L'integrale come limite di somma

Divisione dell'intervallo e approssimazione dell'area

Si divide l'intervallo [0, 2] in n segmenti tutti uguali di lunghezza:

x_i = ⁱ/_m | x_i = ^m+1/₁ | a = 0, 2, ..., m

Si approssima l'area con la somma delle aree dei rettangoli:

An ≈ Sn = Σ n(1/3 - j = 1) = 1/m2 Σ ni = 1 1/m2 (m - 1)(2m - 1)/6

Tendenza al limite

Si fa tendere a n -> ∞ (m - 1)(2m - 1) -> ∞ ₃

Conclusione: A_n = ¹/₃

Assunzione e divisione dell'intervallo

Si sa: Ϝ : [a, b] -> R limitido. Assumere per assurdo che F è limitata su [a, b]

Cominciamo la divisione di [a, b] individuato con punti:

Ƭ = x₀ | x₁ | x₂ | ... | x_{n - 1} | x₀

Integrale come limite di somme

Si divide 0, 1 in m segmenti tutti uguali e poniamo:

x_i = ⁱ⁄_m, x_m = ⁿ⁺¹⁄_m con i = 0, 1, ..., m.

Si approssima l'area cercata con la somma delle aree dei rettangoli:

A_m ≈ S_m = ¹⁄_m Σⁿ_i=0 ( ⁱ⁄_m )² = ¹⁄_m³ Σ^m-1_i=0 i² = ¹⁄_m³ ½ (m-1)(2m-1)(m)

Teorema noto

Si dà il teorema noto:

(m-1)(2m-1) → ¹⁄₃

Conclusione: A_m → ¹⁄₃

Funzione limitata e divisione dell'intervallo

Sia f : [a, b] → R limitata. Assumiamo per semplicità che f sia definita in ogni punto.

Consideriamo la divisione di [a, b] mediante n punti:

Δ = x₀, x₁, x₂, ..., x_n-1, x_n = b

con a_j ≤ x ≤ x_j+1

Costruzione delle somme di Cauchy-Riemann

Costruiamo la somma (dette somme di Cauchy-Riemann):

S_n =∑_j=2 t(¶(x)x_j-x_j-1) = ^b-a/ₘ∑_j=1 f(¶_j)

Oss: Dimmi che la funzione f:[a,b]→ R ("indefinita") è integrabile in

Diciamo che il limite (S_n) n=+∞ ultimo risultato; posto f dell'ogni punto della costruzione astrattiva) S_n tale che

∫_a^b f(x) dx ∫_a^b h(t) dx = area (T₁) + ∑ area (T₂) + area (T₃)