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Equazioni differenziali(I)

Un’equazione differenziale è una relazione Un esempio di funzione differenziale lineare

che lega una funzione incognita y=f(x) di ordine 1 è il seguente:

con alcune delle sue derivate successive a1y’(t) + a2y/t) + x(t) = 0

e con la variabile indipendente x a1 e a2 sono delle costanti; se x(t) = a3

L’ordine n dell’equazione differenziale e l’equazione è detta autonoma

quello della derivata più alta La soluzione generale dell’equazione lineare

Si chiama soluzione o integrale differenziale sarà una funzione di t e di

dell’equazione differenziale ogni una costante arbitraria

funzione y=f(x) derivabile almeno fino Solo se si fissa la costante arbitraria, sarà

all’ordine n che la soddisfi identicamente possibile conoscere il comportamento

Nella maggior parte dei casi la variabile della variabile y nel tempo e determinare

indipendente è la variabile tempo t. In quindi la soluzione particolare o esatta

questo caso l’obiettivo è trovare la Per sapere quale degli infiniti sentieri viene

funzione y(t), ossia il comportamento effettivamente seguito, occorre

della variabile y nel tempo conoscere il valore di y ad un certo

istante temporale

Equazioni differenziali(II)

Si deve notare che, quando y’(t)>0, y è

Si potrebbe conoscere, per esempio, il valore crescente; quando y’(t)<0, y è

di y all’istante iniziale t = 0 ossia y(0) decrescente; quando y’(t)=0, y è stabile

Questo valore, che potrebbe essere y(0) = 0, Essendo la funzione f nota, è possibile

permette di determinare la soluzione determinare il comportamento qualitativo

esatta dell’equazione differenziale di y ad un dato istante temporale

Una soluzione alle equazioni differenziali Dato y ad un certo istante temporale,

può essere fornita anche solo sul piano arbitrariamente scelto, è possibile dire se

qualitativo in quell’istante y è crescente, decrescente

Senza conoscere la forma della funzione y(t) o stabile

è possibile determinare la direzione di Ovviamente per conoscere il valore effettivo

cambiamento di y nel corso del tempo di y a quell’istante bisognerebbe

Consideriamo una equazione differenziale conoscere la funzione y(t)

autonoma La funzione f può essere rappresentata

y’(t) = f[y(t)] graficamente. Attraverso l’uso delle

dove f è una funzione nota ( frecce direzionali è possibile dar conto

non necessariamente

) delle variazioni di y

lineare Dinamica di y

Assumiamo una equazione lineare Per valori di y maggiori di x/a y risulterà

crescente; per valori minori di x/a y

y’(t) = f[y(t)] = a y(t) - x risulterà decrescente

dove a e x sono delle costanti con a > 0. Si Fissando il valore di y ad un istante arbitrario

avrà: se y = 0, y’ = -x; se y’ = 0, y = x/a sapremo quale sarà la dinamica di y in

quel punto

Se si esclude il caso in cui il valore di iniziale

di y è x/a, il suo valore continuerà a

y’ cambiare nel tempo

In questo caso l’equazione differenziale è

instabile

Se a < 0 la retta avrà andamento decrescente

e intercetta orizzontale pari a [-x/a]

In questo caso l’equazione differenziale è

stabile: in corrispondenza di valori di y

y minori di -x/a y’ > 0. Pertanto y risulterà

crescente

Sistemi di equazioni differenziali

Un sistema lineare 2x2 è il seguente

Un sistema di equazioni differenziali lineari y1’(t) = a11 y1(t)

del primo ordine è il seguente: y2’(t) = a22 y2(t)

y1’(t) = a11 y1(t) + a12 y2(t) + ... + x1(t) Ciò significa che

……………………. a12 = 0; a21 = 0; x1 = 0; x2 = 0

yn’(t) = an1 y1(t) + an2 y2(t) + ... + xn(t) La costruzione del diagramma di fase

Anche per i sistemi di equazioni differenziali permette di cogliere la dinamica del

sono disponibili due procedure di sistema nel tempo

soluzione: una procedura analitica e una

procedura grafica Rappresentando le due variabili y1e y2sui

due assi coordinati, si avrà che ogni

La prima fornisce una soluzione quantitativa punto del piano rappresenta la posizione

al sistema di equazioni; la seconda una del sistema ad un certo istante

soluzione qualitativa Lo scopo del diagramma di fase è di mostrare

La soluzione qualitativa fa uso del cosiddetto la dinamica del sistema in quella data

diagramma di fase, e può essere posizione, ossia se le due variabili y1e y2

applicata solo a sistemi 2x2 formati da crescono, decrescono o sono costanti

equazioni autonome [x(t) = c]

I diagrammi di fase (I)

