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Analisi del percorso magnetico
A, B, C, D, E, F, G, H. 35Disegno 37Si vede che il tratto ABCD e il tratto EFGH sono dei tratti in ferro, i tratti AH e DE risultano dei tratti in aria.Noi abbiamo ipotizzato di effettuare lo studio ritenendo la permeabilità magnetica del ferro, molto superiorerispetto a quella dell’aria.Quindi le cadute di tensione magnetica nel ferro possono essere trascurate.Quindi la quantità H per il percorso in ferro, sia nel rotore che nello statore siano nulle, giusto?H per il percorso mi da la caduta di tensione magnetica.Quindi le uniche cadute di tensione magnetica esistenti ai fini del campo, sono quelle al traferro, cioè ilvalore di H nell’origine e il valore di H nella generica posizione x, siete d’accordo?Ora però bisogna definire un orientamento di perimetro, qual è l’H POSITIVO e qual è l’H NEGATIVO?Noi generalmente scegliamo come valore di riferimento positivo quelle delle linee del polo NORD, quindiquelle dellelinee di flusso uscenti dallo statore ed entranti nel rotore, quindi il nostro H positivo sarà dei poli NORD, tenete conto che a volte c'è chi sceglie la convenzionalmente scelto secondo la convenzione dei poli SUD, ma non cambia il risultato cambia solo il segno, ma poi alla fine i valori son gli stessi. Quindi se consideriamo per l'appunto questa convenzione come positiva si vede che la caduta di tensione di forza magneto motrice nel tratto con un'ascissa curvilinea 0 risulta essere negativo, vedete? Disegno 38 36 Mentre nel tratto con ascissa curvilinea generica x risulta essere positiva. mentre nell'altro il percorso scelto ed H son discordi. Perché il percorso scelto ed H son concordi, Quindi la circuitazione risulterà essere data dalla circuitazione tra i tratti: Dove? Ovviamente nell'ascissa curvilinea che stiamo prendendo in considerazione. Abbiamo
detto che il tratto da A a D e da E a H sono nulli perché mi rappresentano le cadute di tensione magnetica nel ferro, il tratto da H a A risulta essere pari all'ampiezza del traferro moltiplicato il verso considerato positivo, è radiale quindi il prodotto scalare risulta essere uguale al prodotto dei moduli, quindi il -H di 0 moltiplicato l'ampiezza del traferro δ.valore risulta essere pari a Mentre D e E risulta essere un tratto parallelo ad H, risultano essere concordi in segno, il prodotto scalare essere esattamente pari al prodotto dei moduli con segno positivo, quindi H di x moltiplicato δ.risulta E tutto questo risulta essere uguale alla forza magnetomotrice relativa all'ascissa x presa come riferimento. Quindi, sviluppando i conti abbiamo ottenuto che il valore del campo in una generica posizione x risulta essere esattamente uguale al campo nel punto di riferimento più larelazione è data dalla legge di Ampère. La legge di Ampère afferma che la circolazione del campo magnetico lungo una curva chiusa è proporzionale alla corrente che attraversa la superficie delimitata da quella curva. Matematicamente, possiamo esprimerla come: ∮ H · dl = I dove H è il campo magnetico, dl è un elemento di lunghezza sulla curva chiusa, e I è la corrente che attraversa la superficie delimitata dalla curva. Questa relazione ci permette di calcolare il valore del campo magnetico H in modo indipendente dal sistema di riferimento. Possiamo utilizzare la legge di Ampère per determinare il campo magnetico generato da una distribuzione di corrente nota, oppure per calcolare la corrente che attraversa una superficie nota conoscendo il campo magnetico. In conclusione, la forza magnetomotrice H è strettamente legata al valore del riferimento secondo la metodologia di calcolo descritta, ma il campo magnetico H è unico e non dipende dal sistema di riferimento. La legge di Ampère ci fornisce una relazione generale per calcolare il valore del campo magnetico in modo indipendente dal sistema di riferimento.condizione non può essere nient'altro che la legge di SOLENOIDALITÀ DEL CAMPO. La condizione di solenoidalità del campo mi dice che: il flusso attraverso una superficie chiusa di B scalare ds deve essere uguale a 0. Come facciamo a svolgere questo conto? Molto semplice! Noi dobbiamo calcolare il campo al traferro, quindi dobbiamo considerare una superficie chiusa che mi contenga tutto il traferro, consideriamo quindi una superficie cilindrica che risulti essere coassiale con il rotore, che lo contenga completamente. Disegno 39 nulle, quindi l'unico flusso che dovremmo andare a considerare è quello sulle superfici laterali. Giusto? La superficie laterale può essere vista, la superficie ds, può essere vista come l'elemento infinitesimo dx moltiplicato la lunghezza assiale della macchina. Ricordiamo ds vettore. Ma la superficie vettorializzata eIl flusso sono ortogonali per definizione, perché il flusso è radiale. Quindi il prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli. Quindi questa espressione la posso anche scrivere come: integrale esteso alla superficie Σ di B moltiplicato dx per l.
