Logica e comunicazione - Riassunto esame, prof. Numerico

Breve riassunto sulla logica

Per logica si intende lo studio del pensiero in quanto espresso nei discorsi o nei ragionamenti. La logica, così come qualsiasi branca della nostra attività conoscitiva, studia: le proposizioni che esprimono conoscenze o ipotesi; dimostrazioni con le quali le proposizioni vengono stabilite; refutazioni con le quali vengono respinte; dibattiti nei quali le proposizioni vengono discusse. Inoltre studia i rapporti tra le classi, le operazioni, le proprietà; le strategie e le macchine; la comunicazione input/output e, in generale, l’organizzazione delle conoscenze. In particolare la logica studia i connettivi (negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione) e i quantificatori (universale ed esistenziale).

Il metodo assiomatico

Sin dal mondo greco, si è provveduto ad organizzare le conoscenze sulla base di due strumenti tipici della logica: la dimostrazione e la definizione. Tale organizzazione è il metodo assiomatico, ossia, fissare un numero piccolo di informazioni dalle quali tutte le altre possano essere ottenute mediante dimostrazioni logiche. Organizzare le conoscenze non significa ottenere conoscenze. Il metodo assiomatico è solo un modo di organizzare conoscenze già acquisite. La scoperta degli assiomi e la loro dipendenza reciproca è il motore di sviluppo di ciascuna branca della conoscenza.

Per sillogismo si intende il ragionamento per eccellenza (la deduzione), ovvero un discorso in cui se le premesse sono vere, le conclusioni devono essere necessariamente vere. Le premesse sono i cosiddetti assiomi o concetti primitivi, proposizioni vere perché intuitive, che risultano comuni a tutte le scienze, rappresentando, in un numero finito di proposizioni, tutti gli altri teoremi noti della disciplina, essendo “racchiusi” in quegli assiomi, nel senso che da quegli assiomi i teoremi possono essere dimostrati logicamente.

In logica sono: il principio di non contraddizione, l’assioma fondamentale del sapere, per cui è impossibile che una proposizione sia al tempo stesso vera e falsa; il principio di identità, per cui ogni ente è uguale a se stesso; e il principio del terzo escluso, per cui se una proposizione A è vera, la sua negazione deve necessariamente essere falsa, non c’è una terza possibilità. Eccetto che per gli assiomi la cui prova è extra-logica (lasciata all’intuizione), ogni altro teorema di una disciplina scientifica presentata secondo il metodo assiomatico è dimostrato mediante una dimostrazione logica nella quale le ipotesi sono gli assiomi. Prescindere da qualsiasi richiamo extra logico significa trattare il sistema formale come: estensionale (considera il risultato), bivalente (vero o falso), a-spaziale e a-temporale.

La logica classica del primo ordine

La logica classica del primo ordine è la parte della logica più usata e quella sulla quale sono stati ottenuti i più importanti risultati. Essa considera le proposizioni del primo ordine, nella quale rientrano tutte le proposizioni di ogni scienza. Inoltre, tramite un processo di formalizzazione, le componenti extra-logiche della proposizione sono trasformate in variabili il cui tipo è sostituito unicamente da concetti logici.

Il sogno di Leibniz (l'idea meravigliosa)

Leibniz era convinto che si potesse creare un linguaggio matematico universale (una caratteristica universale della ragione) con cui fosse possibile esprimere la verità di ogni conoscenza, in particolare voleva ridurre ogni ragionamento a una sorta di calcolo. Tutti i pensieri sarebbero stati scomposti in pochi pensieri primitivi. Regole di calcolo dovevano stabilire tutte le relazioni logiche esistenti fra le proposizioni (manipolazioni e ragionamento su simboli chiamato calculus ratiocinator). Sognava, infine, macchine che fossero in grado di fare tutto ciò, per liberare la mente dai calcoli, dandole la libertà di dedicarsi al pensiero creativo. Una macchina doveva dare vita al sogno deduttivistico, volto alla meccanizzazione del ragionamento deduttivo; un’altra macchina dava vita al sogno probabilistico volto alla meccanizzazione del ragionamento plausibile.

Per creare una lingua universale bisognava creare un alfabeto speciale che ad ogni simbolo corrispondesse un concetto o idea (e non un suono come l’alfabeto classico) sia esistente che probabile (ecco perché universale), ma per fare ciò occorreva prima catalogare l’intera conoscenza umana, in un sapere enciclopedico che Leibniz sapeva di non poter fare da solo. Istituì così delle Accademie deputate a raccogliere questa conoscenza. L’attenzione per il corretto uso dei simboli è il filo d’Arianna che ha guidato la vita dello studioso. Con questa lingua sarebbe impossibile proferire proposizioni false (castronerie).

Un modello di macchina calcolatrice venne creata da lui stesso nel 1673, in grado di fare tutte e 4 le operazioni, migliorando così la macchina di Pascal che ne permetteva 2. Leibniz riconobbe che il calcolo delle aree del cerchio aveva un legame con la successione dei numeri dispari; trovò che la soluzione dei problemi poteva avvenire grazie ad una formula inversa, dando vita al teorema fondamentale del calcolo infinitesimale (1684), in contemporanea con Newton. Inventò un simbolismo molto efficace, usato ancora oggi, trasformando il calcolo di limite da un metodo esoterico a una tecnica semplice e chiara che poté essere insegnata agli studenti. Egli con un secolo di anticipo inventò un simbolismo per l’Algebra della logica, ossia regole di manipolazione dei simboli: così come l’algebra ha regole di manipolazione per i numeri, si doveva fare una cosa simile per i concetti.

Egli pensava che Dio avesse creato il “migliore dei mondi possibili” (determinismo), che ci doveva essere un’armonia prestabilita per cui all’uomo bastava trovare le connessioni logiche che stavano alla base di questa armonia per capire il rapporto tra l’esistente e il possibile. Tutto era spiegabile con la ragione di pochi uomini che, seduti ad un tavolo, avrebbero “calcolato!” e risolto ogni problema.

La macchina induttiva universale non poté essere realizzata dopo che Gödel affermò il suo principio di incompletezza, ma poté invece essere creata una “macchina induttiva speciale” con la quale risolvere problemi specifici, come per esempio con la logica di I ordine. Turing e Neumann diedero vita ad una parte del sogno di Leibniz, ma il gap tra conoscenza teorica ed effettiva realizzabilità pratica di macchine intelligenti è ancora lungi dall’essere colmato.

Boole trasforma la logica in algebra

La famiglia di Boole era troppo povera per garantirgli l’istruzione regolare e Gorge restò un autodidatta. Egli voleva esprimere le relazioni logiche in forma algebrica, aderendo al formalismo matematico leibniziano che voleva produrre automaticamente la risposta corretta a ogni problema. Gli interessavano gli operatori del calcolo infinitesimale, considerati molto importanti perché molte delle leggi fondamentali dell’universo fisico hanno la forma di equazioni differenziali. Boole dimostrò che certi tipi di equazioni differenziali si potevano risolvere applicando ai rispettivi operatori i metodi dell’algebra. Egli fece un’algebra delle classi, indicate mediante lettere, così se x da solo sta per “cose bianche” e y per “animali”, xy starà per “animali bianchi”.

È, quindi, un’analogia con l’algebra per cui xy è detta intersezione di x e y, ma ci si chiede: nell’algebra ordinaria, dove x sta per un numero, quand’è che l’equazione xx=x è vera? Quando x=0 o x=1 e in nessun altro caso. Fu così che Boole arrivò al principio che l’algebra della logica è esattamente ciò che sarebbe l’algebra ordinaria se...