Riassunto esame Logica, prof. Abrusci, libro consigliato Logica, lezioni di primo livello, Abrusci

(BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO).

- Il sillogismo BARBARA dice che: da “ogni M è P” e “ogni S è M” si conclude che “ogni S è P”;

- il sillogismo CELARENT dice che: da “ogni M non è P” e “ogni S è M” si conclude che “ogni S non è P”;

- il sillogismo DARII dice che: da “ogni M è P” e “qualche S è M” si conclude che “qualche S è P”;

- il sillogismo FERIO dice che: da “ogni M non è P” e “qualche S è M” si conclude che “qualche S non è

P”,

in cui il predicato P compare sia nella premessa maggiore sia nella conclusione; il soggetto S compare sia

nella premessa minore sia nella conclusione, mentre il termine medio M compare solo nelle due premesse.

•• I sillogismi di seconda e terza figura sono ottenuti per dualità dai quattro sillogismi sopra elencati:

- il sillogismo di terza figura dice che: dalla premessa maggiore e dalla contraddittoria della conclusione si

conclude la contraddittoria della premessa minore;

- il sillogismo di quarta figura dice che: dalla premessa minore e dalla contraddittoria della conclusione si

conclude la contraddittoria della premessa maggiore.

3.3 - La lettura odierna delle proposizioni categoriche

•• Oggi abbiamo due modi di leggere le proposizioni categoriche:

- possiamo leggere le quattro proposizioni categoriche che hanno un soggetto P e un predicato Q

attraverso la variabile “x” di tipo P:

- universale affermativa (“ogni P è Q”) diventa “per ogni x di tipo P, x è Q”, ovvero: Q(x);

∀x:P, ⌝Q(x);

- universale negativa (“ogni P non è Q”) diventa per ogni x di tipo P, x non è Q”, ovvero: ∀x:P,

- particolare affermativa (“qualche P è Q”) diventa “per qualche x di tipo P, x è Q”, ovvero: Q(x);

∃x:P,

- particolare negativa (“qualche P non è Q”) diventa “per qualche x di tipo P, x non è Q”, cioè: ∃x:P,

⌝Q(x),

presupponendo che queste quattro proposizioni stiano parlando delle cose che sono P e ogni

proposizione ci dice quante cose di tipo P sono anche Q o non sono Q.

È anche evidente che la contraddittoria di ciascuna proposizione categorica è la sua negazione.

- la seconda lettura delle proposizioni categoriche che hanno un soggetto P e un predicato Q attraverso la

variabile “x” di tipo X, in cui X è una classe arbitraria, di solito più ampia di P:

- universale affermativa (“ogni P è Q”) diventa: “per ogni x, se x è P allora x è Q”, ovvero:

[P(x) -> Q(x)];

∀x:X,

- universale negativa (“ogni P non è Q”) diventa: “per ogni x, se x è P allora x non è Q”, ovvero:

⌝Q(x)];

[P(x) ->

∀x:X,

- particolare affermativa (“qualche P è Q”) diventa: “per qualche x, x è P e x è Q”, ovvero:

[P(x) ^ Q(x)];

∃x:X,

- particolare negativa (“qualche P non è Q”) diventa: “per qualche x, x è P e x non è Q”, ovvero:

⌝Q(x)],

[P(x) ^

∃x:X,

presupponendo che queste quattro proposizioni stiano parlando delle cose che sono X e ogni

proposizione ci dice che rapporto c’è tra le cose di X che sono P e le cose di X che sono Q.

È anche evidente che la contraddittoria di ciascuna proposizione categorica è la sua negazione.

3.4 - Formulazione dei sillogismi secondo la lettura odierna delle proposizioni categoriche

•• Usando la seconda lettura delle proposizioni categoriche, i sillogismi diventano asserzioni di

dimostrabilità tra proposizioni quantificate; i quattro sillogismi fondamentali (della prima figura, BARBARA,

CELARENT, DARII, FERIO) si formano dalla proposizione quantificata che esprime la premessa maggiore

e dalla proposizione quantificata che esprime la premessa minore, per dimostrare logicamente la

proposizione quantificata che esprime la conclusione:

- sillogismo BARBARA: [M(x) -> P(x)], [S(x) -> M(x)]├ [S(x) -> P(x)];

∀x:X ∀x:X ∀x:X,

⌝P(x)], ⌝P(x)];

- sillogismo CELARENT: [M(x) -> [S(x) -> M(x)]├ [S(x) ->

∀x:X ∀x:X ∀x:X,

- sillogismo DARII: [M(x) -> P(x)], [S(x) ^ M(x)]├ [S(x) ^ P(x)];

∀x:X ∃x:X ∃x:X

⌝P(x)], ⌝P(x)].

- sillogismo FERIO: [M(x) -> [S(x) ^ M(x)]├ [S(x) ^

∀x:X ∃x:X ∃x:X

Dalle regole di dimostrazione sui quantificatori e sui connettivi, per ogni sillogismo possiamo dimostrare la

sua conclusione dalle sue ipotesi (per esempio, dimostro la conclusione di BARBARA dalle sue ipotesi: se

prendo un oggetto a di tipo X, abbiamo come ipotesi “M(a) -> P(a)”, poi “S(a) -> M(a)”, allora concludo “S(a)

-> P(a)” per la transitività dell’implicazione).

