Lista teoremi+dimostrazione scritto Analisi I

Teorema della base di S₀

L’insieme S₀ delle soluzioni del sistema omogeneo y' = A(t) y è uno spazio vettoriale di dimensione n.

Una sua base è costituita dalle soluzioni y_i dei problemi di Cauchy:

{ y' = A(t) y; y(t₀) = e_i; l'i-esimo vettore base canonica Rⁿ }

1. S₀ è uno spazio vettoriale perché è chiuso, un insieme chiuso rispetto alle somme e al prodotto per scalare.
2. Mostriamo che le y_i sono linearmente indipendenti.

Quindi ∑_i=1ⁿ C_i y_i(t₀) = ∑_i=1ⁿ C_i e_i.

E questo implica che C_i = 0 per i = 1,...,n dal momento che { e₁,...,e_n } sono linearmente indipendenti.

3. Ogni soluzione y del sistema può essere scritta come combinazione lineare delle y_i, cioè ∃ dei C_i.

Tali che y(t) = ∑_i=1ⁿ C_i y_i(t) ∀ t ∈ [a,b].

Ogni vettore Rⁿ può essere scritto come combinaz. lineare degli elementi della base, quindi ∃ C₁,...,C_i tali che: y(t₀) = ∑_i=1ⁿ C_i e_i.

Quindi u(t) = y(t₀) - ∑_i=1ⁿ C_i e_i è la funzione nulla.

Teorema della base di S₀

L'insieme S₀ delle soluzioni del sistema omogeneo y' = A(t) y è uno spazio vettoriale di dimensione n.

Una sua base è costituita dalle soluzioni y_i dei problemi di Cauchy:

y' = A(t) y; y(t₀) = e_i; l-i-esimo vettore base canonica ℝⁿ.

1. S₀ è uno spazio vettoriale perché è chiuso, un insieme chiuso rispetto alla somma e al prodotto per scalare.
2. Mostriamo che le y_i sono linearmente indipendenti.

Quindi ∑_i=1ⁿ C_iy_i(t₀) = ∑_i=1ⁿ C_ie_i.

E questo implica che C_i = 0 per i = 1,...,n dal momento che {e₁,...,e_n} sono linearmente indipendenti.

Ogni soluzione y del sistema può essere scritta come combinazione lineare delle y_i, cioè ∃ dei C_i tali che y(t) = ∑_i=1ⁿ C_iy_i(t) ∀t∈[a,b].

Ogni vettore ℝⁿ può essere scritto come combinaz. lineare degli elementi della base, quindi ∃ C₁,...,C_i tali che: y(t₀) = ∑_i=1ⁿ C_i e_i.

Quindi u(t) = y(t₀) - ∑_i=1ⁿ C_ie_i è la funzione nulla.

Teorema di continuità delle funzioni derivabili

Ogni f derivabile in x₀ è continua in x₀.

Per definizione di f derivabile, il limite finito:

lim_{x → x0} [f(x) - f(x₀)] / [x - x₀] = f'(x₀).

Possiamo allora riscrivere f(x) - f(x₀) + [f(x) - f(x₀)] / [x - x₀] (x - x₀).

E passando per x → x₀ a entrambi i membri:

lim_{x → x0} f(x) = f(x₀) + lim_{x → x0} [f(x) - f(x₀)] / [(x - x₀)] (x - x₀) = f(x₀) + lim_{x → x0} [f(x) - f(x₀)] / [x - x₀] ↓ = f'(x₀) + lim_{x → x0} (x - x₀) ↓ 0 = f(x₀).

Quindi lim_{x → x0} f(x) = f(x₀) ⇔ f è continuo.

Criterio integrale (serie)

f: [1, +∞) → ℝ positiva decrescente.

Successione (a_n)_n = (f(n))_n.

Allora ∑_n=1^∞ a_n converge ⇔ ∫₁^∞ f(x) dx converge.

Consideriamo n∈ℕ e [n, n+1].

f(n+1) ≤ f(x) ≤ f(n), ∀x ∈ [n, n+1].

Integriamo la catena con ∫_nⁿ⁺¹ che non cambia di verso:

∫_nⁿ⁺¹ f(n+1) ≤ ∫_nⁿ⁺¹ f(x) ≤ ∫_nⁿ⁺¹ f(n), tutto in dx = f(n)∫_nⁿ⁺¹ dx = f(n).

f(n+1)∫_nⁿ⁺¹ dx = f(n+1).

