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umana, in un sapere enciclopedico che Leibniz sapeva di non poter fare da solo. Istituì così delle

Accademie deputate a raccogliere questa conoscenza. L’attenzione per il corretto uso dei simboli è

il filo d’Arianna che ha guidato la vita dello studioso. Con questa lingua sarebbe impossibile

proferire proposizioni false (castronerie).

Un modello di macchina calcolatrice venne creata da lui stesso nel 1673, in grado di fare tutte e 4

le operazioni, migliorando così la macchina di Pascal che ne permetteva 2. Leibniz riconobbe che il

calcolo delle aree del cerchio aveva un legame con la successione dei numeri dispari; trovò che la

soluzione dei problemi poteva avvenire grazie ad una formula inversa, dando vita al teorema

fondamentale del calcolo infinitesimale (1684), in contemporanea con Newton. Invento un

simbolismo molto efficace, usato ancora oggi, trasformando il calcolo di limite da un metodo

esoterico a una tecnica semplice e chiara che poté essere insegnata agli studenti. Egli con un secolo

di anticipo inventò un simbolismo per l’Algebra della logica, ossia regole di manipolazione dei

simboli: così come l’algebra ha regole di manipolazione per i numeri, si doveva fare una cosa simile

per i concetti.

Egli pensava che Dio avesse creato il “migliore dei mondi possibili” (determinismo), che ci

doveva essere un’armonia prestabilita per cui all’uomo bastava trovare le connessioni logiche che

stavano alla base di questa armonia per capire il rapporto tra l’esistente e il possibile. Tutto era

spiegabile con la ragione di pochi uomini che, seduti ad un tavolo, avrebbero “calcolato!” e risolto

ogni problema.

La macchina induttiva universale non poté essere realizzata dopo che Godel affermo il suo

principio di incompletezza, ma poté invece essere creata una “macchina induttiva speciale” con la

quale risolvere problemi specifici, come per esempio con la logica di I ordine. Turing e Neumann

diedero vita ad una parte del sogno di Leibniz, ma il gap tra conoscenza teorica ed effettiva

realizzabilità pratica di macchine intelligenti è ancora lungi dall’essere colmato.

BOOLE TRASFORMA LA LOGICA IN ALGEBRA

La famiglia di Boole era troppo povera per garantirgli l’istruzione regolare e Gorge restò un

autodidatta. Egli voleva esprimere le relazioni logiche in forma algebrica, aderendo al formalismo

matematico leibniziano che voleva produrre automaticamente la risposta corretta a ogni problema.

Gli interessavano gli operatori del calcolo infinitesimale, considerati molto importanti perché molte

delle leggi fondamentali dell’universo fisico hanno la forma di equazioni differenziali. Boole

dimostrò che certi tipi di equazioni differenziali si potevano risolvere applicando ai rispettivi

operatori i metodi dell’algebra. Egli fece un’algebra delle classi, indicate mediante lettere, così se

x da solo sta per “cose bianche” e y per “ animali”, xy starà per “animali bianchi”. È, quindi,

un’analogia con l’algebra per cui xy è detta intersezione di x e y, ma ci si chiede: nell’algebra

ordinaria, dove x sta per un numero, quand’è che l’equazione xx=x è vera? Quando x=0 o x=1 e in

nessun altro caso. Fu così che Boole arrivò al principio che l’algebra della logica è esattamente ciò

che sarebbe l’algebra ordinaria se fosse limitata a due soli volari, 0 e 1, essi stessi classi. Oltre a

presentare la moltiplicazione, per creare un’algebra della logica doveva rappresentare la somma

(l’unione), così: se x e y stavano per classi, x+y doveva essere la classe di tutte le cose presenti o in

x o in y.

Egli studiò le proposizioni categoriche (sillogismi) di Aristotele, mostrando come le premesse e

le conclusioni del sillogismo possono essere tradotte in termini di operazioni algebriche. Va contro

chi sosteneva che l’intera logica era ridotta a un ragionamento sillogistico (se le premesse sono vere

le saranno anche le conclusioni). Egli propose proposizioni secondarie (logica delle proposizioni),

cioè proposizioni esprimenti relazioni fra altre proposizioni. Boole si accorse che la stessa algebra

che funzionava per le classi avrebbe funzionato anche con equazioni della forma X=1 per dire che

la proposizione X era vera e, X=0 per dire che era falsa. Quindi si poteva scrivere X=0 invece di

“Non X”. Tutto questo accese la speranza per il soddisfare il sogno di Leibniz, ma Boole si blocca

quando la classe ha due proprietà. Egli riuscì a fornire il calculus ratiocinator che Leibniz aveva

ipotizzato, ma quest’ultimo si proponeva anche di costruire una logica che fosse un sistema

deduttivo definito in tutti i dettagli, in cui ogni regola doveva essere ricavata da un piccolo numero

di assiomi. Boole ebbe il ruolo fondamentale trattare la logica come un ramo della matematica.

