Che materia stai cercando?

Metodi matematici per l'ingegneria - l'integrale di Lebesgue Appunti scolastici Premium

Appunti di Metodi matematici per l'ingegneria per l'esame del professor Ferone sull'integrale di Lebesgue. Gli argomenti trattati sono i seguenti: i metodi matematici, l'integrale di Lebesgue, gli spazi di funzioni, gli spazi di Hilbert, i segnali periodici e le serie di Fourier.

Esame di Metodi matematici per l'ingegneria docente Prof. V. Ferone

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

2-6

2. SPAZI DI FUNZIONI

Lo spazio delle funzioni integrabili

d

Consideriamo un insieme di misura positiva. n modo per valutare quanto

E R

di eriscono due funzioni di (E) è quello di misurare l’area compresa tra i

u, v

rispettivi grafici, cioè l’insieme

{(x, ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

: o

y) x E, u(x) y v(x) v(x) y u(x)}.

n semplice grafico mostra che questa area può essere calcolata mediante l’integrale

Z |u(x) − v(x)| dx

E

che prenderemo dunque come definizione di distanza integrale tra le due funzioni.

on è difficile controllare che tale distanza soddisfa le proprietà ( ) e che

, . . . ,

1

Z |u(x)|

kuk := 0) = dx

d(u, E kuk

si comporta come una (semi)norma. Poiché vogliamo evitare il caso = +∞, è

naturale restringere lo spazio (E) al sottospazio delle funzioni integrabili. Questo

nuovo spazio è cosı̀ importante, che lo introduciamo con la definizione che segue.

d

Definizione 2.9 Se è un insieme di con misura positiva, indichiamo con

E R

1 (E) il sottospazio di (E) formato dalle funzioni che sono integrabili, cioè

L u

Z

1 |u(x)|

∈ ⇔ ∈ +∞.

(E) (E),

L dx <

u u E

1 (E) è naturalmente dotato della (semi)norma

L Z

kuk |u(x)|

:= dx.

1 (E)

L E

Per il Corollario 1.19,

Attenzione ku − ⇔

d(u, v) = vk =0 u = v q.o. in E.

1

L E k · k

Ecco perchè abbiamo chiamato la funzione : essa non è in grado di

seminorma 1

L E

distinguere due funzioni, se esse coincidono q.o. 1

Per evitare di usare le seminorme, quando si considera lo spazio (E) generalmente si

L

Convenzione. adotta la convenzione di due funzioni integrabili, quando queste coincidono

identificare

q.o. I matematici usano per questo procedimento la nozione di che

classe di equivalenza,

raggruppa gli elementi che sono dal punto di vista della norma dello spazio.

indistinguibili

1 1

In questo caso si parla dello spazio (E) e i “veri” elementi di (E) sono classi di

anziché le singole funzioni. Nel linguaggio corrente, però, si lascia

equivalenza di funzioni, 1

sempre sottointesa questa convenzione, finendo per parlare di (E) come spazio di funzioni

e non di classi di equivalenza di funzioni.

Dunque noi non ricorreremo al linguaggio delle classi di equivalenza, ma semplicemente

1

dovremo tener presente che la (semi)norma di (E) non distingue due funzioni uguali

L

1

q.o., e il limite nel senso di (E) risulta quindi determinato solo a meno di insiemi di

L

misura nulla. Quando vorremo sottolineare che la funzione u è determinata a meno di

1

insiemi trascurabili, scriveremo u (E). 1

In particolare, la nozione di valore puntuale di una funzione di (E) deve essere usata

L

con molta cautela: è chiaro che quando definiamo una funzione in E, assegnamo (e

noi

quindi conosciamo) il suo valore in punto di E. Ma quando la definizione o l’esistenza

ogni 1

di una funzione f passa per qualche procedimento di limite in (E) e vogliamo che il

nostro discorso sia dalla scelta arbitraria di un altro candidato limite ũ che

indipendente

coincide con u q.o. in E, non siamo più autorizzati a sfruttare il particolare valore di u in un

determinato punto, ma solo proprietà puntuali che sono rispetto al cambiamento

invarianti

di u in un insieme di misura nulla. 2-7

2. SPAZI DI FUNZIONI 1

Supponiamo che una successione di funzioni positive u converga a u in (0, 1): ebbene,

L

Esempio n

possiamo ancora dire che u è positiva quasi ovunque nell’intervallo (0, 1), ma possiamo

non

dire che u(1/2) 0, in quanto il particolare valore di u in 1/2 non può essere identificato

dalla convergenza integrale. 1 1

Teorema 2.10 (Completezza di (E)) Se una successione (E)

L L

u n

soddisfa la +∞

+∞ Z X

X ku k

|u +∞

(x)| = <

dx n

n

E n=1

n=1

+∞ 1

P

allora la serie (x) converge puntualmente q.o. ed in (E) ad una

L

u n

n=1

funzione integrabile in E:

N N

Z

X X

| −

lim (x) = (x) q.o. in con lim (x)| = 0.

(x)

u E, u dx

n n

N N

↑+∞ ↑+∞ E

n=0 n=0 (2.5)

1

In particolare, (E) è completo.

L

Basta ricordare il Teorema di integrazione per serie.

Dimostrazione {u }

Proposizione 2.11 (Convergenza degli integrali) Se la successione n n2N

1 ⊂

converge a in (E), allora per ogni sottoinsieme

L

u A E

Z

Z

lim (2.6)

(x) = u(x) dx.

u dx

n

n↑+∞ A

A

Basta semplicemente osservare che, per la (1.2 ) ,

Dimostrazione Z

Z

Z ≤

− u (x) u(x) dx

=

u(x) dx

u (x) dx n

n A

A

A Z

Z ku −

− dx = uk

u (x) u(x))

dx

u (x) u(x)) n

n

n 1

L E

E

A

1 (E) Supponiamo di sapere che una successione di

L

Approfondimento Convergenza e convergenza q.o..

funzioni complesse u definite in E converga q.o., cioè

n ∈

lim u (x) = u(x) per q.o. x E.

n

n↑+∞ 1

Cosa si può dire della convergenza di u in (E)

L

n 1

ccorre innanzitutto controllare che u , u appartengano a (E), altrimenti non ha

L

n

1

senso parlare di convergenza in (E).

L

In caso affermativo, l’unico a meno di insiemi trascurabili... limite possibile per la

1

u (E) u (anche se è intuitivo, si tratta di un Teorema

L

successione in è la funzione

n

di non banale dimostrazione!) 1

Per controllare che la convergenza sia anche in (E) vi sono sostanzialmente tre

L

possibilità:

1. applicare direttamente la definizione e stimare in modo opportuno (per es. cal-

colandoli esplicitamente...) gli integrali

Z |u − ↑

(x) u(x)| dx ed il relativo limite per n +∞;

n

E

2. controllare se le ipotesi del teorema di Beppo Levi sono soddisfatte (convergenza

monotona) e controllare che il limite degli integrali sia finito (che in tal caso è

una condizione per la convergenza)

necessaria e su ciente 2-8

2. SPAZI DI FUNZIONI

3. controllare se le ipotesi del teorema di Lebesgue sono verificate (convergenza

dominata): queste forniscono una condizione per la convergenza in

su ciente

1 (E).

L

Nel caso di una di funzioni si applica il teorema di integrazione per serie (nel

serie

caso di funzioni positive) o il teorema 2.10. 1

icev ersa, se si conosce a priori la convergenza in (E), l’unico caso in cui si può dedurre

L

la convergenza q.o. è quello delle serie che soddisfano l’ipotesi del teorema 2.10. In generale

1

se una successione u converge a u in (E) si può solo concludere che una

L esiste una

n

u che converge q.o. a u.

sottosuccessione n

Lo spazio delle funzioni (essenzialmente) limitate.

Definizione 2.12 Chiamiamo (E) lo spazio vettoriale delle funzioni complesse e

limitate definite in (E) è uno spazio normato grazie a

E; kuk |u(x)|.

:= sup

B(E) x2E

Dire che una successione u converge a u in (E) è equivalente a dire che u converge

Richiami n n

a u.

uniformemente

L’usuale Criterio di eierstrass per la convergenza uniforme si può riformulare in

questo modo: se +∞ +∞

X X

ku k |u

= sup (x)| < +∞,

n n

E

B E

n=1 n=1

+∞

P

allora la serie di funzioni u (x) converge uniformemente (e cioè in (E)).

n

n=1

Per il teorema 2.8, (E) è uno spazio completo.

Quando si considerano funzioni definite solo quasi ovunque, ad esempio perchè si è

interessati solo a quantità integrali, il naturale sostituto di (E) si chiama (E):

L

sostanzialmente si concede alla funzione di “comportarsi male” purcheè questo

u

avvenga su di un insieme trascurabile; in altri termini, ridefinendo la funzione (per

es. a 0) su un insieme trascurabile, siamo in grado di renderla limitata.

Definizione 2.13 (Funzioni essenzialmente limitate e (E)) Una funzio-

L

ne complessa definita in si dice essenzialmente limitata se esiste una costante

u E

0 tale che |u(x)| ≤ per q.o. in (2.7)

x E.

L’insieme delle funzioni essenzialmente limitate definite in è uno spazio vettoriale

E

∞ ∞

∈ kuk

che si indica con (E). Se (E), si indica con la più piccola

L L

u (E)

L

delle costanti che verificano la (2.7).

Dire che una funzione è essenzialmente limitata è molto più restrittivo che limitata q.o.:

Attenzione ad esempio, la funzione u(x) := 1/x q.o. definita su è limitata (=finita) q.o. ma non

R

appartiene a (R), perchè anche se la ridefiniamo 0 per x = 0 essa rimane illimitata su

L

R. ∞

7→ kuk

Teorema 2.14 L’applicazione è una (semi)norma in (E),

L

u (E)

L ∞

rispetto alla quale tale spazio risulta completo: (E) è quindi uno spazio di

L

anach.

Osservazione 2.15 Se è una funzione regolare a tratti (cf. la precedente lezione)

u

definita in un intervallo [a, allora si controlla facilmente che

b],

kuk |u(x)| kuk

= sup = .

(a

L b) b)

B(a

x2 a b 2-9

2. SPAZI DI FUNZIONI ∞

Dunque sulle funzioni regolari a tratti la norma coincide con la norma (del

L {u }

sup ) di (a, in particolare si verifica che se è una successione di

b); n n2N

funzioni regolari a tratti, essa converge in (a, se e solo se essa converge

L b)

uniformemente ad una funzione limitata in [a, gni funzione quasi ovunque

u b]. u

uguale ad è allora il limite della successione in (a,

L

u b).

1 ∞

∈ ∈

Lemma 2.16 Se (E) e (E), allora il prodotto è integrabile e

L L

u v uv

Z |u(x)v(x)| ≤ kuk kvk

kuvk = dx .

1

1 (E) (E)

(E) L L

L E

{u } {v }

Analogamente, se e sono due successioni convergenti a e in

u v

n n2N n n2N

1 ∞

(E) e in (E) rispettivamente, allora

L L Z

Z

1 (x)v (x) =

lim = in (E), lim

L u(x)v(x) dx.

u dx

u v uv n n

n n

n↑+∞ n↑+∞ E

E 2

L’integrale del prodotto di due funzioni, lo spazio e la

L E

nozione di prodotto scalare.

Il lemma 2.16 fornisce un primo elementare criterio di integrabilità del prodotto

di due funzioni ci si può chiedere se non è possibile trovare una condizione

u, v;

sufficiente che faccia intervenire simmetricamente le due funzioni.

La risposta sta nella seguente disuguaglianza elementare

1 2 2

|ab| ≤ |b| ∀ ∈

(|a| + ), (2.8)

a, b C,

2

la cui dimostrazione segue facilmente dall’identità

1 1

2 2 2

|b| − − |b|) ≥ ∀ ∈

(|a| + 2|ab|) = (|a| 0, a, b C.

2 2

Corollario 2.17 Se sono funzioni complesse definite in tali che

u, v E

Z Z

2 2

|u(x)| |v(x)|

+∞, +∞,

dx < dx <

E E

allora la funzione è integrabile in e

u v E

1

Z Z Z

2 2

|u(x) ≤ |u(x)| |v(x)|

+ +∞. (2.9)

v(x)| dx dx dx <

2

E E E

d

Definizione 2.18 Se è un insieme di con misura positiva, indichiamo con

E R

2 (E) il sottospazio di (E) formato dalle funzioni che sono integrabili, cioè

L u

Z

2 2

∈ ⇔ ∈ |u(x)|

(E) (E), +∞.

L

u u dx <

E

2 (E) è naturalmente dotato della (semi)norma

L sZ 2

|u(x)|

kuk (2.10)

:= dx,

2 (E)

L E

indotta dal prodotto scalare Z

(u, := (2.11)

v) u(x) v(x) dx.

2 (E)

L E 2-10

2. SPAZI DI FUNZIONI

sserviamo che (2.11) è ben definito grazie al precedente corollario; a di erenza

1

di (E), controllare che (2.10) è e ettivamente una (semi)norma (in particolare

L

la proprietà ( )) non è del tutto immediato, ma è una facile conseguenza del

2

fatto che (2.11) è e ettivamente un prodotto scalare. Ricordiamo qui di seguito

la definizione generale di questa nozione fondamentale, lasciando come esercizio la

verifica che (2.11) ne soddisfa tutte le proprietà formali.

