Lista completa teoremi di Geometria e Algebra Lineare

Dimostrazione

Consideriamo l'equazione AX = O con m incognite in un K-dimensionale sottospazio di un K caratteristico A.N.

Teorema del determinante non nullo: Dato un sistema di equazioni lineari, ogni determinante delle righe restanti deve essere diverso da zero affinché il sistema abbia una soluzione unica. Se uno dei determinanti è nullo, il sistema può avere infinite soluzioni o nessuna soluzione.

Teorema del nucleo e dell'immagine: Dato un'applicazione lineare f: U -> V, il nucleo di f è lo spazio vettoriale dei vettori u in U tali che f(u) = 0. L'immagine di f è lo spazio vettoriale dei vettori v in V che possono essere scritti come v = f(u) per qualche u in U.

DIMOSTRAZIONE: Per verificare che f(u) = 0 per ogni u nel nucleo di f, consideriamo un vettore v in U. Se v è nel nucleo di f, allora f(v) = 0. Quindi il nucleo di f è un sottospazio vettoriale.

Per dimostrare che l'immagine di f è un sottospazio vettoriale, consideriamo un vettore w nell'immagine di f. Ciò significa che esiste un vettore u in U tale che f(u) = w. Quindi, se moltiplichiamo w per uno scalare k, otteniamo k * w = k * f(u) = f(k * u), che dimostra che l'immagine di f è chiusa rispetto alla moltiplicazione per uno scalare.

Teorema dell'infinità: Un insieme di vettori è linearmente indipendente se e solo se ogni combinazione lineare di essi che è uguale a zero ha solo la soluzione triviale. In altre parole, un insieme di vettori è linearmente indipendente se e solo se l'unico modo per ottenere la somma dei vettori uguale a zero è prendere tutti i coefficienti uguali a zero.

Dimostrazione: Per dimostrare che un insieme di vettori è linearmente indipendente, consideriamo una combinazione lineare di essi che è uguale a zero. Se l'unico modo per ottenere la somma dei vettori uguale a zero è prendere tutti i coefficienti uguali a zero, allora l'insieme di vettori è linearmente indipendente.

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indipendentinnnssiano ., . . , t.c.gg/vDt...tQkffrrf--scelti QKEIK Oora ... ,,gonora Emery)}{(f)essendo inattivitàKer l'o per= ,aiutarvi tardi 0 Indipendente=✓ ✓WU .. . nullaanchedi conseguenza@fLvht.itenfY o %se aIIe' noeruf baseNbaseanimali porta diuna in unadunadimfamgµ ))→ = dimqmff.am/W)èf anche renetta quindima cuiper mIncisaDimostrazione : spaziidinrvSupponiamo dirvi dueW →→ =basihanno lo stesso vettoridinumerocon{ } Np baseSca Un divi Va=