Riassunto esame Logica, prof. Abrusci, libro consigliato Logica, lezioni di primo livello, Abrusci

Sunto di Logica, prof. Abrusci - Libro consigliato: Logica. Lezioni di primo livello, di Abrusci

I temi della logica

•• L’oggetto della logica è ciò che è comune a tutte le discipline scientifiche. Questa definizione di logica è

antica, attuale e aperta verso il futuro. Dunque, i temi della logica sono quei temi che si ritrovano in tutte le

discipline scientifiche, in particolare: proposizioni, dimostrazioni e refutazioni, dibattiti; classi, operazioni,

proprietà, relazioni; strategie, programmi, macchine, reti; l’organizzazione delle conoscenze. La ricerca sui

temi della logica è cominciata con Aristotele in filosofia. Nella seconda metà dell’Ottocento, Boole e Cantor

hanno definito la logica entro un’accezione matematica; in effetti, la logica è una disciplina matematica

perché tratta oggetti che sono di natura matematica e devono quindi essere studiati con metodi matematici:

è la logica matematica. Nel Novecento, la logica è stata alla base dell’informatica, fornendo le basi

teoriche, concettuali e metodologiche di questa.

1 - Proposizioni, dimostrazioni e refutazioni, dibattiti

•• Proposizioni, dimostrazioni, refutazioni e dimostrazioni da ipotesi appartengono a ciascuna branca della

nostra attività conoscitiva, dunque sono oggetti della logica. C’è uno stretto legame tra dimostrazioni da

ipotesi (ricavare proposizioni da proposizioni poste come ipotesi) e processi, così come c’è legame tra le

proposizioni (che esprimono ciò che viene dimostrato o refutato) e le specifiche dei processi (che

esprimono ciò che compiono i processi). A volte, all’interno delle proposizioni, troviamo anche componenti

che sono comuni a tutte le attività conoscitive, dunque sono oggetti della logica; mentre all’interno delle

dimostrazioni, delle refutazioni e dei dibattiti troviamo a volte regole, inferenze e mosse che sono comuni a

tutte le discipline, dunque sono oggetti della logica. La dualità è una caratteristica essenziale delle

proposizioni e dei dibattiti e permette la comunicazione tra le dimostrazioni.

1

1.1 - Proposizioni

•• Le proposizioni (o asserzioni, enunciati…) possono esprimere concetti logici (e solo queste proposizioni

interessano la logica); alcune proposizioni contengono solo concetti logici e sono dette proposizioni

logiche.

1.1.1 - Il concetto logico di proposizione

•• La logica non è l’unica disciplina che si occupa di proposizioni (si occupa di proposizioni anche la

linguistica…), ma solo la logica si occupa delle proposizioni in quanto usate nelle dimostrazioni,

nelle refutazioni e nei dibattiti. Infatti, in logica due proposizioni che svolgono lo stesso ruolo nei

dibattiti (sono dunque logicamente uguali, nonostante siano linguisticamente diverse, come per

esempio una frase in italiano e una in inglese) sono ritenute uguali.

1.1.2 - Concetti logici interni alle proposizioni, proposizioni logiche

•• Una proposizioni può contenere alche componenti, che a volte possono essere altre proposizioni:

infatti, le proposizioni composte contengono al loro interno altre proposizioni semplici. Le

componenti comuni a tutte le discipline sono oggetto della logica ed esprimono concetti logici.

In particolare, i concetti logici più importanti sono:

- “e”, concetto logico di congiunzione;

- “non”, concetto logico di negazione;

Connettivi - “oppure”, “o”, concetti logici di disgiunzione;

- “se… allora…”, concetto logico di implicazione;

- “ogni”, “tutti”, “qualsiasi”…, concetti logici di quantificazione universale;

Quantificatori - “qualche”, “per almeno uno”, “qualcuno”…, concetti logici di quantificazione esistenziale;

- “si ottiene”, “causa”, concetti logici di causalità o dipendenza;

- “insieme con”, concetto logico di esistenza o compatibilità;

Logica - “si può scegliere tra…”, concetto logico di scelta tra più risorse;

lineare - “è presente uno tra”, concetto logico di disponibilità tra più risorse;

-

Logica “è possibile”, concetto logico di possibilità;

-

modale “è necessario”, concetto logico di necessità.

1 Nota bene: A, B, C… indicano generiche proposizioni.

Una proposizione che contiene soltanto concetti logici è detta proposizione logica ed è dunque

comune a tutte le discipline, essendo oggetto della logica.