Definizione 2.19 (Prodotto scalare e norma indotta) Si chiama prodotto sca-

lare in uno spazio funzionale una applicazione che associa ad ogni coppia di vettori

di un numero complesso (u, con queste proprietà:

u, v v)

hermitianità (v, = (u, (2.12)

u) v);

( ( + = (u, + (v,

u v, h) h) h), (2.13)

sesquilinearità (h, + (h,

(h, + = u) v),

u v)

≥ ⇒

positività (u, 0 = 0 (u, = 0. (2.14)

u) u u)

p

7→ (u, è una (semi)norma su , che si chiama

Si verifica che la funzione u)

u

(semi)norma indotta dal prodotto scalare. kuk

Chiameremo trascurabile un elemento tale che = (u, = 0.

u u)

Se è soddisfatta anche la proprietà ⇒

(u, = 0 = 0, (2.15)

u) u

cioè il solo elemento trascurabile è lo 0, allora la (semi)norma indotta è una norma

in senso stretto. ·)

Nel caso (·, sia un (ad esempio

Nota prodotto scalare reale

Prodotti scalari a valori reali.

quando è uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali) si parla di (al posto

simmetria

della hermitianità) e di (al posto della sesquilinearità): in pratica basta omettere

bilinearità

da tutte le formule il segno della coniugazione complessa.

·) ·)

Se (·, è un prodotto scalare complesso, si verifica facilmente (Esercizio!) che Re(·, è un

prodotto scalare reale.

Approfondiremo nella lezione successiva alcune applicazioni importanti del prodotto

scalare; per ora ricordiamo una disuguaglianza fondamentale che applichiamo subito

al problema dell’integrazione del prodotto di due funzioni, raffinando la (2.9)

)

Proposizione 2.20 (Disuguaglianza di c artz) Se (, è un prodotto sca-

lare definito nello spazio funzionale , allora per ogni coppia di vettori di si

u, v

ha p p

|(u, ≤ kuk kvk.

(u, (v, =

v)| u) v)

Inoltre, |λ| kvk ⇔ ∃ ≥

= 1, (u, = 0: =

λkuk λ

v) u v

→ →

Corollario 2.21 (Continuità del prodotto scalare) Se e in

u u v v

n n

, allora lim (u ) = (u, (2.16)

, v v).

n n

n↑+∞

Dimostrazione |(u − |(u − − ≤

, ) (u, = , ) (u, ) + (u, ) (u,

v v)| v v v v)|

n n n n n n

|(u − |(u, − |(u − |(u, − ≤

, ) (u, )| + ) (u, = )| +

v v v v)| u, v v v)|

n n n n n n n

ku − kv k kuk kv −

+

uk vk

n n n

Passando al limite per n +∞ e osservando che la norma di si mantiene limitata (di

v n

fatto converge alla norma di si conclude.

v) 2-11

2. SPAZI DI FUNZIONI 2

Corollario 2.22 Se (E) allora

L

u, v sZ sZ

Z 2 2

|u(x) ≤ |u(x)| |v(x)| kuk kvk

=

v(x)| dx dx dx 2 2

(E) (E)

L L

E E E

{u } {v }

Inoltre, se sono due successioni convergenti rispettivamente a

, u, v

n n2N n n2N

2

in (E) si ha

L Z

Z

(x) (x) =

lim u(x) v(x) dx.

u v dx

n n

n↑+∞ E

E 2

Applichiamo ora la disuguaglianza di Sch artz per dimostrare che (E) è uno

L

spazio completo. 2 2

Teorema 2.23 (Completezza di (E)) Se una successione (E)

L L

u n

soddisfa la sZ +∞

+∞ X

X 2 ku k

|u +∞

(x)| = <

dx 2

n

n (E)

L

E n=1

n=1

+∞ 2

P

allora la serie (x) converge puntualmente q.o. ed in (E) ad una

L

u n

n=1

funzione integrabile in E:

N N 2

Z

X X

(x) = (x) q.o. in con lim

lim = 0.

(x)

(x)

u E, dx

u

n n

N

N ↑+∞

↑+∞ E

n=1 n=1 (2.17)

2

In particolare, (E) è completo.

L

Per dimostrare il primo limite di (2.1 ) basterà mostrare che

Dimostrazione +∞

X |u ∈

(x)| < +∞ per q.o. x E;

S̃(x) := n

n=1

quest’ultima disuguaglianza è certamente verificata se

Z 2

| S̃(x)| dx < +∞.

E

posto N

X |u

S̃ (x) := (x)|

n

N n=1

2

evidentemente S̃ (x) (e quindi anche S̃ (x)) è una successione non negativa e monotona

N N

non decrescente rispetto a N ; per il teorema di Beppo Levi

Z Z

2 2

| |

S̃(x)| dx = lim S̃ (x)| dx.

N

N ↑+∞

E E

Se noi mostriamo che +∞

Z

X

2

| ≤ ku k

S̃ (x)| dx 2

n

N L E

E n=1

abbiamo concluso.

Ricordiamo una semplice identità: se a , a , . . . , a sono numeri reali

N

1 2 N

N

N

N 2

X

X

X

X · a a ; (2.18)

=

a

a

=

a m n

n

n

n m n=1

n=1

n=1

n=1

applicando questa identità alla somma che definisce S̃ e applicando la disuguaglianza di

N

Sch artz otteniamo N

N Z

Z

Z X

X

2 |u |u

|u |u

| (x)| (x)| dx

(x)| (x)| dx =

S̃ (x)| dx = m n

m n

N E

E

E m n=1

m n=1

N N +∞

2 2

X X X

≤ ku k ku k ≤

ku k ku k

= . (2.19)

2 2 2 2

m n n n

L L L L

E E E E

m n=1 n=1 n=1

Il secondo limite in (2.1 ) segue dal teorema della convergenza dominata. 2-12

2. SPAZI DI FUNZIONI

2 2

(E) Possiamo ripetere anche nel caso di (E)

L L

Approfondimento Convergenza e convergenza q.o.. 1

considerazioni analoghe a quelle precedentemente presentate per (E). Supponiamo dun-

L

que di sapere che una successione di funzioni complesse u definite in E converga q.o. a u.

n

2

Per poter concludere che vi è convergenza anche in (E)

L 2

ccorre innanzitutto controllare che u , u appartengano a (E).

L

n

In caso affermativo, l’unico a meno di insiemi trascurabili... limite possibile per la

1

u (E) u

L

successione in è la funzione

n

Si hanno quindi tre possibilità:

1. applicare direttamente la definizione e stimare in modo opportuno (per es. cal-

colandoli esplicitamente...) gli integrali

Z 2

|u − ↑

(x) u(x)| dx ed il relativo limite per n +∞;

n

E

2. controllare se le ipotesi del teorema di Beppo Levi sono soddisfatte (convergenza

monotona) e controllare che il limite degli integrali

Z

Z 2

2 |u(x)|

|u dx

lim (x)| dx =

n

n↑+∞ E

E

sia finito (che in tal caso è una condizione per la conver-

necessaria e su ciente

genza)

3. controllare se le ipotesi del teorema di Lebesgue sono verificate (convergenza

dominata) u :

per i quadrati delle funzioni n Z

2

∃ |u ≤ ∈ ∀ ∈ v(x) dx < +∞.

v : (x)| v(x) per q.o. x E, n N;

n E 2

Queste forniscono una condizione per la convergenza in (E).

L

su ciente

Nel caso di una di funzioni si applica il teorema 2.23 a meno che non si tratti

serie

di una serie di che tratteremo nella prossima lezione.

funzioni ortogonali,

Concludiamo con un risultato che illustra la relazione tra gli spazi fin qui introdotti

|E|

nel caso che la misura di sia finita.

E |E|

Proposizione 2.24 Supponiamo che +∞; allora

<

2 1

∞ ⊂ ⊂

(E) (E) (E); (2.20)

L L L

inoltre p

∈ ⇒ kuk ≤ |E| kuk

(E)

L

u 2 (E) (E)

L L

e p

1 |E| kuk

∈ ⇒ kuk ≤

(E)

L .

u 2

1 (E)

(E) L

L

Infine, se è una successione di funzioni definite in si ha

u E

n 2 1

→ ⇒ → ⇒ →

in (E) in (E) in (E).

L L L

u u u u u u

n n n

|E| = +∞. Quando la misura di E non è finita (ad esempio E := o E :=

Attenzione Il caso R

(0, +∞)) nessuna delle inclusioni (2.20) è più vera: basta considerare la famiglia di funzioni

1/(x + 1) , 0, per E := (0, +∞).

. Spazi di ilb ert Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

( oi abbiamo il dovere di conoscere.

Alla fine conosceremo.)

David Hilbert (1862-1943)

Il problema della migliore approssimazione

Problema 3.1 (Migliore approssimazione) Sia uno spazio funzionale, mu-

k k ∈

nito di una norma e siano assegnati elementi di . Dato ci

, . . . , u

1 N

chiediamo se è possibile trovare coe cienti complessi in modo da rendere

u , . . . , u

1 N

minimo l’errore di approssimazione

N N

X X

ku − k = ).

u d(u, u

k k k k

k=1 k=1

Teorema 3.2 Il problema 3.1 ammette sempre almeno una soluzione.

Purtroppo il teorema precedente non indica alcun preocedimento costruttivo per

determinare i coefficienti , e in generale il problema può essere molto

u , . . . , u

1 N

complicato. C’è però un caso in cui è possibile risolvere esplicitamente il problema:

quello in cui la norma può essere espressa per mezzo di un prodotto scalare.

3-1 3-2

. SPAZI DI I

Abbiamo già ricordato nella lezione precedente la definizione di prodotto scalare:

ora richiamiamo alcune formule che ci saranno utili; prima però introduciamo la

nozione fondamentale di ortogonalità.

Definizione 3.3 (Vettori e sistemi ortogonali) Diciamo che due vettori

∈ sono ortogonali se (u, = 0. Analogamente, un insieme (finito o

u, v v)

N

{ }

infinito) di vettori forma un sistema ortogonale se

n n=1 6 ⇒

( ) 0; = ( ) = 0. (3.1)

, n m ,

n n n m

N

{ } si dice inoltre ortonormale se oltre alla (3.1) ogni elemento è un

n n

n=1 k k

versore, cioè = ( ) = 1.

,

n n n N

{ }

Se un vettore è ortogonale a ciascun elemento di un insieme , allora è ortogonale

Nota u n n=1

N

P v .

anche a tutte le combinazioni lineari n n

n=1 ∈

Lemma 3.4 (Distanza tra due vettori) Per ogni la distanza d(u,

u, v v)

si può esprimere per mezzo del prodotto scalare attraverso la formula

2 2 2 2

ku − kuk kvk −

= = + 2 Re(u,

d(u, v) vk v).

In particolare, se è ortogonale a si ha la formula (di Pitagor a )

u v

2 2 2 2

ku − kuk kvk

= = +

d(u, .

v) vk

Consideriamo ora la situazione un po’ più generale della combinazione lineare di N

vettori.

Lemma 3.5 Per ogni scelta di vettori in si ha

N , , . . . ,

v v v

1 2 N

N

N X

X 2

2 k

kv k k (v ). (3.2)

=

+ + + = ,

. . . v

v

v v

1 2 m n

n

N m n=1

n=1

N

{v }

Se poi il sistema è ortogonale allora la precedente espressione si semplifica

n n=1 N

X

2 2 2 2 2

kv k kv k kv k kv k kv k

+ + + = + + + = (3.3)

. . . . . . .

v v

1 2 1 2

N N n

n=1

L’idea geometrica che permette di risolvere il problema di migliore approssimazione

3.1 è molto semplice: supponiamo di conoscere già la soluzione, data dai coefficienti

, e formiamo il vettore “errore”

u , . . . , u

1 N N

X

:= ; (3.4)

u

u n n

n=1

si può intuire che sia ortogonale a tutti i vettori generati dagli . oi mo-

n

N

{ } sono linearmente indipendenti, questa condizione

streremo che se i vettori n n=1

di ortogonalità è sufficiente per determinare e che e ettivamente questi

u , . . . , u

1 N

coefficienti risolvono il problema 3.1. N

{ }

Un insieme di vettori si dice

Richiami linearmente

Vettori linearmente indipendenti. n n=1

se ogni relazione di dipendenza lineare a coefficienti complessi

indipendente N

X v =0

n n

n=1 3-3

. SPAZI DI I

è possibile solo se i coefficienti v sono identicamente nulli. Quando si lavora con una

n

è utile talvolta richiedere la proprietà più forte

seminorma, N

X ⇒

=0 v = 0, n = 1, . . . , N. (3.5)

v n

n n

n=1

In particolare, si osservi che in questo caso nessun elemento può essere trascurabile, cioè

n

k k > 0. È facile dedurre dalla (3.3) che un secondo la definizione 3.3

sistema ortogonale

n

è sempre linearmente indipendente secondo la (3.5).

N

{ }

Proposizione 3.6 Se è un insieme finito linearmente indipendente secon-

n n=1

do la (3.5), per ogni vettore esiste un’unica scelta dei coe cienti u , . . . , u

u 1 N

in modo che il vettore definito da (3.4) risulti ortogonale a ciascun :

m

N

X

− ∀

( ) = (u ) =0 = 1, 2, (3.6)

, u , m . . . , N.

m n n m

n=1

I coe cienti possono essere calcolati risolvendo un sistema lineare, come

u , . . . , u

1 N

indicato nel punto seguente.

