Matematica A26 - Progettazione di un’ attività didattica - concorso stem

DOVE e SONO DUE PARAMETRI REALI CHE NON POSSONO ESSERE ENTRAMBI DIVERSI DA 0.

CHE ≠ 0, =

SUPPONIAMO ALLORA DIVIDIAMO TUTTO PER E RISCRIVIAMO IN FUNZIONE DI

L’EQUAZIONE DEL FASCIO DI CIRCONFERENZE DIVENTA

+ − − − + ( + − − ) =

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L’EQUAZIONE DEL FASCIO DI

CIRCONFERENZE PER K = -1 DIVENTA

• + − − − + ( + − − ) =

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA (DETTA ASSE

• + − − − + ( + − − ) =

RADICALE) CHE POSSIAMO VEDERE COME

UNA CIRCONFERENZA DI RAGGIO INFINITO

• + − − − + ( + − − ) =

• =

SE k = -1 diventa

2 2

• C1: + − 6 − 2 − 10 = 0

2 2

• C2: + − 8 − 10 = 0

• A = (-1, -1)

• B = (5, 5)

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DEFINIZIONE (FASCIO DI CIRCONFERENZE)

DATE DUE CIRCONFERENZE C1 E C2, RISPETTIVAMENTE DI EQUAZIONI

2 2 2 2

+ + + + = 0 + + ′ + ′ + ′ = 0

C1: e C2:

SI CHIAMA FASCIO DI CIRCONFERENZE DEFINITO DA C1 E C2 L’INSIEME

OSSERVAZIONE: QUALUNQUE

DELLA CIRCONFERENZA C2 E DI TUTTE LE CIRCONFERENZE RAPPRESENTATE

COPPIA DI CIRCONFERENZE

DALL’EQUAZIONE SI OTTIENE IMPONENDO k=-1

DEL FASCIO POSSONO ESSERE NELLA COMBINAZIONE LINEARE

2 2 2 ′ ′ ′

+ + + + + ( + + + ) = 0

GENERATRICI (PER ESERCIZIO SVOLGERE SUL

QUADERNO LE OPERAZIONI)

∈ ℝ

CON

• C1 E C2 SI DICONO GENERATRICI DEL FASCIO

′ ′ ′

• − + − + − = 0

LA RETTA SI DICE ASSE RADICALE DEL FASCIO

• IL LUOGO DEI CENTRI DELLE CIRCONFERENZE DEL FASCIO SI DICE ASSE CENTRALE

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L’ASSE RADICALE PUO’

ESSERE CONSIDERATO

COME UNA PARTICOLARE PASSA PER I CENTRI

CIRCONFERENZA DI DELLE CIRCONFERENZE

RAGGIO INFINITAMENTE DEL FASCIO

GRANDE, OSSIA UNA

CIRCONFERENZA

DEGENERE

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SE LE DUE CIRCONFERENZE GENERATRICI C1 E C2

SONO SECANTI, OSSIA HANNO 2 PUNTI IN

COMUNE CHE CHIAMO A E B.

• TUTTE LE CIRCONFERENZE DEL FASCIO PASSANO

PER A E B.

• I PUNTI A E B SI DICONO PUNTI BASE DEL

FASCIO

• L’ASSE RADICALE PASSA PER A E B.

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SE LE DUE CIRCONFERENZE GENERATRICI C1 E C2

SONO TANGENTI, OSSIA HANNO 1 PUNTO IN

COMUNE CHE CHIAMO A.

• TUTTE LE CIRCONFERENZE DEL FASCIO PASSANO

PER A.

• IL PUNTO A SI DICE PUNTO BASE DEL FASCIO ED

È L’UNICO

• L’ASSE RADICALE È LA RETTA TANGENTE ALLE

CINRCONFERENZE NEL PUNTO A. = ( ,

SUPPONIAMO ),

0 0

• AL FASCIO APPARTIENE ANCHE IL SINGOLO L’EQUAZIONE DELLA

CIRCONFERENZA DEGENERE È

PUNTO A DI EQUAZIONE INTESO COME 2 2

− + − = 0

0 0

CIRCONFERENZA DI RAGGIO NULLO

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SE LE DUE CIRCONFERENZE GENERATRICI C1 E C2

SONO ESTERNE E NON CONCENTRICHE, OSSIA

NON HANNO PUNTI IN COMUNE.

• TUTTE LE CIRCONFERENZE DEL FASCIO NON

AVRANNO PUNTI IN COMUNE

• NON ESISTONO PUNTI BASE

• L’ASSE RADICALE È ESTERNO ALLE

CIRCONFERENZE, OSSIA NON INTERSECA

NESSUNA CIRCONFERENZA DEL FASCIO

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SE LE DUE CIRCONFERENZE GENERATRICI C1 E C2

SONO ESTERNE E CONCENTRICHE, OSSIA NON

HANNO PUNTI IN COMUNE MA STESSO CENTRO.

• TUTTE LE CIRCONFERENZE DEL FASCIO SONO

CONCENTRICHE.

• NON ESISTONO PUNTI BASE

• L’ASSE RADICALE NON ESISTE ′

=

INFATTI ESSENDO

= ′

E NON OTTENIAMO

L’EQUAZIONE DI UNA RETTA

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AL CONTRARIO, DATA L’EQUAZIONE DI UN FASCIO DI CIRCONFERENZE NE

VOGLIAMO STUDIARE LE CARATTERISTICHE.

