Metodi matematici per l'ingegneria - l'integrale di Lebesgue

Teorema di Beppo Levi

stabilisce che Z ≤u (x) dx i .∞ ∞E

Il teorema di integrazione per serie è una conseguenza diretta del precedente, applicato allasuccessione delle somme parziali.

Famiglie numerabili. Una collezione (o famiglia) di oggetti si dice seARichiami numerabilepuò essere messa in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali; in altreNparole, tutti gli elementi di si possono “etichettare” con un numero intero che li individuaAunivocamente e si possono conseguentemente “elencare” in una successione{A:= , A , A , . . . , A , . . .}.A n0 1 21-5

L’integrale di LebesgueQuando gli elementi A sono a loro volta insiemi, si parla di collezione o famiglia numerabilendi insiemi. Capiterà sovente di considerarne cioè un nuovo insiemel’unione,+∞[ AA = nn=0i cui elementi sono quelli che apparengono a qualcuno delgli insiemi A . Chia-tutti e soli nramente +∞[ ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ ∈⊂ A b B n : b A

Definizione: Diremo che una famiglia di insiemi è numerabile se è costituita da un numero finito o al più numerabile di elementi.

Definizione: Una famiglia di sottoinsiemi di qualche insieme E si dice crescente se per ogni n ≤ m abbiamo A_n ⊂ A_m.

Definizione: Una famiglia di insiemi si dice sedecrescente se per ogni n ≤ m abbiamo A_n ⊃ A_m.

Definizione: Una famiglia di sottoinsiemi di qualche insieme E si dice sedisgiunta se per ogni n ≠ m abbiamo A_n ∩ A_m = ∅.

Corollario 1.7 (Approssimazione e decomposizione degli integrali)

tutto E come limite o come serie, a seconda che si sia scelto una famiglia crescente e approssimante E o una partizione di E.

La potenza del teorema sta nel fatto che siamo completamente nella scelta della de-liberi composizione: in altre parole, l'integrale non dipende da come si approssima o si decompone l'insieme E.

• ↑E , E , . . . , E , . . . crescente E, E

Se è una famiglia convergente a cioè

Corollario 1.8 n n1 2↑E n +∞, quando allora |E| |E |.= lim (1.19) nn↑+∞

• ↓E , E , . . . , E , . . . decrescente E, E E

Se è una famiglia convergente a cioè quando n n1 2↑n +∞, finita e almeno uno di essi ha misura allora |E| |E |.= lim (1.20) nn↑+∞

• E , E , . . . , E , . . . E, E disgiunta

Se è una partizione di cioè è l'unione della famiglia, n1 2 allora +∞X|E| |E |.= (1.21) nn=0E E

Più in generale, se è l'unione non necessariamente disgiunta della famiglia si ha n+∞X|E| ≤ |E |.

1. nn=0×Teorema 1.9 (Fubini) Se = (a, (c, è un insieme rettangolare (ancheE b) d)2illimitato) di e è una funzione positiva definita in allorau E,R ! !b d d bZZZ Z Z Z= = (1.23)u(x, y) dx dy u(x, y) dy dx u(x, y) dx dy.E a c c a1-7L’integrale di LebesgueIntegrale delle funzioni reali o complesseDefinizione 1.10 (Integrale di Lebesgue) Se è una funzione reale o complesa definita in , diciamo che è integrabile secondo LebesgueE uRse Z |u(x)| +∞. (1.24)dx <ESe è reale poniamo quindi per definizioneu Z Z Z+ −−:= (x) (x) (1.25)u(x) dx u dx u dx.E E EAnalogamente, se è complessa, definiamou ZZZ Im (1.26)Re +:= u(x) dx.u(x) dx iu(x) dx EEEProposizione 1.11 (Validità delle proprietà elementari)• La proprietà di monotonia (1.4) vale anche se le funzioni son reali e integrabilisu E.• La proprietà di estensione, la proposizione 1.3 e il corollario 1.7 valgono an-che in ambito complesso (con scalari complessi) purchè le

funzioni sianof, gintegrabili su E.

Proposizione 1.12 (Disuguaglianza del modulo) Se è una funzione complessa integrabile in E, allora

R Z Z≤ (1.27)u(x) dx u(x) dx.

E E1-8L’integrale di Lebesgue

Scambio di operatori-IITeorema 1.13 (Convergenza dominata, Lebesgue) Supponiamo che una successione di funzioni complesse , definite nell’insieme , converga puntualmente ad una funzione Se è possibile trovare una funzione positiva eu.integrabile che domina tutte le , cioèg u n Z|u ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ +∞, (1.28)(x)| v(x) dx <v(x) n x E,N,n Eallora Z |u −lim (x) = 0. (1.29)u(x)| dxnn↑+∞ EIn particolare Z Z(x) =lim (1.30)u dx u(x) dx.nn↑+∞ E ECorollario 1.14 (Continuità degli integrali dipendenti da un parametro)Sia una funzione complessa definita nel rettangolo := (a, e supponiamou E b)×(c, d)che la funzione integrale rispetto alla variabile ydZ(x) := u(x, y) dyU c 7→sia ben definita in (a,

Cioè che la funzione sia integrabile rispetto a ab, y u(x, y) ∈ ℒ¹(c, d). Supponiamo che per quasi ogni c, la funzione y → u(x, y) sia continua in (a, b) ed esista una funzione v(y) dipendente solo da y tale che |u(x, y)| ≤ v(y), c ≤ y ≤ d, per quasi ogni x ∈ (a, b). Allora la funzione F(x) = ∫_c^d u(x, y) dy è continua in (a, b).

1.9 L'integrale di Lebesgue

Insiemi trascurabili e funzioni definite q.o.

Definizione 1.15 (Insiemi trascurabili) Diciamo che E è trascurabile se la sua misura di Lebesgue è nulla.

Nota: Per la proprietà di estensione, se un insieme è misurabile secondo Peano-Jordan e ha misura nulla, esso è trascurabile: in particolare un numero finito di punti sulla retta, una famiglia di curve nel piano o un numero finito di superfici nello spazio sono insiemi trascurabili. La proposizione che segue mostra però che la classe degli insiemi trascurabili è notevolmente più ampia.

Proposizione 1.16 Se A₁, A₂, ..., A_n, ... sono insiemi di misura nulla secondo la misura di Lebesgue, allora l'unione numerabile A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_n ∪ ... è ancora un insieme di misura nulla.

Definizione 1.15, anche la loro unione ∞[ NN ha misura nulla.:= nn=1

Caratterizzazione degli insiemi trascurabili. È possibile fornire una caratterizzazione più intrinseca degli insiemi trascurabili, che non fa uso della teoria dell'integrazione: infatti, NN ⊆ si può dimostrare che un insieme è trascurabile se e solo se, comunque sia fissato RNε > 0, è possibile ricoprire con una famiglia di rettangoli (cf. la nota al più numerabile seguente) R , R , . . . , R , . . . tali che n1 2 ∞ ∞[ XN ⊆ |R | ≤ (1.31)R , εn nn=1 n=1 1 2

Richiami Rettangoli -dimensionali. Un -dimensionale (cioè un intervallo in , un "vero" rettangolo in ,rettangoloN N R R R3un parallelepipedo in ...) è il prodotto di intervalli (a )×(a )×. ) che supporremo indif-N , b , b . .×(aN , bNR 1 1 2 2ferentemente aperti, chiusi o semiaperti, limitati o no, eventualmente degeneri (se capita che = per qualchea bjjindice;