Logica, prof Bellotti

Problemi nell'aspetto fondazionale della matematica

Nei primi trent'anni, tre aspetti non sono distinti: logica matematica, fondazione, filosofia della matematica. Origine della matematica: risoluzione di problemi pratici/tecnici (agrimensura) e comprensione di fenomeni naturali (osservazioni astronomiche). Von Neumann: la matematica si inaridisce se si stacca troppo da questo sostrato.

Origine della matematica

Solo nel mondo greco nasce la matematica nel senso che ci interessa, cioè basata sulla dimostrazione (procedimento per cui a partire da certe premesse mediante ragionamento corretto, cioè che rispetta le regole del legame di conseguenza logica, arriva a conclusioni). C'è un abisso tra congettura e dimostrazione. Crisi dei pitagorici: grandezze irrazionali, anche se riducibili a razionali. Conseguenza: la matematica greca è fondata sulla geometria. Prima sintesi: Elementi di Euclide (influenze di Eudosso, Zenone, Platone, Aristotele), 300 a.C. ca.

Assiomi e deduzione

Risultano chiare le idee sul metodo deduttivo. Assiomi: intesi come evidenze che garantiscono la verità della catena successiva. Fino alle geometrie non euclidee (inizio Ottocento) non ci si pone problemi su cosa sia una teoria assiomatica. Gli Elementi contengono come enunciati non dimostrati: definizioni, assiomi (verità oggettive, fondate su se stesse), postulati (chiedo al lettore che si ammetta di poter fare...),nozioni comuni. Nell'assiomatica moderna, idea problematica di assioma come evidenza, invece assioma come punto assunto indipendentemente dall’evidenza.

Logica e matematica

Logica fondata nell'Organon. Separazione tra logica e matematica: la logica aristotelica non corrisponde al ragionamento euclideo. Il modus ponens non è considerato da Aristotele tra le forme standard e codificate di ragionamento, mentre per i stoici lo è. I medievali mettono insieme queste due tradizioni. Nei testi di Aristotele il modus ponens è applicato, ma non è tematizzato. Caso interessante: Cartesio → principi euristici fondamentali della sua filosofia come base per scoperte matematiche, tipo geometria analitica.

Calcolo infinitesimale

Perfino Leibniz, che è precursore della trattazione algebrica della logica, ritiene questo uno strumento per trattare gli infinitesimali. Logica e matematica anche in lui rimangono separate. Cristallizzazione della logica, mentre la matematica si sviluppa. Curioso che proprio lo stesso Leibniz dà inizio a una grande problematica fondazionale che ritroviamo fino al tardo Ottocento. Nel Seicento scoperto il calcolo infinitesimale, critica di Berkeley. Leibniz suggerisce numeri infinitamente piccoli e infinitamente grandi (il reciproco) → l’analisi non standard di Robinson è uno sviluppo di questa idea.

Nozione di limite e numeri reali

Formulata nozione di limite da Weierstrass. La nozione di infinito leibniziano sparisce, si tratta con insiemi di grandezze finite, cioè numeri reali. Radicale finitizzazione. Problema: cos'è un numero reale? Nozione di insieme alla base. Cantor: riunione di oggetti in un'unità. La catena dei problemi si sviluppa nel modo seguente: Infinito → Numero Reale → Insieme. Numero naturale e insieme: tema e problema dei fondamenti della matematica. Definizione di numero reale di Dedekind come sezione (coppia di classi di numeri razionali).

Geometrie non euclidee

In un certo modo questo ha riportato in auge certi procedimenti che si ritrovano negli Elementi e anche in certi sviluppi della matematica di epoca ellenistica. In Euclide teoria delle proporzioni oppure metodo di esaustione di Archimede. Geometrie non euclidee (da inizio dell’Ottocento) = fenomeno importante perché costringe a ripensare la natura e il ruolo della assiomatizzazione. Assiomatizzazione prima di questo evento pensata come categorica-deduttiva, con assiomi evidenti oggettivamente.

