Metodi matematici per l'ingegneria - l'integrale di Lebesgue

Appunti delle lezioni di metodi matematici per l'ingegneria

Anno Accademico 2001/2002

Questi brevi appunti del corso di Metodi Matematici per l’Ingegneria sono stati stesi essenzialmente per fissare i punti principali da affrontare durante le varie lezioni: non hanno perciò nessuna pretesa di sistematicità, di rigore e di completezza che ogni buon testo universitario dovrebbe possedere e non sostituiscono pertanto il riferimento ad un più organico trattato sugli argomenti del corso. D’altra parte la lettura di questi appunti può forse facilitare la comprensione delle lezioni svolte, ed in questo spirito le lascio volentieri a disposizione di chi ne fosse interessato. Ogni correzione, suggerimento od obiezione sono naturalmente benvenuti.

L'integrale di Lebesgue

Henri Lebesgue (1875-1941)

Introduzione

In questa lezione cerchiamo di raccogliere (nel modo più veloce ed indolore...) alcuni dei risultati più importanti ed utili della teoria dell’integrazione di Lebesgue. Poiché non abbiamo né il tempo, né la pazienza per sviluppare e giustificare tutti i punti della teoria, seguiremo una via, diciamo così, descrittivo/assiomatica, accontentandoci di precisare con cura solo alcune definizioni e i corrispondenti enunciati.

RA prima vista, la nozione di integrale secondo Cauchy-Riemann sviluppata nei precedenti corsi di Analisi Matematica sembra essere già sufficiente, poiché si applica ad una classe abbastanza ampia di funzioni e riesce a trattare quasi tutti gli esempi che solitamente si incontrano nei primi anni di studio. D’altra parte, questa nozione di integrabilità presenta almeno tre inconvenienti:

• L'insieme di definizione deve essere limitato.
• La funzione deve essere anch’essa limitata.
• La proprietà di essere misurabile non è stabile per la convergenza puntuale: in altre parole, può accadere che una successione di funzioni uniformemente limitate converga puntualmente ad una funzione limitata ma non misurabile, i cui punti di discontinuità, cioè, siano “troppo numerosi” per poter parlare di integrale.

L'integrale di Lebesgue

Queste difficoltà sono aggirate dalla nuova nozione di integrabilità che andiamo ad esporre. I punti cardine della nuova teoria saranno:

• Una definizione più generale di insieme di misura nulla;
• La possibilità di integrare “praticamente” ogni funzione positiva su ogni insieme, limitato o no: per questo si ammette anche +∞ tra i possibili valori che può assumere l’integrale;
• La possibilità di scambiare l’ordine di serie e integrali per le funzioni positive;
• L’integrabilità delle funzioni di segno qualunque si riconduce all’integrabilità del modulo della funzione;
• Nuovi teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale.

L'integrale delle funzioni positive

Definizione 1.1 (Funzioni positive, reali e complesse) Diremo che una funzione definita in un insieme è positiva se il suo codominio è l’intervallo esteso [0, +∞]: ammettiamo pertanto che vi siano punti (anche tutti!) di E in cui la funzione vale +∞. Sarà invece reale (risp. complessa) se il suo codominio è R (risp. C): in tal caso non ammettiamo valori infiniti. Osserviamo che le funzioni reali sono un caso particolare di funzioni complesse.

L'algebra in [0, +∞]. In [0, +∞] non vi sono difficoltà a definire la somma e la relazione d’ordine, come ciascuno può facilmente immaginare. Più arbitrario è il prodotto 0·(+∞): quando tratteremo di integrali e di funzioni positive, converremo che 0·(+∞) := 0. (1.1)

Questa definizione, che può sembrare arbitraria ed in contrasto con tutte le cautele imparate negli anni precedenti, non è invece così bizzarra, e nasce dall’esigenza di integrare funzioni che valgono +∞ su un insieme di misura nulla, o funzioni che valgono 0 su un insieme di misura +∞ (come tutto R, per esempio). In entrambi i casi, se si vuole preservare la proprietà di monotonia che introdurremo tra un momento, si è costretti alla definizione (1.1).