Nel sistema precedentemente illustrato è L’asse delle ordinate corrisponderà al luogo

possibile distinguere tre casi cui dei punti in cui y1’ = 0; tutti i punti a

corrispondono diverse dinamiche del destra dell’asse verticale

sistema corrisponderanno all’insieme dei punti in

cui y1’ > 0; tutti i punti a sinistra

1) a11 > 0; a22 > 0 corrisponderanno all’insieme dei punti in

Per ogni punto del piano formato dagli assi cui y1’ < 0

y1 e y2 il diagramma dovrà mostrare la

dinamica del sistema

E’ possibile studiare separatamente le due y2

equazioni

y1’(t) = a11 y1(t)

Occorre chiedersi per questa equazione quali

sono i punti in cui y1è crescente, y1

decrescente o stabile, ossia quando y1’ è

maggiore, minore o uguale a zero

E’ chiaro che y1’ = 0 se y1 = 0; y1’ > 0 se

y1 > 0; y1’ < 0 se y1 < 0

I diagrammi di fase (II)

Lo stesso vale per l’equazione Se congiungiamo i due diagrammi si avrà il

quadro completo della dinamica del

y2’(t) = a22 y2(t) sistema

Sarà vero quindi che y2’ = 0 se y2 = 0; Ogni punto nel primo quadrante implica una

y2’ > 0 se y2 > 0; y2’ < 0 se y2 < 0 variazione positiva di entrambe le

variabili; ogni punto del terzo quadrante

y2 una variazione negativa di entrambe;

ogni punto del secondo e del quarto

quadrante una variazione positiva di una

variabile e una variazione negativa

dell’altra

y1 I punti sugli assi implicano che una variabile

è costante e l’altra è in movimento

Solo il punto di origine implica stabilità per

entrambe le variabili

I diagrammi di fase (III)

2) a11 < 0; a22 < 0 • L’equilibrio è stabile: da qualsiasi punto

Si può seguire la stessa procedura per di partenza la dinamica del sistema

considerare il secondo caso implica il raggiungimento del punto di

steady state

In questo caso

• per valori positivi delle due variabili le y2

derivate y1’ e y2’ saranno negative

indicando pertanto un andamento

decrescente delle due variabili;

• per valori negativi le derivate saranno

positive, indicando un andamento

crescente delle due variabili y1

• per valori nulli ciascuna delle due

variabili rimarrà costante

• nel punto di origine entrambe le variabili

rimarranno costanti Il sentiero di sella

3) a11 < 0; a22 > 0 Solo da una posizione sull’asse orizzontale il

sistema è in grado di raggiungere lo

In questo caso, ossia il caso in cui un steady state

coefficiente è positivo e l’altro negativo,

la dinamica del sistema è più complicata

poiché il sistema non è né stabile né

instabile

E’ il caso in cui esiste un sentiero di sella: y2

ossia esiste un sentiero tale che, se il

sistema si trova in quella posizione,

riuscirà a raggiungere la posizione di

equilibrio, ossia la posizione in cui

entrambe le derivate sono nulle

La caratteristica di questo caso è che in y1

ciascun quadrante le variabile hanno

dinamiche differenti, con la conseguenza

che da ogni posizione diversa dall’asse

orizzontale il sistema diverge Gli investimenti

L’investimento è l’attività di accumulazione Se il capitale cresce da un periodo all’altro

nel tempo di beni capitali reali da parte l’investimento netto sarà positivo

delle imprese In questo caso la produzione di nuovi beni

I beni capitali reali sono quelli in grado di capitali è destinata, da un lato, a

fornire un flusso di servizi nel tempo sostituire il capitale logorato, dall’altro,

ad accrescere quello esistente

Un’economia può in conseguenza

dell’accumulazione produrre beni in L’unico modo di creare capitale è ridurre

misura superiore al periodo precedente l’ammontare di risorse consumate, ossia

il risparmio

L’accumulazione di capitale è pertanto un

elemento vitale nei processi di crescita Pertanto il processo di accumulazione di

economica capitale richiede che i consumatori

risparmino una parte del loro reddito

L’economia diventa stazionaria se non vi è

accumulazione di capitale ma solo La trasformazione del risparmio in

sostituzione del capitale consumato accumulazione di capitale avviene

attraverso il meccanismo di mercato

In quel caso il prodotto per abitante resta

costante nel tempo 0

La teoria degli investimenti

Per spiegare la formazione di capitale occorre Tenendo conto degli effetti

guardare al comportamento delle imprese dell’accumulazione di capitale sulla

e ai loro obiettivi fondamentali produzione, le imprese daranno luogo a

quel flusso di investimenti che

La decisione di accumulare capitale è permetterà di avere il flusso di profitti più

strettamente connessa alle decisioni sulla alto

quantità di prodotto, sui tempi di

produzione e sulle quantità di fattori da Il vincolo principale a cui l’impresa è

impiegare sottoposta è la funzione di produzione,

che illustra gli effetti sulla produzione

Ciò significa che l’attività di accumulazione dell’accumulazione di capitale

deve essere spiegata sulla base del

principio di massimizzazione dei profitti Y = f(L, K, T)