1.2 - Dimostrazioni e refutazioni

•• Le dimostrazioni stabiliscono una proposizione; le refutazioni respingono una proposizione.

1.2.1 - Il concetto logico di dimostrazione e il concetto logico di refutazione

•• Una dimostrazione che stabilisce una proposizione A è detta dimostrazione di A; una refutazione

che respinge una proposizione A è detta refutazione di A. Possono esserci più di una o nessuna

dimostrazione/refutazione per ogni proposizione. Ogni disciplina ha la sua modalità di effettuare

dimostrazioni/refutazioni. In genere sono date da calcoli, osservazioni o esperienze, altre volte sono

date da ragionamenti.

La logica non si occupa di ogni dimostrazione/refutazione, ma solo del concetto generale (dunque

logico) di dimostrazione/refutazione.

Tema della logica è anche quello di stabilire se una proposizione possa avere sia una dimostrazione

sia una refutazione (argomento trattato soprattutto dalla logica moderna, mentre è trascurato dalla

logica classica). ├ ├

Per dire che x è dimostrazione di una proposizione A: x: A; per dire che A è dimostrabile: A;

├; ├.

Per dire che x è refutazione di una proposizione A: x: A per dire che A è refutabile: A

1.2.2 - Regole logiche, inferenze logiche, dimostrazioni logiche, refutazioni logiche

•• Se la dimostrazione/refutazione di una proposizione contenente concetti logici usa a sua volta

concetti logici in maniere che sono comuni a tutte le discipline, queste maniere comuni sono

chiamate regole logiche. Una dimostrazione/refutazione di una proposizione A ottenuta soltanto

attraverso regole logiche è detta dimostrazione/refutazione logica di A.

Per esempio, una regola logica di dimostrazione/refutazione è: Se ho la proposizione “Carlo studia

e/o Marco legge il giornale”, se dimostro/refuto una, dimostro/refuto anche l’altra.

1.3 - Dimostrazioni da ipotesi

•• Le dimostrazioni da ipotesi sono proposizioni ricavate da proposizioni poste come ipotesi. Le

dimostrazioni logiche da ipotesi sono quelle nelle quali si trovano solo regole logiche.

1.3.1 - Il concetto logico di dimostrazione da ipotesi

•• In ogni disciplina ci forniamo delle dimostrazioni per stabilire un certo tipo di relazione tra più

proposizioni, senza necessariamente mirare a fornire le ragioni per accettare o per respingere

proposizioni. Le dimostrazioni da ipotesi non consistono in calcoli, in osservazioni o in esperienze,

ma, appunto, da ipotesi.

Una dimostrazione di una conclusione A da un’ipotesi B permette:

- di trasformare ogni dimostrazione di B in una dimostrazione di A (in questo modo ricava la

conclusione A dall’ipotesi B);

- di trasformare ogni refutazione di A in una refutazione di B (in questo modo la conclusione A è

ricondotta all’ipotesi B).

La ricerca logica moderna si interessa, a differenza di quella classica, di chiarire che cosa sia una

trasformazione di dimostrazioni e che cosa sia una trasformazione di refutazioni.

Una dimostrazione di una proposizione A dalla proposizione B è detta derivazione di A da B (o

ragionamento che dalla proposizione B porta alla proposizione A…). Ogni singolo passo compiuto

per ricavare la conclusione A dall’ipotesi B (o per ricondurre la conclusione A all’ipotesi B) viene

chiamato inferenza.

In sintesi: trasformando la dimostrazione dell’ipotesi B nella dimostrazione della conclusione A, si

ricava la conclusione A dall’ipotesi B; trasformando la refutazione della conclusione A in una

refutazione della ipotesi B, si riconduce la conclusione A all’ipotesi B. Infatti, una dimostrazione di

una proposizione A da una proposizione B è qualcosa che è sempre sia il ricavare A da B sia il

ricondurre A a B.

Quando si presenta la dimostrazione della conclusione A dall’ipotesi B come la ricavazione della

conclusione A dall’ipotesi B, la presentazione è detta “dall’alto verso il basso” (o top-down,

dall’ipotesi alla conclusione). Questa presentazione si preferisce quando la dimostrazione è stata

trovata e si vuole comunicarla.

Quando si presenta la dimostrazione della conclusione A dall’ipotesi B come la riconduzione della

conclusione A all’ipotesi B, la presentazione è detta “dal basso verso l’alto” (o bottom-up, dalla

conclusione all’ipotesi). Questa presentazione si preferisce quando la dimostrazione deve essere

ancora trovata.

