Logica, prof Bellotti

COSTRUTTIVISMO

Scuola costruttivista, più precisamente intuizionismo o neointuizionismo, in

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riferimento a movimenti costrUttivisti precedenti Brouwer. Tesi sui

fondamenti della matematica (1908 pubbl.): prospettiva fondazionale

radicalmente alternativa rispetto al logicismo e Hilbert, anche se polemica

vera e propria con Hilbert dai primi anni Venti. Intuizionismo= forma del

costruttivismo in matematica. Scuole costruttiviste condividono alcuni punti

fondamentali, ma poi si dividono in accettazione di principi e assiomi. Idea

generale di fondo emerge nella seconda metà dlel’Ottocento cn l’opera di

Kronecker: l’esistenza di un oggetto matematico deve essere identificata con

la possibilità di costruirlo, dove la possiiblità di costruzione è in senso

idealizzato, ma non troppo. Idealizzato nel senso che non si pongono dei

limiti sulla lunghezza nel tempo delle operazioni o sul loro numero, ma il

numero deve essere finito e anche il tempo. Deve esserci un modo effettivo

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per costruire l’oggetto, deve essere data una regola, che deve essere in linea

di massima esplicitabile, ma non idelizzando troppo. L’assioma di scelta non

può essere accettabile. L’idealizzazione di poter eseguire infiniti atti di scelta

contemporaneamente senza una regola data è più forte che quella di eseguire

un numero finito di operazioni date in forma esplicita. Il costruttivismo non

si pone il problema della fattibilità, concede che non si pongano queste

limitazioni, ma solo sulla questione di cosa vuol dire essere dato per un

oggetto. Esistenza come costruibilità: secondo regole e finita! Ma diverso

dal finitismo: esistono solo entità finite. Intuizionismo chiaramente non

finitista. Cosa in matematica possiamo asserire sensatamente come esistente?

Ciò che possiamo costruire. Algebra in Ottocento lavoro molto più

computazionale. Si esclude che quando voglio dimsotrare l’esistenza di un

oggetto elemento di una totalità infinita, lo dimsotro per contraddizione (per

assurdo). Proprietà il cui valere o meno per un certo numero deve essere

fattiva. Deve essere decidibile. Esiste una regola per stabilire se quel nuemro

gode o no di una certa proprietà. Proprietà effettivamente riconoscibili,

determinaizone effettiva. Demerito storico di aver osteggiato Cantor e lo

sviluppo di teoria degli insiemi. Adottare seriamente una prospettiva così

comporta dei sacrifci. Una prospettva costruttivista ha un prezzo: crti tipi di

dimostrazione non sono accettati. Il costruttivismo non è mai stato refutato.

Ma se l’obiettivo è convincere gli altri matematici, ha perso il costruttivismo.

Ha influenzato il secondo Wittgenstein. Altro è Dummett e Brandom. Il

costruttivismo ha avuto tra i suoi frutti il fatto che ponendosi i suoi problemi

tipici, si è visto come rendere costruttivi certi risultati classici, cioè come

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reinterpretarli beneficio alla matematica da tutti i punti di vista, anche

classica, perché questo lavoro comporta individuaizone di elementi espliciti

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in dimostraizoni classiche dove non ci sono. Es.: teoria dei numeri non mi

accontento di dimostrazione di esistenza, si tratta di estrarre da una

dimostraizone classica, il contenuto costruttivo. Si estraggono informazioni

ulteriori, aumenta la conoscenza matematica. Molti matematici con

sensibilità logica possono avere atteggiamento di vedere queste ricerche

come lecite a fianco della matematica classica. Brouwer dimostrava, però

teoremi, alla luce di nozioni intuizioniste, che sono falsi classicamente.

Brouwer dimostra che una funzione di variabile reale completamente

definita sull’intervallo è continua nell’intervallo, ma questo è classicamente

falso. Le nozioni intuizioniste di continuità, funzione ecc. non coincidono

con quelle classiche. Ma cosa si assume come dato? Brouwer: il dato è

un’intuizione a priopri fondamentale, che ha natura temporale, si richiama

al Kant della deduzione trascendentale= intuizione della biunità (twoity):

intuizione di distinzione di due momenti nel tempo in cui il primo viene

superato dal secondo, ma conservato. Flusso di coscienza: riesco a isolare un

momento come passato e determinato e uno successivo come distinto da

quel momento. Questa distinzione è fondamentalmente l’intuizione della

biunità. C’è il permanere di un momento separato rispetto a quello attuale,

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che viene in qualche modo ricordato. Da questa intuizione nasce la nozione

di successore, di aggiunta di uno, da questo genero indefinitamente i numeri

naturali. No concezione classica dell’infinito, qualcosa che è sempre in

divenire. Lui era un appassionato di filosofie orientali. Riferimento filosofico:

kant, per la questione del tempo, ma non dello spazio. Il primitivo è il

passaggio, non lo 0. Questo è infinito in potenza, invece l’assioma

dell’infinito lo definisce in atto. Quantificazione intuizionista: contro il

logicismo ordine tra logica e matematica è l’opposto, ogni forma di logica

astrazione del pensiero matematico, prima di tutto qualcosa che si fa nella

mente dle singolo matematico. Sopo: far sorgere nella mente dell’altro

matematico le medesime strutture. Hilbert: in principio è il segno. Qui il

linguaggio viene dopo, è inadeguato. Solipsismo metodologico. Il linguaggio

è uno strumento che il matematico è costretto a usare, perché non c’è

telepatia. Il linguaggio indica la costruibilità di un certo oggetto nella mente

altrui. Heyting: formula logica intuizionista con sistema formale

proposizionale, intorno al 1930, da intuzionisiti più ortodossi visto come un

tradimento. Colmogorov: idea centrale è risoluzione di problemi.