Come per le altre attività, l’attività di Lo stato della tecnologia T può essere

accumulazione è vincolata dalle assunto costante; la produzione

caratteristiche della funzione di dipenderà pertanto dall’ammontare di

produzione lavoro L e dall’ammontare di capitale K

impiegati 0

I profitti

In ciascun periodo l’impresa riceve un flusso V = t[Ptyt - WtLt - pktIt]/(1+r)t

di entrate derivanti dalla vendita del Se l’impresa ha un orizzonte temporale

prodotto, e genera un flusso di uscite infinito avremo (t = 0, … )

dovute all’acquisto di lavoro e di nuovi Finché non si affronta il problema

beni capitali dell’equilibrio il tasso di interesse r è un

Il flusso netto è pertanto il seguente: dato per l’impresa

Nt = Ptyt - WtLt - pktIt Dato il capitale esistente al tempo 0,

L’obiettivo dell’impresa è quello di l’impresa decide l’ammontare di capitale

massimizzare il flusso di ricavi netti Nt da detenere in ogni periodo insieme alle

decisioni che riguardano il volume di

Poiché l’impresa vive per più di un periodo il produzione e l’ammontare di lavoro da

problema diventa quello di massimizzare impiegare

l’intero profilo temporale dei flussi di

ricavi netti attesi L’ammontare di capitale programmato per

ogni periodo dipenderà dalla domanda

Occorre determinare quindi il valore attuale corrente e futura di prodotto, dai salari

di tale flusso atteso e massimizzare tale reali e dai prezzi dei beni capitali

valore 0

La decisione di investire

Un particolare progetto di investimento verrà Il problema dell’impresa può essere

intrapreso se l’aggiunta che esso riformulato nel tempo continuo

comporta allo stock di capitale esistente F(t) sarà la differenza tra le entrate e le uscite

genera un incremento del flusso atteso per ogni periodo

dei ricavi netti Tale differenza dipende dallo stock di

Se questo si realizza il valore dell’impresa ne capitale disponibile in ogni periodo K(t),

risulterà accresciuto dagli investimenti I(t), e dall’ammontare

La variazione del flusso atteso dei ricavi è di lavoro impiegato N(t)

data da F(t) = R[t, K(t), N(t)] - Pk(t)G[I(t), K(t)] -

V = t Nt/(1+r)t w(t)N(t)

Se si assume che la produttività del capitale

sia decrescente la variazione V

diminuirà al crescere dello stock di

capitale

L’ammontare ottimo di capitale sarà

raggiunto nel punto in cui V = 0 0

Attività finanziarie

Finché si assume certezza non occorre Insieme all’individuazione del piano ottimo

considerare più di una attività finanziaria do consumo, il consumatore

rappresentativo deve individuare la

Infatti, in un contesto di certezza solo composizione ottima del portafoglio ad

l’attività finanziaria con il rendimento più ogni istante temporale, per tutto

elevato verrà detenuta l’orizzonte rilevante

In un contesto di incertezza, è possibile che A partire da un istante t nel quale la

un’attività finanziaria che genera un composizione del portafoglio è data, il

rendimento più basso di un’altra sia consumatore dovrà determinare lo stock

detenuta insieme all’altra ottimo ad ogni istante temporale

Un’attività senza rischio, o con un basso successivo

rischio, può essere preferita ad un’attività La composizione ottima del portafoglio

con rendimento più elevato, ma con finanziario dipenderà dal grado di

rischio più elevato avversione al rischio del consumatore

Si pone pertanto un problema di scelta di (dal rapporto che esiste tra un

portafoglio, ossia della composizione rendimento certo e un equivalente

dello stock di ricchezza finanziaria rendimento incerto) e dal grado di rischio

di ciascuna attività finanziaria 0

Il premio per il rischio (I)

La condizione di ottimo del consumatore All’inizio del periodo il consumatore si

permette di determinare il rendimento ritrova con una dotazione di attività

aggiuntivo che un’attività rischiosa deve finanziarie che può modificare, nel

garantire per poter essere detenuta livello complessivo e nella struttura, al

insieme ad attività non rischiose termine del periodo

Tale condizione è alla base del modello di Il cambiamento del livello complessivo è

determinazione dei prezzi delle attività possibile per il risparmio che si genera in

finanziarie (CAPM, capital asset pricing ogni periodo

model) Quando la scelta viene fatta il rendimento

Il vincolo di accumulazione delle attività della diverse attività non è noto con

finanziarie per il singolo consumatore è il certezza

seguente La condizione di massimo del consumatore

jAjt+i+1 = (1+rjt+i+1) jAjt+i + yt+i - ct+i (condizione di Eulero) deve essere

rispettata in ogni caso, quindi anche in

(j=1,..,n) presenza di più attività finanziarie, ossia

(i=0,… ) di più tassi di interesse 0

Il premio per il rischio (II)

