Matematica biotecnologie analisi 1

Teoria degli insiemi e numeri reali

A ∪ B unione

A ∩ B intersezione

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Sottoinsiemi numerici

• ℕ: naturali
• ℤ: interi
• ℚ: razionali
• ℝ: reali

Teorema sui numeri naturali

Teorema: non esiste alcun n tale che n² = 2.

Proprietà dei numeri reali

Ogni x ∈ ℝ è positivo, nullo o negativo:

• x > 0
• x = 0
• x < 0

Il modulo |x| è sempre positivo e se x è negativo si cambia segno.

Maggioranti e minoranti

A ⊂ ℝ, M ∈ ℝ è un maggiorante di A se ∀ a ∈ A, a ≤ M.

Densità dei numeri razionali

Preso un arbitrario numero reale x, esiste un numero razionale.

Esercizio

A = {1 - 1/n ∈ ℕ}

Verifichiamo che 0 sia estremo inferiore di A.

A ∪ B unione

A ∩ B intersezione

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

• N: naturali = { 0, 1, 2, ... }
• Z: interi = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }
• Q: razionali = { ½, ¹/₃, ... } = { p/q ∈ Z | q ≠ 0 }

Teorema sull'inesistenza di radici

Teorema: non esiste alcun n naturale che n² = 2.

Q ha buchi!

Proprietà dei numeri reali (dettagliata)

Ogni x ∈ ℝ è:

• Positivo ⇔ x > 0
• Nullo ⇔ x = 0
• Negativo ⇔ x < 0

Il modulo |x| è:

• x se x ≥ 0
• -x se x < 0

Confronti in A ⊂ ℝ: M ∈ ℝ è un maggiorante di A se ∀ a ∈ A, a ≤ M, e un minorante di A se ∀ a ∈ A, a ≥ m.

A = (a, b): maggioranti di (b, +∞), minoranti di (-∞, a).

M ∈ ℝ è massimo se M ∈ A. S è l'estremo superiore se è il più piccolo dei maggioranti.

Densità dei numeri razionali (dettagliata)

Preso un arbitrario numero reale x e una tolleranza ε > 0, esiste un numero razionale r ∈ Q tale che | r - x | < ε.

Esercizio sulla densità

A = {1/n | n ∈ N} \ {1, 1/2, 1/3, ...}

1. Verifichiamo che 0 sia estremo inferiore di A: 0 = inf A
2. È vero che 0 è un minorante ∀ n ∈ N 0 ≤ 1/n? Vero
3. ∀ ε > 0 dobbiamo trovare un elemento a ∈ A.

Funzioni e grafici

La funzione è una legge che ad ogni elemento di un insieme associa un codice o degli elementi, in gerarchia l’ordine. Dati X e Y associamo ad X da X × n, a ogni X = dominio di definizione.

UG codomain e / insieme da arrivo

• Es: uscire che V fa una senso f(G)
• Es: uscire che l’abbia f(F)

Premessa: prodotto cartesiano degli insiemi

X × Y | (x₁, y₁) { (x₁, y₁), x = x₁ ex = x₂ y-1 piaconati EU R—IR²

Funzione crescente

Funzione crescente se → x₁ ∈ X : x₂ x₁ < x₂ → f(x₂) ≤ f(x₂).

Decrescente se x₁ ∈ X : x₁ < x₂ → x₁< f(x₂).

ES f : IR → R, x₁ < x₂ → f(x₂) = f(x).

Funzione periodica

Periodo ifara P43F(x) periodica al periodo T e ψ x ∈ X f(x) = f(x + T)

Funzioni pari e dispari

• E pari f(x) = f(-x) Es. f(x) = x²
• Dispari f(x) = -f(-x)

Funzione iniettiva

Le iniettive permettono di iniettare le funzioni stesse. f: a <-> es s'invinu s.no nineran ux%s x=3

Ogni elemento di B - l'immagine aumenta il numero di elementi di A. Composizione di funzioni y = x–4g : x → y Non è altro che diminuisce la x verso y.

Sappiamo che f(g(x))=f.g⁰, che si compie il primo f, dopo g.

• ES f(x)=2x+1
• g(x)=logx
• g⁰f: g ¬ log(2x+1) ma dove ha senso?

f: ℝ → ℝ ma g: (0, +∞) g(f(x)) ovvero g(0, +∞) = (1, +∞)

Funzioni composite

• Es r(x)= c, g(x)=√x
• g(p) = p+4
• g(x) = (1, +∞) → ℝ g(0, +∞) → ℝ

Se (-(1, + ∞), (o¸, i, co) Una trasne non si deforma ma anche dominio Una funzione a variabile reale è deputata da \dominia televisa - lepe (Fomuria)

Limiti di funzioni

F l C I R I R

lim f(x)=L x→₀ destra ing um.optional area punizione mam a punto x₀

Intorno

Intorno di x₀ ∈ ℝ Limina e universale apero (x₀ - {x₀}) Per | ƒ | spa

Punto di accumulazione x₀ e.z f.a.d.s.a si accumulino più infinite in punto di I + | x₀ ES (1, a, b) (x₀ | x0) in pol zasinni nenformi (a