ITER PROCEDURALE:

CALCOLARE

1. IL CENTRO E IL RAGGIO IN FUNZIONE DI K

2. LE DUE GENERATRICI

3. GLI EVENTUALI PUNTI BASE

4. L’ASSE RADICALE E L’ASSE CENTRALE

5. EVENTUALI CIRCONFERENZE DEGENERI

PS: UNA CIRCONFERENZA DEGENERE PUÒ ESSERE UNA RETTA O UN PUNTO, RISPETTIVAMENTE SONO CIRCONFERENZE

DI RAGGIO INFINITAMENTE GRANDE E NULLO.

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STUDIARE IL FASCIO DI CIRCONFERENZE DI EQUAZIONE:

2 2

+ + − 4 + 4 − 2 − 2 − = 0

Punto 1.(IL CENTRO E IL RAGGIO IN FUNZIONE DI K) −

= − 4 = 4 − 2 = (− ; − ) =( ; − )

e LE COORDINATE DEL CENTRO 2 2

−

+ − ++ = − + ∀ ∈ ℝ

IL RAGGIO r = C.E.

Punto 2. (LE DUE GENERATRICI) 2 2

+ − 4 + 4 − 2 + ( − 2 − 1) = 0

Raccogliendo k si ottiene:

+ − + − = − − =

Le generatrici sono C1 : e C2:

Osservazione: C2 è una retta quindi deve essere per forza l’asse radicale

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STUDIARE IL FASCIO DI CIRCONFERENZE DI EQUAZIONE:

2 2

+ + − 4 + 4 − 2 − 2 − = 0

Punto 3.(GLI EVENTUALI PUNTI BASE) 2 2

− 2 − 1 = 0 OTTIENE = 2 + 1 + − 4 + 4 − 2 = 0,

DA C2: SI CHE SOSTITUENDO IN C1 : SI HA:

2

5 − 5 = 0 = ±1 = (−, −) = (, )

ALLORA SOSTITUENDO IN C2 SI HA E

A E B SONO I PUNTI BASE.

Punto 4.(L’ASSE RADICALE E L’ASSE CENTRALE)

L’ASSE RADICALE È DATO DA C2 MENTRE PER L’ASSE CENTRALE CALCOLIAMO LA RETTA PERPENDICOLARE ALL’ASSE

RADICALE E PASSANTE PER UNO DEI CENTRI CHE POSSIAMO CALCOLARE ATTRIBUENDO DEI VALORI A k NEL PUNTO 1.

= − = (; )

C2: PER k = 4

= − +

L’ASSE CENTRALE

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1. Risoluzione di un esercizio del tipo: (Tempo 15 min)

Date due circonferenze generatrici definire.

L’equazione del fascio di circonferenza, riscrivere l’equazione sviluppando i

prodotti e raccogliendo le incognite, determinare l’asse radicale, l’asse centrale

e punti base. Disegnare alcune circonferenze del fascio.

2. Risoluzione di un esercizio del tipo: (Tempo 15 min)

Studiare un fascio di circonferenze sul modello dell’esercizio 1. precedente

3. Definire un indice di recap (Tempo 15 min)

Allo studente è richiesto di creare un indice di parole chiave da strutturare

sinteticamente e logicamente ripercorrendo tutta l’attività didattica

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L’indice deve servire come supporto nel ripetere gli argomenti per auto

individuare i concetti meno chiari da approfondire, deve essere più

lineare e connesso possibile. Deve essere una guida per ripercorrere

l’attività didattica in autonomia.

1. Esempio di come generare un fascio di circonferenze (combin lineare)

Imparare a imparare è l’abilità di organizzare il proprio apprendimento anche

2. Definizioni: fascio di circonferenze, generatrici, asse radicale e centrale, punti

mediante una gestione efficace del tempo e delle informazioni, sia a livello

base individuale che in gruppo. Questa competenza comprende la consapevolezza del

3. Circonferenza degenere

proprio processo di apprendimento e dei propri bisogni, l’identificazione delle

4. 4 tipi di fasci: generatrici secanti (prop, punti base, asse radic)

opportunità disponibili e la capacità di sormontare gli ostacoli per apprendere in

generatrici tangenti (prop, asse radic, circ degenere)

modo efficace

generatrici esterne non concentriche e concentriche

5. Studio di un fascio di circonferenze (centro e raggio, generatrici, punti base,

assi e circonf degenere)

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• Una prima verifica tramite il tool Kahoot! (15 minuti)

• Verifica scritta con due esercizi e una domanda teorica, di cui uno

dei due esercizi suddiviso in tre sotto esercizi di soluzione più

rapida. (15+15+10 = 40 minuti)

• Colloquio orale valutativo (se la valutazione risulta non compresa

tra 5 e 7 è obbligatorio) (15 minuti)

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• Determinare l’equazione del fascio di circonferenze generato dalle

circonferenze di equazione C1 e C2, e scrivere l’equazione dell’asse

radicale e dell’asse centrale. (15 minuti)

• (),

Dato il fascio di circonferenze di equazione determinare:

• Le coordinate dei centri in funzione di k

• Le circonferenze generatrici

• L’asse radicale e l’asse centrale (15 minuti)

• Dare la definizione di fascio di circonferenza e descrivere almeno 2

tipologie diverse di fasci. (10 minuti)

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Verifica scritta: esercizio 1 Fino a 10 punti Correttezza del risultato, spiegazione

dei passaggi intermedi, utilizzazione

delle conoscenze acquisite per

risolvere situazioni problematiche

Verifica scritta: esercizio 2 Fino a 12 punti (4 punti a sotto Correttezza del risultato, acquisizione

esercizio) delle procedure di calcolo,

utilizzazione delle conoscenze

acquisite

Verifica scritta: teoria Fino a 8 punti Capacità di utilizzare il linguaggio

tecnico, completezza e correttezza

Kahoot! Primo, secondo, terzo e ultimo posto +3; +2; +1; -1 punti

·

=