Matematica - Algebra lineare e geometria

SISTEMA CRAMERIANO

Un sistema lineare si dice CRAMERIANO se la matrice dei coeff. è quadrata e con det. ≠ 0

• m₁x + m₂y = s₁
• m₂t + m₂y = s₂

LA MATRICE È

M = [ m₁ m₁ m₂ m₂ ]

Risolvere un sistema crameriano significa determinare quell'unica coppia ordinata (x, y) dei valori delle variabili X e Y che soddisfano tutte le equazioni del sistema. Si usa la REGOLA di CRAMER.

I valori della coppia (x, y) si determinano mediante i seguenti due rapporti tra i det. delle matrici M, M₁ e M₂:

• X = det M₁ / det M
• Y = det M₂ / det M

con

M₁ = [ s₁ m₁ s₂ m₂ ]

M₂ = [ m₁ s₁ m₂ s₂ ]

ESEMPIO:

• 5x = 24 = 0
• x = 1

x = 2y = 1

3x + 5y = 6

B = [ 5 2 1 0 ]

det = 2

È una matrice quadrata di ORDINE 2.

M = [ 1 2 3 5 ]

det(M) = 5 - (6) = 11

M₁ = [ 1 2 3 5 ]

det(M₁) = 5 - 8 = -3

M₂ = [ 1 2 3 4 ]

det(M₂) = 4

x = det M₁ / det M = -3 / 11

y = det M₂ / det M = -7 / 11

IL NUMERO di SOLUZIONI di UN SISTEMA CRAMERIANO

1. calcolo MATRICE ASSOCIATA
2. calcolato _det(M) = 0
3. MATRICE COMPLETA cer.

det(M) ≠ 0 → UNICA SOLUZIONE

E3.

M = _{6 k}^{2 1} det(M) = 6.2k - 0

(_{K = 3})

SIST. CRAMERIANO - matrice quadrata

k = 3

III. MATRICE COMPLETA

cor_(M|b) = 2

detto nel caso k = 3 → IL SISTEMA NON È RISOLUBILE

E5.

M = _{k 16}^{1 k} det(M) = k² - 16 ≠ 0

k ≠ ±4

AMMETTE UNICA SOL. PER TUTTI I VALORI di k ≠ ±4

cor(M) = 1

e cor(M|b) = 1

IL SISTEMA AMMETTE INFINITE SOLUZIONI PER k = ±4

cor(M) = 1 ≠ cor(M|b) = 2 → NON È RISOLUBILE

ESEMPIO

_X1 - 2_X2 + _X3 = 0

2_X2 - 8_X3 = 8

5_X3

voglio arrivare a FORMA di JORDAN:

X₂=0

vettore soluzione → LISTA ORDINATA di NUMERI

X₀ = 0

X₁ = 1

X₂ = 0

X₃ = -1

ESERCIZIO

Per un moscow mule servono:

• 1 PARTE SUCCO LIMONE
• 3 PARTI di VODKA
• GINGER BEER 2,5 VOLTE la VODKA

Quante bottiglie devo ordinare se 6cm di vodka preparano 100 moscow mule da 3¢ di euro?

1_X + 3_Y + 2.5 (3_Y) = 1 → 1 MOSCOW MULE

V + L + G = 30 €

V - 3L = 0

2.5V - G = 0

Matrice Identità e Matrice Inversa

• u + Θ = u
• Elemento neutro rispetto al prodotto

Matrice quadrata m x m (ordine m x m)

Se prendo matrice A ∈ R^{m x m}

Es. 3 e 1/3

Sono inversi

Tutti i numeri tranne 0 hanno inversa

Esempio

A = | 1 1 |

       | 2 3 |

B :

AB = BA = I₂

| 1 0 |

| 0 1 |

Formula

A = | a b |

   | c d |

A^-1 = | d -b |

      | -c a |

Two pairs of independent systems

Risolvi il sistema in un solo colpo perché ho invertito due colonne e la stessa

La condizione dell'inversa

dev'essere det(A) ≠ 0

(si dirà matrice non singolare)

Proiezione ortogonale due vettori

⃗u = ²/₃

⃗v = ³/₁

⃗u<V = ||⃗u|| ||⃗v|| cos φ

||⃗v|| ||cos φ||

||u*v|| cos φ = u * N / ||u||

u * V = ⁹/_√13

φ = φi

Formula = ||v|| cos φ

Area del parallelogramma

⃗u = ^-1/₂

⃗v = ^-1/₂

Calcolo area parallelogramma

A = b * h

||u|| ||v|| sin φ

p *'||u|| ||v|| sin φu * X v = det {

= ¹²²/₁₃

= (1,2,2)

h = ?

Formula: ||u x v||

Prodotto misto tra vettori

u,v,w ∈ ℝ³

(u * v) * w = det

Es. Applica una rotazione di π/6 (antiorario) e scrivi la matrice della trasformazione lineare.

Forma Canonica

Matrice Rot:

• cosθ -sinθ
• sinθ cosθ

quindi

• cos π/6 -sin π/6
• sin π/6 cos π/6

Trova l'inversa di questa matrice. Che rotazione rappresenta?

Devo calcolare A^-1

A * A^-1 = I

• cos π/6 -sin π/6
• sin π/6 cos π/6

quindi

• √3/2 -1/2
• 1/2 √3/2

A^-1 =

• 1 0
• 0 1

A⁺¹

Nel nostro caso

A^-1 =

• 1 √3/2 1/2
• 1 -1/2 √3/2

Fare la matrice inversa significa fare la trasformazione inversa della trasformazione inversa.

Dato una Trasf. T ⟶ A

Se calcolo A^-1 trovo la matrice inversa T^-1 ⟷

⟶ A ⟵ A^-1

Commutatività

Se io compongo due Trasformazioni T₁ e T₂ non è uguale a comporre T₂ o T₁

L'ordine delle trasformazioni non è commutativa

Infatti il prodotto tra matrici non è commutativo

Infatti se io T ⟶ A₁ e T₂ ⟶ A₂ e un vettore X ∈ R applico prima (A₁) e poi (A₂(A₁X)

Il prodotto matriciale è associativo

POSIZIONE RECIPROCA due PIANI

Dati due piani π e π di equazioni

π a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0

π a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0

Possono essere tra di loro

• PARALLELI se a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ ≠ d₁/d₂
• COINCIDENTI se a₁ = a₂, b₁ = b₂, c₁ = c₂, d₁ = d₂
• INCIDENTI se vale almeno una di queste disuguaglianze

In questo caso, i due PIANI sono INCIDENTI in una RETTA, ossia hanno in comune i punti di una retta che può essere espressa con il sistema lineare di due equazioni in tre incognite

{a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0

a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0

ES. II MODO

A = (0, 1, 2)

B = (-1, 2, -2)

C = (2, 0, -4)

2x + 5y + cz + d = 0

sostituisco

{-b + 2c + d = 0

2a + 2b + 2c + d = 0

(2a - 4c)d = 0

1. b = a
2. c = 2b - 2a
3. d = 2a + c

{a = 0

b = 2c

c = 0

d = 0

Le piano passa per l'origine

2x + 3y + z = 0

Equazione piano di cerco