Matematica biotecnologie analisi 1

A ∪ B

unione

A ∩ B

intersezione

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

N: naturali = {0, 1, 2, …}

Z: interi = {…, -5, -1, 0, 1, 2, 4, …}

Q: razionali = {½, 1/3, …} ; p/q

R: reali

Teorema

Non esiste alcun n tale che n² = -2

Q ha buchi. R

ogni x ∈ R:

• positivo x > 0
• nullo x = 0
• negativo x < 0

e sede uno di questi

il modulo non è + x e non è - x senza segno

x ∈ R

| x | = { x se x ≥ 0 -x se x < 0}

Comparazioni in R

A ⊂ R

M ∈ R è un maggiorante di A se ∀a ∈ A . a ≤ M

è un minorante di A se ∀a ∈ A . a ≥ m

A = (a, b) maggioranti e di a, b = (b, +∞) minoranti e di a, b = (-∞, a)

M ∈ R è massimo se è il più piccolo maggiorante M ∈ A

S ∈ R è l'estremo superiore se e solo se è il più piccolo dei maggioranti

Densità dei Numeri Razionali

Preso in arbitrario numero reale x e preso in parametro di tolleranza ε > 0

esiste un numero razionale q ; r ∈ Q | x - r | < ε < x < r ∈ ε

π = 3,14152 ...

y = 3, y ≤ 3 ε = 0,14152

(= 3,14 ε = 0,0 0,152 )

Esercizio

A = { 1/n | n ∈ N } y = { 1, ½, ⅓ }

Verifichiamo che 0 sia estremo inferiore di A

1. 0 = inf A
2. 1. È vero che 0 è un minorante y ∈ N I/n ∈ N 0 ≤ 1/n? Vero
3. 2. ∀ ε > 0 dobbiamo trovare un elemento aε ∈ A aε < 0+ε ϵ

La Funzione

La funzione è una legge che ad ogni elemento di un insieme di partenza associa uno ed un solo degli elementi di un secondo insieme.

• Domino di applicazione
• Codominio/insieme di arrivo

Il Grafico

• Premessa: prodotto cartesiano degli insiemi

Funzione Crescente/Decrescente

• Se x₁ ^< x₂, x, x₁, x₂ ∈ X → f(x₁) f(x₂)

Es. f: R → R f(x) x³ [x₁, x₂ ∈ R]

Periodicità

f(x) periodica di periodo T → ∀x∈X f(x + T) f(x)

Es. fsin

Funzione Iniettiva

2x almeno possono essere la stessa f(x). Se m^a∈x

Se ciascun ἐX pertutti ρ ma si...

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Funzione Costante

f:X →R

Funzione Suriettiva

∃ unico y:

• Le iniettive permettono di invertire le funzioni e viceversa

Es f(x) ∃ ∃ ∀

Suriettiva

Ogni elemento di B→

Almeno di un elemento di A

Grafico parabola

Grafico retta

In perché ∃x₀∤ sicuramente ∃N∈ℕ (invece che →x→x₀) x>N

In ∃x₀non è invece sicuro se →x→compreso l'infinito, infatti ∃c arriverebbe a un as.

∀ε→0 ∃x∈ℕ>0 ∃x>0 anche se x 0 x > 0 | | +∞ e |f(x)| < k

es 0/2 open B > x def cont. B U x₀ ^ ∀ x ∈ E U

• z ≤ (f(x) - e } c *(x) ≤ f(x₀) - c
• (f(x₀) ) > e open (f(x))

-> + e (f(x), > ) f(x) > 0 adv

Oss

lemma i una IE x₀ ∪ x₀ = ± oo

• satisfondo |(x)₀ e con JA loc (f(x₀) < c >, (^(x)) < c
• Se è inserito gate A maringacia

Se fc -0) > in 2(torta) possiamo dire questa sui coppa di SIEP Se L esiste allora equivoco = OE compreso { siikeremo e piu tradivi }

Es f(x), ()[], x != 0 Vx, f(x) >= 0 x(0, ) Peru Vx f(x)