Per scrivere il sistema lineare che permette di calcolare i coefficienti

Approfondimento Il sistema lineare.

u , . . . , u , basta sviluppare la condizione (3.6):

N

1 N N

X X

− −

u , = u , =0

u u,

n n m m n n m

n=1 n=1

e quindi N

X ∀

( , )u = (u, ), m = 1, 2, . . . , N. (3. )

n m n m

n=1

Essendo ( , ), (u, ) dati conosciuti, abbiamo quindi N equazioni lineari nelle inco-

n m m

gnite (complesse) u , . . . , u . Introduciamo la matrice N N a coefficienti

hermitiana

N

1

complessi N

{ }

:= , := ( , ), =

E m n m n n m n m m n

m n=1

N

e i vettori complessi in

colonna {u }, {(u,

:= , u , . . . , u := ), . . . , (u, )}.

u u

N N

1 2 1

Allora la soluzione risolve il sistema in forma matriciale

u · = (3.8)

E u u.

sserviamo che nel caso la matrice è simmetrica, i vettori sono reali.

reale, E u, u

Naturalmente rimane da dimostrare che il sistema (3.8) è effettivamente risolubile, cioè che

Dimostrazione la matrice è invertibile. Noi mostriamo una proprietà più interessante: la matrice è

E E

N

Ciò significa che per ogni vettore colonna non nullo si ha

definita positiva. v

· · > 0. (3.9)

E

v v

Naturalmente (3.9) implica l’invertibilità di in quanto da (3.9) segue che

E,

6 ⇒ · 6

= 0 = 0.

E

v v

A sua volta la (3.9) è una conseguenza della seguente identità 2

· · kv k

se := (v , v , . . . , v ), = + v + . . . + v (3.10)

E

v v v

N N N

1 2 1 1 2 2

e della (3.5). La (3.10) si ottiene applicando (3.2):

N N

X X

2

kv k

+ v + . . . + v = v ( , )

(v , v ) = v n m n

m m n n m

N N

1 1 2 2 m n=1 m n=1

N

N N X

X X · ·

= v ( , ) = v =

v

v E

v v.

n m n n m n n

m m=1

m n=1 n=1 3-4

. SPAZI DI I N

∈ { }

Proposizione 3.7 Sia e un insieme finito linearmente indipenden-

u n n=1

te secondo la (3.5); i coe cienti calcolati secondo la precedente proposi-

u , . . . , u

1 N

zione risolvono il Problema 3.1; infatti per ogni altra scelta di coe cienti u , u , . . . , u

1 2 N

si ha N

N

N X

X

X 2

2

2 − k

k k

k ku −

ku − (u )

+

= u

u

u n n n

n n

n n n=1

n=1

n=1 N

X 2 2

k k k

≥ ku − = (3.11)

u .

n n

n=1

Decomponiamo il primo termine di (3.11):

Dimostrazione N N N N

X X X X

2 2 2

ku − k k(u − − k k − k

u = u ) + (u u ) = + (u u ) .

n n n n n n n n n n

n=1 n=1 n=1 n=1

Poiché è ortogonale a ciascun , esso è ortogonale anche alla combinazione linerare

n

N

P −

(u u ) . Applicando la “formula di Pitagora” si conclude.

n n n

n=1

Riassumiamo il risultato fondamentale che abbiamo ottenuto nel seguente eorema:

N

{ }

Teorema 3.8 Sia uno spazio dotato di prodotto scalare e un insieme

n n=1

finito linearmente indipendente secondo la (3.5). Allora per ogni il Proble-

u

ma di migliore approssimazione 3.1 ammette una sola soluzione che è

u , . . . , u

1 N

individuata dalla condizione

N

X N

{ }

− è ortogonale a tutti i vettori generati dal sistema

:= ,

u

u n n n n=1

n=1 (3.12)

e può essere calcolata risolvendo il sistema lineare (3.7). ale poi la relazione

N

N

N 2

2

2

2

X

X

X −

− (3.13)

=

= u .

u

u

d u

u

u, n n

n n

n n n=1

n=1

n=1

L’unica proprietà che ci resta da dimostrare è la (3.13). Basta decomporre nella somma

Dimostrazione u

N

N

N X

X

X

− u

u = +

u +

=

u u n n

n n

n n n=1

n=1

n=1

e applicare cancora una volta la “formula di Pitagora”, ricordando che è ortogonale a

N

P u .

n n

n=1 3-5

. SPAZI DI I N

{ }

Corollario 3.9 uando il sistema è ortogonale, la soluzione u , . . . , u

1

n N

n=1

del problema di migliore approssimazione assume la forma

(u, )

n

= (3.14)

u n 2

k k

n

e la relazione (3.13) diventa N N

N 2 2

X X

X 2 2

2

− |u | k k

kuk − (3.15)

= =

u .

u

d u

u, n n n n

n n n=1 n=1

n=1 N

{ } è anche ortonormale, le formule precedenti si

Se infine il sistema n n=1

semplificano ulteriormente

N N N

2 2 2

X X X 2

− |u |

= =

= (u, ), (3.16)

u u

u d .

u, u u

n n

n n n n n

n=1 n=1 n=1

Nel caso di un sistema ortogonale, la matrice e il sistema di riduce a

Dimostrazione è diagonale

E

2

k k u = (u, ), m = 1, 2, . . . , N,

m m m

da cui la (3.14). (3.15) segue da (3.13) e da (3.3).

Supponiamo di essere interessati a rappresentare i risultati di un

Applicazione Minimi quadrati.

certo esperimento u tramite una combinazione lineare di “funzioni di forma” assegnate

, , . . . , ; possiamo pensare u e definite su un certo insieme E e di conoscere i

n

N

1 2 {x }

risultati dell’esperimento in un numero finito di punti , x , . . . , x di E, cioè di conoscere

1 2

i valori u := u(x ), = 1, . . . , J; vorremmo determinare i coefficienti u , . . . , u in modo

N

1

N

P

da rappresentare u mediante la combinazione lineare u . In pratica succede che gli

n n

n=1

esperimenti x , x , . . . , x sono e se volessimo scrivere

molti di più delle funzioni di forma

1 2

un sistema lineare N

X u (x ), = 1, 2, . . . , J

u = n n

n=1

questo risulterebbe sovradeterminato (J >> N ). L’approccio a questo problema mediante

il metodo dei minimi quadrati consiste nello scegliere dei pesi > 0 da assegnare a ciascun

esperimento (quando nessuno sia privilegiato rispetto agli altri si ha 1) e di cercare i

coefficienti u in modo che risulti minimo l’errore

n N 2

X

X 2 −

u (3.1 )

u (x )

n n

n=1

=1

Stiamo dunque risolvendo il problema di migliore approssimazione 3.1 nello spazio (E)

rispetto alla seminorma X 2 2

2 |v(x

kvk )|

:= =1

N

P

Infatti quando si sceglie v := u u si ottiene proprio l’espressione (3.1 ) da

n n

n=1

minimizzare rispetto alla scelta dei coefficienti u .

n

È facile vedere che la seminorma introdotta discende dal prodotto scalare reale

X 2 2

k k

(v, ) := v(x ) (x ), in modo che = ( , ).

=1

Se supponiamo che le funzioni formino un sistema linearmente indipendente sui punti

n

scelti x (in modo cioè che nessuna delle possa essere scritta come combinazione lineare

delle altre: si tratta di un ipotesi ragionevole poichè abbiamo già osservato che i punti x

sono molti di più delle funzioni di forma) si può applicare il Teorema 3.8, ottenendo per il

vettore dei coefficienti il sistema lineare

u · =

E u u, 3-6

. SPAZI DI I N

{ }

dove la matrice reale simmetrica e definita positiva = è definita da

E m n m n=1

X 2

:= ( , ) = (x ) (x )

m n n m n m

=1

{u }

mentre il vettore dei dati = , . . . , è costruito mediante le formule

u

u N

1 X 2

:= (u, ) = u(x ) (x ).

u n n n

=1

Decomposizione rispetto ad un sistema ortogonale

completo

Consideriamo ora uno spazio funzionale di dimensione infinita dotato di prodotto

) { }

scalare (, e supponiamo di conoscere un sistema ortogonale di vettori n n=1

secondo la definizione 3.3.

Problema 3.10 (Decomposizione ortogonale) Dato un elemento di ci

u {u }

chiediamo se è possibile determinare una successione di coe cienti complessi n n2N

tali che +∞ N

X X

− = 0.

cioè lim

= u u

u u

n n n n

N ↑+∞

n=1 n=1

Proposizione 3.11 La soluzione del problema 3.1 , se esiste, è necessariamente

data dai coe cienti trovati in (3.14) (u, )

n (3.18)

:= .

u n 2

k k

n

Basta osservare che, per la (2.21), si può scambiare l’ordine tra serie e prodotto scalare, cioè

Dimostrazione +∞

+∞

+∞ X

X

X ⇒ (u , (3.19)

, =

in (u, = (

= v).

u v)

u v)

u n

n

n n=1

n=1

n=1

In particolare +∞

X

(u, ) = (u , ) = u ( , ).

m n n m m m m

n=1

Definizione 3.12 (Coe cien ti di Fourier) I coe cienti definiti dalla (3.18)

u n ∞

{ }

si chiamano coefficienti di ourier di rispetto al sistema ortogonale .

u n n=1

A questo punto il Problema 3.10 si riduce ai due seguenti:

1. rovare condizioni per cui la serie

+∞

X converge in ;

u n n

n=1

2. rovare condizioni per cui la somma della serie coincide con u.

Cominciamo dal primo: 3-7

. SPAZI DI I

Convergenza di serie di vettori ortogonali

+∞

P

Proposizione 3.13 Se = è una serie convergente formata da vettori

u u n

n=1

ortogonali in , vale l’identità fondamentale

+∞

X 2

2 ku k

kuk (3.20)

= .

n

n=1

Si sfruttano la continuità della norma la (3.3)

Dimostrazione N N N +∞

X X X X

2 2 2 2 2

kuk k k k k ku k ku k

= lim = lim = lim = .

u u

n n n n

N N N

↑+∞ ↑+∞ ↑+∞

n=1 n=1 n=1 n=1

La (3.20) fornisce una condizione necessaria perché una serie di vettori ortogonali

+∞

P converga in , cioè che

u n

n=1 +∞

X 2

ku k +∞. (3.21)

<

n

n=1

Quando gli sono costruiti a partire dai coefficienti di ourier di un elemento

u u,

n

questa condizione è sempre verificata grazie alla disuguaglianza di essel (3.15), che

ci fornisce un’informazione fondamentale circa il loro andamento asintotico:

Teorema 3.14 (Disuguaglianza di Bessel) Se sono i coe cienti di ourier

u n

{ }

di rispetto al sistema ortogonale , si ha

u n n=1

+∞

X 2 2 2

|u | k k ≤ kuk +∞.

<

n n

n=1

Nella formula precedente l’uguaglianza vale se e solo se il problema 3.1 ha soluzio-

ne. ↑

Basta passare al limite per N +∞ in (3.15); l’ultima osservazione segue dalla formula

Dimostrazione (3.20).

Se lo spazio è completo, la condizione (3.21) è anche su ciente e quindi la

disuguaglianza di essel assicura automaticamente la convergenza delle serie di

ourier in . +∞

{u }

Teorema 3.15 Supponiamo che sia un insieme di vettori ortogonali. Se

n n=1

è completo, allora +∞ +∞

X X 2

⇔ |u |

la serie converge in +∞.

<

u n n

n=1 n=1

Definizione 3.16 ( pazi di ilb ert) Uno spazio funzionale dotato di

prodotto scalare e completo si dice spazio di ilb ert.

La necessità della condizione

Dimostrazione +∞

X 2

|v | < +∞

n

n=1

segue dalla (3.20). 3-8

. SPAZI DI I

Per la sufficienza, basta controllare che la successione delle somme parziali

N

X f

:= n n

N n=1

è una successione di Cauchy. Fissato ε > 0, poichè la serie

+∞

X 2

|f | converge

n

n=1

è possibile trovare N in modo che +∞

X 2 2

|f | ≤ ε .

n

n= N

Dico che se N N < M allora

k − k ≤ ε; ciò mostra appunto che è di Cauchy.

N N

Per controllare quest’ultima affermazione, notiamo che

X

− f ;

= n n

N n=N +1

Per il Teorema di Pitagora, essendo i vettori f mutuamente ortogonali, si ha

n n +∞

X X

2 2 2 2

k − k |f | ≤ |f | ≤

= ε .

n n

N n=N +1 n= N

Corollario 3.17 Se sono i coe cienti di ourier di rispetto al sistema orto-

u u

n

{ }

gonale nello spazio di ilb ert , la serie di ourier

n n=1 +∞

+∞

+∞ X

X

X 2 2

2 2 |u | k k

k kuk −

ku − =

è convergente e .

u

u n n

n n

n n n=1

n=1

n=1

Sistemi ortogonali completi. ∞

{ }

Definizione 3.18 ( istemi ortogonali completi) Un sistema ortogonale n n=1

si dice completo in se ogni elemento di che è ortogonale a ciascun è

u n

trascurabile, cioè altri termini ∀ ∈ ⇒ kuk

(u, ) =0 = 0.

n N

n

Teorema 3.19 (Decomposizione e identità di Parseval) Se è uno spazio

{ }

di Hilbert e il sistema ortogonale è completo allora il problema di decom-

n n=1 ∈

posizione ortogonale 3.1 si può sempre risolvere. In particolare, per ogni u

si ha +∞

+∞ X

X 2 2

2 |u | k k

kuk

in =

= ,

u ,

u n n

n n n=1

n=1

dove sono i coefficienti di ourier di dati dalla (3.18).

u u

n

Sappiamo già che la serie di Fourier converge; basta mostrare che la differenza

Dimostrazione +∞

X

− u è trascurabile.

