Macroeconomia - nozioni generali

Il sentiero di sella (I)

Il diagramma precedente permette di apprezzare l'intera dinamica del sistema. I sentieri che il sistema prenderebbe dai quadranti superiore e inferiore non sono compatibili con le condizioni generali di ottimo.

E' possibile notare che:

• vi è un punto in cui entrambe le variabili sono costanti: è il punto di steady state o stato stazionario
• nel quadrante superiore il sistema è instabile poiché raggiungerebbe valori infinitamente alti delle due variabili K e q (e quindi degli investimenti) violando la condizione di trasversalità
• nel secondo caso si arriverebbe a valori economicamente non significativi delle due variabili
• nel quadrante inferiore il sistema condurrebbe a valori nulli di K e q
• nei quadranti laterali le variabili si posizionerebbero in una posizione economica

significativamuovono entrambe verso il loro stato stazionariostazionario Non tutti i sentieri, tuttavia, portano allo stato stazionario. Il sentiero di sella (II)Se questo sentiero esiste, il sistema converge. Dato un certo capitale iniziale K(0) è verso uno stato stazionario, costituendopossibile individuare i valori di q, e pertanto il sentiero di sella di questoquindi di I, incompatibili con il sentiero sistema dinamicoottimo. Nello stato stazionario q e K sono costanti. L'insieme dei valori iniziali di q tra i quali si nel tempo. Da ciò segue che anche glipuò rinvenire l'inizio del sentiero ottimo investimenti sono costanti nel tempoè quello compreso tra le due curve K'=0. Questo è l'unico sentiero che non viola lee q'=0 condizioni di trasversalità e di non-L'andamento dei sentieri che partono da negatività del capitale: esso è quindi ilquesto insieme di punti potrebbe essere sentiero.

ottimotale da attraversare le curve K' = 0 e q' = 0: Questo sentiero porterà q, K e I ad assumerein questo caso verrebbero di nuovo i valori di stato stazionario qss, Kss, Issviolate le condizioni di trasversalità o di Questi valori sono quelli per il qualinon-negatività del capitale q' = K' = 0 ossiaPuò esistere un sentiero, tuttavia, cheattraversa le curve K' = 0 e q' = 0 nel (r+ )qss= [ F/ K]/Pk|K = Ksspunto in cui si intersecano [qss, Kss] = KssRiepilogoLe condizioni di ottimo sono: La prima espressione indica il volume diinvestimenti associato ad un dato costo1) H/ I = 0 marginale G/ I degli investimenti2) - H/ K = d e- r(s)ds/dt Poiché la condizione di ottimo richiede che il3) H/ = e- r(s)dsK' costo marginale sia uguale a q, èEsse possono essere riscritte nel modo possibile ricavare il volume degliseguente investimenti associato ad ogni datovalore di q (seconda espressione)1a) Pk G/ I = (t) Si è

ottimizzazione dinamica Ciò significa che occorre individuare la sequenza di azioni che permetta di portare la variabile dallo stato A allo stato B nel modo ottimale, non solo per un singolo periodo o istante, ma per un intero arco temporale. Se le sequenze possibili sono più di una, la soluzione consiste nell'individuazione di un sentiero temporale ottimo per ciascuna variabile, che indichi il valore ottimo della variabile. Completato l'ordinamento, verrà scelta la sequenza che massimizza o minimizza il valore ad essa associato, a seconda dei casi, per ogni periodo (tempo discreto) o istante (tempo continuo) dell'intervallo prescelto.

Ottimizzazione dinamica (II) Un problema di ottimizzazione dinamica (sia in tempo discreto che in tempo continuo) non si ha infatti che un insieme di numeri reali x viene