In un contesto di certezza dei rendimenti Il secondo membro dell’espressione è il

delle attività finanziarie vale solo una valore atteso di un prodotto tra due

condizione di Eulero variabili aleatorie

u’(ct) =[1+r/1+ ] Etu’(ct+i) Nel caso generale si ha

In un contesto di incertezza dei rendimenti la E(XY) = E(X)E(Y) + cov(X,Y)

condizione di Eulero deve essere vera La covarianza è uguale a zero se le due

per ogni tasso di interesse variabili sono indipendenti

u’(ct) =[1/1+ ]Et[(1+rjt+1)u’(ct+1)] Nel caso particolare avremo

Poiché u’(ct) e non sono stocastici questa Et[(1+rjt+1)Mt+1] = Et(1+rjt+1) Et(Mt+1) +

espressione si può riscrivere cov((1+rjt+1), Mt+1)

1 = Et[(1+rjt+1)(1/1+ )u’(ct+1)/u’(ct)] Sostituendo questa espressione nella

Se si pone condizione di Eulero

(1/1+ ) u’(ct+1)/u’(ct)= Mt+1 1 = Et(1+rjt+1) Et(Mt+1) + cov((1+rjt+1),

Mt+1)

1 = Et[(1+rjt+1)Mt+1] Et(1+rjt+1) = [1/ Et(Mt+1)][1 -

cov((1+rjt+1), Mt+1)] 0

Il premio per il rischio (III)

Se il rendimento fosse certo si avrebbe Et(rjt+1) - r°t+1 =

(1+r°t+1) = [1/ Et(Mt+1)] - (1+r°t+1)cov((1+rjt+1), Mt+1)

La covarianza tra una costante e una Questa espressione rappresenta il rendimento

variabile aleatoria è pari a zero aggiuntivo che un’attività rischiosa deve

pagare per poter essere detenuta nel

E’ possibile chiedersi quale differenza esiste portafoglio di un consumatore

tra il caso di rendimento incerto e quello

di rendimento certo Questo è uno dei risultati principali del

modello CAPM

Sostituiamo l’espressione trovata per il caso

di rendimento certo nella espressione

precedente

Et(1+rjt+1) = (1+r°t+1)[1 - cov((1+rjt+1),

Mt+1)] =

(1+r°t+1) - (1+r°t+1)cov((1+rjt+1), Mt+1)

Et(1+rjt+1) - (1+r°t+1) =

- (1+r°t+1)cov((1+rjt+1), Mt+1) 0

Funzione del consumo (I)

Il diverso comportamento del consumatore Ricordando che

nel caso di una funzione di utilità [1/1+r] (1/1+r)iEtyt+i = Ht

esponenziale si rifletterà sulla funzione e che

del consumo ct+i = ct+i-1 + Kt+i-1 + vt+i

Dovremmo aspettarci che il consumo non

sarà più pari al reddito permanente avremo

poiché il consumatore assumerà un [1/1+r] (1/1+r)i[ Et Et ] =

ct+i-1 + Kt+i-1

atteggiamento prudenziale rispetto al Ht+ At

futuro Ricordando che ct è un valore osservato sul

Per ottenere la funzione del consumo si può quale non occorre formare aspettative e

partire dal vincolo di bilancio e sostituire che Kt è una componente deterministica

i valori del consumo con il piano ottimo il primo membro dell’ultima espressione

[1/1+r] (1/1+r)iEtct+i = [1/1+r] sarà

(1/1+r)iEtyt+i + At [1/1+r]ct + [1/1+r]2[ct + Kt]+ [1/1+r]3

(i = 0, 1, 2 ….) [ct + Kt + Kt +1 ] + …. 0

Funzione del consumo (II)

L’ultima espressione può essere sostituita Quando si considera l’evoluzione temporale

dalla seguente dei consumi nel tempo la prudenza dei

consumatori si rifletterà in una struttura

[1/1+r] i(1/1+r)i ct + dei consumi crescente

[1/1+r] i(1/1+r)i j Kt+j-1 L’effettiva evoluzione temporale sarà inoltre

(i = 0, 1, 2 ….) legata ai disturbi stocastici del consumo

(i = 1, 2 ….) Poiché l’incertezza riguarda il reddito è

(j = 1, 2,….i) possibile stabilire una relazione tra i

Ricordando i limiti delle serie geometriche di disturbi stocastici del consumo e quelli

ragione 1/1+r avremo del reddito

ct = r(Ht+ At) - [r/1+r] i(1/1+r)i j Riscriviamo il vincolo di bilancio

Kt+j-1 considerando i valori realizzati e non i

valori attesi

Si può vedere da questa formulazione che il

consumo non è più pari al reddito [1/1+r] i(1/1+r)ict+i = Ht+ At +

permanente ma inferiore [1/1+r] i(1/1+r)i(yt+i - Etyt+i) (i=

1,2..)