:= u n n

n=1

sserviamo che +∞

X 2

− − k k

( , ) = (u, ) u ( , ) = (u, ) u = 0.

m m n n m m m m

n=1

{ }

Siccome il sistema è completo, si conclude che è trascurabile.

n n=1 3-9

. SPAZI DI I

Proposizione 3.20 (Calcolo del prodotto scalare) Nelle ipotesi del eorema

+∞

{u }

precedente, se sono i coe cienti di ourier di due vettori rispetti-

, v u, v

n n n=1

vamente, si ha +∞

X

(u, = (3.22)

u v

v) n n

n=1

Proposizione 3.21 ( tima dell errore) Nelle ipotesi del teorema precedente, l’er-

rore tra e la somma dei primi termini della serie di ourier si può stimare nel

N

u

modo seguente: +∞

N

X X

2 2 2

ku − k |u | k k

= (3.23)

u .

n n n n

n=1 +1

n=N

. Segnali periodici e serie di

Fourier. oseph ourier (1768-1830)

2

Definizione 4.1 ( egnali periodici e lo spazio (R)) Diciamo che un se-

L

T T

gnale (−∞, +∞) è -periodico se

u T ∀ ∈

= + ) (−∞, +∞).

u(t) u(t T t

2 (R) il sottospazio di (R) costituito da tutti i segnali -periodici

Chiamiamo L u T

T

per i quali +T

1 Z

2 2

kuk |u(t)|

:= +∞. (4.1)

dt <

2 (R)

L T

2 (R) è uno spazio di ilb ert per il prodotto scalare

Lo spazio L T +T

+T

1 Z Z

= (4.2)

(u, := v(t) dt v(t) dt.

v) u(t) u(t)

2 (R)

L T

Se una funzione v è T -periodica e integrabile, allora l’integrale

Esercizio +

Z v( ) d

dipende dal punto in particolare, le definizioni (4.1) e (4.2) sono indipendenti

non R;

0

da .

0 4-1 4-2

. S NA I P IODI I S I DI FOU I .

1

Frequenza. Indicheremo generalmente con f := la fondamentale di oscilla-

Convenzione. frequenza

0 2

zione; talvolta si usa pure la := 2 f = .

frequenza angolare 0 0 ∈

Esponenziale complesso. Se = + i è un numero complesso, , si pone

Richiami R,

e p = := (cos + i sin ).

Segue da questa formula che

| | ⇒ | |

= , Re =0 = 1, = .

L’esponenziale complesso gode della proprietà fondamentale

+

∈ →

, = .

C

Inoltre, per fissato, la funzione complessa

C d

∈ 7→ è e soddisfa l’usuale regola di derivazione = .

R d

∈ 7→

Se la funzione è T -periodica se e solo se

Esercizio R, n ∈

=2 = 2 nf = n , per qualche intero n Z.

0 0

T

Teorema 4.2 Il sistema di funzioni

n

2 2 n n ∈

(t) := = = (4.3)

, n ,

n 2

è ortonormale e completo in (R).

L T 6

Noi mostriamo solo l’ortonormalità: si tratta di un semplice calcolo: se n = m

Dimostrazione Z Z Z (n−m)

m

m

n n 2

2

2 2 2

d = d = d =

( , ) =

n m 0 0 0

" #

1 1 1

(n−m) h i

n m

2 2 − 1 = 0.

=

n m −

T 2 i (n m)

2 i 0

Se n = m 1

1 Z Z

n

2 2

2 | |

k

k 1 d = 1.

d =

=

n T T

0 0

erie dipendenti da indici n Avremo modo di usare ripetutamente serie di funzioni

Precisazione Z.

−∞

il cui indice n varia in cioè da a +∞. Tra i vari modi di intendere la convergenza di

Z,

tali serie, due sono particolarmente significativi:

1. Si scinde la serie nella somma di due serie usuali e si impone la convergenza di

entrambe; in formule +∞ +∞

X X X

u := u + u + u (4.4)

n n n

0

n=1 n=1

n Z

(abbiamo distinto il termine u per pura “simmetria estetica”...)

0

2. Si considera il limite delle somme parziali simmetriche:

N

X X

u := lim u . (4.5)

n n

N ↑+∞ n= N

n Z

Naturalmente in entrambi i casi le proprietà formali che valgono per le serie in si

N

estendono banalmente, inoltre quando si abbia a che fare con serie numeriche a termini

positivi, o serie assolutamente convergenti, o serie di funzioni cui si sta applicando un

criterio di eierstrass generalizzato, i due metodi di somma danno lo stesso risultato;

in generale il primo modo di sommare una serie è più restrittivo del secondo, può cioè

capitare che la somma esista come limite delle somme parziali simmetriche (4.5) ma

4-3

. S NA I P IODI I S I DI FOU I .

non come somma delle due serie separatamente (4.4): ad esempio basta considerare

la serie X n

n Z

che certo non converge nel primo modo, mentre nel secondo fornisce il rissultato 0.

Nel caso delle serie di Fourier quest’ultima accezione è quella solitamente più usata;

impiegheremo più spesso la prima più avanti, quando considereremo sviluppi in serie

di Laurent.

I risultati che seguono sono una conseguenza immediata dei eoremi 4.2, 2.23 e della

teoria degli spazi di ilb ert sviluppata nella lezione precedente; è per questo che li

chiamiamo “corollari”, anche se sono i risultati principali circa le serie di ourier.

2

∈ (R) ammette sviluppo in serie di ourier

Corollario 4.3 Ogni funzione L

u T

X 2 2

n nel senso della convergenza (R), (4.6)

= L

u

u(t) n T

n2

dove +T

Z n

−2

:= (4.7)

u u(t) dt.

n

I coe cienti soddisfano le identità di Parseval

u n +T +T

Z Z X

X 2 2

|u | |u(t)|

= +∞, = (4.8)

u

dt < u(t)v(t) dt v .

n

n n

n2

n2 2

Convergenza in (R). ale la pena ricordare ancora una volta il senso della (4.6)

L

Richiami 2

N

+

Z X n

2

u( ) d = 0.

lim u n

N ↑+∞ n= N {U }

Corollario 4.4 Assegnata la successione di coe cienti , la serie

n n2

X 2 2

n converge in (R) ad una funzione (4.9a)

L

U u

n T

n2 se e solo se

X 2

|u | +∞. (4.9b)

<

n

n2

In tal caso i coe cienti coincidono con i coe cienti di ourier di

U u u.

n n ∈

La funzione u individuata dalla precedente (4.9a) risulta

Precisazione definita solo per q.o. R.

Alla luce di questi due risultati è perfettamente equivalente parlare di segnali in

2 (R) o dei loro coefficienti di ourier soddisfacenti la (4.9b): quest’ultima è

L u n

T

una condizione cosı̀ importante che merita una definizione.

2

Definizione 4.5 (Lo spazio ( ) dei segnali discreti) Diciamo che un segna-

2

{U } ∈

le discreto = ( ) appartiene allo spazio ( ) se

U n n2 X

2 2

kU k |U |

:= +∞. (4.10)

<

n

2 ( ) n2 4-4

. S NA I P IODI I S I DI FOU I .

2 ( ) è uno spazio di Hilbert rispetto al prodotto scalare

X

(U, ) := (4.11)

u v .

2 n n

( ) n2

2

sserviamo che la norma di (Z) definita da (4.10) è proprio quella indotta dal prodotto

Approfondimento scalare (4.11); in particolare questo è ben definito grazie alla disuguaglianza di Sch artz,

che in questo caso diventa sX

sX

X 2 2

|U | | | kU k k k

|U | | | ≤

|(U, | ≤ = . (4.12)

) n n

n n 2 2

2 Z Z

Z n n

n Z Z

Z

Proprietà elementari

egnali reali Se è reale allora =

u u u .

n

−n

Parità e disparità

Se è pari (cioè = allora = ;

u u(−t) u(t)) u u n

−n

−u(t)) −u

Se è dispari (cioè = allora =

u u(−t) u .

n

−n

Invarianza rispetto a cambiamenti di scala Se è -periodica e 0 è il

u T λ

fattore di cambiamento di scala, la funzione := ) è -periodica

v(t) u(t λ λT

e i coefficienti di ourier di sono gli stessi di quelli di infatti ponendo

v u;

:= ,

t λ T T

1 1

Z Z

n n

2 2

= = =

) )

v dt d u .

u(t λ u(

n n

λT T

0 0

itardi Dato un segnale (R) e un ritardo , indichiamo con [u] il corri-

u

spondente segnale ritardato di −

[u](t) := ).

u(t

I coefficienti di ourier di := [u] risultano modulati per un esponenziale

v

complesso di frequenza fondamentale pari a T

n

−2 (4.13)

= u .

v n

n

` ovvio che un ritardo di un’intero periodo (o di suoi multipli interi) non

comporta alcuna e ettiva modulazione, essendo intero; più interessante

T

osservare che un ritardo di mezzo periodo cambia (alternativamente) solo il

segno dei coefficienti n

:= 2 = (−1)

T v u .

n n

Modulazione Modulare un segnale significa moltiplicarlo per un segnale espo-

u

2 ∈

nenziale del tipo , viden temente, se si richiede che la modu-

R.

lazione mantenga la -periodicità il coefficiente dovrà essere un multiplo

T

intero della frequenza fondamentale ; posto quindi

m f 0

2 m

:= si ha =

v(t) u(t) v u .

n n−m

Da questa formula si deduce facilmente che 1 i

h

⇒ +

:= cos(2 = ,

u u

v(t) mf t)u(t) v

0 n−m n+m

n 2

1 i

h

⇒ −

:= sin(2 =

v(t) mf t)u(t) v .

u u

0 n n−m n+m

2i

Dimostrare le formule precedenti.

Esercizio 4-5

. S NA I P IODI I S I DI FOU I .

Serie trigonometriche.

In certi casi si preferisce sviluppare un segnale reale in serie di ourier trigono-

u

metriche. Per ottenere tali sviluppi, basta riscrivere gli esponenziali complessi della

. Chiamando

formula (4.6) in termini di seni e coseni e ricordare che = u

u n

−n

la parte reale e la parte immaginaria di si ha

x , y u

n n n

+∞ h

i i

hX X

2 2

n n

Re

= + 2 = (4.14)

= Re u u

u

u(t) 0

n n

n=1

n2

+∞ h i

X −

= + 2 cos(2 sin(2

u x nf t) y nf t) .

0 0 0

n n

n=1

Posto allora − ∈

2u := (4.15)

a ib , n N

n n n

che corrisponde a

+T +T

Z Z

= 2 (4.16)

cos(2 = 2 sin(2

a u(t) nf t) dt, b u(t) nf t) dt

0 0

n n

si ottiene lo sviluppo +∞

a h i

0 X cos(2 + sin(2

+

= (4.17)

a nf t) b nf t) .

u(t) 0 0

n n

2 n=1

Questo risultato può anche essere reinterpretato alla luce della teoria degli spazi di

ilb ert, grazie al seguente risultato:

Teorema 4.6 Il sistema di funzioni ∈

1, cos(2 sin(2 (4.18)

nf t), nf t) n N,

0 0

2 (R); inoltre

è ortogonale e completo in L T 1

2 2

kcos(2 ksin(2

= =

nf t)k ,

nf t)k

0 0

2 2

(R) (R)

L L 2

per cui le equazioni (4.16), (4.17) forniscono lo sviluppo del segnale rispetto al

u

sistema (4.3). In particolare vale l’identità di Parseval

+∞

+T 20 1

Z a X

2 2 2

|u(t)| = + (a + ). (4.19)

dt b

n n

4 2 n=1

C’è una terza rappresentazione delle serie di ourier che è interessante, nel caso in cui

il segnale sia reale: per 1 scriviamo il coefficiente in forma esponenenziale

u n u n

|, ∈

= 2|u = arg(u ) (− ] (4.20)

2u = , ,

n n n n n

n n

p 2 2 −

= + = cos = sin (4.21)

a b , a , b

n n n n n n n

n n

e, ripartendo dalla (4.14), otteniamo

+∞ +∞

h i

X X

2 n

= + Re = + cos(2 + ), (4.22)

u(t) u u nf t

n

0 0 0

n n n

n=1 n=1 4-6

. S NA I P IODI I S I DI FOU I .

cioè la decomposizione di in onde di frequenza , ampiezza e sfasate di .

u nf 0 n n

L’identità di Parseval si riscrive +∞

+T 1

Z X

2 20 2

|u(t)| +

= (4.23)

dt u .

n

2 n=1

Osservazione 4.7 Se è pari allora i coefficienti sono tutti nulli; analogamen-

u b n

te, se è dispari, sono nulli i coefficienti . Si possono adattare anche alle serie

u a n

trigonometriche le considerazioni del paragrafo precedente, cosı̀ come i risultati che

seguono hanno una equivalente formulazione per questo tipo di serie; tali risul-

tati possono essere facilmente ricavati dalle relazioni (4.15), (4.16), (4.17): noi ci

limitiamo a considerare le serie di ourier in forma esponenziale.

