Matematica applicata

Derivate

Regole di derivazione:

• K ∙ f(x) = K ∙ f'(x)
• f(x) + g(x) = f'(x) + g'(x)
• f(x) ∙ g(x) = f'(x) ∙ g(x) + f(x) ∙ g'(x)
• =
• = , f(x) ≠ 0
• f(g(x)) = f'(g(x)) ∙ g'(x)
• y = ln|x|
• y = ln|f(x)|
• y = e^f(x)
• y = a^f(x)
• y = [f(x)]^m
• f(x)^g(x) = e^{g(x) ∙ ln f(x)}
• y = log_a(x)
• y = sin(x)
• y = cos(x)

y' =

y' =

y' = f'(x) e^f(x)

y' = e^f(x) f'(x)

y' = f(x) ∙ ln(a) ∙ a^f(x) f'(x)

y' = m ∙ [f(x)]^m-1 ∙ f'(x)

f'(x)^g(x) = [^f'(x) ln f(x) + ^{g(x) ∙ f'(x) ∙ ln f(x) + g(x) ∙ f'(x)} / _f(x)]

y' =

y' = cos x

y' = -sin x

Esempio: Otteniamo il medesimo integrale: ^∫e^xdt = e^x + C

Continuare: t = -x³

dt = -3x² dx

Risolvere e ottenere:

-¹/₃∫ e^t dt = -¹/₃ e^-x3 + c

Esempio:

∫ x √_x²+5 dx = ¹/₂ ∫ (2 x √_x²+5) dx

Quindi: t = x²+5

dt = 2x dx

Risolvere:

¹/₂ ∫ √_t dt = ¹/₂ ∫ t ¹/₂ dt = ¹/₂ ²/₃ t ³/₂ = ¹/₃ (x²+5) ³/₂ + c

Esempio:

∫ sin x cos x dx

t = sin x

dt = cos x dx

Risulta:

∫ t dt = ¹/₂ t² + C

Caso particolare del metodo di sostituzione:

∫ B’(x) dx / B(x) = ln |B(x)| + C

∫ e^xcosx dx

f' = e^x g = cosx x

f = e^x g' = −sinx

∫ e^xcosx dx = e^xcosx + ∫ e^xsinx dx

f' = e^x g = sinx

f = e^x g' = cosx dx

Per cui: e^xiux - ∫ e^xcosx dx

e^xcosx dx = e^xcosx + e^xiux - ∫ e^xcosx dx

Ponendo al 1^o membro

2 ∫ e^xcosx dx = e^xcosx + e^xiux

∫ e^xcosx dx = 1/2 (e^xcosx + e^xiux)

• f(x,y) = √4-x²-y²
  • x²-y² ≤ 4
• f(x,y) = √9-x²-y²
  • x²-y² ≤ 9

BOXPLOT

Insieme dei dati: { 12, 22, 22, 22, 25, 25, 27, 27, 29, 29, 36 }

Sono PARI per cui la mediana è:

Q₂ = ^{25 + 27}⁄₂ = 26 MEDIANA

Q₁ = 22 + 22 ⁄ 2

Q₃ = 27 + 29 ⁄ 2

Calcolo:

SIQ = Q₃ - Q₁ = 6

BII = Q₁ - 1,5*SQI = 22 - (1,5*6) = 13

BIS = Q₃ + 1,5*SQI = 22 + (1,5*6) = 37

Da cui:

BII = min {BII, min x} = min {13, 12} = 12

BIS = max {BIS, max x} = min {37, 36} = 36

COSTRUISCO IL BOXPLOT

N.B. Il 37 non lo scrivo perchè non è presente nell’insieme

Si consideri la funzione f(x,y) = ^(x-1)2/₄ + ^(y+1)2/₉ le curve di livello λ

1)     ^(x-1)2/₄ + ^(y-(-1))2/₉ = 0.     È un punto singolo di coordinate (1,-1)

Esercizio Estrazione Palline Urna

Dato 6 urne, i diversi colori:

• 4 rosse
• 4 bianche

P(A) = ⁴/₁₀ = 0,4

P(B) = ⁶/₁₀ = 0,6

Dato che il campo non è altro, bisogna usare la formula una volta noto:

