Lista teoremi+dimostrazione scritto Analisi I

Teorema della Base di S₀

L’insieme S₀ delle soluzioni del sistema omogeneo

y' = A(t) y

è uno spazio vettoriale di dimensione n.

Una sua base è costituita dalle soluzioni y_i dei problemi di Cauchy

{ y' = A(t) y

y(t₀) = e_i

L_i-esimo vettore base canonica Rⁿ

1. S₀ è uno spazio vettoriale perché è chiuso un insieme chiuso rispetto alle somme e al prodotto per scalare
2. Mostriamo che le y_i sono linearmente indipendenti

Quindi

∑_i=1ⁿ C_i y_i(t₀) = ∑_i=1ⁿ C_i e_i

E questo implica che C_i = 0 per i = 1,...,n

dal momento che { e₁,...,e_n } sono linearmente indipendenti

3. Ogni soluzione y del sistema può essere scritta come combinazione lineare delle y_i, cioè ∃ dei C_i

Tali che y(t) = ∑_i=1ⁿ C_i y_i(t) ∀ t ∈ [a,b]

Ogni vettore Rⁿ può essere scritto come combinaz. lineare degli elementi della base, quindi ∃ C₁,...,C_i tali che:

y(t₀) = ∑_i=1ⁿ C_i e_i

Quindi

u(t) = y(t₀) - ∑_i=1ⁿ C_i e_i è la funzione nulla

TEOREMA DELLA BASE DI S₀

L'insieme S₀ delle soluzioni del sistema omogeneo

y' = A(t) y

è uno spazio vettoriale di dimensione n.

Una sua base è costituita dalle soluzioni y_i dei problemi di Cauchy

  y' = A(t) y  y(t₀) = e_i  L-i-esimo vettore base canonica ℝⁿ

1. S₀ è uno spazio vettoriale perché è chiuso un insieme chiusorispetto alla somma e al prodotto per scalare
2. Mostriamo che le y_i sono linearmente indipendenti

   quindi

     ⁿ∑_i=1 C_iy_i(t₀) = ⁿ∑_i=1 C_ie_ie questo implica che C_i = 0 per i = 1,...,ndal momento che {e₁,...,e_n} sono linearmente indipendenti

3. Ogni soluzione y del sistema può essere scritta comecombinazione lineare delle y_i, cioè ∃ dei C_itali che

   y(t) = ⁿ∑_i=1 C_iy_i(t)   ∀tε[a,b]

   Ogni vettore ℝⁿ può essere scritto come combinaz. lineare deglielementi della base, quindi ∃ C₁,...,C_i tali che:

   y(t₀) = ⁿ∑_i=1 C_i e_i

   Quindi

   u(t) = y(t₀) - ⁿ∑_i=1 C_ie_i è la funzione nulla

Teor. Continuita' Funzioni Derivabili

Ogni f derivabile in x_o è continue in x_o

Per definizione di f derivabile il limite finito

^lim_{x → xo} ^{f(x) - f(x_o)} / _{x - xo} = f'(x_o)

Possiamo allora riscrivere

f(x) - f(x_o) + ^{f(x) - f(x_o)} / _{x - xo} (x - x_o)

E passando per x → x_o a entrambi i membri

^lim_{x → xo} f(x) = f(x_o) + ^lim_{x → xo} ^{f(x) - f(x_o)} / _{(x - xo)} (x - x_o)

= f(x_o) + ^lim_{x → xo} ^{f(x) - f(x_o)} / _{x - xo} ↓

= f'(x_o)

+ ^lim_{x → xo} (x - x_o) ↓

0

= f(x_o)

Quindi

^lim_{x → xo} f(x) = f(x_o) ⟹ f è continuo.

CRITERIO INTEGRALE (serie)

f: [1, +∞) → ℝ    positiva decrescente

successione

(a_n)_n = (f(n))_n

Allora

∑_n=1^∞ a_n converge    ⟺    ∫₁^∞ f(x) dx converge

Consideriamo   n∈ℕ   e   [n, n+1]

f(n+1) ≤ f(x) ≤ f(n)    ∀x ∈ [n, n+1]

Integriamo la catena con ∫ⁿ⁺¹_n che non cambia di verso

∫ⁿ⁺¹_n f(n+1) ≤ ∫ⁿ⁺¹_n f(x) ≤ ∫ⁿ⁺¹_n f(n)    tutto in dx

= f(n)∫ⁿ⁺¹_n dx   = f(n)

f(n+1)∫ⁿ⁺¹_n dx = f(n+1)