Ciò riflette l’atteggiamento prudenziale verso

il futuro: si preferisce non consumare

interamente il proprio reddito 0

permanente Variabilità del consumo

Facendo le opportune sostituzioni dalla (yt+i - Etyt+i) = yt+i-1 + (1- )y* +

funzione che esprime il processo t+i

stocastico del consumo e ricordando la - Etyt+i-1 - (1- )y* =

funzione del consumo avremo yt+i-1 - Etyt+i-1 + t+i=

i(1/1+r)i j vt+j = i(1/1+r)i(yt+i - ( yt+i-2 + (1- )y* + t+i-1) -

Etyt+i) ( Etyt+i-2 + (1- )y*) + t+i =

(i = 1, 2 ….) k k t+i-k

(j = 1, 2,….i) (k= 0,1,2,…, i-1)

Assumiamo un processo stocastico del Sostituendo nell’espressione derivata dal

reddito di tipo autoregressivo del primo vincolo di bilancio si avrà

ordine i(1/1+r)i j vt+j = i(1/1+r)i k

yt+i = yt+i-1 + (1- )y* + t+i k t+i-k

In questo modo si può riformulare il secondo Associando i termini con lo stesso indice

membro dell’ultima condizione temporale

i(1/1+r)i(yt+i - Etyt+i) i(1/1+r)i(vt+h - i-1 t+h ) h 1

Per un dato valore di h avremo

vt+h = [r/1+r- ] t+h 0

Relazione tra vt+h e t+h

L’associazione temporale tra i termini v e i La sommatoria può essere riscritta

termini può essere ottenuta svolgendo aggregando i termini con lo stesso indice

la sommatoria temporale t+h

i(1/1+r)i jvt+j = i(1/1+r)i k k t+i-k Per ogni h 1 avremo

(i= 1,2,…,) i(1/1+r)i(vt+h - i-1 t+h ) = 0

(j= 1,…,i) Occorre inoltre imporre la condizione che

(k= 0,…,i-1) i h

nel modo seguente: Per ogni valore di h l’espressione può essere

i=1 svolta utilizzando i limiti delle serie

geometriche. Avremo pertanto

(1/1+r)vt+1 = (1/1+r) t+1 vt+h = [r/(1+r- )] t+h

i=2 Si ottiene pertanto un risultato analogo a

(1/1+r)2vt+1 + (1/1+r)2vt+2 = (1/1+r)2 quello ottenuto nel caso di utilità

t+1 + (1/1+r)2 t+2 quadratica

i=3 L’evoluzione temporale del consumo è

(1/1+r)3vt+1 + (1/1+r)3vt+2+ (1/1+r)3vt+3 = adesso spiegata in funzione della

(1/1+r)3 2 t+1 + (1/1+r)3 t+2 + componente stocastica del reddito

(1/1+r)3 t+1 0

Evoluzione del consumo

L’espressione che descrive l’evoluzione del Avremo pertanto

consumo nel tempo è adesso la seguente ct+i = ct+i-1 + K + [r/(1+r- )] t+i

ct+i = ct+i-1 + Kt+i-1 + [r/(1+r- )] t+i

L’aggiustamento del consumo in funzione La variazione del consumo nel tempo, nel

del disturbo stocastico del reddito caso di soggetti prudenti, dipende da

dipende dai tassi di interesse e dal • una costante K che riflette la reazione del

parametro consumatore al contesto di incertezza,

Se = 1 l’aggiustamento del consumo in • una componente stocastica che dipende

risposta a variazioni impreviste del da

reddito è totale – le innovazioni del reddito

Se = 0 l’aggiustamento del consumo sarà – il parametro che riflette la permanenza

minimo poiché si ritiene che la dell’innovazione

variazione non si manterrà nel tempo – dai tassi di interesse

E’ possibile dimostrare tra l’altro che K è

costante nel tempo (intuitivamente ciò è

legato alla condizione che E t+i= 0) 0

Il risparmio precauzionale

Si è mostrato che il risparmio è dovuto Nel caso di utilità quadratica, ossia di

alla differenza tra r e oppure alla una funzione di utilità del tipo

non uniforme distribuzione u(ct) = ct - b/2ct2

temporale dei redditi da lavoro è possibile la formazione solo di questi

Infatti se r > , pur in presenza di un due tipi di risparmio

flusso di redditi costante, la In particolare è esclusa la formazione

struttura dei consumi è crescente: il di una forma di risparmio

risparmio è pertanto necessario precauzionale legato all’esistenza

Inoltre, se la struttura dei redditi non è di incertezza

costante, pur nel caso in cui r= , Il risparmio precauzionale discende

occorre risparmiare per garantire la dall’incertezza associata alla

stabilizzazione dei consumi realizzazione del consumo futuro

Solo se il reddito da lavoro è uguale al Un aumento dell’incertezza indurrebbe

rendimento del capitale umano, il il consumatore a ridurre il consumo

risparmio è nullo corrente per accrescere il valore

atteso del consumo futuro 0

Il caso dell’utilità quadratica

L’utilità quadratica esclude la formazione di Una maggiore distanza dei valori possibili