((⁶, ²) * (0,6)² * 0,4) = - - -

P(X ≤ 3) = 1 - 0,004 = 0,996

- Si considera la curva γ(t) = (2 -unit, 3 cost), 0 ≤ t ≤ π

• La curva è PIANA ✔
• La curva è CHIUSA ✖
• La curva è SEMPLICE ✔

x = 2 - unity = 3 cost

x^2 / 2^2 + y^2 / 3^2 = cost

x^2 / 4 + y^2 / 9 = unit cost = 1

- La curva per t = 0 abbiamo che → (0, 3)t = π abbiamo che → (0, -3)

- Il punto iniziale t(0) ∉ C(T)- Inoltre l'ellisse è percorso una solo volta per cui è SEMPLICE

- La derivata direzionale Dvf(x₀, y₀) con f(x, y) = √(y-x) - (x₀, y₀), u t. 2v = (3/5, -4/5) →

1. f(x, y) = √y-x = (y-x)^1/2
2. ∂f/∂x = -1 / 2√y-x →
3. ∂f/∂y = 1 / 2√y-x
4. ∂f/∂x (1, 2) = -1 / 2√1 →
5. ∂f/∂y (1, 4) = -1 / 2

(2^-1 / 2) (3^-1 / 5) - (4^-1 / 5) = -3 / 10 + 4 / 10 = -7 / 10

- Siano v = (1, -2), f(x, y) = sin (x + y) cos(x - y)- df = cos(x + y) cos(x - y)

- ∂f/∂x = cos(x + y) cos(x - y) + sin(x + y) sin(x - y)

- ∂f/∂x = cos(x + y) cos(x + y) sin(x - y) y

^π/₂ (-π/2)(1) - (0) → 0 = -1

^π/₂() = (1) (1) + (0) (0) (π/2) = 0

1 - x - 4) (-1, 2) = -3 + 2 - 3

Esercizio Stat. - Probabilità

Si lanci una moneta non truccata due volte, ad ogni lancio è associato un punteggio:

• +1 se esce Testa
• -1 se esce Croce

• = {TT, TC, CT, CC}

Num. es. esce: TT = 2, CT = 0, CC = -2

P(X = -1): 1/4

P(X = 0): 1/2

P(X = 1): 1/4

x ≤ -1 → P(X ≤ x_i) = 0

x ≤ 0 → P(X ≤ x_i) = 1/4

x ≤ 1 → P(X ≤ x_i) = 1/2 + 1/4 = 3/4

P(X ≤ x_i) = 1

soft(_x,y) = x²y² + 2x + y

E = {(x,y) ∈ R² | x,y ≠ 0}

∂

f_x = 2xy² + 2

∂

f_y = 2x²y + 1

df_x/dx = 2y

df_x/dy = 0

λy

= x

2x + 2y = λy

2(xy + 1) = λy

2x + 2y = λx

(x + y) λ = xy

x = ± 1

x = ± 1

P₁ (1, -1) P₂ (-1, 1)

f(_x,y) = x²y² + x - y

E = {x, y = -a}

∂f_x = 2xy² - 1

∂f_y/dy = 2x²y - a

∫

2x + x = λy

2(xy + 1) = λy

2(xy) x = λx

x = -1

-2y + 1 = λy

x = -1

x(0,1) = -1/2λ

x = -1

x = 1/(2+λ)

P₁ (-1, 1)

P₂ (1, -1)

Integrali Doppi

• ∫∫ f(x,y) \, dxdy

  f(x,y) = xy e^{-(x^2+y^2)^2}

  2 \, D = \{x^2+y^2 \leq 1, \, x \geq 0, \, y \geq 0 \}

1. limita il suo dominio

   x^2+y^2 \leq 3 semicirconferenza di r = 1

   D: parte piena prudente compresa semicirconferenza per cui:

   0 < Θ < π/2

   0 ≤ ρ ≤ 1

2)

∫∫ x \, y e^{-(x^2+y^2)^2} \, dxdy

∫∫ \rho \, cos Θ \, sin Θ \, e^{-(\rho^2 \, cos\Theta + \rho^2 \, sin\Theta)^2} \, \rho \, d\rho \, dΘ

∫∫ \rho^3 e^{-\rho^4} \, cos \Theta \, sin \Theta \, \rho \, d\rho \, dΘ

∫\left[e^{-\rho^4}/2\right]_{0}^{1}

= -\frac{1}{4} \left[ e^{-\rho^4} \right]_{0}^{1} \left[ \frac{1}{2} \right]

= -\frac{1}{4} \left[ \frac{1}{e} - 1 \right] \left[ \frac{1}{2} \right]

= -\frac{1}{8} \left[ \frac{1}{e} - 1 \right]

= \frac{1}{8} \left[ 1 - \frac{1}{e} \right]