Teorema 1.2 (Integrale di Lebesgue per le funzioni positive) Ad ogni insieme e ad ogni funzione positiva u : E → [0, +∞] è possibile associare univocamente un numero Z ∈ [0, +∞] (1.2) in modo che siano soddisfatte le seguenti proprietà fondamentali:

• (Estensione) Se E è misurabile e u è integrabile secondo Cauchy-Riemann (anche in senso generalizzato) allora l’integrale di Lebesgue coincide con l’integrale di Cauchy-Riemann. (1.3)
• (Monotonia) Per ogni u, v : E → [0, +∞] se u ≤ v allora ∫^E u(x) dx ≤ ∫^E v(x) dx. (1.4)
• (Continuità: lemma di Fatou) Se u_n è una successione di funzioni convergente puntualmente a u, cioè ∃ lim_n→+∞ u_n(x) =: u(x) ∀ x ∈ E, tali che per un’opportuna costante Z u_n(x) dx ≤ M < +∞ ∀ n ∈ N, allora anche ∫^E u(x) dx ≤ M. (1.5a, 1.5b, 1.5c)

Il senso del primo punto (Estensione) del precedente teorema è quello di garantire che passando dall’integrale di Riemann a quello di Lebesgue non si è costretti operativamente a cambiare alcunché di ciò che si è appreso. Gli altri due, invece, servono per identificare univocamente la nuova nozione introdotta e “tranquillizzare” il lettore più esigente: in altri termini, tra tutte le possibili estensioni del concetto di integrale ne esiste solo una, quella proposta appunto da Lebesgue, che soddisfa i due ulteriori requisiti di monotonia e di continuità. Può sembrare strano come è stata formulata quest’ultima nozione (Lemma di Fatou); riprenderemo meglio questo discorso dopo aver brevemente ricordato alcune proprietà più familiari.

Misurabilità addio

La teoria dell’integrazione di Lebesgue è strettamente legata ad un nuovo concetto di misurabilità di insiemi e funzioni, cui accenneremo più avanti. Poiché l’esistenza di funzioni misurabili è strettamente legata a sottili questioni di logica e teoria degli insiemi, e tutte le funzioni che ammettono una definizione costruttiva risultano, di fatto, misurabili, per semplificare la trattazione noi assumeremo che le funzioni di cui stiamo parlando siano sempre misurabili: d’ora in avanti, quindi, non ci preoccuperemo più di ricordarlo esplicitamente. Spero che Lebesgue possa perdonarmi...

Proprietà elementari

Proposizione 1.3 Se u, v : E → [0, +∞] sono funzioni positive definite in E e λ ≥ 0 è uno scalare positivo si ha:

• (Additività rispetto a u) ∫^E (u(x) + v(x)) dx = ∫^E u(x) dx + ∫^E v(x) dx. (1.6)
• ∫^E λu(x) dx = λ ∫^E u(x) dx. (1.7)
• (Funzioni caratteristiche) Per ogni A ⊂ E la funzione caratteristica di A è definita da:
  1_A(x) :=
  • 1 se x ∈ A;
  • 0 se x ∉ A.
  Per ogni A ⊂ E si ha ∫^A u(x) 1_A(x) dx = ∫^A u(x) dx. (1.8)
• (Additività rispetto a E) Se E è l’unione disgiunta di due insiemi A, B (cioè E = A ∪ B, A ∩ B = ∅) allora ∫^E u(x) dx = ∫^A u(x) dx + ∫^B u(x) dx. (1.9)
• Se A ⊂ E e u è positiva, allora ∫^A u(x) dx ≤ ∫^E u(x) dx. (1.10)

Definizione 1.4

(Misura di Lebesgue di un insieme) Se E ⊂ R^N, indichiamo con |E| la sua misura di Lebesgue N-dimensionale (lunghezza sulla retta, area nel piano, volume nello spazio!), definita da |E| := ∫^E 1 dx = ∫^E 1_E(x) dx. (1.11)

Per la proprietà di estensione dell’integrale di Lebesgue, questa definizione coincide con quella di Peano-Jordan, quando l’insieme E è misurabile in questo senso più restrittivo.

