Matematica - Algebra lineare e geometria

Sistema crameriano

Un sistema lineare si dice crameriano se la matrice dei coeff. è quadrata e con det ≠ 0.

m₁x + m₂y = b₁
m₂x + m₂y = b₂

La matrice M

M = m₁   m₁
m₂   m₂

Risolvere un sistema crameriano significa determinare quell'unica coppia ordinata (x; y) dei valori delle variabili x e y che soddisfano tutte le equazioni del sistema.

Si usa la regola di Cramer. I valori della coppia (x; y) si determinano mediante i seguenti due rapporti tra i det delle matrici M, M₁ e M₂:

X = ^{det M₁}/_{det M}     Y = ^{det M₂}/_{det M}

con M₁ = m₁   n₁
m₂   n₂
M = m₁   b₁
m₂   b₂
M₂ = m₁   m₁
m₂   m₂

Esempio

5x = 2y + 0
x = 2y
3x + 5y

S.: (- ³/_M, - ⁷/₁₁)

È una matrice quadrata di ordine 2.

B = [ 5 2 ]
[ 1 0 ]
det = 2

M = [ 1 -2 ]
[ 3 5 ]
det(M) = 5 - (-6) = 11

M₁ = [ 1 2 ]
[ 3 5 ]
det(M₁) = 5 - 8 = -3

M₂ = [ 3 1 ]
[ 3 2 ]
det(M₂) = -4

X = ^{det M₁}/_A = -³/det M₁₁
Y = ^{det M₂}/_{det M} = -⁷/det M₁₁

Sistema crameriano

Un sistema lineare si dice crameriano se la matrice dei coeff. è quadrata e con det ≠ 0

m₁x + n₁y = b₁
m₂x + n₂y = b₂

La matrice M

M = m1   n1
m2   n2

Risolvere un sistema crameriano significa determinare quell'unica coppia ordinata (x; y) dei valori delle variabili X e Y che soddisfano tutte le equazioni del sistema → si usa la regola di Cramer. I valori della coppia (x; y) si determinano mediante i seguenti due rapporti tra i det delle matrice M, M₁ e M₂:

X = _{det M1}^/_{det M}     Y = _{det M2}^/_{det M}

con M1 = b1   n1
b2   n2
M2 = m1   b1
m2   b2

Esempi

{x = 2y + 1
3x + 5y = 2}

È una matrice quadrata di ordine 2.

B = [^{5   2}]
[_{1   0}]
det = 2

M = ^{1   2}
_{3   5}
det (M) = 5 - (6) = 11

M₁ = ^{2   2}
_{3   5}
det (M₁) = 5 - 8 = -3

M₂ = ^{1   2}
_{3   2}
det (M₂) = -4

x = _{det M1} ^{= -3}_{/ det M}
y = _{det M2} ^{= -7}_{/ det M}

S.: (-³_/11      -⁷_/11)

Il numero di soluzioni di un sistema crameriano

1. Calcolo matrice associata
2. Calcolo _det(M) = 0
3. Matrice completa cer. → unica soluzione

Es.
6x+Ky=4
x+Ky=1
M=(_{6 K}/_{2 1})
_det(M)= 6-2K=0
K=3

SIST CRAMERIANO - matrice quadrata
K≠3 → ammette un’unica soluzione
_det(M)≠0

K=3
_det=0 → quindi _car(M)=1

SI OTTIENE DELLA MATRICE DEI COEFFICIENTI CON
_AMPIAMENTO DE ORDINE DEL
TERMINI NOTI

M|b|=(_{6 3 1}/_{2 1 5})_car(M|b|)=2
=> _car(M|b|)=2 ≠ _car(M)=1 ⇒ dettato nel caso K=3 IL SISTEMA NON È RISOLUBILE

Es.
Kx+16y=4
x+Ky=1
M: (_{K 16}/_{1 K})
_det(M)= K²-16 ≠0 K≠±4
AMMETTE UNICA SOL PER TUTTI I VALORI DI K ≠ ±4

K=±4, _det=0 → _car(M) = 1
M|b|=(_{4 16 4}/_{1 4 1})
_car(M)=1 e _car(M|b|)=1
COSI IL SISTEMA AMMETTE INFINITE SOLUZIONI PER K=4

K=-4, _car(M)=1
M|b|=(_{4 16 4}/_{1 -4 1})
_car(M|b|)=2
_car(M)=1 ≠