Lista completa teoremi di Geometria e Algebra Lineare

p .

LEOREMAROUCHE Capelli

-

Teorema : affinchè

condizione sufficiente

e

necessaria AEMm.dk)

AX

sistema B

il con

- ,

è

risolvibile il della

che

sia rango della

coincida

a quello

matrice con

' accostando

ottenuta

A

completa

matrice

colonne colonna dei

la

alle di A termini

B

note

Dimostrazione :

Pensiamo l'

a di

accostamento

→ come

vettori colonna

n f.ca/cz/.../Cn

)

A =

Il sistema come

puo

si esprimere

→ b

CI ca t

Xs Xncn

X2 t

t =

.

. . ammette

che soluzione

sistema

il

Dire

→ ,

coeff

dire che

equivale esistono

a .

è

i b

X quali

Xa combinazione

Xn per

, . .

.

, colonne

delle di A

lineare .

ottenuto Ouando

Quindi '

di A

minore

ogni da

B

con A

estratto

minore

un

deve necessariamente meno

essere

Quindi ordine di

il massimo minore

un

, ' coincide il

nulla di A con

non ordine di

massimo minore non

un

' (A) (a)

nulla rk

di rk

A cioe → =

B)

(a)

' MATRICE aumentata

A- e _

. -

- -

- _ .

. -

. . )

MATRICEFTNVERSA "

consideriamo

→ ( Icd

)

finis Cal Cal

Minh =

= -

.

.

algebrico

Mig complemento di my

= ( )

* my

m i

matrice demente

→ un

= complementi

i

sono

algebrici di Mig

netta

( di m

matrice aggiunta

colgono

che le seguenti

sappiamo

uguaglianze Rapha

NÈ KM) , colonna

scolare

prodotto riga

→ per righe

la

facendo trasposta scambio e

→ colonne

È mr.se#g=ffImmoFeIEmaioeaa

# L

O K

se Laplace

Teorema

secondo

( la

è nulla dei

somma

Regal

prodotti colonna

di una

complementi algebra

per i regal colonna

di altra

un'

abbiamo quindi

cnet.nu#--f;n:n.i!I=detM.I(r,r

)

M¥0

det

se +

m.fm#I=detM.Iofmf.Cm*k-fa-IEIs@

M.fm#fnl:::::lt:i::::l

1° Riga matrice

esempio calcolo

Rm Rin M

AB

( ) QIZAR

All Det

ab

t

all t

= =

, O

QUALI QZZAR tassato

t =

QSZAR #

All

631 0

033

t Be

t

Ricatteremo

TEOREMA LICRAMERIDETM

di

Teorema : '

'

MX B il sistema lineare

sia quadrato

-

di principali

nelle

r equazioni incognite

r

associato ad

Xz sistema

X Xr un

, .

. .

, ,

AX risolubile

B

=

la soluzione risulta

generica :

Mi ottiene da

det M

→ si

× ; '

sostituendo alla

B

-

= det M colonna i

posto

di

DIMOSTRAZIONE '

!

' '

MXIB m' M

MX B

-

×¥¥H* i di

moltiplicando la

ottiene

Xi riga

si

' "

M B

colonna

- il rettore

per

"

Osservazione

] '

)

( * )

Ri è

B il determinante della

,

sidtieredamf.ci/ Czl. f G JnmplazzandociconB!xi-

che

matrice detmi d etm

prodotto

Il I

per

elementi

degli aig Determini

RISPETTIVI ALGEBRICI

COMPLEMENTI = .

comodi

PER

13

moltiplico

se Algebrici

I

è matrice

CALCOLARE

come Det

IL Della

.

M sostituendo By

agli elementi org →

÷:*:*:*.it#:::::l

" calcoliamo utilizzando

determinante

Se il

colonna

la prima :/

/ !! !