Assiomi e costruzione di strutture

La scelta degli assiomi non era ritenuta libera. Costretto ripensamento della natura degli assiomi = punti di partenza della deduzione, che non devono necessariamente essere veri di un mondo matematico determinato univocamente. Possibile istituire sistemi assiomatici diversi, che contengono enunciati in contraddizione. Requisito fondamentale della coerenza interna = condizione necessaria, anche se non sufficiente per un sistema. Gli assiomi più che descrivere una singolare realtà, si comincia a vederli come tali da individuare una classe di strutture = la classe di quelle strutture che soddisfano quegli assiomi, dove quegli assiomi sono veri. Dove strutture = strutture di interpretazione.

Logica nell’Ottocento

Sviluppo nell’Ottocento: algebra della logica e parallelamente e separatamente la grande rifondazione della logica da parte di Frege. Frege: intento fondazionale! Tutte le grandi innovazioni di Frege per la filosofia della matematica e del linguaggio derivano da questo intento = dare una definizione della nozione di numero naturale. Ma questa definizione deve avvenire con strumenti puramente logici, questi devono essere chiariti e deve essere formulata una nozione di insieme, di fatto, diversa da quella di Cantor.

Paradosso di Russell e teoria dei tipi

Sviluppo di un sistema di logica che incorpora elementi tipicamente insiemistici che portano alla fondazione di un sistema che si rivelerà contraddittorio (paradosso di Russel, visto l’ultima volta). Sia dal lato della dimostrazione di coerenza delle geometrie sia di fondazione, si arriva a convergere su un duplice problema, punto cruciale di inizio Novecento che dà origine a sviluppo dei fondamenti della matematica: necessità di dare una fondazione della nozione generale di insieme e di numero naturale. Frege è esemplare perché affronta questi problemi attraverso la questione della fondazione del concetto di numero, ma attraverso nozioni logico-insiemistiche.

Risposta ai paradossi

Il paradosso di Russell rivela che un principio di comprensione non ristretto e uno di estensionalità sono contraddittori. Si costruisce una particolare proprietà = non appartenere a se stesso, si ipotizza l’esistenza di un insieme, come unità, composto da tutti e soli gli insiemi che non appartengono a se stessi e si vede che questo insieme non può appartenere a se stesso e non può non appartenere a se stesso. Per Frege è stata una scoperta fondamentale. La nozione di tipo emerge in risposta ai paradossi, non per motivazioni filosofiche, ma risposta a un problema concreto fondazionale.

Teoria ramificata dei tipi

Lo stesso Russell nel 1908 pubblica un articolo (Van Heijenoort, From Frege to Godel, 1967) “mathematical logic as based on the theory of types: risposta fondazionale al problema dei paradossi, non solo al suo, ma anche altri che sono proliferati riguardanti inizialmente la nozione intuitiva di insieme, sistema di Frege, paradossi semantici (come mentitore), antinomie linguistiche. La risposta che dà Russell è una risposta che dovrebbe servire a liquidare tutti i paradossi. La teoria formulata nel 1908 è la cosiddetta teoria ramificata dei tipi. Idea di fondo: c’è un principio di fondo, del circolo vizioso. I paradossi derivano dalla violazione di questo principio: un oggetto non deve essere definito nei termini di una totalità di cui l’oggetto è elemento. Questo principio non è un assioma.

Principio di proibizione delle definizioni impredicative

Assiomi: o esistenza o poter fare. Questo principio: come poter fare qualcosa. Idea di proibire le definizioni impredicative: oggetto costitutivamente definito nei termini di una totalità di cui è elemento. Russell ritiene questa circolarità viziosa. Esempio in linguaggio naturale: l’attuale capocannoniere della serie A. In logica: uso del quantificatore tale che il dominio di quantificazione ha tra i suoi elementi quell’oggetto che definisco con quella formula che contiene quel quantificatore.

