Matematica di base - sistemi lineari e teoremi

SISTEMI LINEARI

sopprime la riga r-esima.

Teorema 1

Le m forme lineari sono linearmente dipendenti se e solo se esiste almeno una riga della matrice che può sopprimersi senza che cambi r(A), il quale esprime pertanto il numero il numero di forme lineari linearmente indipendenti.

Si chiama equazione lineare algebrica nelle n incognite x₁, x₂, ..., x_n l'espressione a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b, a₁, a₂, ..., a_n, b ∈ ℝ¹, 2 ≤ n ≤ 1, 1 ≤ i ≤ n.

I numeri a_i si chiamano coefficienti delle incognite e b termine noto dell'equazione.

Se b = 0 l'equazione si dice omogenea.

Ogni n-upla (x₁, x₂, ..., x_n) di numeri reali tale che: a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = b₁, 2 ≤ n

Si chiama soluzione dell'equazione.

Quando si considerano simultaneamente m equazioni si dice di avere un sistema di m equazioni lineari algebriche in n incognite, e si indica:

Il sistema si può scrivere in forma compatta: Ax = b

Le matrici A e B si chiamano rispettivamente matrice incompleta e matrice completa del sistema.

Il sistema si dice omogeneo se

tutte le equazioni sono omogenee; NON OMOGENEO se almeno una delle sue equazioni è non omogenea.

Ogni n-upla (x + x + … + x) di numeri reali che soddisfa tutte le equazioni del sistema si dice SOLUZIONE del sistema.

Un sistema si dice POSSIBILE se ammette soluzioni e precisamente DETERMINATO se ne ammette una sola e INDETERMINATO se ne ammette infinite; si dice IMPOSSIBILE se non ammette alcuna soluzione.

Due sistemi lineari si dicono EQUIVALENTI se ogni soluzione del primo è soluzione del secondo e viceversa, oppure se entrambi non hanno soluzioni.

Teorema 2: I sistemi Ax=b e (P A)x= P b sono equivalenti. Infatti:

Ax=b → (m(i,j) m(i,j))

(P A)x= P b → (m(i,j) m(i,j) m(i,j) m(i,j) m(i,j) m(i,j) m(i,j) m(i,j))

Teorema 3: I sistemi Ax=b e (M (λ)A)x= M (λ)b sono equivalenti. Infatti:

Ax=b → M (λ)Ax= M (λ)b

M (λ)Ax= M (λ)b → M (1/λ) M (λ)Ax= M (1/λ) M (λ)b

(λ)b=>Ax=b

Teorema 4: m(i,j) m(i,j)i sistemi Ax=b e C (λ)Ax= C (λ)b;

m(i,j) m(i,j) m(i,j) m(i,j) m(i,j) m(i,j)C (λ)A)x= C (λ)b => C (-λ) C (λ)Ax= C (-λ) C (λ)b=>Ax=b

Teorema 5: Se nella matrice A si scambiano tra loro le colonne i-esima e j-esima e nel vettore x,x con x si ottiene uni isistema equivalente a quello di partenza.

Si ha: n(i,j)Ax=b=>AP ε=b infatti n(i,j) n(i,j) n(i,j) n(i,j)Ax=b=> AP P x=b => AP ε=b; AP ε=b => Ax=b

STUDIO DI UN SISTEMA LINEARE: METODO DEL PERNO

Il metodo del perno o pivot o di Gauss è un metodo pratico per risolvere un sistema lineare, trasformandolo in un altro sistema + semplice da studiare.

Teorema 6: Il sistema Ax=b è equivalente al sistema: (1) (1)x=b

Per cui i 2 sistemi sn equivalenti e si possono scrivere in forma compatta: A

Tale teorema mostra che è possibile passare dallo studio di un sistema del tipo precedente ad un sistema(1)del

tipo(m-1)X(n-1).Se la matrice complementare di a n cui A è nulla,il procedimento s arresta.Nel caso11contrario,se a ≠0si opera sul sistema (m-1)X(n-1) come su quello originario,passando da un sistema (m-222)X(n-2).tale procedimento di eliminazione si continua fino ad ottenere o un sistema a matrice nulla o unsistema del tipo hX1 oppure 1Xk.Se la MATRICE INCOMPLETA del sistema ottenuto è nulla,si hanno 2 casi:1. MATRICE COMPLETA ANCH’ESSA NULLA=>SISTEMA POSSIBILE2. MATRICE INCOMPLETA NON NULLA=>SISTEMA IMPOSSIBILESe la MATRICE INCOMPLETA del sistema ottenuto è non nulla,si hanno altri casi:3. SISTEMA 1x1=>SISTEMA DETERMINATO4. SISTEMA 1Xk(1SISTEMA INDETERMINATO5. SISTEMA hx1 (1sistema determinato;