Macchine elettriche

Lezione del 14/11/06

Le macchine elettriche sono costituite da tre sistemi che interagiscono fortemente fra di loro che sono: un

sistema elettrico, un sistema magnetico e un sistema meccanico.

Come abbiamo visto all’ inizio del corso per poter eseguire una conversione di energia elettrica

In energia meccanica, è necessario realizzare una conversione dell’ energia elettrica in energia

elettromagnetica, quindi la struttura in termini di schemi a blocchi di una macchina elettrica è sintetizzata nel

seguente modo, forniamo energia elettrica al sistema elettrico questa viene convertita in energia

elettromagnetica che viene immagazzinata nel sistema elettromagnetico e poi viene convertita in energia

meccanica nel sistema meccanico:

Sistema Sistema Sistema

Elettrico E.Magnetico Meccanico

E

E

processi che si svolgono all’interno di questi scatolotti risultano essere ben noti, sappiamo infatti che un

I

sistema elettrico converte parte dell’ energia elettrica anche in energia termica a causa degli effetti

dissipativi, sappiamo che se il sistema elettromagnetico è un sistema di tipo non lineare come

quelli che fino ad ora studiato con materiali ferromagnetici, una parte dell’energia mangnetica

immagazzinata può essere convertita anch’essa in energia termica per effetto dell’ isteresi delle correnti

parassite l’energia magnetica che viene convertita o trasferita al sistema meccanico non tutta poi viene

convertita in forza utile una parte viene dissipata sottoforma di calore per attrito o per ventilazione, quindi per

poter analizzare dal punto di vista energetico questo sistema converrebbe analizzare quali risultano essere i

singoli contributi che vengono forniti allo scambio nell’ intero processo.

Quindi potremo dire che l’energia W che viene fornita al generatore elettrico indicata con W una parte

GE

trasferita e risulta essere l’ effettiva energia elettrica e un’ altra viene dissipata per effetto joule a causa

viene

delle perdite del rame:

W W +W

GE = E jcu

dell’energia che invece viene fornita dal sistema magnetico al sistema meccanico che indichiamo con W M

una parte viene convertita in energia meccanica utile e una parte viene convertita in energia termica per

effetto degli attriti o per l’effetto della ventilazione:

W W +W +W

M = m ja jv

Dell’energia magnetica una parte viene utilizzata effettivamente per essere immagazinata nel campo W e

f

una parte viene dissipata per effetto joule ad esempio nel ferro

W W +W

M AG = f g Fe all’ interno del sistema, ma a noi

Questi risultano essere i singoli processi energetici che si sviluppano

interessa per l’ appunto interessa analizzare l’ intero processo quindi se guardiamo il flusso di energia

potremo sicuramente affermare che l’energia elettrica fornita dal generatore deve risultare essere 1

uguale in questo flusso energetico all’energia immagazzinata nel campo magnetico più

esattamente

l’energia fornita al sistema meccanico W W +W

GE = M M AG

In questa operazione che non è nient’altro che una applicazione del principio di conversazione dell’energia,

l’energia che viene fornita deve risultare essere uguale all’energia che viene immagazzinata nel campo più

l’energia che viene trasferita al sistema meccanico.

In questa relazione potremo ricavare andando a sostituire quelli che risultano essere i singoli contributi, per

ottenere che l’energia fornita dal generatore risulta essere pari all’energia elettrica che viene trasferita al

campo più l’energia dissipate nel rame che risultano essere uguali all’energia meccanica utile dal punto di

vista della conversione elettromagnetica più l’energia dissipata per attrito più l’energia dissipata per

ventilazione più l’energia associata al campo più l’energia associata alle perdita del rame:

W + W = W + W + Wjv + W + W

E jCu m ja f jFe

L’espressione di sopra risulta essere l’espressione che tiene conto di tutti i contributi, ora si può vedere che

nel processo di trasferimento di energia quello che passa dal sistema elettrico al sistema magnetico e dal

sistema magnetico a quello meccanico risulta essere soltanto la quota di energia fornita dal generatore

depurata dalle perdite del rame ciò che ci interessa dal punto di vista del processo di conversione

dell’energia magnetica in energia meccanica non risulta essere l’aliquota associata alle perdite per attrito e

per ventilazione ma ci interessa il contributo dell’ energia meccanica nel suo complesso, gli effetti dovuti alle

perdite sono un aspetto peculiari del sistema meccanico e verranno considerate successivamente.