Caratteristico di prospettive costruttiviste: essere più di una.

No principio del terzo escluso, se gli si dà velidità universale (disgiunzione

tra formula qualunque e sua negazione). Se molteplicità finite ha senso, ma

se molteplicità infinite non ammissibile. No ammissibile senza restrizoni,

solo sotto certe restrizioni.

Per ogni x, Ax o non Ax "

Terzo escluso in logica classica equivale a a. cambia il significato dei

connettivi. Quine: se cambi al logica, parli di altro. Ma gli intuizionisti non

sono d’accordo: la negaizone classica no autentica negazione.

Se non per ogni x Ax allora esiste un x nonAx

Se per ogni x non Ax, allora esiste un x Ax

Deduco l’esistenza positivia di un oggetto, cosa che l’intuizionista non

accetta.

No doppia negazione: se non non A allora A, l’altro lato non è problematico.

Negazione come implicazione dell’assurdo. Dicendo che è assurdo che è

assurdo che A, non ottengo A.

Anche se logica ampia, resta problema dlel’assioma dis celta ocme principio

puramente logico. Il logicismo fallisce perché status di principi puramentr

logici dubbi. Tentativo di Dedekind di dimostrazione dell’assioma

dell’infinito. Considerare il pensiero dlel’insieme vuoto e questo mio

pensiero come atto di pensiero ha un contenuto. Questo atto di pensiero può

essere oggetto a sua volta di un atto di pensiero e così via. Così si può

costruire un’infinità di oggetti diversi. Questa dimostrazione si trova in Che

cosa sono e a che cosa servono i numeri.

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Processo di astrazione cantoriano molto lontano rispetto al darsi effettivo

degli oggetti.

Weyl: tutto l’edificio dell’analisi superiore (studio di spazi di funzioni)

poggia sulla sabbia= principi di astraizone non affidabili. Matematica come

fatta da matematico classico è priva di senso, deve essere eliminata o

riscritta,s econdo i criteri di senso del costruttivismo. La teoria cantoriana

non ha senso. A seguito della ricostruzione non tutto viene abbandonato, ma

quello che viene abbandonato era infondato. Un conto è uno studio

costruttivo della matematic,a altra cosa è essere costruttivisti militanti. Da

che punto di vista filosofico si può dire che quella matematica è priva di

senso? Ma il costruttivista ritiene di poter effettivamente segnalare il pericolo

di queste astrazioni. Cantor: essenza dlela matematica libertà di costruzione,

vincolata dalla coerenza interna. Hilbert: nessuno ci potrà cacciare dal

paradiso che Cantor ha creato per noi. Le problematiche sui fondamenti della

matematica non emergono a causa di paranoie filosofiche (Wittgenstein:

isteria della contraddizione!), nascono di fornte a problemi precisi

(paradossi!). Rispondono a problemi dle matematico prima che del filosofo.

Logica matematica: modo di lavorare su quel tipo di problemi

matematicamente.

Teoria intuizionista del continuo: la noziono di numero naturali non totlaità

conchiusa, ma sempre in fase di accrescimento, generato indefinitamente.

Anche il continuo stessa cosa: munero reale viene dato via via mediante

approsimazioni successive, a maggior ragione totalità dei numeir reali. C’è

una regola oppure ammessa anche una successione per libere scelte. Nozione

di uguaglianza

1. Forte: A è disuguale a B se c’è una regola per dar enumero raizonale

per cui la differenza tra due numeri è almeno quel numero;

2. Debole: l’ipotesi dell’identità di numeri reali porta a una

contraddizione.

Senso delle nozioni diverso.

Quine: dire che logic aè convenzionale è circolare, per parlare di convenzione

uso già una logica. Mamoury: A cerca di spiegare a B il senso della

negazione, A dice: Basta, tu non capisci quello che intendo e io non intendo

spiegare oltre. Capisco quello che intendi e sono conteto che tu voglia

cntinuare la spiegazione. Ci deve essere un livello in cui ci intendiamo,

almeno sulle particelle logiche. Nel momento in cui si è formalizzata la logica

intuizionista, lì si è trovato un modo per parlarsi. Corrente costruttivista che

è quelal predicativista, sviluppata da Weyl soprattutto, altro è Feferman,

anche se il primo è Poincaré. Si basa sul principio del circolo vizioso. Si

accettano solo oggetti costruiti in modo predicativo. Gli oggetti devono

essere costruiti, anche se non finitista e non cotruttivist ain senso

intuizionista. No limitazioni sulle leggi logiche. Posizione di Nelson: anche la

nozione di numero naturale deve essere definita così. Ma di solito si

ammettono i numeri naturali così e tutto il resto a partire da questi. Esempio

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di fondaizone predicativista dlel’analisi: Il continuo, Weyl (1918). Ma la

costruzione diventa molto più complessa di quella classica. Certi principi

devono essere formulati livello per livello. Weyl fa vedere che si p