Macchine M 2021

A’

O α

= + −

A

=

+

̇ = =

̇ =

Con (α punto in [rad/s]) intendiamo la variazione l’angolo α nell’unita di tempo dt

̇

 Analizziamo la faccia OB che può ruotare fino a OB’:

′ = + −

′ =

′

̇ = =

̇ =

̇

Con (β punto in [rad/s]) intendiamo la variazione l’angolo β nell’unita di tempo dt

La rotazione complessiva sul piano r-z (considerando le rotazioni positive in senso orario) è pari a:

̇ − ̇ = −

Davide Meschis 2020-2021

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7.9.2. Rotazione faccia sul piano θ-z:

Definiti 3 punti O-A-B e note le velocità agenti

nelle due facce OA e OB, come può ruotare

+

B l’elementino?

 Analizziamo la faccia OA che può

β. ruotare fino a OA’:

A’

̇

O

= + −

A

=

+ ̇ = =

̇ =

Con (α punto in [rad/s]) intendiamo la variazione l’angolo α nell’unita di tempo dt

̇

 Analizziamo la faccia OB che può ruotare fino a OB’:

′ = + −

′ =

′

̇ = =

̇ =

̇

Con (β punto in [rad/s]) intendiamo la variazione l’angolo β nell’unita di tempo dt

Infine, la rotazione complessiva sul piano θ-z (considerando le rotazioni positive in senso orario) è

pari a:

̇

̇ − = −

(Questa volta β ruota in senso orario per cui, per noi è negativo. Mentre α ruota in senso antiorario per cui è

positivo

Davide Meschis 2020-2021

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7.9.3. Rotazione faccia sul piano r-θ:

̇ =

B’ ̇ =

B

A’

β.

A

̇ ̇ =

+

O

Cos’è ?

̇

Mentre α e β sono le rotazioni delle facce dell’elementino, rappresenta la rotazione dell’intero

elementino rispetto all’origine O, infatti esso è pari a:

̇ =

Per cui la rotazione complessiva dell’elementino nel piano θ-r sarà:

̇

̇ + ̇ − = + −

 Definiamo un vettore rotazione :

1 1 1

= − + − + + −

2 2 2

Piano r-θ

Piano r-z

Piano z-θ β̇

β̇

β̇ α̇ + γ̇ −

− α̇

α̇ −

½ è stato inserito perché se supponiamo di aver a che fare con un corpo rigido:

 = =0

 = ∙

Per cui, sostituendo nell’equazione di prima: (rotazione di un corpo rigido)

= ∙

Davide Meschis 2020-2021

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7.10 Vorticità

Viene chiamata Vorticità o vorticity: =

( è due volte il vettore rotazione, ovvero sarebbe l’espressione di , senza gli ½).

Oppure, la Vorticità è espressa come rotore di c (oppure in notazione differenziale Nabla vettore c)

= =

= − + − + + −

Quindi, la Vorticità è uguale al rotore della velocità c, cioè la rotazione che l’elementino subisce nelle tre

direzioni r-z-θ (coordinate cilindriche).

Calcolata la vorticità, dovremo fare altri 2 step:

-bilancio quantità di moto

-bilancio di energia.

7.11 Principio di conservazione della quantità di moto

Consideriamo di nuovo l’elementino nella terna r-z-θ e supponiamo che al nostro elementino arrivino dentro

delle portate nelle tre direzioni (̇ ).

, ̇ ̇

Se volessimo calcolare queste tre portate:

Portata massica nell’unità di tempo che entra= densità x velocità x Sezione:

 ̇ =

 ̇ =

 ̇ =

Davide Meschis 2020-2021

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7.11.1 Bilancio della quantità di moto lungo r:

L’equazione sarà: Sommatoria delle forze = variazione della quantità di moto

1. A primo membro, la sommatoria delle forze è costituita da forza di pressione + forza centrifuga.

− + +

1° termine (=pressioni sull’elemento x superfici) +2° termine (=Forze centrifuga=massa x acc. centrifuga)

Semplificando

− +

2

2. Quest’ultima sarà eguagliata alla variazione della quantità di moto nella direzione r, che è espressa

così:

+ − ̇ + + − ̇ + + − ̇

Semplificando tutti i e sostitendo a tutte le portate le espressioni viste prima, diventa:

+ +

Eguagliamo allora la sommatoria delle forze con la variazione della quantità di moto:

− + = + +

2

Semplifichiamo dθ e notiamo che in ogni termine (tranne il primo) compare per cui dividiamo:

,

− = + + −

Espressione della quantità di moto lungo r.

7.11.2 Bilancio della quantità di moto lungo z:

Come lungo r l’equazione sarà:

Sommatoria delle forze = variazione della quantità di moto

3. A primo membro, la sommatoria delle forze è costituita solo dalla forza di pressione lungo z.

− +

Davide Meschis 2020-2021

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4. Quest’ultima sarà eguagliata alla variazione della quantità di moto nella direzione z, che è espressa

così:

+ − ̇ + + − ̇ + + − ̇

(bisogna semplificare tutti i e sostituire a tutte le portate le espressioni viste prima)

Eguagliamo allora la sommatoria delle forze con la variazione della quantità di moto e dividiamo tutto per

la massa dell’elementino (ρrdθdrdz), avremo:

− = + +

Espressione della quantità di moto lungo z.

7.11.3. Bilancio della quantità di moto lungo θ :

Come lungo r e z l’equazione sarà:

Sommatoria delle forze = variazione della quantità di moto

5. A primo membro, la sommatoria delle forze è costituita solo dalla forza di pressione lungo θ.

1

− +

6. Quest’ultima sarà eguagliata alla variazione della quantità di moto nella direzione θ, che è espressa

così:

+ − ̇ + + − + ̇ + + − ̇

Si osservi che ̇ ≈ ̇

Ques’ultimo rappresenta il contributo alla quantità di moto nella direzione θ+dθ della portata , avente

̇

componente , che lungo la direzione θ+dθ, genera una componente appunto (si tenga presente

che il sistema di riferimento è in rotazione lungo θ).

Eguagliamo allora la sommatoria delle forze con la variazione della quantità di moto e dividiamo tutto per

la massa dell’elementino (ρrdθdrdz), avremo:

− = + + +

Espressione della quantità di moto lungo θ.

Davide Meschis 2020-2021

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Infine per compattare le 3 espressioni della quantità di moto descritte rispettivamente lungo r, z e θ, utilizzo

il gradiente di ( espresso simbolicamente così

∇):

1 ∇

()

&mi