Lista teoremi+dimostrazione scritto Analisi I

Teorema della base di S₀

L'insieme S₀ delle soluzioni del sistema omogeneo

y' = A(t)y

è uno spazio vettoriale di dimensione n. Una sua base è costituita dalle soluzioni y_i dei problemi di Cauchy:

y' = A(t) y

y(t₀) = e_i

L_i-esimo vettore base canonica Rⁿ

1. S₀ è uno spazio vettoriale perché è chiuso in un insieme chiuso rispetto alle somme e al prodotto per scalare.
2. Mostriamo che le y_i sono linearmente indipendenti. Quindi

∑_i=1ⁿ C_i y_i(t₀) = ∑_i=1ⁿ C_i e_i

e questo implica che C_i = 0 per i = 1,...,n dal momento che {e₁,...,e_n} sono linearmente indipendenti.

3. Ogni soluzione y del sistema può essere scritta come combinazione lineare delle y_i, cioè ∃ dei C_i tali che

y(t) = ∑_i=1ⁿ C_i y_i(t), ∀ t ∈ [a, b]

Ogni vettore Rⁿ può essere scritto come combinazione lineare degli elementi della base, quindi ∃ C₁,...,C_i tali che:

y(t₀) = ∑_i=1ⁿ C_i e_i

Quindi u(t) = y(t₀) - ∑_i=1ⁿ C_i e_i è la funzione nulla

TEOR. CONTINUITÀ FUNZIONI DERIVABILI

Ogni f derivabile in x₀ è continue in x₀.

Per definizione di f derivabile il limite finito

lim_{x → x0} ( f(x) - f(x₀) / (x - x₀) ) = f'(x₀)

Possiamo dunque riscrivere

f(x) - f(x₀) + (x - x₀) (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)

E passando per x → x₀, a entrambi i membri

lim_{x → x0} f(x) = f(x₀) + lim_{x → x0} ( f(x) - f(x₀) ) / (x - x₀)

↓   f(x₀) +↓   f'(x₀) ↓   0

= f(x₀)

Quindi

lim_{x → x0} f(x) = f(x₀) ⟹ f è continua.

IPOTESI ⇒ TESI

IRRAZIONALITÀ √2 ∉ ℚ

IP: n e m primi tra loro

TH: _n/_m = √2, cioè √2 è numero razionale

ⁿ²/_m² = 2

n² = 2m²

è pari, quindi anche n è pari, cioè n = 2K

2m² = 4K²

m² = 2K²

è pari.

Sia n che m sono pari, in contraddizione con l'ipotesi!

Quindi concludiamo che l'ipotesi è falsa,

√2 NON È UN NUMERO RAZIONALE (∉ ℚ)

TEOR. UNICITA' LIMITE

IPOTESI: f ha limite l ∈ ℝ per x → +∞

TH: Il limite è unico

- Per assurdo esistono 2 limiti l₁, l₂ ∈ ℝ (finiti)

Per lim f(x)=l₁ si ha

∀ε>0 ∃x_ε¹∈ℝ : |f(x)-l₁|<ε ∀ x∈A, x>x_ε¹

e per lim f(x)=l₂

∀ε˃0 ∃x_ε²∈ℝ : |f(x)-l₂|<ε ∀ x∈A, x>x_ε²

- Fissato ε

|l₁-l₂|= |l₁-f(x) + f(x)-l₂| ≤ |f(x)-l₂| + |l₁-f(x)| < ε/2 + ε/2

⇒

|l₁-l₂| < 2ε , ∀ε>0

Ma questo implica che l₁-l₂=0 , quindi l₁=l₂.