Altri tipi di convergenza. 2

Teorema 4.8 (Carleson) La serie di ourier di una funzione (R)

L

u T

converge q.o. ad cioè

u, N

X 2 n

∃ ∈

lim = per quasi ogni

u u(t) t R.

n

N ↑+∞ n=−N

Ecco la recensione del Mathematical Revie all’articolo in cui viene per la prima volta dimo-

Curiosità strato questo Teorema (L. Carleson, (1966), 135 15 ; ho evidenziato

Acta Mathematica 11

alcuni passi...):

La que contient cet article est la validite de l’hy-

o r a lair

pothese de Lusin, a savoir que la ri o ri r o io arr

. En designant par (x) la

o a l o r r ar o n

1

somme partielle d’ordre n de la fonction f (− , ), les meilleurs resultats

1

precedemment connus etaient les suivants: (1) si f , (x) = (log n)

n

p

2

p.p. ( ardy); (2) si f , (x) = ( log n) p.p. ( olmogoro v-Seliverstov

n 1

1925, Plessner 1926); (3) si f , 1 < < 2, (x) = ((log n) ) p.p.

n

(Little ood-Paley 1931). La coherence de ces resultats, et la ra i l

du dernier (voir A. ygm und [Trigonometric series, second edition, ols. I et II,

Cambridge Univ. Press, Ne or , 1959]), avaient fait penser au specialistes

qu’ils etaient vraisemblablement les meilleurs possibles; d’ou un scepticisme,

ustifie usqu’il y a quelques mois, a l’egard des demonstrations proposees de

l’hypothese de Lusin. + 1+ 1

|f |) ∈

L’auteur enonce les resultats suivants: (1) si f (log pour un > 0,

(x) = (log log n) p.p.; (2) si f (1 < < 2), (x) = (log log log n); (3)

n n

2

si f , (x) est convergente p.p. vers f (x). Il demontre (1) et (3), et donne

n

un simple apercu de la demonstration de (2). Les resultats (1) et (2) ne sont sans

doute pas les meilleurs possibles; on peut con ecturer que (x) = (log log n)

n

1

p.p. des que f (et l’e emple classique de olmogoro v montrerait alors

que c’est le meilleur resultat possible) et que (x) est convergente p.p. des que

n

f , > 1. . L’idee

o ra io o r li a or l a ira io

n m

P

de depart est la suivante. Au lieu d’etudier (x) = f , on peut

n m

n

∞ m n

P

etudier f , ou aussi bien la transformee de ilb ert de f (x) ,

m

n n

∗ 1

R −

(x) = f ( ) (x ) (− < x < );

ou la transformee approchee n

∗ (x) = ( ), on a aussi (x) = ( ). Generalement pour un sous-

si n n n

n n

∗ ∗ ∗ 1

R −

intervalle de [−2 , 2 ], on pose (x, n, ) = f ( ) (x ) d ;

∗ ∗ |

convenons de dire que n est adapte a si n| est multiple de 2 , et que

∗ ∗

entoure x si x est plus pres du milieu de que de ses e tremites. Alors

n

∗ ∗

(x, n, ) est ma oree par la transformee de ilb ert ma imale de f ( ) ,

convenablement definie; cette remarque est utilisee seulement pour n = 0, et

les efforts de l’auteur consistent a se ramener, par etapes, a ce cas. N 1

n commence par se donner un entier N , et on se restreint au n entre 2

N ⊂

et 2 . n definit (c’est tres laborieu ) un ensemble e ceptionnel [− , ]. 4-7

. S NA I P IODI I S I DI FOU I . ∗

6∈

Pour x on definit une suite finie de couples (n , ) de sorte que (1)

∗ ∗ ∗ ∗

n = n, = [−4 , 4 ]; (2) , et entoure x; (3) n soit adapte

0 0 1 ∗

∗ (x), on ecrit

a ; (4) le dernier des n soit nul, soit n = 0. Pour ma orer n

∗ ∗

(x, n , ) = (x, n , ) + R (x),

+

n n

∗ ∗ ∗ ∗

(x, n , )= (x, n , ) + S (x),

1

j j +1 +1

et par consequent ∗ ∗ ∗

| ≤

| (x)| = (x, n, )| (4.24)

n 0

1

X ∗

|S | )|. ()

(|R (x)| + (x)|) + (x, 0,

=0

n s’efforce simultanement de rendre la mesure de petite et le second membre

6∈

de () pas trop grand pour x .

Ce schema general vaut pour les trois theoremes de l’auteur. C’est la defi-

nition de qui change d’un cas a l’autre. Les techniques utilisees pour les

ma orations sont raffinees mais classiques (transformees de ilb ert ma imales,

fonctions harmoniques dans un demi-plan, convolutions, inegalites de oung

sur les transformees de Fourier). Un outil nouveau, qui peut trouver d’autres

2

applications, est une serie associee en chaque point x a une f (− , ) et

a un b > 0; le premier terme de la serie est la somme des termes de la serie de

Fourier (comple e) de f dont le module depasse b, soit (x); le second terme,

0

soit (x), est obtenu en restreignant f a celui des intervalles [− , 0[, [0, [

1 0

qui contient x, en developpant f en serie de Fourier a frequences paires

0 ≤

sur cet intervalle, et en supprimant tous les termes de module b et ainsi

P

de suite... La serie (x) est ce qu’on obtient en regardant f , au voisinage

de x, avec des microscopes de plus en plus puissants, mais avec des analyseurs

harmoniques incapables de mettre en evidence des harmoniques d’amplitudes

superieures a b. . Il est souhaitable qu’on trouve,

ar i l l a r r i il a lir

ou bien une demonstration plus rapide par une autre methode, ou bien quelques

theoremes generau , suggeres par la methode de l’auteur, d’ou les theoremes

sur la convergence des series de Fourier decouleraient sans trop de peine.

orniamo ora a qualche risultato più abbordabile; innanzitutto ricordiamo che

Se u è una funzione regolare a tratti nel senso della definizione data nella prima lezione,

Richiami ∈

possiamo parlare di limite sinistro e destro di u in ogni punto (cioè la funzione u

R

ha al più discontinuità di tipo salto): li indichiamo rispettivamente con u ( ) e u ( ).

+

vviamen te, quando u è continua in si ha u( ) = u ( ) = u ( ).

+

Teorema 4.9 Se è una funzione regolare a tratti allora la serie di ourier di

u 12 ∈

(t) + (t) per ogni cioè

converge puntualmente a u u t

u R,

+

N (t) + (t)

u u +

X 2 n ∀ ∈

lim = (4.25)

u t R.

n 2

N ↑+∞ n=−N 2

0 ∈ (R), i coe cienti di ourier soddisfano

Inoltre, se è anche continua e L

u u T

la condizione di eierstr ass X |u | +∞ (4.26)

<

n

n2

e pertanto la convergenza della serie di ourier a è uniforme.

u

Rimandiamo la dimostrazione dell’ultima parte di questo teorema alla successiva

sezione, perché è una conseguenza semplice di alcune proprietà che legano serie di

ourier e derivazione. ra ci concentriamo sulla prima parte, la cui dimostrazione

mette in luce varie proprietà interessanti; si tratta in sostanza di esprimere in una

forma di erente la somma parziale -esima di una serie di ourier.

N

Premettiamo alla dimostrazione due formule importanti di per sè: si tratta di

esprimere convenientemente le somme parziali di una successione geometrica. 4-8

. S NA I P IODI I S I DI FOU I .

Cominciamo dalla semplice identità che permette di sommare i primi termini di

N

una serie geometrica partendo da 1:

N −1 N

1

X

2 m

N −1 ∀ ∈ ∈

=

1+ + + + = (4.27)

... N

C, N.

1

m=1

La seconda è una variante per la somma simmetrica di = 2 + 1 termini

N X

+1 2 m

− − −1

+ + + +1+ + + + = .

... ... m=−

Raccogliendo il primo termine si ottiene

2 N − 1

X

X m

m −

− =

= .

− 1

m=0

m=−

Il caso più interessante è quello di un numero complesso di modulo unitario:

2

poniamo pertanto = = e otteniamo

( +1 2) ( +1 2)

(2 +1) −

− sin

1 N f

X m − =

=

= .

2 2

− − −

1 sin f

m=−

La funzione che abbiamo trovato ha proprietà interessanti, che ora riassumiamo:

Per = 2 + 1 chiamiamo ucleo di Diric let la funzione

N sin N f X 2

(f ) = = (4.28)

D N sin f m=−

Il ucleo di Dirichlet è 1-periodico, pari,

1 2 1 2

Z Z 2

|D

(f ) = 1, (f )| = (4.29)

D df df N

N N

2 2

−1 −1

⇔ intero non multiplo di (4.30)

(0) = (f ) = 0 = , N.

D N, D f

N N N

L’interesse di tale funzione sta nella seguente espressione 1

Lemma 4.10 Se sono i coe cienti di ourier di (R), allora

L

u u

n T

X 2 n

(t) := u

N n

n=− (4.31)

2 2

T T

Z Z −

+ )D (f ) = )D (f (t ))

= u(t d u( d .

0 0

N N

2 2

−T −T

Si tratta di inserire l’espressione (4. ) in (4.31); supponiamo per semplificare la scrittura

Dimostrazione delle formule che f = T = 1.

0 1 2

Z

X X

n n n

2 2 2

u = u( ) d =

n 1 2

n= n=

1 2 1 2

Z Z

X X

n n

2 2

u( ) d = u( ) d

1 2 1 2

n= n= 1 2

1 2

1 2 Z

Z

Z −

− u( + )D ( ) d .

u( )D ( ) d =

u( )D ( ) d =

= N

N

N 1 2

1 2

1 2 4-9

. S NA I P IODI I S I DI FOU I . −

Nell’ultima riga abbiamo prima fatto una sostituzione di variabile := , lasciando

gli estremi di integrazione inalterati grazie alla periodicità delle funzioni, e infine abbiamo

posto := . 1

A questo punto, dobbiamo confrontare (t) con (u (t) + (t)): essendo

u D

+

N N

2

pari si ha 0 0

1 (t) 1

Z Z

u −

(t) = (f ) = (t)D (f )

u D d u d ,

0 0

N N

− −

2 T T

2 2

−T −T

2 2

T T

1 (t) 1

Z Z

u +

(t) = (f ) = (t)D (f )

u D d u d ,

+ 0 + 0

N N

2 T T

0 0

da cui 0

1

(t) + (t) Z

u u +

− = + ) (t) (f )

(t) u(t u D d

0

N

N −

2 T 2

−T 2

T

1 Z

+ ) (t) (f )

+ u(t u D d

+ 0

N

T 0

La dimostrazione è completata se mostriamo che i due ultimi integrali sono infini-

tesimi per +∞. Consideriamo l’ultimo integrale del secondo membro (il primo

N 1

si tratta allo stesso modo) e supponiamo ora per semplicità che sia a tratti.

u

Si ha 2

2 T

T −

+ ) (t)

Z

Z u(t u +

− sin( )

+ ) (t) (f ) = N f d

u(t u D d 0

+ 0

N sin( )

f 0

0

0

Posto −

+ ) (t)

u(t u +

) :=

v( sin( )

f 0

si ha 2

2 T

T Z

Z

− ) sin( )

+ ) (t) (f ) = v( N f d .

u(t u D d 0

+ 0

N 0

0 1

Poichè abbiamo supposto a tratti, la funzione è sicuramente continua (ba-

u v

sterebbe molto meno), essendo l’unica possibile singolarità in = 0 compensata

dall’annullarsi del numeratore (verificare per esercizio ). Si conclude applicando il

lemma seguente, scegliendo := v(t)11 (t). (4.32)

g(t) (0 2)

T 1

Lemma 4.11 ( iemann Leb esgue) Sia (R). Allora

L

g Z

Z

Z cos( = 0.

sin( = lim

= lim

lim g(t) t) dt

g(t) t) dt

g(t) dt j j↑+∞

j j↑+∞

j j↑+∞ R

R

R (4.33)

Abbiamo enunciato questo “lemma” fondamentale in tutta la sua generalità, per evitare

Dimostrazione di darne altre varianti in seguito, ma ora a noi interessa solo per del tipo in (4.32) (in

particolare limitata) e per := N f , N intero. Basta allora osservare che

0

Z Z

( ) sin( N f ) d = 2T ( ) sin( N ) d

0 T

R

è (a meno della costante 2T ) il coefficiente b dello sviluppo in serie di Fourier di prolun-

N 2

gata 2T periodica al di fuori dell’intervallo (−T, T ). Essendo limitata e quindi in (R)

L 2

la (4.19) implica il risultato cercato. 4-10

. S NA I P IODI I S I DI FOU I .

Derivazione delle serie di Fourier

{U }

Lemma 4.12 Se è una successione di numeri complessi,

n n2 s 2 X

X 2 2

|U | ≤ |U | |U |

+ (4.34)

n .

0 n

n

n2 n2

Applichiamo la (4.12):

Dimostrazione 1 sX sX

sX

X

X 1 2 2 2 2

p

|U | |U |

|n | ≤

|U | n = n .

