Manuale per esercizi di Scienza delle Costruzioni

Riferimenti per gli esercizi sulle travi

Carrello, pendolo e doppio pendolo

Vincolo semplice

(A) · e = 0 impedisce la traslazione lungo e

Reazioni vincolari

• R = FA · u(A) + fA φ = 0

Vincolo doppio

u(A) · e = 0 φ = 0 impedisce la rotazione e la traslazione lungo e

Reazioni vincolari

• ℓ = FA u(A) = 0

Vincoli e reazioni vincolari

Carrello

Vincolo semplice

u(A) · e = 0 impedisce la traslazione lungo e

Reazioni vincolari

• R = FA · u(A) + τA Q = 0

Pendolo

Vincolo semplice

u(A) · e = 0 impedisce la traslazione lungo e

Reazioni vincolari

• ℓ = τA u(A) + τA Q = 0

Doppio pendolo

Vincolo doppio

u(A) · e = 0 φ = 0 impedisce la rotazione e la traslazione lungo e

Reazioni vincolari

• ℓ = FA u(A) = 0

Pendolo improprio

Vincolo semplice

l = 0 impedisce la rotazione

Reazioni vincolari

• l = Ta - u(A) = 0

Cerniera

Vincolo doppio

u(A) = 0 impedisce qualsiasi traslazione ma lungo x e lungo y

Reazioni vincolari

• l = Ta [u(A) = 0

Incastro

Vincolo triplo

u(A) = 0 l = 0 impedisce qualsiasi spostamento e rotazione

Reazioni vincolari

• l = Ta, u(A) + m(A) = 0

Analisi cinematica

Un corpo rigido ha 3 gradi di libertà che si indicano con _u1 (A), _u2 (B), φ

Lo spostamento di un qualunque punto si esprime

_u1 (P) = _u1 (B) + ( ^y_P - ^y_B ) φ

_u2 (P) = _u2 (B) + ( ^x_P - ^x_B ) φ (1)

Il grado di libertà si calcola come

l = 3m - Σn_i - Σc_i

Gradi di libertà

• l = 0 → labile → o labile a vincoli inefficaci
• l = 0 → isostatico → o labile a vincoli inefficaci
• l > 0 → iperstatico o labile a vincoli inefficaci

Se le rette su cui sono i centri di rotazione propri concorrono in uno stesso punto il sistema ruota attorno a quel punto altri punti fermi.

Se le rette su cui sono i centri impropri hanno la medesima direzione il sistema ruota attorno ad un centro improprio altrimenti è fermo.

Metodo per lo svolgimento

1. Si studia se il sistema è isostatico, iperstatico.
2. Si considerano i parametri lagrangiani scegliendo solamente quelli più comodi per calcolare.
3. Si scrivono le equazioni di vincolo e delle connessioni per ogni punto in cui sono presenti.
4. Si scrive un sistema con tutte le equazioni scritte in modo che il modulo in sé non è completamente.

Matrice incompleta. Essendo un sistema m x m, dove n è il numero di gradi di libertà, per il calcolo del determinante si utilizza il teorema di Laplace:

A =[a₁₁ ... a_1m]

[. ... .]

[. ... .]

[a_m1 ... a_mm]

|A| = (-1)^i+j a_ij |M_ij|

dove M_ij è la matrice ottenuta sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna.

5. Se presente un vincolo incamato si impone che il versore sia ortogonale ai componenti in funzione dell'angolo di inclinazione e con la risoluzione del sistema si definisce per quali valori di ω il sistema è labile a vincoli infatti ponendo |A| = 0.
6. Si sostituisce il valore di ω trovato nel sistema e si trovano le m soluzioni che lo soddisfano.
7. Note le soluzioni si scrivono i componenti spostamento e si calcolano le posizioni dei centri:

{a₁(P) = a₁(B) + ψ(y_P - y_B)}

{a₁(P) = a₂(B) + ψ(x_P - x_B)}

{a₂(C) = a₁(B) - ψ(y_C - y_B) = 0}

{a₂(L) = a₂(B) + ψ(x_L - x_B) = 0}

dove a₁(B), a₂(B), ψ rappresentano il prosieguo lungo il percorso scelto, dei quesiti verrà a seconda dei lati.

Le treve e sommero si considerano i due controlli spostamento e questioni per il calcolo dei carichi o spostamenti e si calcolano su proseguimento come segue:

μ1ΣΣ(P) = μ1Σ