Matematica

● GLI INSIEMI

• Un insieme si dice finito se contiene un numero finito di elementi.
• Un insieme si dice infinito se ha infiniti elementi.
• Nel caso l'insieme conterrà un solo elemento, si dirà "insieme unitario".

• Rappresentazione per elencazione

A = {12, 14, 16}

• Rapp. per caratteristica o Rapp. intensiva degli insiemi

A = { x | x è un fiume d'Italia }

x tale che x

● CARDINALITÀ

-> di un insieme finito A, detta anche potenza o ordine, indicata con

#A card (A) o |A|

è un numero naturale definito

come il numero di elementi che costituiscono l'insieme.

1. Trovare la cardinalità dell'insieme A {}

delle vocali della parola "paeetio"

o i e (non importa se ripetute)

(A) = 3

-> La cardinalità di qualsiasi insieme finito è un numero naturale.

• Card. dell'insieme vuoto è uguale a zero

card (Ø) = 0

• Card dell'insieme infinito ∞

card (N) = ∞

* Insiemi uguali = insiemi che presentano esclusivamente gli stessi elementi

* Insiemi equipotenti = hanno lo stesso numero di elementi, non necessariamente uguali tra di loro.

- Hanno la stessa cardinalità

→ Sottoinsieme

« A è sottoinsieme di E se ogni elemento di A appartiene ad E ».

A ⊆ E

→ Sottoinsieme proprio

« Se tutti gli elementi di A appartengono ad E e se esiste almeno un elemento di E che non appartiene ad A ».

A ⊂ E

→ Sottoinsieme improprio

« Un qualsiasi elemento di A costituito da elementi di E, tale che ogni elemento appartenente ad E appartiene anche ad A »

A ⊆ E

come contenuto impropriamente

abbiamo sempre e solamente 2 insiemi impropri:

A = ∅ oppure A = E

Equazioni

ax = b

• a ≠ 0 - Determinata
• a = 0 - Impossibile
• b = 0 - Indeterminata

2 equazioni si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni

Equazioni di II grado

I grado: ax + b = 0

II grado: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

* Equazioni incomplete

c = 0 (Spuria)

• x(ax + b) = 0

  a = 0

  x = 0

• x = -b/a

  S {0; -b/a}

b = 0 (Pura)

• ax² + c = 0

  x² = -c/a (c < 0)

  S {∅}

  Impossibile

• x² = c/a (c > 0)

  x = ±√(c/a)

  2 soluzioni opposte

* Equazioni complete

ax² + bx + c = 0

• Δ = b² - 4ac

  • Δ < 0 imposs.
  • Δ = 0 2 soluzioni reali coincidenti
  • Δ > 0 2 soluzioni reali distinte

Disequazioni di I grado

1. È possibile sommare o sottrarre qualsiasi numero sia a termine di sinistra che di destra

2. È possibile moltiplicare o dividere i membri della disequazione per uno stesso numero diverso da zero ricordando che se lo facciamo utilizzando un numero negativo cambia il verso della disequazione

1) Impostare l'equazione

|A(x)| = B(x)

• A(x) ≥ 0
• -A(x) = B(x)

• A(x) < 0
• -A(x) = B(x)

2) Risolvo separatamente le 2 equazioni, e verifico che il risultato coincide con le rispettive disequazioni sopra.

3) Impie amunisco i risultati dei singoli sistemi.

Disequazioni valore assoluto

• |2x-3| > x+6
• 2x-3 ≥ 0
• 2x-3 > x+6
• 2x-3 < 0
• -2x+3 > x+6

S: {x≥2 ∨ x>9}

• |x²-5| < 4
• x²-5 ≥ 0
• x²-5 < 4
• x² ≥ 5
• x² < 9
• x²-5 < 0
• -x²+5 < 4
• x² < 5
• x² > 1

-3 < x < -√5 ∨ √5 < x < 3

-√5 < x < 1 ∨ 1 < x < √5

S={-3 < x < -1 ∨ 1 < x < 3}

• NOTA: PER LA SOMMA DI MONOMI

2a³b⁴ - (-8a²b³)

= -16a⁵b⁷

• POTENZA DI MONOMI

(a·b)^m = a^m·b^m

POLINOMI

Si chiama polinomio ogni somma algebrica di monomi; quindi ogni monomio è un polinomio.