⇒ f(n+1) ≤ ∫_nⁿ⁺¹ f(x) dx ≤ f(n), con a_n = f(n).

a_n+1 ≤ ∫_nⁿ⁺¹ f(x) dx ≤ a_n, ∀n∈ℕ.

Sommando M con n+1:

∑_n=1^M a_n+1 ≤ ∫₁^∞ f(x) dx ≤ ∑_n=1^M a_n, ∀M ∈ ℕ.

Teorema fondamentale del calcolo integrale

f: I → ℝ continua in I, x₀ ∈ I.

F: I → ℝ, F(x) = ∫_x₀^x f(t) dt è una primitiva di f, ovvero derivabile in I e si ha d/dx ∫_x₀^x f(t) dt = f(x).

Calcoliamo lim per h → 0 del rapporto incrementale:

lim_h→0 [F(x+h) - F(x)] / h = lim_h→0 [1/h ∫_x₀^x+h f(t) dt] = 1/h ∫_x₀^x+h f(t) dt.

Applicando il teorema della media integrale:

[F(x+h) - F(x)] / h = 1/h ∫_x₀^x+h f(t) dt = f(c_h).

Per h → 0, lim_h→0 c_h = x.

Quindi F'(x) = lim_h→0 [F(x+h) - F(x)] / h = lim_h→0 f(c_h) = f(x).

Come volevasi dimostrare.

Teorema di integrabilità delle funzioni monotone

f: [a,b] → R monotona → f è integrabile.

Supponiamo f crescente.

Inanzitutto possiamo dire che f è limitata. (Weierstrass).

f(a) ≤ f(x) ≤ f(b), ∀x ∈ [a,b].

Considerata una partizione qualsiasi di [a,b] P={x₀,...,xₙ} si ha:

inf f = f(x_i-1), sup f(xₙ) [x_i-1, xₙ] [x_i, x_i-1].

Quindi s(P) = ∑_i=1ⁿ (xₙ - x_i-1) f(x_i-1).

E S(P) = ∑_i=1ⁿ (xₙ - x_i-1) f(xₙ).

Scegliendo di dividere [a,b] in n parti uguali, la partizione è formata da punti equidistanti.

s(Pₙ) = (b-a)/n ∑_i=1ⁿ f(x_i-1), S(Pₙ) = (b-a)/n ∑_i=1ⁿ f(xₙ).

Per cui S(Pₙ) - s(Pₙ) = (b-a)/n ∑_i=1ⁿ [f(xₙ) - f(x_i-1)] = (b-a)/n [f(b) - f(a)].

E per n → ∞, lim_n→∞ [S(Pₙ) - s(Pₙ)] = 0.

Irrazionalità di √2

IP: n e m primi tra loro.

TH: n/m = √2, cioè √2 numero razionale.

n²/m² = 2.

n² = 2m².

↑ È pari, quindi anche n è pari, cioè n = 2K.

2m² = 4k².

m² = 2k².

↑ È pari.

Sia n che m sono pari, in contraddizione con l'ipotesi!

Quindi concludiamo che l'ipotesi è falsa, √2 non è un numero razionale.

Teorema di limitatezza delle successioni convergenti

(a_n = successione (a_n convergente → (a_n limitato.

Si ha quindi lim_n→∞ a_n = l.

|a_n - l| < 1/ε, ∀ n > n_ε.

|a_n| = |a_n - l + l| ≤ |a_n - l| + |l| < 1 + |l|, ∀ n > n_ε.

• Preso M = max { |a₁|, |a₂|, |a₃|, ..., |a_nε| } ⇒ |a_n| ≤ M ∀ n ∈ N, cioè a_n è limitata.

Teorema sul limite di funzioni mediante successioni

f: A→ℝ.

x₀: punto di accumulazione di A in ℝ.

lim_x→x0 f(x) = l ∈ ℝ ⇔ ∀x_n, n → x₀ successione lim_n→∞ f(x_n) = l.

(⇒) lim_n→∞ x_n = x₀, allora lim_n→∞ f(x_n) = lim_x→x0 f(x₀) = l.

Applicazione teorema di limite di f composta.

(⇐) Ipotizziamo x_n ∈ A\[x₀], x_n → x₀ ⇒ f(x_n) = l, ma che per assurdo lim_x→x0 f(x) ≠ l.

Allora ∃ε>0: ∀δ>0 ∃x_δ ≠ x₀ : |x_δ-x₀| < δ : |f(x_δ)-l| ≥ ε.