⇓

f(n+1) ≤ ∫ⁿ⁺¹_n f(x) dx ≤ f(n)    con   a_n = f(n)

a_n+1 ≤ ∫ⁿ⁺¹_n f(x) dx ≤ a_n,   ∀n∈ℕ

Sommando M con n+1

∑_n=1^M a_n+1 ≤ ∫₁^∞ f(x) dx ≤ ∑_n=1^M a_n,   ∀M ∈ ℕ

TEOR. FONDAMENTALE CALCOLO INTEGRALE

f: I → ℝ continua in I, x₀ ∈ I

F: I → ℝ, F(x) = ∫_x₀^x f(t) dt

è una primitiva di f, ovvero derivabile in Ie si ha

d/dx ∫_x₀^x f(t) dt = f(x)

Calcoliamo lim per h → 0 del rapporto incrementale

lim_h→0 [ F(x+h) - F(x) ] / h = lim_h→0 [ 1/h ∫_x₀^x+h f(t) dt ]

= 1/h ∫_x₀^x+h f(t) dt

Applicando il teorema della media integrale:

[F(x+h) - F(x)] / h = 1/h ∫_x₀^x+h f(t) dt = f(c_h)

Per h → 0

lim_h→0 c_h = x

quindi

F'(x) = lim_h→0 [F(x+h) - F(x)] / h = lim_h→0 f(c_h) = f(x)

Come volevasi dimostrare

TEOR. INTEGRABILITA' FUNZ. MONOTONE

f: [a,b] → R monotona → f è integrabile

Supponiamo f crescente

• Inanzitutto possiamo dire che f è limitata. (Weierstrass)

f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) ∀x ∈ [a,b]

• Considerata una partizione qualsiasi di [a,b] P={x₀,...,xᵢ} si ha

inf f = f(x_i-1) sup f(xᵢ)

[x_i-1, xᵢ] [x_i, x_i-1]

quindi

s(P) = ∑_i=1ⁿ (xᵢ - x_i-1) f(x_i-1)

e

S(P) = ∑_i=1ⁿ (xᵢ - x_i-1) f(xᵢ)

• Scegliendo di dividere [a,b] in n parti uguali, la partizione è formata da punti equidistanti.

s(Pₙ) = ^b-a/_n ∑_i=1ⁿ f(x_i-1) , S(Pₙ) = ^b-a/_n ∑_i=1ⁿ f(xᵢ)

per cui

S(Pₙ) - s(Pₙ) = ^b-a/_n ∑_i=1ⁿ [f(xᵢ) - f(x_i-1)] = ^b-a/_n [f(b) - f(a)]

E per n → ∞

lim_n→∞ [S(Pₙ) - s(Pₙ)] = 0

IRRAZIONALITA' √2

IP: n e m primi tra loro

TH: ⁿ/_m = √2, cioe' √2 numero razionale

ⁿ²/_m² = 2

n² = 2m²

↑e' pari, quindi anche n e' pari, cioe' n = 2K

2m² = 4k²

m² = 2k²

↑e' pari.

Sia n che m sono pari, in contraddizione con l'ipotesi!Quindi concludiamo che l'ipotesi e' falsa,√2 NON E' UN NUMERO RAZIONALE

Teor. Limitatezza Successioni Convergenti

(a_n = successione

(a_n convergente → (a_n limitato

-Si ha quindi lim_n→∞ a_n = l

|a_n - l| < 1/ε     ∀ n > n_ε

|a_n| = |a_n - l + l| ≤ |a_n - l| + |l| < 1 + |l|     ∀ n > n_ε

- Preso M = max { |a₁|, |a₂|, |a₃|, ..., |a_nε| }

⇒

|a_n| ≤ M     ∀ n ∈ N, cioè a_n è limitata

EOR. SUL LIMITE DI FUNZIONI MEDIANTE SUCCESSIONI

f: A→ℝ

x₀: punto di accumulazione di A in ℝ

lim_x→x0 f(x) = l ∈ ℝ ⇔ ∀x_n, _n ⟶ x₀

successione

lim_n→∞ f(x_n) = l

(⇒) lim_n→∞ x_n = x₀, allora lim_n→∞ f(x_n) = lim_x→x0 f(x₀) = l

Applicazione teorema di limite di f composta

(⇐) Ipotizziamo

x_n ∈ A\[x₀\], x_n ⟶ x₀ ⇒ f(x_n) = l

ma che per assurdo lim_x→x0 f(x) ≠ l

Allora

∃ε>0: ∀δ>0 ∃x_δ ≠ x₀ : |x_δ-x₀| < δ : |f(x_δ)-l| ≥ ε

Con δ = = ¹/_n

∃x₀, ∃ x_n ≠ x₀, |x_n-x₀| < ¹/_n : |f(x_n)-l| ≥ ε

Abbiamo così trovato succ. x_n ⟶ x₀ : f(x_n) ≠ l, contraddice ipotesi

LIMITI SUCCESSIONI MONOTONE

(a_n) successione monotona

(a_n) ha limite (finito o infinito), che coincidecon - sup (a_n) se (a_n) e' crescente- inf (a_n) se (a_n) e' decrescente