Prospettiva di Godel

Godel: se uno è platonista non dà problemi questa definizione, perché denoto un oggetto che c’è già. Ma se non lo sono e non penso che gli enti matematici esistano al di là di come e se sono pensati, c’è un problema filosofico. Per dimostrazioni di coerenza uno degli ostacoli cruciali è proprio l’impredicatività. Russell: la costruzione dei diversi insiemi avviene a livelli tali che si rispetta questo principio. Prima di definire il livello n+1 devo avere gli oggetti definiti senza riferimento a n+1 né totalità di n stesso.

Teoria semplice dei tipi

Una versione più semplice della teoria già sufficiente per eliminare il paradosso di Russell: teoria semplice dei tipi o dei tipi semplici, elaborata come semplificazione da Russell e altri. L’idea della teoria dei tipi semplici: no riferimento al modo in cui si definisce, ma si stratifica l’universo in tipi diversi secondo il seguente principio: tipo di base (tipo 0), oggetti non ulteriormente strutturati, che assumiamo tali, atomi, poi si considera tutti i possibili insiemi di oggetti di tipo 0, cioè avendo come elementi oggetti di tipo 0, totalità di questi insiemi = tipo 1, poi tutti gli insiemi possibili che possono essere costituiti da oggetti di tipo 1, la cui totalità = tipo 2, ecc. I tipi: cumulativi, se si incorpora anche le fasi precedenti, ma dettaglio. Idea chiave: stratificare in tipi diversi.

Soluzione dei paradossi

Perché soluzione di x non appartiene a x? Perché x e x devono essere di due tipi diversi. Impedisce di considerare elemento di qualcosa se non ha un tipo inferiore per cui ci chiediamo se valga l’appartenenza. Si chiama ramificata perché ogni tipo si ramifica, a seconda di come sono definiti gli oggetti. Questo programma logicista russelliano, svolto nei Principia: teoria fondazionale e sviluppo della logica, da cui si sviluppa riga per riga una buona parte dei sistemi fondamentali per teorie matematiche = aritmetica di numeri finiti e transfiniti, geometria ecc. Viene fatto, non viene annunciato, ma proprio svolto. L’idea è svolgere un programma logicista = definire enti matematici sulla base di nozioni puramente logiche e dimostrare assiomi sulla base di nozioni puramente logiche, qui si è tentato di farlo davvero = Realizzazione, sia pure parziale, di un programma fondazionale.

Axiomi di Russell e Whitehead

Nello svolgere questo programma Russell e Whitehead introducono tre assiomi che mettono in questione radicalmente la stessa impostazione del programma logicista.

• Assioma dell'infinito: esiste un oggetto (insieme) che ha infiniti elementi. Questo assioma necessario per poter sviluppare la matematica come volevano, ma si pone problema filosofico: è un principio genuinamente logico? No! La logica dovrebbe essere neutrale, almeno al punto da non postulare un insieme di elementi infiniti. Nella logica del primo ordine: non ci possono essere domini vuoti. La logica dimostra l’esistenza di almeno un oggetto? Non è detto neanche questo, si può fare anche senza. La logica comunemente adottata non è una logica libera comunque. Teorema logico che esista almeno un oggetto, diverso da Aristotele che dice che non ci sono predicati vuoti, mentre in logica contemporanea ci sono.
• Assioma di scelta: dato un insieme di insiemi non vuoti, esiste un insieme avente un elemento in comune con ciascuno degli elementi dati. Si costituisce un insieme con ciascun elemento scelto da ciascun insieme. Punto dell’assioma di scelta: è possibile fare questa operazione, ma senza una regola. Posso costruire un insieme senza una regola. Si postula l’operazione, ma non si sa come. Problema di esistenza di questo nuovo insieme, se uno non è platonista. Qual è lo status logico dell’assioma di scelta? Nella logica del primo ordine.