Con δ = = 1/n, ∃x₀, ∃ x_n ≠ x₀, |x_n-x₀| < 1/n : |f(x_n)-l| ≥ ε.

Abbiamo così trovato succ. x_n → x₀ : f(x_n) ≠ l, contraddice ipotesi.

Limiti di successioni monotone

(a_n) successione monotona.

(a_n) ha limite (finito o infinito), che coincide con:

• Sup (a_n) se (a_n) è crescente.
• Inf (a_n) se (a_n) è decrescente.

Prendiamo a_n crescente:

S = estremo sup di (a_n), cioè il minimo dei maggioranti a_n.

Fissato ε>0.

S-ε non è maggiorante, quindi ∃ n_ε ∈ ℕ tale che a_nε > S-ε.

La successione è crescente, quindi a_n > S-ε ∀n > n_ε.

S-ε n ≤ S ⇒ ha limite finito.

Teorema di Rolle

f: [a, b] → ℝ continua.

Ip. 1. f derivabile in (a, b).

2. f(a) = f(b).

TH: ∃ c ∈ (a, b) : f'(c) = 0.

Sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass, quindi esistono:

m := min_{[a, b]} f = f(x₀).

M := max_{[a, b]} f = f(x₁).

Possono verificarsi questi 3 casi:

1. x₀ ∈ (a, b) ⇒ f'(x₀) = 0 per il teorema dei punti critici.
2. x₁ ∈ (a, b) ⇒ f'(x₁) = 0 " " " " " " " ".
3. x₀ e x₁ sono agli estremi di [a, b] ⇒ m = M f è costante e con f'(x) = 0 con x ∈ [a, b].

Non ci sono altre possibilità, ergo il teorema è dimostrato.

Teorema di unicità del limite

Ipotesi: f ha limite l∈ℝ per x→+∞.

Th: Il limite è unico.

• Per assurdo esistono 2 limiti l₁, l₂ ∈ ℝ (finiti).

Per lim_x→+∞ f(x)=l₁ si ha ∀ε>0 ∃x_ε¹∈ℝ : |f(x)-l₁|x_ε¹.

E per lim_x→+∞ f(x)=l₂ ∀ε>0 ∃x_ε²∈ℝ : |f(x)-l₂|x_ε².

Fissato ε:

|l₁-l₂|=|l₁-f(x)+f(x)-l₂|≤|f(x)-l₂| + |l₁-f(x)| 1/2ε⇒|l₁-l₂| 0.

Ma questo implica che l₁-l₂=0, quindi l₁=l₂.

Teorema di Weierstrass

IP: f continua in [a,b].

TH: Allora f assume massimo e minimo in [a,b], cioè ∃ min f _[a,b], max f _[a,b].

Per dimostrarlo:

Se m = min f _[a,b], allora ∃ x_n ∈ [a,b]; successione lim f(x_n) = m n→∞.

Se m = -∞ ∃ f(x_n) < -n con n ∈ N, lim f(x_n) = -∞ = m n→∞.

Se m ∈ ℝ ∃ f(x_n) < m + 1/n.

m ≤ f(x_n) perché è il max dei minoranti.

m ≤ f(x_n) < m + 1/n.

lim f(x_n) = m n→∞.

Teorema degli zeri

f: [a,b] → ℝ, con f continua.

f(a)f(b) < 0 ⇔ ∃ x₀ ∈ ]a,b[ : f(x₀) = 0.

Almeno uno zero di f.

Per dimostrarlo usiamo il metodo di bisezione:

c = (a+b)/2 → punto medio dell'intervallo [a,b].

Se f(c) = 0 → abbiamo trovato lo zero.

Se no, continuo nell'intervallo i in cui nei quali estremi f ha segno discordo, e b chiamano [a₁, b₁].

Quindi c₁ = (a₁ + b₁)/2. Ripetiamo il ragionamento fino ad ottenere uno zero.

Altrimenti, nell'eventualità che non si trovi uno zero in un certo numero di passaggi, abbiamo definito per induzione 2 successioni (a_n) e (b_n) che soddisfano f(a_n) < 0 e f(b_n) > 0.

◊ b_n-a_n = (b-a)/2ⁿ ← e l'ampiezza all'intervallo.

(a_n) è crescente e limitata e (b_n) ammette converge a x₀.

Allora si ha f(x₀) = lim_n→∞ f(a_n) ≤ 0 e f(x₀) = lim_n→∞ f(b_n) ≥ 0.

Zero: f(x₀) = 0.