Matematica De Angelis Orale

Gli INSIEMI

Per costruire ℤ si aggiungono:

• Il NUMERO ZERO: il numero che gode della proprietà di essere Elemento neutro della somma, ovvero l'unico numero che sommato ad un qualsiasi altro restituisce il numero stesso; a+0=0+a.
• L'opposto di ogni numero: L'opposto di un numero a è indicato con -a, quel numero che sommato ad a restituisce lo zero.
• a+(-a)=0

Per costruire ℚ si aggiungono:

• I reciproci dei numeri interi dove il reciproco del numero a, indicato con 1/a è quel numero che moltiplicato per A restituisce 1, che rappresenta l'Elemento neutro del prodotto; a.(1/a)=1

• ECCEZIONE:
• Non è possibile definire il Reciprocity del numero zero.

Con l'aggiunta di tali numeri è possibile definire i Numeri Frazionari a/b con

• (a.(1/c)) con c=1.0
• In ℝ si può definire l'operazione di Radice Quadrata, cioè l'operazione numeri portata a non supponendo un numero b di cui si abbia b^2=b.b e che rappresenta il numero Razionale a^2 non essere messi numero razionale b, per cui risulta b.b=b; Di non essere la RADICE QUADRATA di a^2=a.

In ☒ si estendono le radici quadrate di tutti i numeri positivi.

ESTREMI DI UN INSIEME

MINIMO e MASSIMO di un insieme

(Si legge minimo di A) Si intende per minimo l'elemento di A minore o uguale ad ogni altro elemento di A.

min A ≤ x

(Si legge massimo di A) Si intende, si scrive l'elemento di A maggiore o uguale ad ogni altro elemento di A.

max A ≤ x, ∀x ∈ A

Esempio:

fa A = {1, 2, 3} ⊂ ℕ

• min A=1
• max A=3

fa A = {3, 4, 5...}

Sic A ⊆ R un sottoinsieme dei numeri reali y ∉ R, che Estremo superiore dell'insieme X se y è un Maggiorante di X.

Sic X ⊆ R un sottoinsieme dei numeri reali y ∉ R si dice Estremo superiore dell'insieme X se y è un minarante di X.

(Intervalli con Numeri Reali)

Presi due Numeri Reali Arbitrari a e b, con a < b, esistono infiniti numeri compresi tra a e b.

Questi numeri costituiscono un insieme che è detto Intervallo (I) di estremi a e b

1. a (≤ I ≤) Estremo inferiore (inf I = a) (I). L'intervallo
2. b (≤ I ≤) Estremo superiore (sup I = b)

I valori a e b sono Minimo e Massimo solo se essi appartengono all'insieme.

Sono a e b due Numeri Reali, con a < b

• [a, b] → Intervallo Chiuso da Estremi a e b Si intende l'insieme formato da tutti no numeri Reali compresi tra a e b, estremo incluso: [a, b] = {x ∈ R: a ≤ x ≤ b}
• [a, b[ → Intervallo Semiaperto a Destra da estremi a e b Si intende l'insieme formato da tutti no numeri Reali compresi tra a e b, a incluso, b escluso: [a, b[ = {x ∈ R: a ≤ x < b}
• ]a, b]→ Intervallo Semiaperto a Sinistra da estremi a e b Si intende l'insieme formato da tutti no numeri Reali compresi tra a e b, a escluso, b incluso: ]a, b] = {x ∈ R: a < x ≤ b}
• ]a, b[ → Intervallo aperto da estremi a e b Si intende l'insieme formato da tutti no numeri Reali compresi tra a e b, a escluso, b escluso: ]a, b[ = {x ∈ R: a < x < b}