- x : B├ A significa: una cosa x è una dimostrazione di una proposizione A dall’ipotesi B.

- ├

x: A , …, A A significa: una cosa x è dimostrazione di una proposizione A dalle ipotesi A , …, A .

1 n 1 n

- ├

A , …, A A significa: una proposizione A è dimostrabile dalle ipotesi A , …, A (ovvero esiste una

1 n 1 n

dimostrazione di A da A , …, A ).

1 n

- B├ A significa: una proposizione A è dimostrabile dall’ipotesi B (cioè esiste una dimostrazione di A da

B).

(Esempi-chiave alle pagine 10-11.)

1.3.2 - Regole logiche, inferenze logiche, dimostrazioni logiche da ipotesi

•• Quando le inferenze (ovvero i passaggi) sono compiute sulla base di soli concetti logici contenuti

nelle proposizioni, si dice allora che le inferenze siano logiche, poiché sono in comune a tutte le

discipline.

•• Quando in una dimostrazione da ipotesi tutte le inferenze sono inferenze logiche, allora la

dimostrazione è detta dimostrazione logica da ipotesi.

1.4 - Processi e specifiche, dimostrazioni e proposizioni

•• Una dimostrazione da ipotesi può essere considerata come un processo con input e output, mentre le

specifiche dei processi sono espresse proprio da proposizioni.

1.4.1 - Processi, dimostrazioni da ipotesi

•• Consideriamo un processo qualsiasi. Input (punto di partenza) sarà ciò che in esso viene usato o

ciò che in esso viene atteso dall’esterno; output (punto di arrivo), al contrario, sarà ciò che in esso

viene ottenuto o ciò che con esso viene fornito all’esterno.

Una dimostrazione da ipotesi può essere considerata come un processo con input e output in due

maniere:

- la prima corrisponde alla presentazione dall’alto verso il basso, e ha come input l’ipotesi e

come output la conclusione: ricevuta una dimostrazione dell’ipotesi come input, il processo è in

grado di produrre una dimostrazione della conclusione come output;

- la seconda corrisponde alla presentazione dal basso verso l’alto e ha come input la

conclusione e come output l’ipotesi: ricevuta una refutazione della conclusione come input, il

processo è in grado di produrre una refutazione dell’ipotesi come output.

Stabiliamo quindi che le dimostrazioni siano processi particolari con due possibilità di lettura. In

breve, input e output dipendono dal punto di vista con cui il processo è considerato.

1.4.2 - Specifica di un processo, specifica di una dimostrazione

•• Quando da una proposizione B si ottiene la dimostrazione di una proposizione A, si dice che “da

B si dimostra A” (oppure: “A si dimostra da B”). Con questi termini si sta descrivendo la specifica di

un processo, che avviene appunto attraverso altre proposizioni.

•• La specifica di un processo (e in particolare la specifica di una dimostrazione da ipotesi) consiste

nel descrivere, nell’indicare i punti di partenza e i punti di arrivo, attraverso proposizioni.

“Da B si ottiene A” è una specifica di un processo, in cui si esprimono i punti di partenza (B) e i punti

di arrivo (A).

1.5 - Dibattiti

1.5.1 - Il concetto logico di dibattito

•• Il dibattito (o disputa) è il luogo in cui si discutono proposizioni e si svolge un gioco di

proposizioni; essendo comune a tutte le discipline, è un concetto logico. In un dibattito devono

esserci almeno due soggetti, il proponente, che comincia il dibattito con una proposizione A che

vuole sostenere, e l’opponente, che risponde con una proposizione B, che contrappone alla

proposizione A (è detta infatti contraddittoria della proposizione A). Le mosse poi si alternano,

attraverso le quali il proponente può diventare opponente e viceversa. Si può rispondere passando

dall’implicito all’esplicito, chiedendo di passare dall’implicito all’esplicito oppure abbandonando.

Le mosse possono essere guidate da una strategia che permette di rispondere alle mosse

dell’avversario. Il concetto di dibattito è stato considerato (poco) sin dalla logica classica e adesso è

al centro della ricerca logica odierna.

1.5.2 - Mosse logiche, dibattiti logici, strategie logiche

•• Se le mosse dipendono unicamente da concetti logici, queste sono dette mosse logiche e sono

oggetto della logica. Se in un dibattito ci sono soltanto mosse logiche, il dibattito viene definito

logico. Le strategie sono dette logiche quando dipendono unicamente dai concetti logici.