Scambio di operatori-I

Teorema 1.5 (Beppo Levi, convergenza monotona)

• Se u_n : E → R è una successione crescente di funzioni positive definite in E tale cioè che u_n(x) ≤ u_m(x) → u(x) ∀ x ∈ E allora ∫^E lim_n→+∞ u_n(x) dx = ∫^E u(x) dx. (1.12)
• Se u_n : E → R è una successione decrescente di funzioni positive definite in E tale che u_n(x) ≤ u_m(x) → u(x) ∀ x ∈ E, e almeno una di esse ha integrale finito allora ∫^E lim_n→+∞ u_n(x) dx = ∫^E u(x) dx. (1.13)

Corollario 1.6 (Integrazione per serie) Se u_n è una successione di funzioni positive definite in E, allora ∫^E Σ_n=0^+∞ u_n(x) dx = Σ_n=0^+∞ ∫^E u_n(x) dx. (1.14)

L’ipotesi del Teorema di Beppo Levi è la monotonia della successione u_n(x) rispetto a n: questa assicura l’esistenza del limite puntuale ∀ x ∈ E, e l’esistenza del limite degli integrali Z_∞ := lim_n→+∞ ∫^E u_n(x) dx. Dunque, il contenuto veramente significativo del teorema sta nell’affermare che Z_∞ è l’integrale di u su E.

Il teorema di Beppo Levi è una conseguenza immediata del lemma di Fatou: basta osservare che per monotonia ∫^E u_n(x) dx ≤ ∫^E u_∞(x) dx e quindi Z_∞ ≤ ∫^E u(x) dx. D’altra parte, sempre per la monotonia della successione degli integrali, ∫^E u_n(x) dx ≤ Z_∞ ∀ n ∈ N, e il Lemma di Fatou stabilisce che ∫^E u(x) dx ≤ Z_∞.

Il teorema di integrazione per serie è una conseguenza diretta del precedente, applicato alla successione delle somme parziali.

Famiglie numerabili

Una collezione (o famiglia) di oggetti si dice numerabile se può essere messa in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali; in altre parole, tutti gli elementi di A si possono “etichettare” con un numero intero che li individua univocamente e si possono conseguentemente “elencare” in una successione {A_n := A₀, A₁, A₂, ...}.

Quando gli elementi A_n sono a loro volta insiemi, si parla di collezione o famiglia numerabile di insiemi. Capiterà sovente di considerarne l’unione, cioè un nuovo insieme i cui elementi sono tutti e soli quelli che appartengono a qualcuno degli insiemi A_n. Chiaramente A = ∪_n=0^+∞ A_n ⇔ ∀ b ∈ A ∃ n ∈ N : b ∈ A_n. Diremo che A è al più numerabile quando è numerabile oppure è costituita da un numero finito di elementi.

Famiglie monotone di insiemi, unioni disgiunte

Una famiglia A₁, A₂, ..., A_n, ... di sottoinsiemi di qualche insieme E si dice crescente se ∀ n, m ∈ N, n ≤ m → A_n ⊂ A_m. Se A = ∪_n=0^+∞ A_n scriviamo più espressivamente che A_n ↑ A. Una famiglia A₁, A₂, ..., A_n, ... di insiemi si dice decrescente se ∀ n, m ∈ N, n ≤ m → A_m ⊂ A_n. Se A = ∩_n=0^+∞ A_n scriviamo più espressivamente che A_n ↓ A. In entrambi i casi diciamo che A_n tende ad A quando n → +∞.

Una famiglia A₁, A₂, ..., A_n, ... di sottoinsiemi di qualche insieme E si dice disgiunta se ∀ n, m ∈ N, n ≠ m → A_n ∩ A_m = ∅. In questo caso diciamo che A = ∪_n=0^+∞ A_n è l’unione disgiunta della famiglia o che la famiglia forma una partizione di A.

Corollario 1.7

(Approssimazione e decomposizione degli integrali)

• Se E₁, E₂, ..., E_n, ... è una famiglia crescente convergente a E, cioè E_n ↑ E quando n → +∞, allora ∫^E u(x) dx = lim_n→+∞ ∫^E_n u(x) dx. (1.16)
• Se E₁, E₂, ..., E_n, ... è una famiglia decrescente convergente a E, cioè E_n ↓ E quando n → +∞, e ∃ m ∈ N tale che ∫^E_m u(x) dx < +∞, allora ∫^E u(x) dx = lim_n→+∞ ∫^E_n u(x) dx. (1.17)
• Se E₁, E₂, ..., E_n, ... è una partizione di E, cioè E = ∪_n=0^+∞ E_n, allora ∫^E u(x) dx = Σ_n=0^+∞ ∫^E_n u(x) dx. (1.18)

