Macroeconomia - nozioni generali

Facoltà di Economia

Corso di Laurea in Economia e Commercio

Anno accademico 2000/2001

Macroeconomia II

Prof. Maurizio Caserta

Lunedì 11-13

Martedì 11-13

Mercoledì 11-13

16 ottobre 2000 - 24 gennaio 2001 0

PRINCIPALE TESTO DI RIFERIMENTO

Metodi dinamici e fenomeni macroeconomici,

di Fabio-Cesare Bagliano e Giuseppe Bertola

IL MULINO 1999 - Lit.38000 0

LA MACROECONOMIA

La macroeconomia come Lo scopo principale della

disciplina autonoma si fonda macroeconomia è offrire una

sull’esistenza di fenomeni che spiegazione di questi

interessano il sistema movimenti

economico nel suo complesso: Tale scopo viene raggiunto

i movimenti della all’interno dello schema di

• produzione aggregata riferimento neoclassico, con

individui massimizzanti e

• disoccupazione mercati concorrenziali

• inflazione 0

LA STRUTTURA

Il sistema economico è costituito Le famiglie massimizzano una

da: funzione di utilità

intertemporale, definita sui

• famiglie che possiedono le livelli di consumo in ogni

risorse dell’economia e che periodo dell'orizzonte di scelta,

hanno vita infinita subordinatamente al vincolo

• imprese che utilizzano quelle delle risorse

risorse per produrre beni Le imprese massimizzano il flusso

• mercati in cui le imprese dei profitti sullo stesso

vendono beni alle altre imprese orizzonte temporale, entro i

e alle famiglie, e le famiglie limiti consentiti dalla

vendono i servizi delle proprie tecnologia esistente

risorse alle imprese 0

I CONTESTI

Le famiglie e le imprese operano Le famiglie e le imprese operano

in un’economia nella quale i in un’economia nella quale i

mercati sono aperti ad mercati sono aperti ad

intervalli regolari e nella quale intervalli regolari e nella quale

non vi è incertezza sugli stati vi è incertezza sugli stati del

del mondo e sui prezzi mondo e sui prezzi

corrispondenti a ciascuno stato corrispondenti a ciascuno stato

del mondo del mondo.

In queste condizioni la

massimizzazione dell’utilità

intertemporale e dei profitti si

basa su aspettative delle

variabili future rilevanti.

Tali aspettative saranno formate in

maniera razionale, ossia

utilizzando tutte le 0

informazioni disponibili

LE FAMIGLIE E IL CONSUMO

Le famiglie nell’economia Tale caratteristica viene modellata

assumendo che la generazione

• forniscono lavoro in cambio di corrente massimizzi una funzione

salari di utilità soggetta ad un vincolo di

• ricevono interessi sulle attività bilancio su un orizzonte temporale

possedute infinito

• acquistano beni di consumo Tale funzione viene definita sui livelli

• risparmiano accumulando nuove di consumo relativi ad ogni periodo

attività dell’orizzonte temporale

Nel formulare i loro piani le famiglie Questa famiglia immortale può essere

tengono conto del benessere e delle utilizzata per rappresentare soggetti

risorse dei loro discendenti correnti con vita finita, ma connessi da un

e futuri sistema di trasferimenti

intergenerazionali 0

IL COMPORTAMENTO OTTIMALE

Il problema di ottimizzazione della Caratteristiche della funzione di utilità:

famiglia rappresentativa è il • Separabilità intertemporale:

seguente Ut(ct, ct+1, …) = vt(ct) + vt+1(ct+1) +

max Ut = U(ct, ct+1, …) vt+2(ct+2) ….

ct+i ; (i = 0,1,2…, ) Con v’(ct+i) > 0

s.t. )

v’’(ct+i) < 0 (i 0

• Coerenza dinamica:

At+i+1 = (1+rt+i)At+i + yt+i -ct+i vt+i(ct+i) = (1/1+ )i u(ct+i)

(i = 0,1,2…, ) • Utilità attesa:

Ciò significa che in ogni periodo la Evt+i(ct+i) = (1/1+ )i Eu(ct+i)

ricchezza finanziaria può crescere svt+i(ct+i,s) = (1/1+ )i

in una misura che dipende dai tassi su(ct+i,s)

di interesse, dal reddito corrente e )