1.6 - Dualità e comunicazione

•• Il concetto di dualità è comune a tutte le discipline, dunque è un tipico oggetto della logica.

1.6.1 - Dualità, dualità logica

•• La dualità richiede la presenza di due punti di vista alternativi tra loro attraverso i quali si può

considerare ed esprimere uno stesso contenuto informativo (esempio: cliente/commerciante, input/

output…). Alcune coppie di punti di vista sono logiche. dunque sono coppie logiche, come la coppia

vero/falso, di natura logica perché comune a tutte le branche della conoscenza (esempio: posso

esprimere un contenuto con una proposizione “vera” se assumo il punto di vista di “dire la verità”;

posso esprimere lo stesso contenuto con una proposizione “falsa” se assumo il punto di vista di

“dire la falsità”). Anche dimostrazione/refutazione sono una coppia di punti di vista logici: una cosa

può essere dimostrazione A e refutazione di B e viceversa.

•• Due proposizioni A e B sono dette duali rispetto a una coppia di punti di vista quando esprimono

lo stesso contenuto ma sotto diversi punti di vista. Se abbiamo due punti di vista alternativi, a ogni

proposizione che esprime qualcosa (secondo uno dei due punti di vista) associamo un’altra

proposizione che esprime lo stesso contenuto, sotto l’altro punto di vista. Cambiare punto di vista

significa esprimere ciascun contenuto informativo con una proposizione duale (contraddittoria)

rispetto alla proposizione precedente.

Cambiare due volte punto di vista ci porta al punto di vista iniziale: “A: ∼∼A”

•• Due proposizioni A e B sono dette logicamente duali quando ogni dimostrazione di una delle due

proposizione è una refutazione dell’altra (e viceversa). A è duale logico di B (e viceversa): “A: ∼B”.

•• Se A e B sono logicamente duali e se A e C sono logicamente duali, allora le proposizioni B e C

(anche se linguisticamente differenti), sono logicamente uguali, perché si comportano allo stesso

modo nelle dimostrazioni e nelle refutazioni. Una proposizione e la sua negazione formano una

coppia di proposizioni logicamente duali.

1.6.2 - Dualità logica e dimostrazioni da ipotesi

•• Il duale logico dell’ipotesi è la conclusione; il duale logico della conclusione è l’ipotesi. Allora: la

dimostrazione della conclusione (da una ipotesi) è la dimostrazione del duale logico dell’ipotesi (dal

duale logico di una conclusione). In altre parole: ogni dimostrazione di A da B è una dimostrazione

del duale logico di B dal duale logico di A (se x : B├ A, allora x : A├ Se dimostro B (o duale

∼B).

logico di A) dimostro A (o duale logico di B), se refuto A (o duale logico di B) refuto B (o duale logico

di A).

•• Se le proposizioni A e D sono logicamente duali così come lo sono le proposizioni B e C, allora

ogni dimostrazione di A da B (dall’alto verso il basso: una dimostrazione di B è una dimostrazione di

A) è una dimostrazione di C da D (dal basso verso l’alto: una refutazione di C è una refutazione di

D) e viceversa.

•• Dunque, in una dimostrazione da ipotesi, ciò che è input e ciò che è output dipende dal punto di

vista attraverso il quale si considera la dimostrazione (dall’alto verso il basso, cioè qualcosa che

trasforma dimostrazioni; dal basso verso l’alto, cioè qualcosa che trasforma refutazioni).

•• La dimostrazione di una coppia di proposizione (├ A, B) è qualcosa (x) che permette di

trasformare ogni refutazione della prima proposizione nella dimostrazione della seconda

├

proposizione: “x : A, B”.

•• La dimostrazione di una tripla di proposizioni (e le dimostrazioni con n+1 proposizioni -├ A , A ,

1 2

…, A + 1) è qualcosa che permette di trasformare ogni dimostrazione di una proposizione (delle n

n

considerate) in una refutazione di tutte le altre proposizioni.

•• Ogni dimostrazione di una proposizione A (o del duale logico di B) da B (o dal duale logico di A) è

una dimostrazione della coppia di proposizioni costituita dal duale logico di B e da A. Infatti, una

dimostrazione di A da B dall’alto verso il basso trasforma una dimostrazione di B (o una refutazione

del duale logico di B) in una d