Matematica discreta - i vettori

Vettori

un segmento orientato si chiama un vettore

^a si dice "il vettore a"

Se A è il punto iniziale e B il punto finale scriviamo spesso ^AB

Un vettore ^AB ha :

• una direzione (quella della retta per A e B)
• un verso (quello da A a B)
• un modulo (la lunghezza del segmento)

Scriviamo II^ABII per il modulo.

Due vettori ^a e ^b si dice uguali se hanno lo stesso direzione, verso e modulo.

^AB = ^CD = ^EF ≠ ^HG

Due vettori si dicono parallele se hanno lo stesso direzione: esempio: ^HG è parallelo a ^AB

In ^IR2

Scegliamo un sistema di coordinate ortogonali ogni vettore posso mettere con il punto iniziale nel origine: ^OP, dove

P è il punto finale.

se P = (x ₀, y ₀) allora scriviamo ^OP = (^x₀y₀)

Il modulo II ^OP II = √ _{x²0 + y²0}

• Definiamo la somma di due vettori:
• ^a+^b il vettor ^AC
• oss : ^AB+^BC=^AC
• Nel sistema di coordinate:

Vettori

Un segmento orientato ⁿ o ³ si chiama un vettore a si dice "il vettore a"

Se A è il punto iniziale e B il punto finale scriviamo spesso

Un vettore AB ha:

• una direzione (quella della retta per A e B)
• un verso (quello di A a B)
• un modulo (la lunghezza del segmento)

Scriviamo ||AB|| per il modulo.

Due vettori a e b si dice uguali se hanno lo stesso direzione, verso e modulo.

Due vettori si dicono parallele se hanno lo stesso direzione esempio: HG è parallelo a AB

In ²

Scegliamo un sistema di coordinate ortogonali ogni vettore posso mettere con il punto iniziale nel origine , dove P è il punto finale.

Se P = (x₀, y₀) allora =

Il modulo || || =

Definiamo la somma di due vettori a + b : il vettor AC

oss: = + =

Nel sistema ai coordinate:

se →a = OP e →b = OQ con

P: (x₁, y₁) e Q (x₂, y₂) allora

OR si determina dai coordinate del punto R

R: ( x+x₂, y+y₂)

ovvio (

x₁y₁

) + (

x₂y₂

) = (

x₁+x₂y₁+y₂

)- il vettore nullo: →0 è il vettore di lunghezza 0

→a ∘ 0 = [0]

- l'opposito di →a

à = l'opposito di Ã

l'opposto di à è il vettore con lo stesso direzione e modulo come Ã

ma verso opposite: scriviamo -Ã

esempio: Ã=(1) allora -Ã=(-1)

(2)(-1)

oss →OP = →PO

esempio: A: (1,2) B=(3,4)

AB: →A+B=3-0A, →OB= 2 (e) 2 = {(-1) (3)/(2) (5)}{(2) (5)}{(2) (5)}

moltiplicazione con scalari

sia d € R e à un vettore allora

dà è il vettore - con modulo |d| ||Ã||

- lo stesso direzione come Ã

- il verso di à se d ≥ 0

- il verso opposto di à se d < 0

→→→→

2 →→→→

2v

se à = (

x y

) allora dà = (

dx_dy

oss se n ∈ N allora n→u = →u + →u + →u + →u +...+ →u

n volte; ; o→u = 0;

Equazioni di rett e : R²

l'equazione parametrica e vettoriale

siano l e una retta in R

siano Q=(x₀, y₀) = (p-fissato)

sul e − P un altro generico

P=(x y)

siano →v un vettore di direction di l (cioe →v = →AB dove AB sono due punti distinti in l)

sia ^v = (^a_b) il vettore QP è un multiplo di ^v

quindi QP = _λ^v per certo λ∈ℝ.

OP = OQ + QP quindi (^y_y