(i 0 (s = 1, 2, ..., S) (S = stati del mondo)

dai consumi correnti L’incertezza si assume limitata ai

livelli dei redditi da lavoro yt+i 0

Gli investimenti

Un particolare progetto di investimento verrà La funzione dei ricavi netti è per ogni istante

intrapreso se l’aggiunta che esso t la seguente:

comporta allo stock di capitale esistente F(t) = R[t, K(t), N(t)] - Pk(t)G[I(t), K(t)] -

genera un incremento del flusso atteso w(t)N(t)

dei ricavi netti Dato l’orizzonte temporale di riferimento,

Tale condizione, ossia l’incremento del l’impresa le funzioni K(t), N(t) e I(t) che

flusso dei ricavi netti, può dipendere massimizzano il valore attuale del flusso

dalle modalità in cui l’investimento si temporale dei ricavi netti

svolge Assumendo un orizzonte temporale infinito

Può darsi, per esempio, che quel particolare avremo

progetto sia più proficuamente svolto in V(0) = 0 F(t)e- r(s)dsdt

modo graduale Questa funzione rappresenta la funzione

L’impresa deve pertanto formulare un piano obiettivo dell’impresa: date le variabili

di investimenti; tale piano di investimenti esogene r(t), w(t) e Pk(t) ed i vincoli che

è ottimo quando la variazione marginale associano le funzioni incognite sarà

di ricavi netti è nulla possibile sottoporla ad un processo di

massimizzazione

La funzione F(t)

F(t) = R[t, K(t), N(t)] - Pk(t)G[I(t), K(t)] - Le uscite derivanti dall’impiego di lavoro

w(t)N(t) sono costituite dal pagamento di un

salario per unità di lavoro

Per ogni istante t la funzione F esprime la

differenza tra le entrate R e le uscite PkG Le uscite derivanti dall’attività di

ed wN investimento sono costituite dalla spesa

per l’acquisto di beni capitali: tale spesa

Le entrate R dipendono dal prodotto venduto dipende dal prezzo Pk e dal costo

che è funzione delle risorse impiegate K dell’investimento G[I(t), K(t)]

ed N e dallo stato della domanda

sintetizzato dalla variabile t Il costo dell’investimento dipende dalla

quantità di beni capitali acquistati I(t) e

Si assume che dallo stock di capitale esistente K(t)

R/ K > 0 R/ N > 0 In particolare si assume che

2R/ K2 < 0 2R/ N2 < 0 G/ I > 0 2G/ I2 > 0

Le uscite dipendono dagli investimenti Ciò significa che il costo del capitale cresce

realizzati nel periodo e dal lavoro al crescere della quantità acquistata, ma

impiegato in maniera crescente

Costi di investimento convessi

L’implicazione principale di questa forma

funzionale è il crescente costo unitario

dell’investimento

Da ciò segue che può essere più efficiente un

piano di investimenti graduale che spezzi

G il progetto in più progetti di dimensioni

minori

Ciò è vero anche per il disinvestimento, ossia

per la dismissione di beni capitali:

maggiori vendite di beni capitali

implicano pertanto ricavi unitari minori

Nell’istante di riferimento un progetto di

investimento genera solo dei costi. Non

sarebbe perseguito se non producesse

ricavi in un momento successivo

I L’analisi pertanto non può ignorare

l'interdipendenza temporale tra le

decisioni di investimento: essa deve

diventare intertemporale

Il piano ottimo di investimenti

In tempo continuo, in un orizzonte infinito e Se si specificano le condizioni iniziali e le

in assenza di incertezza il problema condizioni finali il problema di controllo

dell’impresa è il seguente ottimo può essere affrontato

max V(0) = 0 F(t)e- r(s)dsdt Avremo pertanto l’Hamiltoniano:

Le funzioni incognite che compaiono nel H(t) = F(t)e- r(s)ds + (t)K’(t)e- r(s)ds

funzionale sono: K(t), N(t) e I(t) H(t) = e- r(s)ds [F(t) + (t)K’(t)]

Se si assume N(t) come nota, restano le H(t) = e- r(s)ds [F(t) + (t)(I(t) - K(t))]

variabili K e I che hanno la natura, Il moltiplicatore rappresenta la variabile di

rispettivamente, di variabile di stato e di costato ed ha un significato economico

variabile di controllo preciso: rappresenta infatti il contributo

Esso può essere affrontato dunque come un al flusso dei benefici di un allentamento

problema di controllo ottimo del vincolo K’(t)

Tra la variabile di stato K e la variabile di Esso rappresenta quindi il contributo ai ricavi

controllo I esiste la seguente relazione netti di una variazione unitaria di capitale

per ogni istante t o valore marginale del capitale

K’(t) = I(t) - K(t) Le condizioni di ottimo

Le condizioni di ottimo nel caso generale H/ I = 0

sono le seguenti: - F/ I + (t) = 0

H/ u = 0 F/ I = (t)

H/ y = - ’(t) Pk G/ I = (t)

H/ = y’ Questa condizione può essere interpretata

Applicate al caso particolare ( e ricordando come la condizione di uguaglianza tra il

che adesso rappresenta il valore non costo marginale del capitale Pk G/ I ed

scontato della variabile di costato) il suo valore marginale (t)

avremo - H/ K = d e- r(s)ds/dt

H/ I = 0 -( F/ K - ) = ’ - r

- H/ K = d e- r(s)ds/dt r = F/ K - + ’