trasformato in un altro è composto pertanto dai seguenti insieme di numeri reali y, ossia unaelementi: funzione y= f(x)• uno stato iniziale ed uno stato finale Si associano in fatti delle sequenze di valori adei numeri reali. Nel caso di tempo• un insieme di sequenze possibili dallo continuo, si associano delle curve a deistato iniziale allo stato finale numeri reali• un insieme di valori associati associati Avremo quindi le sequenze possibili y1(t),alle sequenze y2(t), y3(t) e così via, e avremo i valori• un obiettivo: massimizzare o minimizzare ad esse associate V1, V2, V3 e così viail valore associato a ciascuna sequenza In generale, avremo V[y(t)]In tempo discreto la sequenza sarà un vettore, Occorre notare che non si tratta di unain tempo continuo la sequenza sarà una funzione composta, in cui V è unafunzione y(t) funzione di t; V è una funzione di y(t)La relazione che esiste tra le sequenze ed i nel suo

complessovalori ad esse associate è una relazione

Questo tipo di trasformazione (mappa) viene particolare definito funzionale

Ottimizzazione dinamica (III)

In tempo continuo il movimento diventa

Un sentiero ottimo è una sequenza di azioni infinitesimo. Quelle caratteristiche sono che massimizza o minimizza il valore pertanto t, y(t), y’(t)

V[y(t)] Se esiste una funzione che associa a questi

Tale valore viene ottenuto considerando il tre elementi un valore per ogni istante t

valore associato ad ogni azione della essa sarà

sequenza e calcolandone poi il valore F[t, y(t), y’(t)]

totale Per l’intera sequenza avremo

In tempo discreto il valore totale è una

somma dei valori associati a ciascuna V(y) = F[t, y(t), y’(t)]dt

azione; in tempo continuo è un integrale E’ la variazione della sequenza y(t) a far

definito variare V. Ogni sequenza y1(t), y2(t),...

Ogni azione è un movimento della variabile consiste in una serie di azioni da un

Punto ad un altro. Per associare un valore ad ogni azione della sequenza attraverso la funzione F che assume una serie di valori definita nell'intervallo [0, T], occorre definire le caratteristiche di questo movimento. Per ogni sequenza, l'integrale calcola il valore somma associato alla sequenza nel tempo iniziale, con il valore iniziale e la direzione di movimento. Approcci alternativi al problema di ottimizzazione dinamica esistono tre approcci fondamentali: il calcolo delle variazioni, la teoria del controllo ottimo e la programmazione dinamica.

La differenza fondamentale con il classico calcolo differenziale è la seguente:

• Nel calcolo differenziale si considerano gli effetti del differenziale dx sul valore di y = f(x)
• Nel calcolo delle variazioni si considerano gli effetti delle variazioni di y sul valore di V(y) = F[t, y(t), y'(t)]dt

Un'intera curva y(t) sul valore del funzionale V(y) s.t. y(0) = A.

Nella teoria del controllo ottimo il problema y(T) = Z di ottimizzazione dinamica è un.

Questo problema è noto come il problema problema basato su tre tipi di variabili fondamentale del calcolo delle variazioni (invece di due).

Le condizioni preliminari perché una soluzione possa essere ottenuta è che il funzionale F sia integrabile e che le funzioni che vi compaiono siano continue e differenziabili.

La teoria del controllo ottimo (I)

Nella teoria del controllo ottimo è la variabile dy/dt = f[t, y(t), u(t)] di controllo ad assumere un ruolo fondamentale.

Questa equazione mostra il tipo di relazione esistente tra le due variabili.

Ciò significa che il sentiero ottimo è definito nei termini della variabile di stato y(t) e della variabile di controllo u(t).

controllo temporale, dato il valore della variabile

Ciò è possibile solo perché la decisione sul di stato, il particolare assunto dalla

sentiero di controllo u(t) determinerà, variabile di controllo determinerà il

dato lo stato iniziale di y, in maniera movimento della variabile di stato

inequivocabile il sentiero della variabile Pertanto una volta determinato il sentiero

di stato y(t) ottimo della variabile di controllo u*(t)

È necessaria pertanto un'equazione che resterà determinato il sentiero ottimo

associ la variabile di stato y alla variabile della variabile di stato y*(t)

di controllo u È possibile riformulare il problema

Questa equazione prende il nome di fondamentale dell'approccio del calcolo

equazione di transizione delle variazioni per tenere conto della

presenza della nuova variabile La teoria del controllo ottimo (II)

Max V(u) = F[t, y(t), u(t)]dt Non è necessario che nel funzionale F entri,

oltre alla