Nel 1854, scrive l’indagine sulle leggi del pensiero, un’opera densa di riflessioni filosofiche, in

cui l’algebra della logica si affianca alla teoria della probabilità, proponendo una ricerca sulle leggi

del pensiero, universali e valide per tutti. Il progetto Booleniano sarà sviluppato da Peirce, con la

sua semiotica dei segni. Ma è con Frege che viene creato un vero e proprio linguaggio nuovo.

FREGE: DALLA GRANDE CONQUISTA AL CROLLO

Nel 1879 uscì l’Ideografia, un libretto di cento pagine dal sottotitolo: Linguaggio (universale) in

formule del pensiero puro modellato su quello dell’aritmetica, un sistema logico che comprendesse

tutte le inferenze deduttive matematiche. Frege voleva ricostruire non solo l’algebra, come voleva

Boole, ma l’intera matematica poteva essere tradotta con gli assiomi fondamentali della logica. La

Logica di Boole era solo un nuovo ramo della matematica, che utilizzava il ragionamento logico per

spiegare e sviluppare la logica stessa. Questo era inaccettabile per Frege, serviva un nuovo

linguaggio che presentasse precisamente operazioni meccaniche: il primo esempio di linguaggio

formale artificiale dotato di una sintassi precisa, ossia regole grammaticali (in questo caso “regole

di inferenza”). Introdusse simboli speciali risolvendo il problema dell’appartenenza di una classe a

due proprietà. Frege aveva in mente un linguaggio rigoroso e questo non poteva essere quello di

Boole che trattava alla stessa stregua, per esempio, il segno + per indicare sia la somma che

l’unione, che indicava con “1” sia un numero, sia il dominio del discorso. Egli capovolge l’ordine di

priorità e mette i giudizi prima dei concetti, equiparando funzioni e concetti. Per lui un concetto non

è altro che un tipo particolare di funzione, ovvero generalizza il concetto di funzione (che era stato

fondamentale per lo sviluppo del calcolo infinitesimale) riducendolo ad un calcolo su simboli in

genere, e in particolare su espressioni linguistiche.

Frege definisce, quindi, il concetto come una funzione che ha come valore un valore di verità.

Egli inventò i quantificatori universali ed esistenziali e la maggior parte del linguaggio simbolico

usato oggi in Logica. I quantificatori sono una specie di operatori o funzioni di secondo livello, tali

da mettere insieme diverse categorie di appartenenza, per cui: “tutti” e “qualche”, rappresentano

espressioni di generalità. La logica di Frege è quella che si insegna agli studenti nei primi anni di

università e che indirettamente ha condotto Alan Turing all’idea del calcolatore generale. Per la

prima volta un sistema logico-matematico rigoroso abbracciava tutti i ragionamenti normalmente

usati dai matematici. Per la prima volta un sistema formale rappresentava una sintesi unitaria di

tutti gli spunti della scuola booleana, stoica e aristotelica, facendo una netta distinzione tra

ASSIOMI logici e REGOLE logiche. Frege stabilisce le regole degli assiomi in modo netto: essi

sono asserti, punti di partenza per il sistema; mentre le regole sono strategie di inferenza.

Nell’elenco delle regole una sola è fondamentale, il MODUS PONENS. Tuttavia, questa logica non

realizzava il sogno di Leibniz, perché quest’ultimo non pensava ad un linguaggio per trarre

deduzioni, ma ad un linguaggio universale che inglobasse ogni conoscenza. Inoltre in Frege tutte le

deduzioni sono complesse, lunghe, rendendo difficile capire se quella conclusione derivi da quella

premessa.

Quando nel 1902 la lettera di Russell arrivò a Frege, il suo nuovo lavoro sui fondamenti

dell’aritmetica era già in stampa. Egli intendeva portare avanti il progetto logicista, di formalizzare

l’intera matematica. Frege desiderava costruire una teoria puramente logica dei numeri naturali: ciò

gli avrebbe permesso di dimostrare che l’aritmetica e tutta la matematica poteva essere considerata

un ramo della logica. Il numero doveva diventare un concetto logico, anche se trovare un insieme

che possa contenere, per esempio, il numero 3, non significa aver spiegato il concetto di tre. Per

spiegare il tre si fa riferimento alla collezione di tutti gli insieme che hanno tre elementi. Russell

spiegò che l’intera costruzione era incoerente, cioè autocontraddittoria. Ragionando sugli insiemi è

facile cadere in contraddizione e se in una dimostrazione matematica almeno una delle premesse è

falsa, allora tutto il sistema va rivisto. Frege si rese conto subito della portata di quella lettera e non

