Matematica discreta - i vettori

Vettori

Un segmento orientato si chiama un vettore ^a, si dice "il vettore a".

Se A è il punto iniziale e B il punto finale scriviamo spesso ^AB.

Un vettore ^AB ha:

• Una direzione (quella della retta per A e B).
• Un verso (quello da A a B).
• Un modulo (la lunghezza del segmento).

Scriviamo II^ABII per il modulo.

Due vettori ^a e ^b si dicono uguali se hanno la stessa direzione, verso e modulo.

^AB = ^CD = ^EF ≠ ^HG

Due vettori si dicono paralleli se hanno la stessa direzione: esempio: ^HG è parallelo a ^AB.

Vettori in IR²

In IR² scegliamo un sistema di coordinate ortogonali, ogni vettore posso mettere con il punto iniziale nell'origine: ^OP, dove P è il punto finale.

Se P = (x₀, y₀) allora scriviamo ^OP = (^x₀y₀).

Il modulo II ^OP II = √_{x²0 + y²0}.

Definiamo la somma di due vettori: ^a + ^b, il vettore ^AC, oss: ^AB + ^BC = ^AC.

Nel sistema di coordinate

Vettori

Un segmento orientato ⁿ o ³ si chiama un vettore a, si dice "il vettore a".

Se A è il punto iniziale e B il punto finale scriviamo spesso. Un vettore AB ha:

• Una direzione (quella della retta per A e B).
• Un verso (quello di A a B).
• Un modulo (la lunghezza del segmento).

Scriviamo ||AB|| per il modulo.

Due vettori a e b si dicono uguali se hanno la stessa direzione, verso e modulo.

Due vettori si dicono paralleli se hanno la stessa direzione, esempio: HG è parallelo a AB.

In R²

Scegliamo un sistema di coordinate ortogonali, ogni vettore posso mettere con il punto iniziale nell'origine, dove P è il punto finale.

Se P = (x₀, y₀) allora =. Il modulo || || =.

Definiamo la somma di due vettori a + b: il vettore AC, oss: = + =. Nel sistema ai coordinate:

Se →a = OP e →b = OQ con P: (x₁, y₁) e Q (x₂, y₂) allora OR si determina dai coordinate del punto R.

R: (x + x₂, y + y₂)

Ovvio (x₁y₁) + (x₂y₂) = (x₁ + x₂y₁ + y₂)

Vettore nullo e opposto

Il vettore nullo: →0 è il vettore di lunghezza 0.

→a ∙ 0 = [0].

L'opposto di →a.

à = l'opposto di Ã. L'opposto di à è il vettore con la stessa direzione e modulo come Ã, ma verso opposto: scriviamo -Ã.

Esempio: Ã = (1) allora -Ã = (-1)(2)(-1), oss →OP = →PO.

Esempio: A: (1,2) B = (3,4) AB: →A + B = 3 - 0A, →OB = 2 (e) 2 = {(-1) (3)/(2) (5)}{(2) (5)}{(2) (5)}.

Moltiplicazione con scalari

Sia d ∈ R e à un vettore, allora dà è il vettore:

• Con modulo |d| ||Ã||.
• Con la stessa direzione come Ã.
• Con il verso di à se d ≥ 0.
• Con il verso opposto di à se d < 0.

→→→→2 →→→→2v

Se à = (x y) allora dà = (dx_dy, oss se n ∈ N allora n→u = →u + →u + →u + →u + ... + →u n volte; ; o→u = 0;

Equazioni di rette: R²

L'equazione parametrica e vettoriale

Siano l e una retta in R, siano Q = (x₀, y₀) = (p-fissato) sul e − P un altro generico P = (x y).

Siano →v un vettore di direzione di l (cioè →v = →AB dove AB sono due punti distinti in l).

Sia ^v = (^a_b) il vettore QP è un multiplo di ^v.

Quindi QP = _λ^v per certo λ∈ℝ.

OP = OQ + QP, quindi (^y_y