Logica e comunicazione - Riassunto esame, prof. Numerico

CANTOR: UNA DEVIAZIONE ATTRAVERSO L'INFINITO

Cantor si inserisce nel dibattito sui numeri infiniti: Aristotele pensava che la natura dell'infinito fosse relativa alle nostre conoscenze, non può esistere come sostanza compiuta; Gauss, che spettasse solo ai teologi e a Dio la conoscenza dell'infinito e lo stesso Kronecker, acerrimo nemico di Hilbert e Cantor, era contrario a comprendere i numeri infiniti nell'ambito della matematica.

Cantor non era d'accordo, voleva estendere i metodi delle scienze matematiche al calcolo dell'infinito potenziale (quello di Aristotele). Data una serie infinita, si cerca un limite al quale l'espressione finita al secondo membro si approssimi sempre più man mano che a essa si aggiungono nuovi termini (in quella di Leibniz era pi greco fratto 4). Cantor scoprì che per ottenere i risultati desiderati doveva trattare gli insiemi infiniti come totalità in sé concluse: la teoria degli insiemi.

Esistono numeri infiniti con i quali si possano contare insiemi infiniti? Noi possiamo dire che due insiemi hanno gli stessi elementi se si associa in corrispondenza biunivoca gli elementi del primo con quelli del secondo insieme. Qual è il numero di tutti i numeri naturali? Come è possibile mettere in corrispondenza biunivoca insiemi infiniti? O non ha senso parlare del numero degli elementi di un insieme infinito, oppure qualche insieme infinito avrà lo stesso numero di elementi di uno dei suoi sottoinsiemi. La grande conquista di Cantor consistette nel dimostrare che ogni insieme infinito non può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Egli distingue i numeri razionali, ossia, quelli per cui la successione decimale prima o poi comincerà a ripetersi e quelli irrazionali, dove non compaiono ripetizioni. L'insieme dei numeri reali non può essere posto in corrispondenza biunivoca con quello dei numeri naturali. Gli insiemiinfiniti erano di due grandezze diverse. Era stata trovata una nuova dimostrazione dei numeri reali trascendenti, in cui nessuna equazione algebrica può soddisfarli, ossia, una successione infinita di numeri naturali. Ignorando Gauss e Kronecker, Cantor continuò a studiare i numeri infiniti. Costruì una gerarchia infinita di insiemi infiniti: inventò i numeri cardinali (uno, due, ecc.) e gli ordinali (primo, secondo, ecc.) e ponendosi il problema dei numeri cardinali degli insiemi si accorse che per insiemi finiti non ci sono problemi. Chiamò, invece, transifiniti i numeri cardinali degli insiemi infiniti. Per ultimo inventò il metodo della diagonale, una tecnica che permette ancora una volta di concludere che vi sono più numeri reali che numeri naturali e, quindi, la non numerabilità dei numeri reali. Questa teoria chiamata ipotesi del continuo affermava che insiemi infiniti di numeri reali hanno soltanto due misure, una grande e una piccola. Gli insiemi

Di misura piccola sono esattamente grandi quanto l'insieme dei numeri naturali, e ciò significa che possono essere posti in corrispondenza biunivoca. Gli insiemi grandi sono quelli che possono essere posti in corrispondenza biunivoca con l'insieme di tutti i numeri reali. L'ipotesi del continuo dice che ogni insieme infinito di numeri reali deve essere o del primo o del secondo tipo, e che quindi non c'è alcun insieme di grandezza intermedia.

Russell aveva scoperto i limiti di Frege studiando Cantor chiedendosi: può esistere l'insieme di tutti gli insiemi? Questo manda in depressione Cantor il quale avrà dato vita solo ad una teoria ingenua degli insiemi.

HILBERT VOLA AL SOCCORSO

Hilbert si scontrò con Kronecker sia in vita che dopo la sua morte grazie ai suoi seguaci. Kronecker andava contro l'idea di considerare gli insiemi infiniti parte della matematica, perché considerava il metodo empirico l'unico valido.

Hilbert riuscì a superare Gordan riguardo al problema delle invarianti algebriche, ossia, lo studio delle cose che rimangono uguali nel tempo. Gordan aveva creato un teorema che semplificava la struttura delle invarianti, ma la sua teoria valeva solo in casi particolari. Questo problema era considerato uno dei principali problemi matematici dell'epoca e Hilbert divenne famoso per aver determinato la fine della teoria classica degli invarianti algebrici e diede avvio ad una finestra di possibilità per lo studio creativo dei problemi matematici.

Dopo questo successo riesce ad assiomatizzare la geometria, sostituendo agli assiomi di Euclide, un sistema formale composto da 21 assiomi, che evita le contraddizioni, dimostrando che i teoremi seguivano dagli assiomi e che la logica stava alla base della geometria. Hilbert si accinse a fare lo stesso per l'intera matematica. Riconoscendo che l'impresa era superiore alle sue sole singole forze, propose, nel 1928, la

“Sfida del Novecento” al Congresso internazionale dei Matematici: i famosi 23 problemi di Hilbert, da cui nasce l’espressione: “dobbiamo saperesapremo”, perché i matematici hanno in comune la convinzione che ogni problema matematico ben definito possa essere suscettibile di una soluzione esatta. Il primo problema era quello del continuo di Cantor; il secondo quello della coerenza, dimostrare che gli assiomi dell’aritmetica dei numeri reali erano non contradditori (coerenti). Su questo punto si scontra con i successori di Kronecker e sugli intuizionisti (convenzionalisti) del calibro di Poincaré. Dopo gli anni ’20, Hilbert riprese la Principia Mathematica di Russell e Whitehead, puntando questa volta ad una Metamatematica o teoria della dimostrazione, una formalizzazione di tutta la matematica: dimostrare se la logica del primo ordine (l’Ideografia di Frege) era completa, ossia che vista dall’esterno potesse essere risolta.