U

= n n

n

n 2

n

|n| 3

n=0 n=0 n=0

n=0

n=0 2

0 ∈ (R),

Teorema 4.13 Se è una funzione regolare a tratti, continua, con L

u u T

0

allora la serie di ourier di si ottiene derivando termine a termine quella di

u u:

X n

0 (i ) ; (4.35)

(t) = n u

u n

n2 0

in altri termini, l’ coe ciente di ourier di è e di conseguenza

n-esimo u i nu n

+T

1 Z

X 2 2 2

0

|u | |u

= (t)| +∞. (4.36)

n dt <

n 2

n2

ic eversa, se i coe cienti soddisfano la

U n X

X 2 2 |U |

|U | +∞, (4.37)

+∞ allora essi soddisfano anche <

n < n

n n2

n2

la serie X 2 n

:= converge uniformemente,

u(t) U n

n2 0

è derivabile q.o. e lo sviluppo in serie di ourier di si ottiene derivando termine

u u

a termine quello di u.

Applichiamo una integrazione per parti alla formula che fornisce il coefficiente di Fourier di

Dimostrazione u di posto n:

Z Z h i

n n n

−(−i

( u ) = u ( ) d = n ) u( ) d + u( ) = (i n )u ,

n n

0

0 0

n n n0

2

poiché u(T ) = u(0) e = = = 1.

Il lemma precedente dimostra la (4.3 ) ; omettiamo invece la dimostrazione dell’ultima parte

del teorema. 2

Una funzione u (R) ammette una primitiva T se e solo se

L

Esercizio periodica

+

Z

u = u( ) d = 0.

0 k (R) lo spazio (di Hilbert)

Definizione 4.14 Sia un intero positivo; chiamiamo T

costituito dai segnali i cui coe cienti di ourier soddisfano la

u X 2

k

|n | +∞.

u <

n

n2

Lo sviluppo in serie di ourier di tali segnali può quindi essere derivato -volte. In

particolare, se e le sue 1 derivate sono funzioni regolari a tratti e continue,

u

(k) 2 k

0 ∈

∈ (R).

(R) allora

con u

u, u , . . . , u T

T 4-11

. S NA I P IODI I S I DI FOU I .

A titolo di esempio, consideriamo il caso = 1 della precedente definizione: se u

1

appartiene a (R) allora

T X 2 2

|u | +∞

n <

n

n2

e possiamo applicare il teorema precedente, che ci assicura che la serie di ourier di

converge uniformemente e che la somma (che identifichiamo con è derivabile

u u)

`

2 1

0 ∈

q.o., con derivata (R). naturale definire la norma di in (R) come

u u

T T

+T

Z

2

2

2 2 2

0 0

ku k

kuk

kuk |u(t)| |u

=

+

:= + (t)| (4.38)

dt

2

2

1 (R)

(R)

(R)

razie all’identità di Parseval e alla (4.36), in termini dei coefficienti di ourier di

abbiamo

u

X

2 2 2 2 2

kuk |u | |u |

= + (4.39)

n .

n n

1 (R) n2 ∈

In particolare, applicando la maggiorazione del lemma 4.12, osserviamo che se u

1 (R) allora

T 2

X

X 0

ku k

|u | ≤ kuk

|u | |u | (4.40)

+

= + .

2

2

0 n

n (R)

(R) T

=0

n2 n6

. Segnali discreti e DF

Segnali a spettro finito

Ci chiediamo ora se, almeno in qualche caso speciale, è possibile trovare un’espres-

sione dei coefficienti di ourier che sia più maneggevole dell’integrale (4.7) e possa

essere usata per il loro calcolo numerico.

Il caso più semplice ma comunque piuttosto interessante è quello di un segnale T

periodica il cui sviluppo di ourier sia finito, cioè contenga solo termini. Per

u N ∈

ragioni di simmetria supponiamo che sia dispari, cioè := 2 + 1, in

N N N,

modo da avere lo sviluppo simmetrico X n (5.1)

= u .

u(t) n

n=−

sserviamo che se u è un segnale reale, lo sviluppo precedente corri-

Digressione.

sponde a a 0 X −

+ a cos(n ) + b sin(n ), 2 = a ib , n = 1, . . . , M

u( ) = n n n n n

0 0

2 n=1

contenente appunto 2M + 1 coefficienti. Stiamo quindi supponendo che la massima

frequenza che entra nello sviluppo di Fourier di u sia M f .

0

Definizione 5.1 Diremo che il segnale -periodico ha spettro finito (o anche

T u

banda limitata) di ampiezza = 2 + 1 se i suoi coe cienti di ourier sono

N u n

|n|

nulli per , cosicche ammette lo sviluppo (5.1). Indichiamo con (R)

u B T N

lo spazio funzionale individuato da tali segnali.

2

erificare che B (R) è un sottospazio di (R).

L

Esercizio N

Dovendo determinare coefficienti, l’idea fondamentale è quella di imporre l’equa-

N

zione (5.1) in punti distinti, ottenendo cosı̀ un sistema lineare che occorre poi

N

risolvere.

aturalmen te c’è molta arbitrarietà nella scelta di tali punti: per fortuna quella più

semplice è anche quella che porta ad un risultato semplice ed elegante. Si divide

T

ciascun periodo di lunghezza in intervalli di lunghezza := e si campiona

T N N

il segnale negli estremi di tali intervalli, per esempio considerando

u ∈

:= ),

U u( .

k

I valori sono quindi noti e si cercano gli in modo che

U u

k n

X nk − − −1, −

= + 1, 0, 1, 1, (5.2)

= u , , . . . , . . . , .

U n

k n=− 5-1 5-2

. S NA I DIS I DF

Per analogia con le formule “continue”, indicheremo con la frequenza discreta

,

e la frequenza angolare discreta, date da 1

2 := = ; (5.3)

:= = , f 0

0 N N

è anche comodo introdurre la corrsipondente radice -esima complessa dell’unità

N

2 2 N

:= = = (5.4)

.

Radici dell’unità.. si chiama cosı̀ in quanto

Richiami N = 1. (5.5)

i sono complessivamente N radici N -esime distinte di 1 che si trovano risolvendo l’equa-

N ∈

zione = 1 con la sosotituzione = , si ottiene

R:

N N ⇔ ∈

( ) = =1 N =2 per qualche intero .

Da quest’ultima formula si ricava che tutte le radici sono della forma

N

2

= = .

7→

Siccome si ripete dopo N interi, cioè

+N ∀ ∈

= , (5.6)

vi sono appunto solo N radici distinte N

0 1 2 1

1= , = , , ..., .

sserviamo che per periodicità le condizioni di (5.2) si possono anche imporre in

qualsiasi insieme di punti consecutivi = + 1, + 1:

N , . . . , N

0 0 0

X X X

2

nk nk nk −

= = = = + 1.

U u u u , , . . . , N

0 0

k n n n

n=− n=− n=− (5.7)

Teorema 5.2 La soluzione del sistema (5.7) è data dalla formula

+N +N +N

k k k

−1 −1 −1

1 1

1 X X X

nk nk

− −2 −nk

= =

= .

U U U

u k k k

n N N N

k=k k=k k=k (5.8)

2

eniamo alla dimostrazione del eorema precedente: introduciamo lo spazio ( )

N

dei segnali discreti -periodici, cioè

N 2

{U } ∈ ⇔ ∀ ∈

:= ( ) = ;

U U U

k k2Z k+N k

N 2

ovviamente, per assegnare un segnale in ( ) basta assegnare -valori di

U N U

N

corrispondenti a indici consecutivi.

N 2

Il prodotto scalare e la norma in ( ) sono definite da

N

+N +N

k k

−1 −1

1

1 X X 2

2 |U |

kU k := (5.9)

(U, ) := U .

,

2 k k

k

(Z) 2 (Z)

N N

N N

k=k k=k 5-3

. S NA I DIS I DF

2

Introduciamo poi i vettori di ( )

N (0) (0)

(0) {E }

:= 1

E , E

k2N

k k

(1) (1)

(1) k

{E }

:=

E , E ,

k2N

k k

(−1) (−1)

(−1) −k k

{E }

:= =

E , E ,

k2N

k k

(2) (2)

(2) 2k

{E }

:=

E , E ,

k2N

k k

(−2) (−2)

(−2) −2k

{E }

:=

E , E ,

k2N

k k

...

(n) (n)

(n) nk

{E }

:=

E , E ,

k2N

k k

...

( ) ( )

( ) k

{E }

:=

E , E ,

k2N

k k

(− ) (− )

(− ) k

{E }

:=

E , E .

k2N

k k

(n) 2

razie alla (5.6), ciascun appartiene proprio a ( ); inoltre è facile vedere

E N

(n)

che dopo l’intero i vettori si ripetono: infatti

E (n)

(n+N ) (n+N )k nk Nk nk N k nk

= = = ( ) = = .

E E

k k

n n

2

Il segnale discreto E è ottenuto ( ) := a

Commento. campionando il segnale continuo n

passo = T /N : infatti n n

n n N N n

2 2 2

( )= = = = = E .

n n

In altri termini, il sistema dei segnali discreti E si ottiene campionando il sistema

ortonormale dei segnali esponenziali.

Alla luce dell’osservazione precedente il risultato che segue non è sorprendente e

ovviamente conclude la dimostrazione del eorema.

Proposizione 5.3 (5.7) è equivalente alla decomposizione

X (n)

= (5.10)

U u E .

n

n=− 2

(n)

{E } ( ) e i coef-

forma una base ortonormale di

Il sistema dei vettori N

n=− 2

ficienti individuati da (5.8) sono proprio i coe cienti di ourier di in ( )

u U

n N

rispetto a questa base. n m −M

Calcoliamo il prodotto scalare tra due vettori E , E , supponendo n, m interi tra

Dimostrazione 6 − −N,

e M , n = m: in particolare n m non può essere 0, N .

N N

1 1

1 1

m

n

X X

n m n m

(E ,E )= E =

E

N N

=0 =0

N 1 n m N −

1 1

1 X n m =

= = 0.

n m −

N N 1

=0

È infine facile osservare che, essendo di modulo 1,

N N

1

1 n

X X n

n 2 2

2 |E | | |

kE k = = 1

=

2 Z N N

N =0 =0 5-4

. S NA I DIS I DF

Le formule (5.8) richiamano in modo suggestivo le formule “continue” dei coefficienti di

Commento. Fourier di u: se u è un segnale a spettro finito dci lunghezza N = 2M + 1 allora

2 1

1 Z X n

n 2

2 u( ) .

u( ) d =

u =

n T N

2 =

In altre parole, la media integrale è sostituito da una media aritmetica ottenuta campio-

nando l’integrando in N punti a passo = T /N . Usualmente, la somma discreta fornisce

solo una dell’integrale (si tratta di fatto di una somma di Cauchy); in

approssimazione

questo caso, la somma coincide sorprendentemente con

solo per le funzioni a spettro finito,

l’integrale stesso.

Questa proprietà è alla radice di tutta la teoria di ourier discreta: la poniamo

in evidenza nel prossimo eorema, perchè chiarisce completamente i calcoli un po’

misteriosi che abbiamo sviluppato finora.

Teorema 5.4 ( egnali a spettro finito e campionamento) Il campio-

namento a passo := è un isomorfismo tra lo spazio (R) dei

T N B T N

segnali -periodici a spettro di ampiezza e lo spazio dei segnali discreti

T N

2

-periodici (R). In altre parole, campionando un segnale a frequenza reciproca

N N

dell’ampiezza del suo spettro si conservano norme e prodotti scalari:

se (R), := ), := ) allora

u, v B U u( v(

T N k k

N −1 T

1 1 Z

X = = (u, (5.11)

(U, ) = U dt v)

u(t)v(t) 2

2 k k (R)

(Z) L

N T

N 0

k=0

N −1 T

1 1 Z

X 2 2

2

2 |u(t)| kuk

|U |

kU k (5.12)

=

= = .

dt

k 2

2 (R)

(Z) L

N T

N 0

k=0

Una prima versione del teorema del campionamento

Quando è a spettro finito di ampiezza , non solo si può usare un suo cam-

u N

pionamento a passo = per calcolarne i coefficienti di ourier, ma si può

T N

ricostruire addirittura l’intera informazione contenuta nel segnale a partire dal

u

segnale campionato.

Corollario 5.5 Se è un segnale -periodico con spettro limitato di ampiezza ,

u T N

ammette cioè una rappresentazione del tipo (5.1), allora può essere ricostruito

u

dai suoi valori campionati tramite la formula

+N

k=k −1

1 t

X −

)D (

= ), (5.13)

u(

u(t) N

N T N

k=k

dove è la funzione di Dirichlet

D N sin( )

N X 2 m

= (5.14)

( ) := .

D N sin( ) m=−

Basta sostituire l’espressione dei coefficienti u data da (5.8) in (5.1):

Dimostrazione n

1

X X n

n 2

2

u( ) = u( )

N

n= =

1 1

X

X X

n

2 −

u( ) u( )D (

= ).

=

N N

N N N T

n=

= = 5-5

. S NA I DIS I DF

Trasformata di Fourier discreta (DFT) e segnali digitali.

orniamo alla formula (5.8) e osserviamo che essa è svincolata dal valore del periodo

|n|

; inoltre essa ha senso per tutti i valori di anche se per non fornisce

T n,

più i coefficienti di ourier del segnale originario Con questa interpretazione, si

u.

ottiene una trasformazione che associa ad ogni segnale discreto -periodico un

N U

altro segnale discreto -periodico :

N U

{U }

Definizione 5.6 (DFT) Se = è un segnale digitale -periodico, la

U N

k k2Z { }

trasformata di ourier discreta è il segnale -periodico = dato da

N U U n n2Z

N N N

−1 −1 −1

1 1

1 X X X

nk nk

− −2 −nk

= = (5.15)

:= U U U ,

U k k k

n N N N

k=0 k=0 k=0

dove 2 1 2 2 N

:= = = := = =

, , .