Per quanto riguarda i sistemi magnetici essi se vengono considerati di tipo conservativo

Ipotesi che dovremo necessariamente fare, presentano delle perdite che possono essere considerate uguali

a zero, si ricorda che un sistema è conservativo se il processo di conversione risulta essere legato allo stato

iniziale e finale e non al percorso che segue, seconda questo ragionamento le perdite del ferro possono

essere considerate nulle.

Se focalizziamo l’attenzione sul processo di conversione avremo che le grandezze da considerare sono

l’energia erogata dal generatore al netto delle perdite perché quella è un aliquota che fa parte del sistema

elettrico, e l’energia magnetica considerando il sistema conservativo e l’energia meccanica tenendo conto

dell’aliquota che viene dissipata per attrito o per ventilazione.

Dal punto di vista del processo di conversione ci interessa considerare l’energia elettrica netta che viene

trasferita e la quantità di energia magnetica e meccanica che complessivamente fluiscono dal sistema

elettrico verso il sistema meccanico.

In definitiva epurandola da questi elementi accessori potremo dire che l’equazione di conservazione dell’

energia che ci interessa risulta essere:

W W +W

E = M f

l’energia elettrica netta quindi a meno delle perdite, l’energia meccanica nel suo complesso, W

Con W W

E M f

l’energia immagazinata nel campo.

Questa relazione è valida nel suo complesso, l’ equazione può essere scritta anche passando dalla sua

forma finita nella sua forma differenziale:

dW =dW + dW

E M f 2

utilizzeremo questa equazione per la nostra analisi in essa è condensato il processo di conversione

dell’energia elettrica in energia meccanica.

bisogna conoscere il valore dell’energia elettrica netta

Per poter studiare tale processo

fornita il valore dell’energia meccanica e dell’energia magnetica.

Si dovranno esplicitare le relazioni che intercorrono tra di essi, per poter effettuare questa analisi ci si dovrà

porre in condizioni semplici per poi generalizzare, quindi conviene porci con un sistema meccanico con un

grado di libertà che risulti essere il più piccolo possibile.

Ci porremo nelle condizioni di analizzare un solo sistema elettrico, magnetico e un sistema meccanico con

un solo grado di libertà.

La struttura che andremo cosi a valutare è il classico relé considereremo una struttura cosi fatta:

i 1 x

x 0

L’elemento mobile che è vincolato al suolo si può spostare solo lungo la direttrice x.

Quanto viene chiuso il tasto accade che circolerà una corrente i1 lungo la direzione indicata

Si produce un campo magnetico che investirà il nostro elemento mobile, si andrà a creare un circuito

forza di attrazione che farà spostare l’ancoretta

magnetico e tra la parte mobile e la parte fissa nascerà una

verso l’elemento fisso fino a quando quella distanza tenderà ad annullarsi

Quindi la struttura meccanica risulta molto semplice, il sistema magnetico è anch’esso molto semplice

poiché costituito da un nucleo ferromagnetico e da un traferro la cui ampiezza tende a variare con la

posizione dell’ancoretta, un sistema elettrico molto semplice caratterizzato da un generatore di tensione

costante e da una bobina costituita da N spire.

risulta essere l’energia elettrica fornita dal nostro generatore a tensione

Dovremmo quindi definire quale

continua, applicando la legge di equilibrio elettrico su questo circuito si avrà che la somma

delle f.e.m applicate deve essere uguale alla somma delle cadute di tensione e si avrà:

V + e = R i

1 1

V = R i - E

Ma E non è altro che la tensione indotta per la legge di Faraday-Lentz che risulta essere pari a: 3

dφ

E = N /dt

1 1

Andando a moltiplicare i per il primo il secondo membro:

2 – (dφ

i V = R i N /dt) i

1 * 1 * 2

l’espressione (i V) risulta essere la potenza fornita dal generatore, ed R i risulta essere la potenza dissipata

*

per effetto joule sulla bobina dell’avvolgimento quindi si avrà:

(dφ

P = P + N /dt) i

g j i 1 *

L’energia elettrica fornita dal generatore al netto delle perdite sarà pari in termini differenziali:

–

dW = dW dW

E G J

l’energia in un instante di tempo dt fornita dal generatore sarà pari:

–

dW = dW dW = Pg dt P dt

E G J * J

moltiplicando per dt il primo e secondo membro di questa equazione e portiamo P dal primo al secondo

J

membro si avrà: ) = dλ i

Pg dt -P dt = N (dφ i

J 1 1 * 1 1

l’espressione dell’energia elettrica risulta essere molto facile da determinare:

dλ = F dφ

dW = i

E * *

dφ la forza magnetomotrice, questa risulta essere proprio la quantità che stavamo cercando l’energia

con F *

elettrica erogata dal generatore al netto delle perdite espressa in funzione della corrente e della variazione di

flusso, ogni qual volta c’è un flusso di energia verso il sistema magnetico questo flusso di energia si

manifesta con un effetto che è la variazione di flusso, che a sua volta determina una tensione indotta che

determina una reazione sul sistema elettrico questo è messo in evidenza dal dλ.

L’espressione dell’energia magnetica sarà data imponendo nulla l’energia meccanica che equivale a lasciare

in posizione fissa l’ancoretta.

dW = dW + dW

E M f

= i dλ = F dφ

dW = dW

f E 4

l’energia associate in quel punto sarà data da un operazione di integrazione, dovrò quindi sapere

l’espressione i dλ , ma considerando la caratteristica magnetica del nostro sistema e determinando una

posizione x generica del nostro sistema si può determinare la relazione tra i e i λ:

λ x

λ* *

i i λ*

* *

L’energia magnetica della configurazione λ* i (λ*, i ∫

W ) = d W

f f 0

λ*

∫ i (λ) dλ

Andando a sostituire W =

f 0

Ora si deve valutare cosa accade lasciando libera la nostra ancoretta e vedere come il processo evolve dalla

posizione iniziale x alla posizione finale x :

0 5

x 0

λ Fig 1

x

λ

1 i v/i i

1=

Analisi grafica: dalla posizione finale x = x il sistema deve tornare nella posizione di equilibrio. la

0

variazione energia magnetica nel passare dal punto iniziale e dal punto finale, l’energia magnetica era data

dall’area sottesa dal punto 0 al punto i, che risulta essere l’area tratteggiata in rosso, nella condizione finale

abbiamo che l’energia magnetica associata al sistema è quella sottesa alla caratteristica tra il punto 0 e il

punto λ. ma non solo c’è stata pure una

Facendo la differenza delle aree troviamo la variazione di energia magnetica

variazione di energia elettrica a causa della variazione i flusso.

La variazione di energia elettrica è pari: 6

ΔW f x Fig. 2

E 0

λ x

λ i

1 i

O i

L’area sottesa indicata rappresenta l’energia elettrica netta fornita dal generatore si manifesta dal momento

in cui arte l’ancoretta fino al punto finale, ora dovremmo andare a vedere

Quale è l’energia meccanica :

ΔW = ΔW + ΔW

E f M

ΔW = ΔW ΔW

-

M E f

Facendo dal differenza delle aree risulta che:

ΔW –[

= (A i t f B) (OfBO)-(OiAO)]

M

(A i t f B)= energia elettrica –

(OfBO)-(OiAO)= variazione energia magnetica(quantità finale quantità iniziale)

Considerando i grafici di fig1 e fig2 e sottraendo le quantità comuni si avrà: 7

f x 0

B ΔW

t M

x

A i

i

O i

Le quantità che rimangono sono la variazione di energia meccanica (positive). λ sono influenzate dal moto

Le traiettoria con cui può evolvere la corrente in funzione del flusso sul piano i

con cui si sviluppa la trasformazione, da un punto di vista dell’analisi modellistica non è molto buono,

dovremo trovare il modo di valutare le transizioni di energia in maniera univoca e non dipendente dal tipo di

trasformazione che sto eseguendo.

Quindi anziché analizzare delle trasformazioni dal punto di vista macroscopico andremo ad analizzare delle

trasformazioni dal punto di vista microscopico, si andrà ad analizzare su trasformatore di tipo microscopico

se vi è ancora la dipendenza del lavoro meccanico dal tipo di trasformazione oppure no.

