calcolare il comune denominatore delle 2 frazioni, è utile osservare che: (m-1)!m=m!, (n-m-1)!(n-m)=(n-m)! dunque il comune denominatore è m!(n-m)! e sviluppando i calcoli si ottiene:

    n n- -1 1 (n (n- 1)! - 1)!m (m(n - 1)! n(n -- m)m)   + = = =    m m- 1 m!m! (n(n - -m)! m)!