Matematica applicata - teoria

Probabilità

XVII secolo: Pascal, Fermat, Huygens propongono delle tecniche di calcolo semplice

XVIII secolo: Laplace, Gauss, De Moivre ... introduzione concetti di variabili casuali, legge grandiXIX numeri teorema limite centrale, distribuzione normale, ...

XX secolo: Kolmogorov (1933) —> la probabilità diventa una teoria unitaria e rigorosa

Definizione classica di probabilità

Dato un esperimento con un numero finito di possibili esiti equiprobabiliun evento A associato a questo esperimento ha probabilità

P(A) = ^{n° esiti favorevoli (ad A)} / _{n° esiti totali (possibili)}

Insieme degli esiti dell'esperimento = Spazio campione (S o Ω)A ⊆ S è un evento

Pro: che è semplice, come contro: richiesta esiti equiprobabili e in numero finitoA volte non è possibile "contare" gli esiti

Definizione frequentista di probabilità

Si ripete m volte un esperimento in maniera identica e indipendente, la probabilitàdell'evento A, si definisce come:

P(A) = ^{n° esperimenti con esito A} / _{m numero totale esperimenti}

Pro: la definizione vale anche per eventi non equiprobabiliNon devo contare gli eventiContro: esiti dell'esperimento devono essere finitiNon sempre si può ripetere l'esperimento

Calcolo Combinatorio

Principio Fondamentale del Calcolo Combinatorio

Si supponga di realizzare due esperimenti e si supponga che il primo esperimento presenti m possibili esiti mentre il secondo presenti n possibili esiti. Le coppie ordinate che contengono gli esiti del primo e del secondo esperimento saranno m x n.

Esempio. Scatola con 6 palline rosse e 5 verdi. Estrazione con ripetizione 3 palline. Qual è la probabilità di ottenere 2 palline rosse e 1 verde non in ordine?

• A = 2R + 1V senza ordine

P(A) = ^{no esiti favorevoli}/_{n^o esiti possibili} = ^{15 x 62}/_11³

n^o esiti possibili = m x m x m = 11³

n^o esiti favorevoli = 6 x 6 x 6 + 6 x 6 x 5 + 5 x 6 x 6 - 3 x 5 x 6²RVR O VRV O VVR

Esempio Caso senza ripetizione

n^o esiti possibili = 11 x 10 x 9

n^o esiti favorevoli = 5 x 6 x 5 + 6 x 5 x 5 + 6 x 5 x 5 - 3 x 6 x 5²

P(A) = ^{18 x 52}/_{11 x 10 x 9} = ⁵/₁₁

Disposizioni Semplici di m Elementi di Classe k (k ≤ m)

Dati m oggetti distinti si dicono disposizioni semplici di m elementi di classe k tutti gli allineamenti che si possono costruire prendendo k elementi tra gli m a disposizione, senza ripetizioni.

D_m,k = ^m!/_(m-k)!

N.B. Le disp. semplici sono associate alle estrazioni senza ripetizione.

Disposizioni con Ripetizione di m Elementi di Classe k (k ≥ m)

Dati m oggetti distinti, si dicono disposizioni con ripetizione di m elementi di classe k tutti gli allineamenti di k elementi presi dall'insieme degli m elementi dati.

D_m,k^R = m^k

Proprietà degli eventi ottenuti dagli assiomi

1. Dato E ⊂ S, P(E^c) = 1 - P(E)

   Dim

   E ∪ E^c = S E ∩ E^c = ∅ ⇒ mutuamente esclusivi

   A₁: P(S) = P(E ∪ E^c) = P(E) + P(E^c) ⇒ P(E) + P(E^c) = 1 P(E^c) = 1 - P(E)

   (1BIS) P(∅) = 0

   Dim

   ∅^c = S ⇒ P(∅) = P(∅^c) = 1 - P(S)_A2 = 1 - 1 = 0

2. A, B ⊂ S con A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)

   Dim

   B = A ∪ (B ∩ A^c) con A ∩ (B ∩ A^c) = ∅

   P(B) = P(A ∪ (B ∩ A^c)) = P(A) + P(B ∩ A^c) > P(A) Trascuabile, comunque sempre ≥ 0

3. Dato A, B ⊂ S, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

   Dim

   Non sono disgiunti

   E₁ = A - B E₂ = A ∩ B E₃ = B ∖ A { A = E₁ ∪ E₂ B = E₂ ∪ E₃ A ∪ B = E₁ ∪ E₂ ∪ E₃ Che sono mutuamente esclusivi

   P(A ∪ B) = P(E₁ ∪ E₂ ∪ E₃) =

   A₃ P(E₁) + P(E₂) + P(E₃) =

   = P(A) + P(E₂) + P(E₂) - P(E₂) =

   = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)