Esercizi

x² - 3x + 4 = 0

Δ = (-3)² - 4(1)(4), 9 - 16 = -7 < 0

L'equazione non ammette soluzioni.

~~~~~~~

x² - 4x + 4 = 0

Δ = (-4)² - 4 (1)(4), 16 -16 = 0 = 0

L'equazione ammette un'unica soluzione:

x = -b ± √Δ / 2a =- (-4) / 2(1) = 4 / 2 = 2

Sostituiamo: 2² - 4 (2) + 4, 4 - 8 + 4 = 0

~~~~~~~

x² - x - 6 = 0

Δ = (-1)² - 4 (1)(-6), =1 + 24 = 25 > 0

L'equazione ammette 2 soluzioni:

x _1,2 = - b ± √Δ / 2a

x ₁ = 1 + √25 / 2 = 1 + 5 / 2 = 3

x ₂ = - (-1) - √25 / 2 = -5 / 2 = 2

Sostituiamo: (3)² - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0 - (-2)2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0

Disequazioni di I grado

Assegnato da disequazione ax + b > 0 con a ≠ 0

Si ta (ax + b) /a ⇛ x > -b / a

II Grado

Assegnato la disequazione ax² + bx + c > 0

Vi sono 3 eventualità:

• L'equazione non ammette soluzioni ⇛ Δ <0
• Se a > 0, tutti i valori di x ϵ R soddisfano la disequazione
• Se a < 0, nessun valore di x soddisfa la disequazione

• L'equazione ammette 1 soluzione, x ₀ : Δ = 0
• Se a > 0, tutti i valori di x ϵ R\[x₀] soddisfano la disequazione
• Se a < 0, nessun valore di x soddisfa la disequazione

• L'equazione ammette 2 soluzioni, x₁ e x₂: Δ > 0
• Se a > 0, tutti i valori di x esterni all'intervallo I = [x₁, x₂] soddisfano la disequazione
• Se a < 0, tutti i valori i valori di x appartenenti all' intervallo I = [x₁, x₂] soddisfano la disequazione

Se la disequazione si presenta sotto forma:

FUNZIONE COMPOSTA PRODOTTO FUNZIONALE

Assegnati gli insiemi S, T, Z e le funzioni:

f: S → T, g: T → Z

È possibile costruire una nuova funzione detta funzione composta di g e f o prodotto funzionale tra f e g

g ∘ f: S → T

(si legge g composto f, funzione di S su Z)

La funzione di S su Z che a x ∈ S associa l'elemento z = g(f(x)) ∈ Z

f: S → T

g: T → Z

g ∘ f: S → Z

Il prodotto funzionale non gode della proprietà commutativa, in questo g ∘ f ≠ f ∘ g

MINIMO ASSOLUTO

Il minimo assoluto di una funzione f è il minimo dei valori che la funzione assume in X

min f(x) = min f(X) x ∈ X

Il minimo assoluto di f per x ∈ X. il valore x₀ ∈ X nel quale si realizza il minimo assoluto min f(x) = f(x₀) x ∈ X

Si chiama punto di minimo assoluto per la funzione f.

MASSIMO ASSOLUTO

Il massimo assoluto di una funzione f è il massimo dei valori che la funzione assume in X

max f(x) = max f(X) x ∈ X

Il massimo assoluto di f per x ∈ X. Il valore x₀ ∈ X nel quale si realizza il massimo assoluto: max f(x) = f(x₀) Si chiama punto di massimo assoluto per la funzione f.

Funzione Logaritmica

Tranne per a=1, la f_inz. logaritmica ℓ_e inverse ℓ_e della f_enz. ℓ_e ponenziale es: a^y=x -- y=log_ax con y∈ℝ dominio per logaritmica é la funzione y:

x=log_ay; y∈ℝ⁺; con y∈ℝ con y∈ℝ y=at^_xx=log^ay^ℝ+_x con a∈ℝ⁺

a>estrictamente crescente

DOMINIO E{f(x)} =10;∀t;≠0) ℝ>campo di existenza CODOMINIO f{E[f(x)}=0+,+∞)-funzione

La f._te

⇈La [ogarlthmica ℓe vni funzione