H/ = e- r(s)dsK’ Assumendo = 0 avremo

Vale inoltre come condizione finale la r = F/ K + ’

condizione di trasversalità Questa condizione può essere interpretata come

limt e- r(s)ds (t) K(t) = 0 una condizione di equità finanziaria: il

contributo al flusso dei benefici di una unità

Le condizioni di ottimo possono essere di capitale più la variazione ’ del suo valore

esplicitate e interpretate deve essere uguale al rendimento ottenibile su

un titolo di uguale valore, ossia r

Il sentiero ottimo (I)

Dalla elaborazione delle condizioni di ottimo Introduciamo la variabile

è possibile passare alla formulazione di q(t) = (t)/Pk(t)

due equazioni differenziali che può essere interpretato come il rapporto

Da queste si ottengono i sentieri ottimi per la tra il prezzo di domanda del capitale e il

variabile di stato K e la variabile di prezzo di offerta

controllo I Sostituendo la precedente espressione nella

Il sistema di equazioni differenziali può condizione di massimo

essere studiato per ottenere la soluzione Pk G/ I = (t)

analitica; in alternativa si può ottenere la

soluzione qualitativa che fa uso dei avremo

diagrammi di fase G/ I = q(t)

Questa procedura permette di determinare le La funzione G/ I è una funzione sempre

caratteristiche dei sentieri possibili e di crescente di I. Essa pertanto è invertibile

individuare quelli che rispondono alle I(t) = [q(t), K(t)]

condizioni poste dal problema di

ottimizzazione Lo stock K(t) può essere un argomento sia

della funzione G/ I sia della funzione

Occorre pertanto ricavare le due equazioni

differenziali Il sentiero ottimo (II)

Definita la relazione che esiste tra la variabile Ricordando una delle condizioni di ottimo

q e gli investimenti I occorre costruire la -( F/ K - ) = ’ - r

equazione differenziale che includa la e sostituendola nella espressione precedente

funzione q(t) avremo

Associando questa equazione alla equazione q’(t) = [r -( F/ K - )]/ Pk(t) - q k

di transizione K’(t) = I(t) - K(t) si q’(t) = [(r + ) - F/ K]/Pk(t) - q k

otterrà un sistema di due equazioni

differenziali che è possibile studiare q’(t) = (r + )q - q k - [ F/ K]/Pk(t)

mediante il metodo dei diagrammi di fase q’(t) = (r + - k)q(t) - [ F/ K]/Pk(t)

Definiamo la funzione q’(t) Inoltre, dall’equazione di transizione

q’(t) = d[ (t)/Pk(t)]/dt = ’(t)/Pk(t) - otteniamo, utilizzando la funzione degli

[ (t)/Pk(t)][Pk’(t)/Pk(t)] investimenti

Si ponga [Pk’(t)/Pk(t)] = k K’(t) = [q(t), K(t)] - K(t)

Avremo quindi Avremo un sistema di due equazioni

differenziali nelle variabili K(t) e q(t)

q’(t) = ’(t)/Pk(t) - q k delle quali è possibile studiare la

dinamica

Il diagramma di fase (I)

Il sistema di equazioni differenziali da Il primo passo è quello di identificare i punti

studiare è il seguente in cui K e q sono costanti ossia quando

K’ e q’ sono pari a zero

q’(t) = (r + - k)q(t) - [ F/ K]/Pk(t) q’ = 0 (assumiamo k = 0)

K’(t) = [q(t), K(t)] - K(t) q = [1/(r+ )][ F/ K]/Pk

La soluzione qualitativa permette di

determinare a quali condizioni le Poiché tutte le variabili esogene sono positive

variabili K e q raggiungono uno stato la forma della curva q’ = 0 dipende

stazionario e a quali condizioni dall’andamento della funzione F/ K

cambiano nel tempo L’andamento di questa funzione non è

Nel piano rappresentato dagli assi q e K ogni immediatamente evidente poiché il

punto indica uno stato del sistema contributi di K al flusso dei benefici

dipende anche dagli effetti che esso ha

Le due equazioni permettono di determinare sul flusso di investimenti

per ogni punto del piano la dinamica del

sistema, ossia le direzioni di movimento Assumiamo che l’andamento sia decrescente,

delle due variabili K e q ossia che il flusso marginale sia

decrescente al crescere di K

Ciò è possibile calcolando K’ e q’

Il diagramma di fase (II)

L’andamento del luogo per il quale q’ = 0

sarà pertanto decrescente

Tutti i punti al disopra della curva implicano

una variazione positiva di q, ossia q’ > 0;

tutti i punti al disotto una variazione

q negativa, ossia q’ < 0

Passando alla seconda variabile occorre

identificare i punti in cui K è costante,

ossia K’ = 0

Ciò è vero quando

[q(t), K(t)] = K(t)

