Matematica De Angelis Orale

[ Gli INSIEMI ]

Per costruire Z si aggiungono:

• Il numero ZERO: il numero che gode della proprietà di essere Elemento neutro della somma, ovvero l'unico numero che sommato ad un qualsiasi altro restituisca il numero stesso: a + 0 = a.
• L'opposto di ogni numero Numero Naturale: L'opposto di un numero a, indicato con –a, è quel numero che sommato ad a restituisce lo zero: a+(-a) = 0

Per costruire Q si aggiungono:

• I reciproci dei numeri interi dove il reciproco del numero a, indicato con 1/a, è quel numero che moltiplicato per a restituisce 1, che rappresenta l'Elemento neutro del prodotto: a . (1/a) = 1

Eccezione:

Non è formale definire il reciproco del numero zero.

Con l'aggiunta di tali numeri è possibile definire i Numeri Frazionari a/b, a = (a/b) con c ≠ 0.

In Q non è definibile l'operazione di Radice Quadrata, se nessun elemento positivo numero portato a nome pari esiste un numero b e b cui si ottoba b . b = a

Es: radice del numero Razionale a² non esiste nessun numero razionale b per cui che b*b = 3 . 2013 Nessun n ∈ Q la RADICE QUADRATA di a² = 2.

In R esistono le radici quadrate di tutti i Numeri Positivi.

ESTREMI di UN INSIEME

MINIMO e MASSIMO di UN INSIEME

• (si legge minimo di A) Si tratta di portare l'Elemento di A minore o uguale ad ogni altro elemento di A:
• (si legge massimo di A)

Si intende se esiste l'Elemento di A maggiore o uguale ad ogni altro elemento di A.

min A, ∈ x ∈ A

Si intende se esiste l'Elemento di A maggiore o uguale ad ogni altro elemento di A:

max A ≥ x, ∀ x ∈ A

Esempio: Sia A = {1, 2, 3} ⊂ N min A = 1 max A = 3

Sia A = {3, 4, 5 ... 3} ⊂ N min A = 3 n non esiste max A

Sia X ⊂ R un sottinsieme dei numeri reali e y ∈ R, si dice Estremo superiore dell'insieme X se y è un maggiorante di X.

Sia X ⊂ R un sottinsieme dei numeri reali e y ∈ R si dice Estremo superiore dell'insieme X se y è un Minorante di X.

[ Gli INSIEMI ]

• Per costruire Z si aggiungono:

  • Il numero ZERO: Il numero che gode della propriet... ovvero l'unico numero che sommato ad un qualsiasi altro restituisca il numero stesso: a + 0 = a

  • L'opposto di ogni numero...

  • L'opposto di un numero a indicato con -a è quel numero che sommato ad a restituisce lo zero: a+(-a) = 0

  Per costruire Q si aggiungono:

  • I reciproci dei numeri interi dove il reciproco di un numero a è indicato con 1/a ed è quel numero che moltiplicato per a restituisce 1, che rappresenta l'elemento neutro del prodotto: a . (1/a) = 1

  ECCEZIONE:

  Non è pos... numero zero.

  Con l'aggiunta di tali ...:

  In R esistono le radici quadrate di tutti i ...

ESTREMI DI UN INSIEME MINIMO E MASSIMO DI UN INSIEME

• Si intende il più ...

• Si intende, se esiste, l'... minore o uguale...

Esempio:

Sia A = {1,2,3} ...

min A = 1 max A = 3

Sia A = {3,4,5 ... 3} ...

num A = 3 ...

Sia X... sottinsieme ...

• Se Y... estr... ... X

• Y è un ... X.

Sia X... sottinsieme ...

• Se Y... estr... ... X

• Y è un minorante di X.

Numeri Reali

Presi due numeri reali arbitrari a e b, con a < b, esistono infiniti numeri compresi tra a e b.

Questi numeri costituiscono un insieme che è detto intervallo di R ad estremi a e b.

• a è l'estremo inferiore (inf I = a)
• b è l'estremo superiore (sup I = b)

I valori a e b sono minimo e massimo solo se essi appartengono all'insieme.

Intervalli Limitati di R

Siano a e b due numeri reali, con a < b.

• [a,b] → Intervallo Chiuso di Estremi a e b

  Si intende l'insieme formato da tutti i numeri reali compresi tra a e b, estremi inclusi:

  [a,b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}

• [a,b[ → Intervallo Semiaperto a Destra di Estremi a e b

  Si intende l'insieme formato da tutti i numeri reali compresi tra a e b, a incluso, b escluso:

  [a,b[ = {x ∈ R : a ≤ x < b}

• ]a,b] → Intervallo Semiaperto a Sinistra di Estremi a e b

  Si intende l'insieme formato da tutti i numeri reali compresi tra a e b, a escluso, b incluso:

  ]a,b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}

• ]a,b[ → Intervallo Aperto di Estremi a e b

  Si intende l'insieme formato da tutti i numeri reali compresi tra a e b, a escluso, b escluso:

  ]a,b[ = {x ∈ R : a < x < b}

Intervalli Illimitati ON: La a un Numero Reale

(-∞, a] - Intervallo Chiuso Illimitato Inferiormente di Estremo aSi intende l'insieme formato da tutti i numeri Reali minori di a, estremo incluso: (-∞, a] = {x ∈ R: x ≤ a}

(-∞, a[ - Intervallo Aperto Illimitato Inferiormente di Estremo aSi