Massimo e minimo di un insieme; insiemi limitati superiormente e inferiormente

Massimo e minimo di un insieme

Sia A un insieme di numeri reali. Il massimo di A, se esiste, è un numero M dell'insieme A che è maggiore o uguale ad ogni altro elemento dell'insieme.

^M massimo di A ↔ _M ≥ _a ∀ _a ∈ _A, _M ∈ _A (_M = max _A)

Il minimo di un insieme di numeri reali A, se esiste, è un numero m dell'insieme A che è minore o uguale ad ogni altro elemento di A.

^m minimo di A ↔ _m ≤ _a ∀ _a ∈ _A, _m ∈ _A (_m = min _A)

Non tutti gli insiemi di numeri reali hanno il massimo ed il minimo. Se A è costituito da tutti i numeri reali positivi, A non ha né max, né min, poiché non esiste il più piccolo numero reale positivo. Quando esistono, il massimo e il minimo sono unici.

Maggioranti e minoranti

Un numero reale L si dice maggiorante per un insieme A se _L ≥ _a per ogni _a ∈ _A. Analogamente, un numero reale L si dice minorante di A, se _L ≤ _a ∀ _a ∈ _A.

Massimo e minimo di un insieme

Sia A un insieme di numeri reali. Il massimo di A, se esiste, è un numero M dell'insieme A che è maggiore o uguale ad ogni altro elemento dell'insieme.

⇔ M massimo di A (M = max A) {M ≥ a ∀ a ∈ A} {M ∈ A}

Il minimo di un insieme di numeri reali A, se esiste, è un numero m dell'insieme A che è minore o uguale ad ogni altro elemento di A.

⇔ m minimo di A (m = min A) {m ≤ a ∀ a ∈ A} {m ∈ A}

Non tutti gli insiemi di numeri reali hanno il massimo ed il minimo, se A è costituito da tutti i numeri reali positivi A non ha né max, né min, poiché non esiste il più piccolo numero reale positivo. Quando esistono, il massimo e il minimo sono unici.

Maggioranti e minoranti

Un numero reale L si dice maggiorante per un insieme A se L ≥ a per ogni a ∈ A. Analogamente, un numero reale ℓ è un minorante di A, se ℓ ≤ a ∀ a ∈ A.