∫ BdxlΣ
A questo punto l'estremo d'integrazione dx, per descrivermi tutta la superficie Σ interna al traferro, varierà tra 0 e 2π in termini angolari oppure tra 0 e 2πR in termini lineari.
π2 R∫ B dxl0 38
Quindi questa quantità risulterà essere anche uguale, mettendo in evidenza la lunghezza assiale che è una costante, all'integrale tra 0 e 2πR di B.
π2 R∫l B0
Esattamente pari a μ0 per H moltiplicato dx. Ma B risulterà essere
π2 R∫ μl H dx00
μ0 è un'altra costante che possiamo portare fuori dall'operatore.
π2 R∫μl H dx0 0
E questa quantità deve essere uguale a 0 per la legge di solenoidalità.
H(2πR). In questo modo otteniamo:πR∫ H dx + πR∫ H dx = 0
Possiamo semplificare l'equazione ottenendo:
2πR∫ H dx = 0
Quindi, la relazione applicata al nostro caso implica che l'integrale del campo H lungo il percorso chiuso sia uguale a zero.H(πR) moltiplicato dx, e tutto questo è uguale a zero.
Il tutto sarà pari a: 39π = H(0)R
Da cui π = -H(0)R
Andando a sostituire nella relazione seguente fmm(x) = H(x) + H(0)δ
Troviamo che fmm(x) = -π = H(R) - H(0)
Riportando al primo membro H(πR) otteniamo fmm(x) = 2H(R)δ
Evidenziando diventa fmm(x) = H(R)δ^2
Ora però, più del valore H(πR) a noi ci interessava ricavare il valore di H(0), quindi andiamo a ricavarci il valore di H(0). Perché la forza magnetomotrice è definita a meno di una costante, quindi questa non è ancora una soluzione che ci va bene, a noi ci interessa valutare quale risulta essere il valore di H(0), andiamo quindi a ricavare il valore di H(0).
Per ricavare il valore di H(0)Basta evidenziare il valore di H(0). fmm x H ( 0) H x 40L'unica relazione che abbiamo che ci lega H(0) il valore uguale x= πR, quindi andiamo acon H(x) èsostituire. fmm R H ( 0) H R H(πR) risulta essere esattamente pari a –H(0) fmm R H ( 0) H 0 E conseguentemente riportando dall’altra parte otteniamo il valore di H(0). fmm R 2 H 0 risulta essere esattamente pari alla forza magneto motrice in πR diviso 2δ.Che fmm R H 0 2Quindi, sulla base di queste considerazioni adesso la determinazione della distribuzione di H risulta essereimmediata ed è unica. Perché abbiamo che la distribuzione di H risulta essere esattamente uguale alladistribuzione della forza magneto motrice, in H(πR) il valore della forza magneto motrice risulta essere2δ.esattamente pari ad ns per i, quindi il valore di H(0) risultaessere pari a meno ns per i divisoƒ n i− sH 0 δ2
Quindi avremo che il valore della nostra distribuzione di forza magneto motrice risulterà essere esattamente pari ad ns per i diviso 2δ, per il tratto che va da 0 a πR; e risulterà essere esattamente pari a −ns per i diviso 2δ, per xs che va da πR a 2πR.
Disegno 40
Siete d’accordo?
Guardate un po’, in un generico punto x, la funzione vale ns per i, la forza magneto motrice, quindi qui avremo ns per i diviso δ.
L’H(0) quanto vale? per i diviso 2δ, quindi il valore dell’H(x) risulta essere pari ad ns per i diviso 2δ.
Varrà -ns
Superato per l’appunto il π, abbiamo la condizione inversa, la forza magneto motrice quanto vale? −ns per i diviso 2δ.
Zero. Quindi H(x) è uguale ad H(0), cioè a
Quindi questa risulta essere la nostra distribuzione.
Vediamo se risulta essere concorde con l’evoluzione dei versi.
Abbiamo
Detto che il verso che va dallo statore al rotore risulta essere positivo, quindi da 0 a π, il verso del campo deve essere che va dallo statore verso il rotore, il verso della corrente entrante, applichiamo la regola della mano destra e si vede che i flussi risultano essere proprio uscenti dallo statore ed entranti nel rotore, quindi concordi con la convenzione positiva, quindi positiva.
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