poté altro che mettere una nota a fine lavoro in cui diceva che l’opera della sua vita era

compromessa. Frege non si riprese mai più da questo colpo. Russell portò ad una vera e propria

crisi della matematica, la quale riteneva che gli insiemi andassero preservati a tutti i costi, e ad una

crisi dell’intero progetto logicista che però portò egli stesso ad impegnarsi in questo senso. Russell

demolisce il principio fondamentale inventato da Frege, quello di Comprensione, per cui, data una

proprietà, si può sempre assumere l’esistenza di un insieme ben determinato che corrisponde a

questa proprietà. Ma se prendiamo come proprietà quella definita come “non appartenere a se

stessi”: vi sarà, per il principio di comprensione, una classe che soddisfa questa proprietà, ossia, la

classe di tutte le classi che non appartengono a se stessa. Per cui se la classe soddisfa questa

proprietà (ovvero appartiene a se stessa) allora non appartiene a se stessa; se non la soddisfa (ossia

non appartiene a se stessa) allora non appartiene comunque a se stessa. Abbiamo quindi

un’antinomia, per cui occorre una restrizione al principio di comprensione. Per fare un esempio:

l’insieme delle idee astratte è sicuramente un’altra idea astratta; ma l’insieme dei libri non è

sicuramente un libro, quindi non è contenuto in se stesso, così come l’insieme degli italiani non è un

italiano, ecc. L’Antinomia ci porta a distinguere proprietà alle quali corrisponde un insieme e

proprietà alle quali non corrisponde un insieme.

Russell e Whitehead nel 1910 nei loro Principia Matematica, presentavano, con la notazione di

Peano, alcune idee fondamentali del pensiero di Frege, per cercare di superare il paradosso. Il cuore

principale è la Teoria dei Tipi, creando una gerarchia dei tipi: gli oggetti di un determinato tipo

sarebbero stati costituiti esclusivamente da oggetti di un tipo inferiore, così da evitare il circolo

vizioso dei paradossi.

CANTOR: UNA DEVIAZIONE ATTRAVERSO L’INFINITO

Cantor si inserisce nel dibattito sui numeri infiniti: Aristotele pensava che la natura dell’infinito

fosse relativa alle nostre conoscenze, non può esistere come sostanza compiuta; Gauss, che

spettasse solo ai teologi e a Dio la conoscenza dell’infinito e lo stesso Kronecker, acerrimo nemico

di Hilbert e Cantor, era contrario a comprendere i numeri infiniti nell’ambito della matematica.

Cantor non era d’accordo, voleva estendere i metodi delle scienze matematiche al calcolo

dell’infinito potenziale (quello di Aristotele). Data una serie infinita, si cerca un limite al quale

l’espressione finita al secondo membro si approssimi sempre più man mano che a essa si

aggiungono nuovi termini (in quella di Leibniz era pi greco fratto 4). Cantor scoprì che per ottenere

i risultati desiderati doveva trattare gli insiemi infiniti come totalità in sé concluse: la teoria degli

insiemi. Esistono numeri infiniti con i quali si possano contare insiemi infiniti? Noi possiamo dire

che due insiemi hanno gli stessi elementi se si associa in corrispondenza biunivoca gli elementi del

primo con quelli del secondo insieme. Qual è il numero di tutti i numeri naturali? Come è possibile

mettere in corrispondenza biunivoca insiemi infiniti? O non ha senso parlare del numero degli

elementi di un insieme infinito, oppure qualche insieme infinito avrà lo stesso numero di elementi di

uno dei suoi sottoinsiemi. La grande conquista di Cantor consistette nel dimostrare che ogni

insieme infinito non può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Egli

distingue i numeri razionali, ossia, quelli per cui la successione decimale prima o poi comincerà a

ripetersi e quelli irrazionali, dove non compaiono ripetizioni. L’insieme dei numeri reali non può

essere posto in corrispondenza biunivoca con quello dei numeri naturali. Gli insiemi infiniti erano

di due grandezze diverse. Era stata trovata una nuova dimostrazione dei numeri reali trascendenti,

in cui nessuna equazione algebrica può soddisfarli, ossia, una successione infinita di numeri

naturali.

Ignorando Gauss e Kronecker, Cantor continuò a studiare i numeri infiniti. Costruì una gerarchia

infinita di insiemi infiniti: inventa i numeri cardinali (uno, due, ecc.) e gli ordinali (primo, secondo,

ecc.) e ponendosi il problema dei numeri cardinali degli insiemi egli si accorge che per insiemi finiti


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Moses

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in scienze della comunicazione
SSD:
A.A.: 2006-2007

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Moses di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di LOGICA E COMUNICAZIONE e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Roma Tre - Uniroma3 o del prof Numerico Teresa.

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