La logica classica del primo ordine

•• La logica classica del primo ordine è la parte più usata della logica classica e considera le proposizioni

del primo ordine, la classe più ampia di proposizioni, in cui rientrano quasi tutte quelle usate dalle scienze.

•• Dalle proposizioni del primo ordine si ottengono le formule del primo ordine, attraverso un processo di

astrazione chiamato formalizzazione, che consiste nel rimpiazzare ogni componente extralogica con una

variabile che ha come tipo solo concetti logici: una formula del primo ordine contiene solo concetti logici.

Infatti, una proposizione logica contiene solo concetti logici e può essere quindi vera o falsa.

•• Importanti sono le proposizioni logiche che sono chiusura universale di una formula del primo ordine (la

cui verità è una verità di una proposizione del primo ordine comunque vengano rimpiazzate le sue

componenti extralogiche) o chiusura esistenziale di una formula del primo ordine (la cui verità è una verità

di una proposizione del primo ordine per un particolare ripianamento delle sue componenti extralogiche).

•• La domanda “si possono dimostrare le proposizioni logiche vere?” è mal posta perché implica che ci

siano proposizioni logiche vere e non può mai essere falsa, perché sarebbe impossibile stabilire la verità di

una proposizione logica senza una sua dimostrazione. Interessante e non banale è invece la domanda “si

possono dimostrare logicamente le proposizioni logiche vere?”; secondo il teorema di incompletezza di

Gödel, ci sono proposizioni logiche vere non dimostrabili logicamente: la chiusura esistenziale di formule

del primo ordine; secondo il teorema di completezza di Gödel, ci sono proposizioni logiche vere dimostrabili

logicamente: le proposizioni che sono la chiusura universale di formule del primo ordine, se sono vere,

sono anche dimostrabili logicamente.

1 - Proposizioni e formule del primo ordine

•• Una proposizione del primo ordine è fatta di connettivi e quantificatori partendo da proposizioni semplici

senza concetti logici, parla di un solo tipo di oggetti e ha quantificatori solo su quel tipo di oggetti.

Formalizzando una proposizione del primo ordine (sostituendo le componenti extralogiche con variabili che

hanno come tipo solo concetti logici) questa diventa una formula del primo ordine, che non è una

proposizione perché contiene variabili e può avere modelli e contromodelli.

1.1 - Proposizioni del primo ordine

•• Una proposizione del primo ordine è tale solo dopo essere stata analizzata logicamente e si siano

verificate nell’ordine queste condizioni: la proposizione A è ottenuta da alcune componenti (esclusivamente

mediante connettivi e quantificatori); tutte le componenti devono essere proposizioni semplici prive di

concetti logici; la proposizione deve parlare di un solo tipo X di oggetti; tutte le quantificazioni devono

essere su variabili di quello stesso tipo X di oggetti di cui parla la proposizione. Quindi una proposizione

semplice senza concetti logici, all’interno di una proposizione, può essere una proposizione non analizzata

oppure una proposizione analizzata con componenti extralogiche (è ovvio che una proposizione semplice

in una proposizione può essere a volte vista come la negazione di una proposizione semplice B, quindi

come ¬B, ed è ovvio che le variabili quantificate in una proposizione sono presenti solo nelle proposizioni

semplici di quella proposizione). La proposizione A si ha quando ogni proposizione semplice presente in A

e analizzata può essere vista come il risultato dell’applicazione di una proprietà (su X) a un oggetto di X (=

risultato dell’applicazione di una relazione n-aria su X a una n-pla di oggetti di X), quando in ogni

proposizione semplice presente in A gli oggetti di X sono indicati o da una variabile con tipo X o da un

oggetto di X o come valore di una funzione n-aria su X applicata a n oggetti di X e quando ogni

quantificazione in A è su una variabile di tipo X. Non sono proposizioni del primo ordine quelle che

contengono quantificazioni su variabili per funzioni, per proposizioni, per proprietà o per relazioni. Molte

proposizioni che vengono usate nelle teorie scientifiche (e non solo) sono proposizioni del primo ordine.

Proposizioni che non sono del primo ordine sono usate nell’analisi matematica e nella logica, nei principi

dell’aritmetica e della geometria.

•• Una classe di proposizioni del primo ordine è omogenea quando tutte parlano dello stesso tipo di oggetti.

•• Le conoscenze di una teoria scientifica in cui si usano solo proposizioni del primo ordine sono una classe

omogenea di proposizioni del primo ordine.

•• “Carlo cammina e incontra qualcuno” diventa “Carlo cammina ^ incontra x)”, con x variabile del

∃x(Carlo

tipo “classe degli esseri umani”, con proposizioni semplici “Carlo cammina” e “Carlo incontra x”, prive di

concetti logici. La proposizione intera parla del tipo degli esseri umani e le quantificazioni sono su variabili

per quello stesso tipo. La proposizione è quindi del primo ordine.

•• “Carlo incontra qualcuno e ha qualche proprietà” diventa “∃x(Carlo incontra x) ^ ha P)”, con x

∃P(Carlo

variabile per il tipo degli esseri umani e P variabile per proprietà su esseri umani. Le proposizioni semplici

sono prive di concetti logici, ma la proposizione non è del primo ordine perché c’è una quantificazione su

una variabile per proprietà, non ammessa nelle proposizioni del primo ordine.

1.2 - Un processo di astrazione logica: la formalizzazione

•• Il processo di astrazione chiamato formalizza