risparmio precauzionale a causa della del consumo abbassa la retta che

linearità dell’utilità marginale rappresenta l’utilità attesa della lotteria

In questo caso, un aumento dell’incertezza, pur in presenza di un valore atteso

misurato per esempio dalla varianza del costante

consumo, non cambia l’utilità marginale

attesa, non incidendo sulla struttura

ottima del consumo u

La funzione di utilità quadratica implica

avversione al rischio; infatti u’’< 0

In questo caso un aumento dell’incertezza

genera una diminuzione dell’utilità attesa

Si avrà infatti un aumento della dispersione

dei valori del consumo c 0

Utilità marginale lineare

Se questo risultato appare non plausibile,

In effetti il cambiamento del grado di poiché si ritiene che il grado di

incertezza agisce sul comportamento del incertezza debba agire sulle scelte

consumatore attraverso l’utilità marginale ottimali, occorre postulare delle forme

attesa funzionali diverse

Gli effetti sul consumo si avranno solo se il Le funzioni di utilità più plausibili, quelle

diverso grado di incertezza modifica cioè che implicano un più plausibile

l’utilità marginale attesa comportamento nei confronti del rischio,

Nel caso di utilità quadratica, quindi di utilità comportano u’’’ > 0, cioè convessità

marginale lineare, il valore atteso della funzione di utilità marginale

dell’utilità marginale coincide con In questo caso un aumento dell’incertezza si

l’utilità marginale del valore atteso riflette in un aumento dell’utilità

Si ha infatti u’’’ = 0 (

la derivata terza marginale attesa

corrisponde alla derivata seconda della Per ristabilire l’equilibrio sarà necessario un

funzione di utilità marginale) aumento del consumo futuro atteso che

In questo caso, un cambiamento del grado di genera una riduzione dell’utilità

incertezza, come una maggiore marginale attesa

dispersione dei valori dell'utilità Si avrà così un comportamento prudente da

marginale, non ha effetti sull’utilità parte dei consumatori

marginale attesa 0

Dimostrazione (I)

Si vuole dimostrare che nel caso in cui Funzione di utilità esponenziale (u’’ < 0; u’’’

> 0)

• u’’’ = 0 il risparmio precauzionale è

nullo In questo caso vale la cosiddetta

disuguaglianza di Jensen:

• u’’’ > 0 il risparmio precauzionale è

positivo u’(Etct+i) < Etu’(ct+i)

Funzione di utilità quadratica La dimostrazione può essere fatta in un caso

semplificato

u’(Etct+i) = Etu’(ct+i) Si assume

Ciò deriva dalla condizione di Eulero i = [0, 1]

Etu’(ct+i) = u’(ct) yt = y*

e dall’espressione relativa al valore atteso del

consumo futuro yt+1 = [yt+1A, yt+1B] yt+1A > yt+1B

Etct+ i= ct Eyt+1 = y*

Sostituendo la seconda nella prima abbiamo r = = 0

la relazione iniziale In equilibrio deve essere vero:

Etu’(ct+i) = u’(ct) st = y* - ct 0

Dimostrazione (II)

Funzione di utilità quadratica Funzione di utilità esponenziale

u’(Etct+i) = Etu’(ct+i) u’(Etct+i) < Etu’(ct+i)

Poiché l’orizzonte temporale è limitato a due Se il risparmio fosse nullo e quindi

periodi e il tasso di interesse è nullo ct = y*

• nel periodo due il consumo è dato dal ct+i = yt+i

reddito realizzato più il risparmio del Eyt+i = y*

periodo precedente Ect+i = ct

• nel periodo uno il consumo è dato dal avremmo

reddito realizzato meno il risparmio u’(ct) < Etu’(ct+i)

L’equazione di Eulero può essere riscritta nel

modo seguente ossia la condizione di Eulero non sarebbe

rispettata

Etu’(yt+i + st) = u’(y* - st) Occorre in questo caso ridurre l’utilità

Facendo le sostituzioni marginale del periodo successivo

u’(Et (yt+i + st)) = u’(y* - st) Ciò è possibile se aumenta il consumo del

u’(y* + st) = u’(y* - st) periodo successivo, ossia se si risparmia

Ciò può essere vero solo se st = 0 nel periodo corrente 0

Un’applicazione (I)

Nel caso di una funzione esponenziale si può

Un esempio di una funzione esponenziale mostrare che il consumo segue un

con derivata terza positiva è fornito dalla processo del tipo seguente

seguente funzione: ct+i = ct+i-1 + Kt+i-1 + vt+i Evt+1 = 0

u(ct+i ) = -(1/ )exp[- ct+i ] Se il termine K risulta positivo il consumo

u’(ct+i ) = exp[- ct+i ] mostrerà una struttura crescente e ciò

u’’(ct+i ) = - exp[- ct+i ] sarà dovuto a un comportamento

u’’’(ct+i ) = 2exp[- ct+i ] prudenziale

Si tratta quindi di una funzione con un grado Nel caso in cui la funzione di utilità è

di avversione al rischio e di prudenza u(ct+i ) = -(1/ )exp[- ct+i ]

positivi la condizione di Eulero è la seguente

Per questo tipo di funzione il consumo ottimo exp[- ct] = Eexp[- ct+1]

presenta un andamento crescente pur in Sostituendo in questa espressione quella

presenza di r = e in presenza di un relativa al processo stocastico del

reddito da lavoro costante consumo avremo

Nel caso di utilità quadratica il consumo exp[- ct] = Eexp[- (ct + Kt + vt+1)]

segue il seguente processo

ct+1 = ct + ut+1 Eut+1 = 0 0

Un’applicazione (II)