Qualsiasi problema utilizzando le regole del sistema stesso. Egli diede così avvio alla scuola formalista: la matematica e la logica sarebbero state sviluppate insieme come un linguaggio simbolico formale, che poteva essere visto sia dall'interno che dall'esterno. All'interno si poteva dimostrare con l'uso della matematica, dall'esterno era un insieme di formule e simboli manipolati che potevano servire a rappresentare ogni significato. Cercava così di andare contro Brouwer e gli intuizionisti, che invece pensavano ad una matematica che potesse fare a meno dell'ipotesi del continuo e del principio del terzo escluso, ossia i cardini della matematica. Poincaré pensava che l'intuizione fosse il principio della matematica, non essendo possibile dedurla dalla logica, dal momento che non è analitica. Le sue idee erano vicine a quelle di Cartesio. In geometria credeva che la struttura degli spazi non euclidei non potessero essere conosciuta analiticamente.

Poincaré credeva che siamo tanto abituati alla geometria euclidea che preferiremmo cambiare le leggi fisiche per mantenerla, piuttosto che servirci di una geometria fisica non euclidea. Euclide dimostrò, a partire dai postulati, i teoremi di inferenza logica, utilizzando la logica nella matematica. I principi della scienza per Poincaré non sono né frutto dell’esperienza né il prodotto di giudizi a priori, non rappresentano la realtà del mondo esterno. Essi sono convenzioni, ipotesi per riordinare le conoscenze, per darne un modello unitario e coerente. Per Poincaré le geometrie euclidee hanno avuto tanto successo per la loro semplicità, comodità e coerenza delle ipotesi. I principi della matematica non ci permettono di comprendere la realtà oggettiva, ma solo il rapporto fra le parti (critica al positivismo e logicismo). Le leggi scientifiche sono, quindi, convenzioni che si rifanno comunque a fatti della natura: non che

L'uomo "crei" fatti della realtà, ma fa uso di "linguaggi" più o meno coerenti (convenzionali) al contesto.

GODEL MANDA TUTTO PER ARIA

Withhead e Russell avevano dimostrato che tutta la matematica ordinaria poteva essere sviluppata dentro un sistema formale; Hilbert nella sua Metamatematica si proponeva di usare metodi matematici per studiare proprio questi sistemi dal di fuori; Godel sviluppò una Metamatematica dal di dentro. Facendo parte del Circolo di Vienna non poté non imbattersi nel fantasma di Kronecker, ovvero l'idea che un sistema non potesse essere vero dall'esterno ma non dimostrabile dall'interno, pena: metafisica. Nel '29 ottiene il dottorato con una tesi nella quale dimostra la completezza del calcolo dei predicati del primo ordine di Frege. Stabilisce cioè che tutte le proposizioni logiche, che sono la chiusura universale di formule del primo ordine, quando sono vere, sono anche dimostrabili logicamente.

Egli studiando il problema della decisione di Hilbert, riguardo la scoperta di un algoritmo che potesse formalizzare la matematica, scoprì che: all'interno di un sistema formale, ci sono proposizioni vere ma non dimostrabili logicamente (indicibili), per cui per dimostrare la coerenza è necessario uscire dal sistema. In particolare, ci sono proposizioni logiche, che sono la chiusura esistenziale di formule del primo ordine, che sono vere ma non dimostrabili logicamente (teorema di incompletezza). La COERENZA, quindi, non basta per garantire la verità della dimostrazione. Egli elimina la nozione di verità/falsità intrudendo quella di dimostrabilità/indimostrabilità. Nonostante si pensi che il suo teorema abbia distrutto la possibilità di accedere a verità matematiche di cui avere assoluta certezza, Godel era convinto che il suo stesso teorema di incompletezza avesse una valenza di oggettività e rigore logico.

verità essendo qualcosa di oggettivo, non può essere posta a conclusione di alcuna sequenza dimostrativa, ma solo all'origine. Godel fu anche celebre per il suo lavoro sull'ipotesi del continuo di Cantor, dimostrando che essa non può essere confutata dagli assioni della teoria degli insiemi. Egli passò gli ultimi anni della propria vita a riflettere sulla natura filosofica delle sue scoperte, riflettendo sul materialismo, sulla fisiologia umana, e sulla comparazione uomo/macchina, dando una prova di grande lungimiranza. Godel condivide con Leibniz la visione di Dio come la somma perfetta di "ogni qualità semplice che sia positiva e assoluta, rappresentando la Verità che non dipende da calcoli umani". TURING E L'IDEA DEL CALCOLATORE GENERALE Turing dimostrò che la classe delle funzioni primitive di Godel era effettivamente la classe di tutte le possibili funzioni calcolabili e che l'algoritmo di Hilbert non

Poteva esistere. Egli comprese che l'essere umano poteva essere sostituito da una macchina capace di eseguire le sue azioni di base. Così come Godel introdusse il concetto.