Questo risultato è estremamente utile quando si deve calcolare esplicitamente un integrale: si cerca di approssimare o di decomporre l’insieme E in insiemi più piccoli E_n in modo che u sia integrabile secondo Cauchy-Riemann su E_n (in particolare, gli E_n dovranno essere limitati e anche u dovrà essere limitata su questi). Dopo di che si ottiene l’integrale di u su tutto E come limite o come serie, a seconda che si sia scelto una famiglia crescente e approssimante E o una partizione di E. La potenza del teorema sta nel fatto che siamo completamente liberi nella scelta della decomposizione: in altre parole, l’integrale non dipende da come si approssima o si decomponel’insieme E.

Corollario 1.8

• Se E₁, E₂, ..., E_n, ... è una famiglia crescente convergente a E, cioè E_n ↑ E quando n → +∞, allora |E| = lim_n→+∞ |E_n|. (1.19)
• Se E₁, E₂, ..., E_n, ... è una famiglia decrescente convergente a E, cioè E_n ↓ E quando n → +∞, e almeno uno di essi ha misura finita allora |E| = lim_n→+∞ |E_n|. (1.20)
• Se E₁, E₂, ..., E_n, ... è una partizione di E, cioè E = ∪_n=0^+∞ E_n, allora |E| = Σ_n=0^+∞ |E_n|. (1.21)
• Più in generale, se E è l’unione non necessariamente disgiunta della famiglia si ha |E| ≤ Σ_n=0^+∞ |E_n|. (1.22)

Teorema 1.9 (Fubini)

Se E = (a, b) × (c, d) è un insieme rettangolare (anche illimitato) di R² e u è una funzione positiva definita in E allora

∫^E ∫ u(x, y) dx dy = ∫_a^b ∫_c^d u(x, y) dy dx = ∫_c^d ∫_a^b u(x, y) dx dy. (1.23)

Integrale delle funzioni reali o complesse

Definizione 1.10 (Integrale di Lebesgue) Se u è una funzione reale o complessa definita in E, diciamo che è integrabile secondo Lebesgue se ∫^E |u(x)| dx < +∞. (1.24)

Se u è reale poniamo quindi per definizione:

∫^E u(x) dx := ∫^E u⁺(x) dx - ∫^E u^-(x) dx. (1.25)

Analogamente, se u è complessa, definiamo:

∫^E u(x) dx := ∫^E u^Re(x) dx + i ∫^E u^Im(x) dx. (1.26)

Proposizione 1.11

• La proprietà di monotonia (1.4) vale anche se le funzioni sono reali e integrabili su E.
• La proprietà di estensione, la proposizione 1.3 e il corollario 1.7 valgono anche in ambito complesso (con scalari complessi) purché le funzioni siano integrabili su E.

Proposizione 1.12 (Disuguaglianza del modulo)

Se u è una funzione complessa integrabile in E, allora ∫^E |u(x)| dx ≥ |∫^E u(x) dx|. (1.27)

Scambio di operatori-II

Teorema 1.13 (Convergenza dominata, Lebesgue) Supponiamo che una successione di funzioni complesse u_n, definite nell’insieme E, converga puntualmente ad una funzione u. Se è possibile trovare una funzione positiva e integrabile v che domina tutte le u_n, cioè ∀ x ∈ E, ∀ n ∈ N, |u_n(x)| ≤ v(x), e ∫^E v(x) dx < +∞, allora

∫^E lim_n→+∞ u_n(x) dx = ∫^E u(x) dx. (1.29)

In particolare, lim_n→+∞ ∫^E u_n(x) dx = ∫^E u(x) dx. (1.30)

Corollario 1.14 (Continuità degli integrali dipendenti da un parametro) Sia u una funzione complessa definita nel rettangolo E := (a, b) × (c, d) e supponiamo che la funzione integrale rispetto alla variabile y,

U(x) := ∫_c^d u(x, y) dy,

sia ben definita in (a, b), cioè che la funzione u(x, y) sia integrabile rispetto a y in (c, d). Supponiamo che per quasi ogni y ∈ (c, d) la funzione x → u(x, y) sia continua in (a, b) ed esista una funzione v dipendente solo da y tale che ∫_c^d v(y) dy < +∞. Allora la funzione U(x) è continua in (a, b).