Con le opportune sostituzioni avremo Pertanto nel caso in cui la funzione di utilità

sia di tipo esponenziale il consumo

exp[ Kt] = Eexp[- vt+1] ottimo non segue un random walk

Prendendo i logaritmi Esso ha invece una struttura crescente nel

logexp[ Kt] = logEexp[- vt+1] tempo e riflette l’atteggiamento

Kt = logEexp[- vt+1] prudenziale del consumatore nei

confronti dell’incertezza

Kt =1/ logEexp[- vt+1] Rispetto al caso di utilità quadratica il

Occorre verificare che Kt sia positivo o consumo non sarà pari al reddito

nullo permanente ma rifletterà la prudenza dei

Utilizzando la proprietà consumatori

logE(.) > Elog(.) Esso sarà quindi inferiore al reddito

Kt =1/ logEexp[- vt+1] > 1/ Elogexp[- permanente

vt+1]

= 1/ E(- vt+1) = 0

ne segue che

Kt > 0 0

L’evoluzione temporale del reddito

In assenza di incertezza le variazioni di Il reddito permanente subirà pertanto

reddito corrente sono già una modifica se la variazione di

incorporate nella determinazione reddito corrente non era prevista

del reddito permanente Se questo è vero il consumo subirà una

Il risparmio pertanto riflette la modifica con la conseguenza che si

differenza tra il reddito da lavoro crea un legame tra reddito corrente

corrente e una misura delle e consumo corrente

capacità di reddito da lavoro (rHt) Per determinare il modo in cui la

In assenza di incertezza tale misura realizzazione del reddito incide sul

non cambia nel tempo reddito permanente, e quindi sul

consumo, occorre postulare un

In presenza di incertezza la particolare processo stocastico del

realizzazione del reddito corrente reddito

fornisce un'informazione non

disponibile al periodo precedente 0

Il processo stocastico del reddito corrente

yt+1 = yt + (1- )y* + t+1 Si può dimostrare che

0 1 Et+1yt+1+i - Etyt+1+i = i t+1

Il reddito corrente dipende dal reddito Sostituendo questa espressione nella

del periodo precedente, da una condizione che descrive la

componente deterministica e da dinamica dei consumi

una componente stocastica ct+1 = ct + r[(1/1+r) (1/1+r)i

E t+1 = 0 (Et+1 - Et )yt+1+i]

A seguito della realizzazione del avremo

reddito verranno modificate le ct+1 = ct + r[(1/1+r) (1/1+r)i

aspettative sul reddito futuro i t+1]