!! se

:*

bzi.az

621 best

All Asl

t t

= . -

T.ro#ol::::::ll:.d

)

tbsasi

bi batte

Riga 1 aut

→ PARTICOLARE

SOLUZIONE

Teorema

Fiera del

particolare

soluzione

sia AX

a

sistema B

: = . del sistema

soluzioni

tutte

Allora le a

XTT (b)

XE sol

dove

del tipo

sono ,

,

soluzioni

delle del sistema

spazio al sistema

associato

AX -0

b

omogeneo

a.

Dimostrazione :

AI AX

=D -0

ACXTI) AXTAI OTB

Allora =

=

è

XTJ del

quindi soluzione

una

sistema a .

Viceversa

Y de

soluzione

sia generica

una a

7 particolare

soluzione

una

e

AI AY

B B

=

=

Y

( F) B

B 0

A- =

- -

=

4- F) sdcb

)

quindi E sdcb) t.ci/=Y-F

XE

esiste

overo

definitiva soluzione

In la generica

Y=X

CARDLNAUTÀ INSIEME

)

GENERATORE

(

Teorema

{ }

X

sia Tra

va generatore

va insieme

un

= . . .

,

di V k

sul

vettoriale

uno e

campo

spazio ,

Y fws }

sta WMO di

Wa insieme

un

= .

, .

. ,

, V

lettori indipendenti

linearmente di .

Risulta Men

DIMOSTRAZIONE

Essendo X generatore

un insieme

→ ogni

,

V

di ottenuto

può

lettore essere come

di

lettori

combinazione dei

lineare X .

In particolare : nvn

91

913 Vs

V2

VI

QII

Ws 9,2 t

t t

t

= . .

. nulli

tutti

IK

912 asn E

con non

, . .

. , .

i

A di generatori

→ meno rinumerare , il

a ¥0

supporre

possiamo 11

sempre

implica ,

che aii' aii'

'

va assi arra

we vn

= -

- - . . . }

{

è

Ne da

generato Un

vs

wa va

, , . .

.

,

N è

quindi lo vettoriale generato

spazio

{ }

V

da vs

va

WI Un

= . . .

,

, , , tbsrivn

b bravi

Vzt

b.

WZ 12

Wat

11

→ = .

. .

batteva bsàibsntn

'

bit bnws

va = - -

- .

. .

{ }

è

V2 da

generato vs

we Wr va

. .

.

, ,

,

{ }

✓ Wi Un

Wz

= . . .

, , ottiene

rimpiazzarne

dopo n

→ si altrimenti

se n m

-

{ }

✓ , di

Wa Wh

Wz altri vettori

ci sono

= ,

, ,

. .

. X .

fosse Y

i

Se verrebbero

di

ncm lettori non

,

dopo

esaurite gli ed

rimpiazzarne

n utilizzato

esisterebbe ancora

vvrts non di

sarebbe

WRH combinazione lineare

{ ) essendo

Wz insieme

Wa un

wn ma

.

. ,

.

,

, è

indipendente possibile

non

quindi me ne basi

DIMENSIONE

Teorema :

basi di

Tutte le stesso vettoriale

spazio

uno

hanno cardinalato

la '

medesima

Dimostrazione

consideriamo 81

distinte 82

dosi

due

→ e

particolare

In è

B1 generatore

insieme

un

è indipendente

B2 insieme

un

/ Bsftlbal

quindi / Brlalbsf

Ripetendo ragionamento

il

→ inverso

Bel =/ Bel

/

quindi

RAPPRESENTAZIONE Univoca

-

VETTORE

di un

TEOREMA

NEV fissata p

base

dato la

la

e ,

è univocamente

K

one

pia

R 01 02

- , .

. . ,

,

determinata .

DIMOSTRAZIONE @

supponiamo fan

che Br EK

esistano

→ , , .

. . ,

( XD

)

Bz

( t

bi 9,42

Bn f

con e

-

.

, ,

.

.

, . ,

.

, tfzvzt.it @

fini

✓ nvn

=

Possiamo allora scrivere

→ ( papa

fa (

PDV B)

a- A- an

N v rzt #

+

=

- -

- ,

, .

' ( fai )

)