N N

La trasformata di ourier inversa è data da

N N N

−1 −1 −1

X X X

2

nk nk nk

= = = (5.16)

U U U U .

k n n n

n=0 n=0 n=0

Naturalmente, anche se per la teoria che abbiamo svolto è stato comodo pensare U N -

Precisazione ∈

periodico e definito per ogni indice , in pratica si codifica U assegnando i suoi valori per

−1

N indici conscutivi, ad esempio = 0, 1, . . . , N o (come succede in matlab) = 1, . . . , N .

Corollario 5.7 (Parseval discreto)

N N N

N

−1 −1 −1

−1

1 1

X X X

X

2 2

|U | | | =

= .

U U

U , k n

k k n

n

N N n=0

n=0

k=0 k=0

6. Trasformata di Fourier

Affrontiamo ora il problema di rappresentare mediante funzioni trigonometriche se-

gnali non periodici: evidentemente, questi non possono più ottenersi come sovrap-

posizione di onde che vibrano a frequenze multiple di una fissata frequenza fonda-

mentale (che genererebbero un segnale periodico); occorre quindi un procedimento

più sofisticato che viene fornito dalla teoria della trasformata di Fourier.

Cominciamo in questa lezione a considerare segnali che, in un senso opportuno (di

tipo “integrale”), decadono a 0 abbastanza velocemente per tempi grandi: il pro-

totipo su cui imposteremo inizialmente il discorso sarà quello dei segnali di durata

finita. La teoria delle distribuzioni, che svilupperemo più avanti, permetterà di

considerare segnali di tipo più generale e di comprendere all’interno della medesima

teoria anche il caso dei segnali periodici.

Definizione 6.1 (Segnali di durata limitata e di energia finita) Diciamo che

un segnale u definito in ha durata limitata se esiste D > 0 tali che

R \

u(t) = 0 per q.o. u in (−D, D). (6.1)

R

Chiamiamo durata di u la più piccola delle costanti 2D degli intervalli che soddi-

2

sfano la (6.1). Diciamo che u ha energia finita se u L (R).

Nota I segnali di durata limitata e di energia finita sono integrabili. Se u ha durata 2D allora

2 2 1 1

∈ ⇔ ∈ ⇒ ∈ ⇔ ∈

u L (R) u L (−D, D) u L (−D, D) u L (R).

Consideriamo ora un segnale u di durata 2D e di energia finita. Se scegliamo un

“periodo” T > 2D, possiamo esprimere u in serie di Fourier

X 2πi nf t ∈

u(t) = û e , t (−T /2, T /2), con (6.2)

0

n

n∈Z

T /2

Z Z

−2πi −2πi

nf t nf t

1 1

û := u(t)e dt = u(t)e dt. (6.3)

0 0

n T T

−T /2 R

Ora, l’ultimo integrale ha senso anche se l’esponenziale oscilla a qualsiasi frequenza

f , non necessariamente multipla di f . Poiché questa si rivelerà la quantità cruciale,

0

poniamo Z −2πi f t ∀ ∈

û(f ) := u(t)e dt, f (6.4)

R.

R

Con questa notazione la serie di (6.2) diventa

X 2πi nf

1

u(t) = û(nf )e , (6.5)

0

0

T n∈Z

6-1

6. TRASFORMATA DI FOURIER 6-2

2

dove, lo ricordiamo, la convergenza della serie è intesa nel senso di L (−T /2, T /2):

infatti, a questo livello solo in (−T /2, T /2) u coincide con la serie di Fourier, che al

di fuori dell’intervallo è naturalmente T -periodica mentre u è identicamente nullo.

Proviamo ora a fissare φ > 0 e a sostituire u(t) con il segnale “modulato” v(t) :=

−2πi φt

u(t)e ; chiaramente si ottiene

X 2πi nf t

v(t) = v̂ e , con

0

n

n∈Z

Z Z

−2πi −2πi −2πi

φt nf t (nf +φ)t

1 1 1

v̂ := u(t)e e dt = u(t)e dt = û(nf + φ)

0 0

n 0

T T T

R R

cioè X

−2πi φt 2πi nf t

1

u(t)e = û(nf + φ)e , (6.6)

0

0

T n∈Z

X 2πi (nf +φ)t

1

u(t) = û(nf + φ)e . (6.7)

0

0

T n∈Z

L’aspetto interessante è che la relazione precedente è indipendente da φ; vedremo

nella sezione successiva come sfruttare questa formula mediante l’identità di Parse-

val. Ora, invece, per proseguire abbiamo bisogno che la serie (6.5) converga in un

2

senso più forte di L : supponiamo allora che il segnale u sia anche regolare a tratti,

0 2

continuo, con u L (R). Grazie alla (4.34) e alla (4.36) si ha, per una costante C

indipendente da φ Z 1/2

1

X

X 0

2 2

|û(nf |v̂ | ≤ |u

+ φ)| = C (|u(t)| + (t)| ) dt . (6.8)

0 n

T R

n∈Z n∈Z

A questo punto, integrando rispetto a φ tra 0 e f si ottiene

0

+∞ (n+1)f f

Z Z Z

0 0

X X

|û(f |û(f |û(nf

)| df = )| df = + φ)| dφ < +∞ (6.9)

0

−∞ nf 0

0

n∈Z n∈Z

f f

Z

Z 0

0 X X

2πi (nf +φ)t 2πi (nf +φ)t

û(nf + φ)e dφ = û(nf + φ)e dφ =

u(t) = 0

0

0 0

0 0

n∈Z

n∈Z

(n+1)f

Z Z

0

X 2πi f t 2πi f t

= û(f )e df = û(f )e df.

nf R

0

n∈Z

Questa formula è la formula fondamentale della teoria della trasformata di Fourier

e prende il nome di formula di inversione. Raccogliamo il risultato nel lemma

seguente:

Lemma 6.2 Se u è un segnale di durata finita, regolare a tratti, continuo, con

0 2 1

∈ L (R), allora la funzione û definita da (6.4) appartiene a L (R), u ammette

u

lo sviluppo in serie (6.7), e vale la formula di inversione

Z 2πi f t ∀ ∈

u(t) = û(f )e df t (6.10)

R.

R

A questo punto si tratta di studiare sistematicamente le proprietà della trasfor-

mazione (6.4), sia per conoscerne le caratteristiche più approfonditamente, sia per

estendere il più possibile la validità della (6.10).

6. TRASFORMATA DI FOURIER 6-3

F 1

Definizione 6.3 La trasformata di Fourier û = [u] di un segnale u L (R) è

definita da Z −2πi f t ∀ ∈

û(f ) := u(t)e dt, f (6.11)

R.

R

F [u] è definita da

La trasformata coniugata ǔ = Z 2πi f t ∀ ∈

ǔ(f ) := u(t)e dt, f (6.12)

R.

R

1

Teorema 6.4 Se u L (R) allora |f | ↑

û è limitata, continua ed infinitesima per +∞. (6.13)

In particolare kûk |û(f ≤ kuk

= max )| . (6.14)

1

L (R)

B(R) ∈R

f

Proprietà elementari

Trasformata e trasformata coniugata F F

[u] = [ū].

ǔ(f ) = û(−f ),

Quest’ultima proprietà giustifica il nome di trasformata coniugata; a posteriori

F F −1

verrà anche indicata come trasformata inversa , ma ciò presuppone di

conoscere il teorema di inversione.

Segnali reali Se u è reale allora û(−f ) = û(f ).

6

Cambiamenti di scala Se λ = 0 è il fattore di cambiamento di scala e v(t) :=

u(t/λ) |λ|û(λf

v̂(f ) = ).

Parità e disparità

Se u è pari (cioè u(−t) = u(t)) allora û è pari û(−f ) = û(f );

−u(t)) −û(f

Se u è dispari (cioè u(−t) = allora û è dispari û−f = ).

Ritardi Dato un segnale u e un ritardo τ , indichiamo con R [u] il corri-

F(R) τ

spondente segnale ritardato di τ −

R [u](t) := u(t τ ).

τ

La trasformata di Fourier di v := R [u] risulta modulata per un esponenziale

τ

complesso di frequenza pari a τ −2πi τ f

v̂(f ) = e û(f ). (6.15)

Modulazione Modulare un segnale u significa moltiplicarlo per un segnale espo-

2πiαt ∈

nenziale del tipo e , α Posto quindi

R.

2πiφt −

v(t) := e u(t) si ha v̂(f ) = û(f φ) = R [û](f ).

φ

Da questa formula si deduce facilmente che 1 h i

⇒ û(f φ) + û(f + φ) ,

v(t) := cos(2π φt)u(t) v̂(f ) = 2

1 h i

⇒ − −

v(t) := sin(2π φt)u(t) v̂(f ) = û(f φ) û(f + φ) .

2i

6. TRASFORMATA DI FOURIER 6-4

0

1 1

∈ ∈

Derivazione Se u L (R) è regolare a tratti e u L (R), allora

F F

0

[u ](f ) = 2πif [u]. (6.16)

F

1 1

Se u e il segnale tu(t) appartengono a L (R), allora [u] è di classe C (R) e

d F

û(f ) = [−2πit u](f ). (6.17)

df

Il teorema di inversione “puntuale” per segnali regolari a tratti

1

Teorema 6.5 Se u L (R) è un segnale regolare a tratti allora

+∞ +F

Z Z

u (t) + u (t)

− + 2πi f t 2πi f t

= v.p. û(f )e df = lim û(f )e df. (6.18)

2 ↑+∞

F

−∞ −F

0 2

Se poi u è continuo e u L (R) allora +∞

Z

F

1 2πi f t

û L (R), u(t) = [û](t) = û(f )e df. (6.19)

−∞

Noi daremo la dimostrazione del teorema di inversione per segnali di energia finita,

2

da cui seguirà anche la (6.19) per segnali con derivata in L (R). 1

Teorema 6.6 (Iniettività della trasformata di Fourier) Se u, v L (R) al-

lora F F ⇒

[u] = [v] u(t) = v(t) q.o. (6.20)

Trasformazioni lineari continue e isometrie.

Un modo utile di rappresentare la trasformata di Fourier è quello di considerarla

come trasformazione tra segnali, un operazione cioè che trasforma un segnale dato

F

u e ne restituisce un altro û = [u]. Poichè un segnale può essere visto come

1

un elemento di uno spazio funzionale (per esempio L (R)), questo spazio sarà il

dominio della trasformazione, mentre il codominio (nel caso della trasformata, B(R))

sarà lo spazio funzionale che contiene û. Dunque, la trasformata di Fourier è una

1

trasformazione definita in L (R) a valori in B(R).

In questa sezione vogliamo mettere in luce alcune semplici proprietà delle trasfor-

mazioni tra spazi funzionali, segnalando alcune caratteristiche significative delle

trasformazioni lineari. T →

Definizione 6.7 Siano V, W due spazi funzionali normati, : V W una

T

trasformazione. si dice continua quando

T T

→ ⇒ →

u u in V [u ] [u] in W. (6.21)

n n

T si dice stabile quando T T ≤ ku − ∀ ∈

∃ ≥ L vk u, v V. (6.22)

[u] [v]

L 0 : V

W

T si dice una isometria quando

T T

− − ∀ ∈

[u] [v] = u v u, v V. (6.23)

W V

6. TRASFORMATA DI FOURIER 6-5

Esercizio Verificare che una isometria è stabile e che una trasformazione stabile è continua.

Nel caso di una trasformazione lineare la verifica della continuità e della stabilità

sono di fatto equivalenti e si semplificano grazie al seguente lemma.

T →

Proposizione 6.8 Se : V W è una trasformazione lineare allora

T T T

⇔ ⇔ ∃ ≥ ≤ ∀ ∈

è continua è stabile L 0 : [u] L u u V.

W V (6.24)

T

Se è continua allora vale il teorema di trasformazione per serie

X X

T T

u = u in V [u] = [u ] in W. (6.25)

n n

n n

Dimostrazione Dimostriamo solo l’ultima implicazione della (6.24): basta osservare che se

T

∃ ≥ ≤ ∀ ∈

L 0 : [u] L u u V,

W V

allora sostituendo u v al posto di u e sfruttando la linearità si ottiene

T T T

− − ≤ −

[u] [v] = [u v] L u v .

W W V T

Esercizio Veridicare la (6.25), aplicando la definizione (2.4) e la definizione di continuità di .

P

Esercizio Applicare il risultato precedente per dimostrare che se la serie u di segnali converge

n

n

1

in L (R) allora hX i X

F F

u = [u ],

n n

n n

dove l’ultima serie converge uniformemente in R.

Concludiamo questo breve capitolo con un risultato sulle isometrie:

T →

Proposizione 6.9 Una trasformazione lineare : V W è una isometria se e

solo se T ∀ ∈

u V. (6.26)

[u] = u V

W

In tal caso, se V, W sono dotati di prodotto scalare (in particolare se sono spazi

T

di Hilbert) allora conserva anche i prodotti scalari tra due qualunque coppie di

elementi, cioè T T ∀ ∈

[u], [v] = u, v u, v V. (6.27)

W V

T T

In particolare, se u è ortogonale a v anche [u] è ortogonale a [v].