Si dimostrerà attraverso il principio dei lavori virtuali che la forza applicata sul sistema meccanico risulta

essere funzione univoca dell’energia, dimostrando che la funzione forza risulta essere una variabile di stato

che dipende dallo stato magnetico del sistema dalla posizione dell’ancoretta, questo vale solo in forma

differenziale cioè solo per spostamenti infinitesimi.

Cosa deve rimanere in testa…..:

Il sistema magnetico è come una vasca in cui può entrare energia elettrica e meccanica, il sistema

distribuisce le energie rispettando il principio di conservazione dell’energia e facendo un po’ da polmone il

e li distribuisce da l’uno

sistema magnetico cerca di sopperire ai gradienti del sistema elettrico e meccanico

all’altro facendo da intermediario, infatti quando viene richiesta una grossa derivata di forza il sistema

magnetico rende subito disponibile una certa quantità di energia che è immagazzinata nel sistema stesso,

viceversa quando il sistema meccanico fornisce energia meccanica il sistema magnetico tende ad assorbirla

per poi restituirla con maggiore gradualità al sistema elettrico, quindi svolge un ruolo fondamentale di

accoppiamento tra sistema elettrico e sistema meccanico. 8

9

Lezione lunedì 20 novembre 2006

Nella lezione precedente abbiamo analizzato le leggi fondamentali relative alla conversione dell’energia

elettrica in energia meccanica,in particolare abbiamo concentrato la nostra attenzione su quelle che risultano

essere le metodologie di conversione dell’energia elettrica in energia meccanica in un sistema semplificato

di macchina elettrica che venie denominato macchina a riluttanza variabile.

semplice,è una struttura costituita per l’appunto da una struttura

La struttura è una struttura estremamente

statorica, una struttura rotorica costituita per l’appunto da un elemento mobile intorno ad un determinato

fulcro e poi da un sistema elettrico costituito da un avvolgimento caratterizzato da Ns spire ed alimentato da

un generatore di tensione continua oppure da un generatore di tensione sinusoidale all’interno di questo

stima abbiamo individuato quali risultano essere le modalità di conversione dell’energia elettrica in energia

meccanica in un sistema di questo genere.

Disegno 1

L’analisi dell’equazione di bilancio energetico fondamentale abbiamo ricavato che in questo sistema, che è

un sistema caratterizzato dalla presenza di un sistema elettrico, di un sistema magnetico e di un sistema

meccanico, è possibile eseguire una conversione dell’energia elettrica in energia meccanica esclusivamente

in una condizione, cioè la condizione nella quale la pulsazione di alimentazione del nostro generatore di

tensione sinusoidale fosse esattamente uguale alla velocità di rotazione meccanica del sistema.

In questo caso esisteva almeno una componente di coppia mediamente continua,costante, che prende il

nome per l’appunto di coppia di riluttanza. Quindi questa macchina è una macchina elettrica nel vero senso

della parola che dopo mi consente di convertire efficacemente tutta l’energia elettrica in energia meccanica

perché soltanto una delle componenti di coppia presenti nel sistema è quella che efficacemente mi produce

conversione dell’energia elettrica in energia meccanica.

poi il moto e quindi la

Abbiamo quindi cercato di individuare degli altri metodi che ci consentissero di determinare una conversione

di energia elettrica in energia meccanica un pochettino più efficiente.

adottate era quella di disporre sull’elemento mobile un avvolgimento elettrico

Una delle metodologie

anch’esso e di alimentarlo con una pulsazione ω sempre con una tensione sinusoidale ma con una

pulsazione ωr generalmente diversa da ωs. 10

Abbiamo applicato anche a questo sistema l’equazione di bilancio energetico e poi alla fine siamo arrivati a

determinare un’espressione che era l’espressione di coppia, la quale ci dava per l’appunto l’espressione

della coppia elettromagnetica sviluppata da questo sistema che risultava essere esattamente pari a:

  

2 2r

i L L i L

  

s ss rs rr

T i i

  

s r

2 2

Questa espressione ha posto ancora una volta in evidenza che anche una macchina caratterizzata da due

avvolgimenti, un avvolgimento sullo statore ed un avvolgimento sul rotore, sussisteva una condizione di

coppia simile a quella vista per la macchina ad un solo avvolgimento, quindi anche in questo tipo di

macchina esisteva per l’appu