Per ogni periodo la variazione di ovvero

aspettative sarà la seguente ct+1 = ct + [r/(1+r- )] t+1

Et+1yt+1+i - Etyt+1+i i 0 0

Consumo e reddito corrente

ct+1 = ct + [r/(1+r- )] t+1 Quando la differenza

Questa espressione illustra il t+1 - [r/(1+r- )] t+1

comportamento del consumo nel [(1- )/(1+r- )] t+1

tempo in funzione della variazione • è positiva ( t+1 > 0) si formerà un

stocastica del reddito corrente risparmio positivo

Data una certa innovazione nel reddito • è negativa ( t+1< 0) si formerà un

corrente t+1 il consumo ottimo risparmio negativo

crescerà in una misura pari a Solo nel caso estremo di =1 il

[r/(1+r- )] t+1 consumo varia nella stessa misura

Il consumo pertanto non cresce della del reddito

stessa misura del reddito In questo caso infatti il reddito

Ciò significa che il reddito permanente permanente varia nella stessa

non è cresciuto nella stessa misura misura del reddito corrente

del reddito corrente 0

Il parametro

0 1 yt+1 = yt + (1- )y* + t+1

Il parametro indica la misura in cui • =1

una data variazione del reddito yt+1 = yt + t+1

corrente t+1 si conserva nel Ciò significa che ogni innovazione di

tempo reddito non scompare più

Più è duratura questa variazione L’espressione che riguarda il consumo

maggiore sarà l’effetto sul reddito ct+1 = ct + [r/(1+r- )] t+1

permanente, e quindi sui consumi diventa ct+1 = ct + t+1

Il primo caso estremo è rappresentato • =0

da =1 in cui la variazione

osservata viene incorporata per yt+1 = y* + t+1

intero nel reddito permanente In questo caso l’innovazione del reddito ha

L’altro caso estremo, =0, rappresenta carattere totalmente temporaneo

il caso in cui la variazione Il consumo sarà pari a

osservata viene incorporata solo in ct+1 = ct + [r/(1+r)] t+1

minima parte nel reddito

permanente 0

Incertezza e consumo

In assenza di incertezza, e quando non Nel caso in cui non è possibile

si verificano variazioni nei modificare le proprie decisioni si

parametri del modello, la dinamica avrà che

temporale dei consumi rispecchia il u’(ct+1) = Eu’(ct+1) + t+1

piano ottimo dei consumi u’(ct+1) - Eu’(ct+1) = t+1

In presenza di incertezza, e finché non L’utilità marginale del consumo al

è possibile modificare le proprie tempo t+1 non sarà pari al suo

decisioni, la dinamica temporale valore atteso, ma a questo più la

dei consumi rifletterà anche le componente stocastica

variazioni inattese del reddito Tale differenza è ovviamente nulla se

Quando è possibile modificare le si calcola il suo valore atteso

proprie decisioni, la dinamica E t+1 = 0

temporale dei consumi rifletterà la

misura in cui le variazioni inattese

del reddito influenzano il piano

ottimo Dinamica temporale dei consumi

Ricordando l’equazione di Eulero Da questa espressione, che rappresenta

la dinamica temporale dell’utilità

u’(ct) = [1+r/1+ ]Eu’(ct+1) marginale, è possibile ricavare

Eu’(ct+1) = [1+ /1+r]u’(ct) un’espressione che rappresenti la

e sostituendola nell’espressione dinamica temporale dei consumi

precedente Per ottenere questa espressione occorre

u’(ct+1) = [1+ /1+r]u’(ct) + t+1 esplicitare la funzione di utilità

Se r = Per ottenere una dinamica semplice

come quella dell’utilità marginale

u’(ct+1) = u’(ct) + t+1 occorre una funzione caratterizzata

Pertanto se si escludono cambiamenti da utilità marginale lineare

nelle decisioni, l’utilità marginale u(ct) = ct - b/2ct2

effettiva del consumo al tempo t+1

sarà pari all’utilità marginale u’(ct) = 1 - bct

effettiva del consumo al tempo t

più una componente non

prevedibile Random walk

La dinamica temporale dell’utilità Se E t+1 = 0

marginale nel caso di una funzione allora il consumo mostrerebbe una

di utilità con utilità marginale dinamica temporale in cui le

lineare è variazioni sono imprevedibili

1 - bct+1 = 1 - bct + t+1 (random walk)

Da questa espressione si può ricavare Nel caso di una funzione con utilità

la dinamica temporale dei consumi marginale lineare questo risultato è

garantito

ct+1 = ct - 1/b t+1 Infatti

Tale dinamica temporale dipende dal

comportamento del termine E t+1 = E(-1/b t+1) = (-1/b)E t+1

stocastico Poiché E t+1 = 0

Poniamo E t+1 = 0

t+1 = - 1/b t+1 Ciò significa che il consumo corrente

rappresenta la migliore previsione

del consumo futuro

Funzione del consumo

Dall’analisi precedente risulta che, alle Se si riscrive il vincolo di bilancio

condizioni indicate, includendo i valori attesi e si tiene

conto del risultato precedente si

Ec t+1 = c t avrà un’espressione in cui compare

Ciò significa che nel caso in cui r = , un solo valore del consumo

le decisioni avvengono in Se si esprime il consumo nei termini

condizioni di incertezza e l’utilità delle altre variabili avremo una

marginale è lineare, la soluzione di funzione del consumo

ottimo implica che il consumo

atteso è pari al consumo corrente Tali variabili rappresentano la

ricchezza finanziaria e umana

Questo risultato permette di costruire

una funzione del consumo in cui il Il consumo sarà dato dal rendimento di

valore costante del consumo tale ricchezza, che viene definito

dipende da una serie di variabili reddito permanente

Il reddito permanente

Il processo stocastico del consumo, [1/1+r] (1/1+r)iEtct+i = [1/1+r]

quando r = , è (1/1+r)iEtyt+i + At

(i = 0, 1, 2 ….)

ct+1 = ct + t+1 Avremo pertanto

Se E t+1 = 0 (1/r)ct= [1/1+r] (1/1+r)iEtyt+i + At

Ect+1 = ct Il primo termine del secondo membro

Poiché la condizione di Eulero è valida rappresenta il valore attuale del

per tutte le coppie di consumi flusso dei redditi attesi per tutto

vicini, si avrà nel caso generale l’orizzonte temporale, che

Ect+i+1 = Ect+i sinteticamente rappresenta il

Perciò il flusso dei consumi attesi nel capitale umano Ht

tempo sarà costante e pari al valore ct= r[Ht+ At]

iniziale del consumo ct Il rendimento della somma del capitale

Tale valore unico può essere sostituito umano e del capitale finanziario è

nel vincolo di bilancio detto reddito permanente ytp


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83

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AUTORE

luca d.

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+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Macroeconomia
Corso di laurea: Corso di laurea in economia aziendale (CATANIA - MODICA)
SSD:
Università: Catania - Unict
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher luca d. di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Macroeconomia e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Catania - Unict o del prof Caserta Maurizio.

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