Per determinare la pendenza del luogo dei

q’ = 0 punti per i quali K’ = 0 occorre

conoscere gli effetti di q e di K sugli

investimenti: il primo è sicuramente

positivo; il secondo può essere positivo o

K negativo

Si assume che sia positivo

Il diagramma di fase (III)

Si ha pertanto che il luogo K’ = 0 ha Tutti i punti a sinistra della curva implicano

pendenza positiva un valore positivo di K’ e quindi un

movimento di K verso destra

Tutti i punti a sinistra implicano valori

negativi di K’ e quindi un movimento

q verso sinistra di K

K’=0 Se si sovrappongono i due diagrammi

avremo il comportamento dinamico di

entrambe le variabili

K

Il sentiero di sella (I)

Il diagramma precedente permette di I sentieri che il sistema prenderebbe dai

apprezzare l’intera dinamica del sistema quadranti superiore e inferiore non sono

compatibili con le condizioni generali di

E’ possibile notare che: ottimo

• vi è un punto in cui entrambe le variabili Nel primo caso valori infinitamente alti delle

sono costanti: è il punto di steady state o due variabili K e q ( e quindi degli

stato stazionario investimenti) violano la condizione di

• nel quadrante superiore il sistema è trasversalità

instabile poiché raggiungerebbe valori Nel secondo caso si arriverebbe a valori

infinitamente elevati di entrambe le economicamente non significativi delle

variabili due variabili

• nel quadrante inferiore il sistema Solo muovendosi dai quadranti laterali il

condurrebbe a valori nulli di K e q sistema potrebbe raggiungere la

• nei quadranti laterali le variabili si posizione economicamente significativa

muovono entrambe verso il loro stato dello stato stazionario

stazionario Non tutti i sentieri, tuttavia, portano allo stato

stazionario

Il sentiero di sella (II)

Se questo sentiero esiste, il sistema converge

Dato un certo capitale iniziale K(0) è verso uno stato stazionario, costituendo

possibile individuare i valori di q, e pertanto il sentiero di sella di questo

quindi di I, incompatibili con il sentiero sistema dinamico

ottimo Nello stato stazionario q e K sono costanti

L’insieme dei valori iniziali di q tra i quali si nel tempo. Da ciò segue che anche gli

può rinvenire l’inizio del sentiero ottimo investimenti sono costanti nel tempo

è quello compreso tra le due curve K’=0 Questo è l’unico sentiero che non viola le

e q’=0 condizioni di trasversalità e di non-

L’andamento dei sentieri che partono da negatività del capitale: esso è quindi il

questo insieme di punti potrebbe essere sentiero ottimo

tale da attraversare le curve K’=0 e q’=0: Questo sentiero porterà q, K e I ad assumere

in questo caso verrebbero di nuovo i valori di stato stazionario qss, Kss, Iss

violate le condizioni di trasversalità o di Questi valori sono quelli per il quali

non-negatività del capitale q’ = K’ = 0 ossia

Può esistere un sentiero, tuttavia, che

attraversa le curve K’=0 e q’=0 nel (r+ )qss= [ F/ K]/Pk|K = Kss

punto in cui si intersecano [qss, Kss] = Kss

Riepilogo

Le condizioni di ottimo sono: La prima espressione indica il volume di

investimenti associato ad un dato costo

1) H/ I = 0 marginale G/ I degli investimenti

2) - H/ K = d e- r(s)ds/dt Poiché la condizione di ottimo richiede che il

3) H/ = e- r(s)dsK’ costo marginale sia uguale a q, è

Esse possono essere riscritte nel modo possibile ricavare il volume degli

seguente investimenti associato ad ogni dato

valore di q (seconda espressione)

1a) Pk G/ I = (t) Si è derivato

2a) r = F/ K - + ’ q’(t) = d[ (t)/Pk(t)]/dt

3a) K’(t) = I(t) - K(t) Sostituendo la 2a) in questa espressione si è

Si è posto ottenuto, dopo aver posto k= 0

q(t) = (t)/Pk(t) da cui 4) q’(t) = (r + )q(t) - [ F/ K]/Pk(t)

G/ I = q(t) Si è poi sostituito la funzione degli

Ricavando l’inversa di G/ I rispetto ad I si investimenti nella 3a) per ottenere

ha 5) K’(t) = [q(t), K(t)] - K(t)

I(t) = [ G/ I, K(t)] e quindi La 4) e la 5) rappresentano le due equazioni

I(t) = [q(t), K(t)] differenziali che permettono di studiare

la dinamica del sistema

Ottimizzazione dinamica (I)

Nei problemi di ottimizzazione statica si Il problema di ottimizzazione dinamica può

ricerca un unico valore ottimo per ogni essere visto come il problema di port