Dimostrazione Lasciamo per esercizio verificare che (6.26) è equivalente a (6.23) nel caso di una applicazione

T

lineare. Per dimostrare che conserva i prodotti scalari basta ricordare l’identità

2 2 2

ku kuk kvk

+ vk = + + 2 Re(u, v) V

V V V

e l’analoga in W 2 2 2

T T T T T T

[u] + [v] = [u] + [v] + 2 Re [u], [v]

W W W W

Poichè 2 2

2 2 2

2 T

T T T = [v] ,

u + v = [u] + [v] , u = [u] , v

W V W

V W V

si deduce che T T

∀ ∈

Re u, v = Re [u], [v] , u, v V.

V W

Cambiando v in iv in quest’ultima espressione si ha

T T T T

Im(u, v) = Re i u, v = Re u, iv = Re [u], [iv] = Im [u], [v] .

V V V W W

6. TRASFORMATA DI FOURIER 6-6

2

La trasformata di Fourier in L (R)

Torniamo al caso dei segnali di durata finita considerato all’inizio di questa lezione,

e riprendiamo nel lemma seguente quanto abbiamo dimostrato.

2

Lemma 6.10 Se u L (R) è un segnale di durata limitata 2D, allora per ogni

T 2D e per ogni φ > 0 si ha X

−2πi φt 2πi nf t

1

u(t)e = û(nf + φ)e , (6.28)

0

0

T n∈Z

Z X

2 2

1

|u(t)| |û(n/T

dt = + φ)| , (6.29)

T

R n∈Z 2

dove la prima serie (6.28) è intesa nel senso della convergenza L (−T /2, T /2), cioè

T /2

Z 2

X 2πi nf t

1

lim u(t) û(nf + φ)e dt = 0.

0

0

T

↑+∞

N −T /2 |n|≤N 2

Corollario 6.11 (Formula di Plancherel) Se u L (R) è un segnale di durata

2

limitata, allora û L (R) e Z Z

2 2 2 2

kuk |u(t)| |û(f kûk

= dt = )| df = (6.30)

2 2

L (R) L (R)

R R

Dimostrazione Basta integrare la (6.29) rispetto a φ nell’intervallo (0, f ):

0

f f

Z Z Z

0 0

X X

2 2 2

1 1

|u(t)| |û(n/T |û(n/T

f dt = + φ)| dφ = + φ)| dφ =

0 T T

0 0

R n∈Z n∈Z

(n+1)f +∞

Z Z

0

X 2 2

1

1 |û(f |û(f

= )| df = )| df.

T T −∞

nf

0

n∈Z

2

Corollario 6.12 Se u, v L (R) sono due segnali di durata limitata

Z Z

(u, v) = u(t)v(t) dt = (û, v̂) = û(f )v̂(f ) dt (6.31)

2 2

L (R) L (R)

R R

Lemma 6.13 (Approssimazione con segnali di durata limitata) Ogni segna-

2

le u L (R) di energia finita può essere decomposto nella serie di segnali ortogonali

di durata limitata ( ∈

u(t) se t (n, n + 1);

X

u = u , u (t) := u(t)11 (t) = (6.32)

n n (n,n+1) 0 altrimenti,

n∈Z 2

che converge puntualmente e in L (R); ciò significa che

−1

N

X 2

posto s (t) = u (t) = u(t)11 (t) lim s = u in L (R). (6.33)

N n N

(−N,N ) ↑+∞

N

n=−N

Dimostrazione Evidentemente u ha durata limitata e si ha, per il teorema di integrazione per serie,

n Z Z

X 2 2

|u |u(t)|

(t)| dt = dt.

n

R R

n∈Z

6. TRASFORMATA DI FOURIER 6-7

D’altra parte Z Z

2 2

|u(t) − |u(t)|

lim s (t)| dt = lim dt = 0

N

↑+∞ ↑+∞

N N

R )

R\(−N,N

per il teorema della convergenza dominata.

Notazione. Limite in media quadratica. D’ora in avanti, per indicare che il limite di una successione

2

di funzioni u è da intendersi nel senso di L (R) useremo la notazione

n u = l.i.m. u .

n

n↑+∞ 2 2

Teorema 6.14 (Trasformata di Fourier in L (R).) Se u L (R) allora

esiste il limite N

Z

F −2πi f t

[u] = û := l.i.m. u(t)e dt (6.34)

↑+∞

N −N

2

nel senso della convergenza L (R), cioè

N

Z Z 2

−2πi f t

lim û(f ) u(t)e dt df = 0.

↑+∞

N −N

R

Tale limite definisce la trasformata di Fourier û di u e valgono le formule

Z Z

2 2 2 2

kuk |u(t)| |û(f kûk

= dt = )| df = , (6.35)

2 2

L (R) L (R)

R R

Z Z

dt = (û, v̂) = û(f )v̂(f ) dt. (6.36)

(u, v) = u(t)v(t)

2 2

L (R) L (R)

R R

F 2

In altri termini, è una isometria di L (R).

Dimostrazione Osserviamo che la definizione contenuta nella formula (6.34) equivale a dire (con le notazioni

2

(6.32), (6.33)) che esiste il limite nel senso di L (R)

−1 −1

N N

X X X

F F F F

l.i.m. [s ] = l.i.m. u = l.i.m. u = u .

n n n

N

↑+∞ ↑+∞ ↑+∞

N N N

n=−N n=−N n∈Z

F

Ora, essendo u di durata finita e ortogonali, grazie a (6.31) anche [u ] sono segnali

n n

ortogonali. La convergenza dell’ultima serie è quindi equivalente alla convergenza della

serie dei quadrati delle norme cioè

2 2 2

X X

F

u = u = u < +∞

n n 2 2

L (R) L (R)

2

L (R)

n∈Z n∈Z

grazie a (6.30). Quest’ultima uguaglianza dimostra anche la (6.35), mentre la (6.36) è una

conseguenza della proposizione 6.9. 2

Nota È possibile applicare alla trasformata di Fourier in L (R) i risultati dela sezione precedente:

in particolare F F

u = l.i.m. u [u] = l.i.m. [u ], (6.37)

n n

n↑+∞ n↑+∞

X F F

2 ⇒

u = u in L (R) [u] = l.i.m. [u ]. (6.38)

n n

n↑+∞

n

Il teorema seguente (di dimostrazione assai complessa) mostra che il calcolo effettivo

2

della trasformata di un segnale u L (R) può essere ricondotto al calcolo del

valore principale dell’integrale che definisce la trasformata stessa, inteso come limite

puntuale (rispetto a N con frequenza f fissata) e non solo come limite in media

quadratica.

6. TRASFORMATA DI FOURIER 6-8

2

∈ ∈

Teorema 6.15 Se u L (R) allora per quasi ogni frequenza f R

+∞ N

Z Z

−2πi −2πi

f t f t

∃ v.p. u(t)e dt = lim u(t)e dt = û(f ). (6.39)

↑+∞

N

−∞ −N

Osservazione 6.16 (Integrale di Lebesgue e valor principale) Naturalmente

1

quando u oltre ad essere ad energia finita è anche in L (R) le due definizioni di tra-

sformata (e la formula (6.39)) coincidono (almeno q.o.) e per il calcolo diretto della

(6.11) si possono sfruttare tutte le proprietà dell’integrale di Lebesgue.

2

Teorema 6.17 (Formula di inversione) Se u L (R) è un segnale di energia

finita allora N

Z F F F

2πi f t

u = l.i.m. û(f )e df = [û] = [u] . (6.40)

↑+∞

N −N

F

In altri termini, è una trasformazione biunivoca e isometrica ( isomorfismo) in

F F

−1

2

L (R) la cui trasformazione inversa coincide con .

Dimostrazione Cominciamo a dimostrare la (6.40) per un segnale u di durata finita. Ricordando il lemma

6.13 poniamo quindi F F

ŝ (f ) := û(f )1

1 (f ), [û] = l.i.m. [ŝ ].

N N

(−N,N ) ↑+∞

N

Si tratta quindi di dimostrare che 2

F F

u = [û] cioè lim u [ŝ ] = 0.

N 2

L (R)

n↑+∞

Grazie all’identità di Plancherel si ottiene

2 2 2

F F F

− −

u [ŝ ] = u + [ŝ ] 2 Re u, [ŝ ] =

N N N

2 2 2 2

L (R) L (R) L (R) L (R)

2 2 F

= u + ŝ 2 Re u, [ŝ ] .

N

N

2 2 2

L (R) L (R) L (R)

Sviluppando l’ultimo termine si ha +∞ +∞

Z Z

F 2πi f t

(u, ŝ ) = u(t) ŝ (f )e df dt =

2

N N

L (R) −∞ −∞

+∞ +∞

Z Z

−2πi f t

= u(t) ŝ (f )e df dt =

N

−∞ −∞

+∞ +∞

Z Z

−2πi f t

= u(t)ŝ (f )e df dt =

N

−∞ −∞

+∞ +∞

Z

Z

−2πi f t

= ŝ (f ) u(t)e dt df =

N

−∞ −∞

+∞ +∞

Z

Z 2

|ŝ

= ŝ (f )ŝ (f ) df = (f )| df.

N N N

−∞ −∞

Osserviamo che abbiamo potuto scambiare gli integrali nel calcolo precedente poichè

+∞ +∞ +∞ +∞

Z Z Z Z

−2πi f t |u(t)| |ŝ

(f )e dt (f )| df < +∞

u(t)ŝ df dt =

N N

−∞ −∞ −∞ −∞

essendo u, ŝ segnali di energia finita e durata limitata.

N

Concludiamo che 2 2 2

F

− −

u [ŝ ] = u ŝ .

N N

2 2 2

L (R) L (R) L (R)

Passando al limite per N +∞ si ottiene

2 2 2

lim ŝ = û = u ,

N 2 2 2

L (R) L (R) L (R)

↑+∞

N

da cui 2

F

lim u [ŝ ] =0

N 2

L (R)

↑+∞

N

6. TRASFORMATA DI FOURIER 6-9

come si voleva.

Se ora u è un qualunque segnale di energia finita e s è definito come nel lemma 6.13,

N

abbiamo F

û = l.i.m. [s ];

N

↑+∞

N

per la (6.37) e il precedente risultato di inversione per i segnali di durata finita si ha

F F F

[û] = l.i.m. [s ] = l.i.m. s = u.

N N

↑+∞ ↑+∞

N N

Osservazione 6.18 Le proprietà elementari discusse precedentemente per la tra-

1 2

sformata in L (R) valgono anche in L (R) con enunciati del tutto analoghi.

A titolo di esempio dimostriamo la (6.19) per un segnale u regolare a tratti, continuo,

0 2 1

∈ ∈

con u L (R) (si dice in questo caso che u H (R)).

Osserviamo che Z

0 2 2 2 2

∈ ⇒ ∈

u, u L (R) û, f û L (R), cioè (1 + f )|û(f )| df < +∞.

R 1

Mostriamo grazie alla disugauglianza di Schwarz che û L (R):

Z Z 1 i

hp 2 |û(f

|û(f 1 + f )| df

)| df = p 2

1 + f

R R

Z Z

1/2 1/2

1

2 2

≤ df (1 + f )|û(f )| df < +∞.

2

1+ f

R R 1

Come già osservato (cfr. 6.16) essendo û in L (R) nella formula (6.40) si può

sostituire il limite in media quadratica degli integrali con l’integrale di Lebesgue

(6.19).

. Il teorema del campionamento

r n sin e w r in is en u

r s m re r und ered m n s un

ders ndin mmuni i n n

nn n s r i e m em i e

r mmuni i n rs u is ed in

. e ide s in nn n s er we

re s n i ed u mmuni i n en

ineers nd m em i i ns r und e

w r d. e were e r ed u n e en

ded nd m emen ed wi new re ed

ide s. e su e ri ed nd rew

e me we r unded nd e i in

er in e nn s s ien e.

ratto da D. Slepian (ed.), ey pa-

pers in the development of information

theory, Institute of lectrical and lec-

tronics ngineers, Inc. ( e or ,

1974).

Claude Shannon (1916-2001) 2

Definizione 7.1 ( egnali (con spettro) a banda limitata) Un segnale (R)

u

ha banda limitata se esiste 0 tale che

0

|f | ≥ ⇒ ) = 0 q.o.. (7.1)

u(f

0 2

2 (R) il sottospazio di (R) formato da tali segnali.

Chiamiamo B

Mostrare che u (a meno di cambiamenti su un insieme di misura nulla) è un segnale di

Esercizio ∞

classe (R).

Il teorema del campionamento consente di ricostruire un segnale con spettro

u

limitato dai suoi valori ), campionati ad un opportuno passo temporale

u( ,

0.

L’idea del teorema è semplicemente di scrivere lo sviluppo in serie di ourier di u

in un intervallo (− ) con e di antitrasformare la serie ottenuta.

, 0 7-1


PAGINE

94

PESO

1.52 MB

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cecilialll di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Metodi matematici per l'ingegneria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Ferone Vincenzo.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Metodi matematici per l'ingegneria

Teoria completa, Metodi Matematici per l'Ingegneria
Appunto
Appunti Metodi Matematici (Nitsch)
Appunto
Integrali con il metodo dei residui - raccolta esercizi svolti
Esercitazione
Metodi matematici per l'ingegneria - esercitazioni
Esercitazione