• Monomi che compaiono in polinomio si chiamano termine
• Oltre che monomio nullo è considerato un polinomio nullo

GRADO DI UN POLINOMIO

È il maggiore dei gradi dei suoi termini (tirato in forma normale).

• POLINOMIO OMOGENEO

Se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado

1/2 a³b⁵ + 2a⁶ + 3b⁸

TERMINO NULLO

3

8

8

8

• POLINOMIO COMPLETO

Se comprende tutte le potenze da grado massimo a grado 0

5 × 3 - 4 × x² + 1/3 × 1

TERMINO NOTO

3

2

1

0

* Equazioni rette passanti per l'asse x e y

m = non è definito

In generale x = h y = k

* Appartenenza di un punto ad una retta

Stabilisce il punto A(₁⁄₂; 3) appartiene alla retta y = 2x - 1

• Sostituisco le coordinate del punto all'equazione

y = 2x - 1 ⇔ 3 = 2(₁⁄₂) - 1

3 = 0 A ∉ retta

• Sostituisco la x del punto (solo l'ascissa)

y = 2x - 1 ⇔ y = 2(₁⁄₂) - 2 = 0 ≠ 3

Comparo con y del punto

* Rette parallele - Rette perpendicolari

• 2 rette sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare (m)

k: y = 2x + 3

p: y = 2x + 1

k || p ⇔ m = m'

DETERMINARE EQ. PARABOLA DATO IL FUOCO E LA DIRETTRICE

PF = PH

√(x-x_F)² + (y-y_F)² = |y-y_d|

( )² = ( )²

CASI PARTICOLARI

• b=0   y=ax²+c
• → x_VERTICE=0
• → ASSE SIMMETRIA=0
• c=0   y=ax²+bx
• ASSE y → x=0
• → LA PARABOLA PASSA PER L'ORIGINE
• PARABOLA CON ASSE y

{ y=ax²+bx+c    { y=c

  x=0                   x=0

     (0; c)

• PARABOLA PER 3 PUNTI

y=ax²+bx+c   A(1,3) B(0,5) C(-1;3)

SOSTITUISCO I VALORI DEI PUNTI NELLA EQUAZIONE E OTTENGO SISTEMA

{ 3=a+b+c    { a=-2

   5=c         c=5

   3=a-b+c     b=0

LI SOSTITUISCO ALL'EQUAZIONE DELLA PARABOLA E TROVO L'EQUAZIONE DELLA PARABOLA PASSANTE PER I 3 PUNTI

ASSI

1. FARE DOMINIO
2. FARE IL SEGNO
3. SOSTITUIRE LA X DEI CE ALL' EQUAZIONE DELLA FORMULA

MINIMI E MASSIMI

• MINIMO IN x_o, QUANDO f(x_o) È IL PIÙ PICCOLO VALORE DI f(x) IN A, CIOÈ: f(x_o) ≤ f(x) ∀x ∈ A
• MASSIMO IN x_o, QUANDO f(x_o) È IL PIÙ GRANDE VALORE DI f(x) IN A, CIOÈ: f(x_o) ≥ f(x) ∀x ∈ A

FUNZIONE ESPONENZIALE

I

a^m = ESPONENZIALE BASE

• m=1  a¹ = a
• m=0  a⁰ = 1
• m= m   a^m/ aⁿ = a^m-n

- PASSA SEMPRE PER (0;1)

- y È SEMPRE >0

- f È CRESCENTE

II

- PASSA PER (0;1)

- y È SEMPRE >0

- f È DECRESCENTE