• Prendiamo a_n crescente:
• S = estremo sup di (a_n), cioe' il minimo dei maggioranti
• a_n < S, ∀n ∈ ℕ
• Fissato ∈>0
• S-∈ non e' maggiorante,
• quindi ∃ n_∈ ∈ ℕ tale che a_n∈ > S-∈
• La successione e' crescente, quindi
• a_n > S-∈ ∀n > n_∈
• S-∈ < a_n ≤ S
• ⇒ Ha limite finito

TEOR. ROLLE

f: [a, b] ➝ ℝ continua

Ip. 1. f derivabile in (a, b)

2. f(a) = f(b)

TH: ∃ c ∈ (a, b) : f'(c) = 0

Sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Weierstrass, quindi esistono

m := min_{[a, b]} f = f(x₀)

M := max_{[a, b]} f = f(x₁)

Possono verificarsi questi 3 casi:

1. x₀ ∈ (a, b) ⇒ f'(x₀) = 0 per il teorema dei punti critici
2. x₁ ∈ (a, b) ⇒ f'(x₁) = 0 " " " " " " " "
3. x₀ e x₁ sono agli estremi di [a, b] ⇒ m = M f è costante e con f'(x) = 0 con x ∈ [a, b]

Non ci sono altre possibilità, ergo il teorema è dimostrato.

Teor. Unicità Limite

Ipotesi: f ha limite l∈ℝ per x→+∞

Th: Il limite è unico

- Per assurdo esistono 2 limiti l₁, l₂ ∈ ℝ (finiti)

Per lim_x→+∞ f(x)=l₁ si ha

∀ε>0 ∃x_ε¹∈ℝ : |f(x)-l₁|x_ε¹

e per lim_x→+∞ f(x)=l₂

∀ε>0 ∃x_ε²∈ℝ : |f(x)-l₂|x_ε²

- Fissato ε

|l₁-l₂|=|l₁-f(x)+f(x)-l₂|≤|f(x)-l₂| + |l₁-f(x)| < ε+ε₁/2ε

⇒

|l₁-l₂| < 2ε , ∀ε>0

Ma questo implica che l₁-l₂=0 , quindi l₁=l₂.

TEOR. WEIERSTRASS

1P: f contnua in [a,b]

TH: Allora f assume massimo e minimo in [a,b], cioe'

∃ min f _[a,b] , max f _[a,b]

Per dimostrarlo:

Se m = min f _[a,b] , allora ∃ x_n ∈ [a,b] ; _successione

lim f(x_n) = m

n→∞

se m = -∞

∃ f(x_n) < -n

con n ∈ N

lim f(x_n) = -∞ = m

n→∞

se m ∈ ℝ

∃ f(x_n) < m + ¹/_n

m ≤ f(x_n)

perche’ e’ il max dei minoranti

m ≤ f(x_n) < m + ¹/_n

lim f(x_n) = m

n→∞

Teorema degli zeri

f: [a,b] → ℝ , con f continua

f(a)f(b) < 0 ⟹ ∃ x₀ ∈ ]a,b[ : f(x₀) = 0

almeno uno zero di f.

Per dimostrarlo usiamo il metodo di bisezione:

c = _a+b/₂ → punto medio dell'intervallo [a,b]

Se f(c) = 0 → abbiamo trovato lo zero

Se no, continuo nell'intervallo i in cui nei

quali estremi f ha segno discordo, e b chiamano [a₁, b₁]

Quindi c₁ = _{a1 + b1}/₂ Ripetiamo il ragionamento fino ad ottenere uno zero.

Altrimenti, nell'eventualità che non si trovi uno zero in un certo

numero di passaggi, abbiamo definito per induzione 2

successioni (a_n) e (b_n) che soddisfano

f(a_n) < 0 e f(b_n) > 0

• ◊ b_n-a_n = ^b-a/_2ⁿ ← e l'ampiezza all'intervallo
• (a_n) è crescente e limitata e (b_n) ammette
• converge a x₀
• Allora si ha f(x₀) = lim _n→∞ f(a_n) ≤ 0 e f(x₀) = lim _n→∞ f(b_n) ≥ 0

zero:

f(x₀) = 0